2024年高考数学专项双曲线中的离心率问题（解析版）.pdf

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1、专题双曲线中的离心率问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设F1、F2分别是双曲线C:x2-y2b=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C相交于A、B两点，若ABF1为正三角形，则C的离心率为()A.2B.63C.2 2D.32.2.若双曲线C:y2a2-x2b2=1 a0,b0的一条渐近线被圆x2+y-22=4所截得的弦长为2 3，则C的离心率为()A.2B.2 33C.2 23D.4333.3.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点为F，A、B两点在双曲线的左、右两支

2、上，且OA+OB=0，AF FB=0，3BF=FC，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.2 334.4.如图，双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1与双曲线的两条渐近线分别交于P,Q两点若P是F1Q的中点，且F1Q F2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.2 2D.2 35.5.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得PF2F1=3PF1F，则C的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+C.(1,3D.1,212024年高考

3、数学专项双曲线中的离心率问题（解析版）6.6.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点为F1F2，点M,N在C上，且F1F2=3MN，F1M F2M，则双曲线C的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+27.7.已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a0,b0)的上下焦点分别为F1,F2，点M在C的下支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，若 MD F1F2-MF1恒成立，则C的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+8.8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点为A，过A的直线l与C的右支交于点B，若线段A

4、B的中点在圆O:x2+y2=a2上，且 OB=7 OA，则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.2D.3二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.9.双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为e1，双曲线y2b2-x2a2=1的离心率为e2，则e1+e2的值不可能是()A.3B.2 2C.145D.5210.10.双曲线x2-y2a2=1的离心率为e，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为()A.3 24B.2C.32D.211.11.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左 右焦点分别为F1,F2

5、，过点F1的直线l与圆x2+y2=a2相切，且与C交于M,N两点，若cosF1NF2=45，则C的离心率可能为()A.53B.32C.52D.13312.12.已知F1、F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足2为点A，交另一条渐近线于点B，且AF2=13F2B，则该双曲线的离心率为().A.62B.2C.3D.5三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.13.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=22x，则其离心率是.14.14.已知双曲线方程为C:x2a2-y2b2

6、=1(a0,b0)，左焦点F关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.15.15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F c,0，直线l:x=c与双曲线C交于A,B两点，与双曲线C的渐近线交于D,E两点，若 DE=2 AB，则双曲线C的离心率是16.16.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若 AQ3 AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

7、算步骤17.17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围318.18.已知椭圆C1:x2a21+y2b21=1 a1b10与双曲线C2:x2a22-y2b22=1 a20,b20，有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且 F1F2=4 PF2，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，求e2-e1的取值范围.19.19.已知双曲线T：x2a2-y2b2=1(a0,b0)离心率为e，圆O：x2+y2=R2R0(1)若e=2，双曲线T的右焦点为F 2,0

8、，求双曲线方程；(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求b2a2的值；(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有AOB=2，求离心率e的取值范围420.20.已知点P是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，PF1=(2+3)PF2，F1PF2=60(1)求双曲线的离心率；(2)设R、r分别是F1PF2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr21.21.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，AF2-A

9、F1=2b(1)求双曲线C的离心率；(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线AD,BD与x轴交点的横坐标分别为x1,x2，且 x1x2=1，求双曲线C的方程522.22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且kABkOM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N 2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.6专题双曲线中的离心率问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的

10、选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设F1、F2分别是双曲线C:x2-y2b=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C相交于A、B两点，若ABF1为正三角形，则C的离心率为()A.2B.63C.2 2D.3【解析】设 AF2=t，因为ABx轴，则点A、B关于x轴对称，则F2为线段AB的中点，因为ABF1为等边三角形，则AF1F2=30，所以，AF1=2 AF2=2t，所以，AF1-AF2=AF2=t=2a=2，则 AF1=2 AF2=2t=4，所以，2c=F1F2=AF12-AF22=42-22=2 3，则c=3，因此，该双曲线C的离心率为e=ca=3.故选：D.2.2.若双曲线C:y2a

11、2-x2b2=1 a0,b0的一条渐近线被圆x2+y-22=4所截得的弦长为2 3，则C的离心率为()A.2B.2 33C.2 23D.433【解析】双曲线C的渐近线方程为y=abx，直线y=abx被圆x2+y-22=4所得截得的弦长为2 3，1则圆心 0,2到直线y=abx的距离为d=22-32=1，由点到直线的距离公式可得d=21+ab2=1，解得a2b2=3，则b2a2=13，因此，双曲线C的离心率为e=ca=1+ba2=1+13=2 33.故选：B.3.3.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点为F，A、B两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB=0，AF FB=0

12、，3BF=FC，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.2 33【解析】设双曲线的左焦点为F，连接AF,BF,CF，因为AF FB=0，所以AF FB，因为OA+OB=0，所以 OA=OB，因为 OF=OF，所以四边形AFBF为矩形，设 BF=t(t0)，则 FC=3t，BF=2a+t,CF=2a+3t，在RtCBF中，BC2+BF2=CF2，所以 4t2+2a+t2=2a+3t2，化简得t2-at=0，解得t=a，在RtBFF中，BF2+BF2=FF2，所以t2+2a+t2=4c2，所以a2+9a2=4c2，所以10a2=4c2，得10a=2c，所以离心率e=

13、ca=102，故选：B24.4.如图，双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1与双曲线的两条渐近线分别交于P,Q两点若P是F1Q的中点，且F1Q F2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.2 2D.2 3【解析】因为F1Q F2Q=0，则QF1QF2，所以F1F2Q是直角三角形，又因为O是F1F2的中点，所以OQ是直角F1F2Q斜边中线，因此 F1O=OQ，而点P是线段F1Q的中点，所以F1OQ是等腰三角形，因此F1OP=POQ，由双曲线渐近线的对称性可知中：F1OP=F2OQ，于是有：F1OP=POQ=F2OQ=3，因为双曲线渐近线的方

14、程为：y=bax，因此有：ba=tan3ba=3 b2=3a2c2-a2=3a2c=2ae=2，故选：B.5.5.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得PF2F1=3PF1F，则C的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+C.(1,3D.1,2【解析】设PF1与y轴交于Q点，连接QF2，则QF1=QF2,QF1F2=QF2F1，因为PF2F1=3PF1F，故P点在双曲线右支上，且PF2Q=PQF2=2PF1F2，故|PQ|=|PF2|，而|PF1|-|PF2|=2a，故|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|

15、QF1|=2a，在RtQOF1中，|QF1|OF1|，即2ac，故e=ca2，由PF2F1=3PF1F2，且三角形内角和为180，3故PF1F2cos45，即c2a22，即e=ca2，所以C的离心率的取值范围为2,2，故选：A6.6.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点为F1F2，点M,N在C上，且F1F2=3MN，F1M F2M，则双曲线C的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+2【解析】由于F1F2=3MN，所以xM=-2c1312=-c3，则-c32a2+y2Mb2=1，解得yM=b3ac2-9a2，由于F1M F2M，所以2c3，b3ac2-9a2

16、-4c3，b3ac2-9a2=0，整理得c4-18a2c2+9a4=0，两边除以a4得e4-18e2+9=0，由于e1，e21，故解得e=6+3.故选：B7.7.已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a0,b0)的上下焦点分别为F1,F2，点M在C的下支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，若 MD F1F2-MF1恒成立，则C的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+【解析】如图，过点F2作渐近线的垂线，垂足为E，设|F1F2|=2c，则点F2到渐近线y=abx的距离 EF2=bca2+b2=b.由双曲线的定义可得 MF1-MF2=2a，故 MF1=MF2+

17、2a，所以 MD+MF1=|MD|+MF2+2a EF2+2a=b+2a，即 MD+MF1的最小值为2a+b，因为 MD F1F2-MF1恒成立，所以|MD|+MF1 F1F2恒成立，即2a+b2c恒成立，所以，b2c-2a，即b24c2+4a2-8ac，即c2-a24c2+4a2-8ac，4所以，3c2+5a2-8ac0，即3e2-8e+50，解得1e0,b0)的左顶点为A，过A的直线l与C的右支交于点B，若线段AB的中点在圆O:x2+y2=a2上，且 OB=7 OA，则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.2D.3【解析】设线段AB的中点为E，双曲线的右顶点为D，左右焦点为F1,F2，连接

18、DE,DB，因为线段AB的中点E在圆O:x2+y2=a2上，所以DEAB，所以ADEBDE，所以 AD=BD=2a，因为 OB=7 OA，所以 OB=7a，在ODB中，由余弦定理得cosODB=OD2+DB2-OB22 OD DB=a2+4a2-7a24a2=-12，因为ODB 0,，所以ODB=23，所以BDF2=3，过B作BFx轴于F，则 BF=3a,DF=a，所以B 2a,3a，所以4a2a2-3a2b2=1，得a2=b2，所以a2=c2-a2，2a2=c2，所以c=2a，所以离心率e=ca=2，故选：A二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或

19、者多项是符合题目要求的.59.9.双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为e1，双曲线y2b2-x2a2=1的离心率为e2，则e1+e2的值不可能是()A.3B.2 2C.145D.52【解析】e1+e22=e21+e22+2e1e2=a2+b2a2+a2+b2b2+2a2+b2aa2+b2b=2+b2a2+a2b2+2a4+b4+2a2b2a2b2=2+b2a2+a2b2+2a2b2+b2a2+2 2+2+2 2+2=8，当且仅当b2a2=a2b2即a=b时取等号，所以e1+e22 2.故选：CD.10.10.双曲线x2-y2a2=1的离心率为e，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e可

20、能取值为()A.3 24B.2C.32D.2【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是y-2=k(x-2)，由x2-y2a2=1y-2=k(x-2)得(a2-k2)x2+4k(k-1)x-4(k-1)2-a2=0，显然a2-k2=0时，所得直线只有一条，不满足题意，所以ka，由=0得16k2(k-1)2+4(a2-k2)4(k-1)2+a2=0，整理为3k2-8k+4+a2=0，由题意此方程有两不等实根，所以1=64-12(4+a2)0，a243，则c2=1+a273(c为双曲线的半焦距)，e=c1=c213，即1e0,b0)的左 右焦点分别为F1,F2，过点F1的直

21、线l与圆x2+y2=a2相6切，且与C交于M,N两点，若cosF1NF2=45，则C的离心率可能为()A.53B.32C.52D.133【解析】当点M,N同时在双曲线C的左支上时，设切点为P，则OPMN，OP=a,OF1=c,PF1=c2-a2=b.作F2QOP交MN于点Q，则F2QMN，而O为F1F2的中点，则P为QF1的中点，故 F2Q=2 OP=2a,QF1=2 PF1=2b，因为cosF1NF2=45，F1NF2为锐角，故sinF1NF2=35所以 NF2=F2QsinF1NF2=10a3,NQ=NF2cosF1NF2=8a3，NF1=NQ-QF1=8a3-2b，所以 NF2=NF1+

22、2a=8a3-2b+2a=10a3，则2a=3b，故双曲线C的离心率e=ca=1+b2a2=1+232=133.当点M,N在双曲线的两支上时，仍有 F2Q=2 OP=2a,QF1=2 PF1=2b，因为cosF1NF2=45，F1NF2为锐角，故sinF1NF2=35所以 NF2=F2QsinF1NF2=10a3,NQ=NF2cosF1NF2=8a3，NF1=NQ+QF1=8a3+2b，所以 NF2=NF1-2a=8a3+2b-2a=10a3，则4a=3b，故双曲线C的离心率e=ca=1+b2a2=1+432=53，故选：AD712.12.已知F1、F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b

23、0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且AF2=13F2B，则该双曲线的离心率为().A.62B.2C.3D.5【解析】当AF2=13F2B 时，设F2OA=，则AOB=2，设a=1，如图，双曲线的渐近线方程为y=bax，即tan=ba，在RtOAF2中，tan=|AF2|OA|=ba，设|AF2|=bt,|OA|=at，又|AF2|2+|OA|2=|OF2|2，则(bt)2+(at)2=c2，又双曲线中c2=a2+b2，即有t=1，于是|OA|=a=1，|OF2|=c=e，|AF2|=b，|BF2|=3b，则|AB|=4b，tan=ba=b，ta

24、n2=4ba=4b，代入得tan2=2tan1-tan2=2b1-b2=4b，即2=4-4b2，解得b=22，则e=ca=a2+b2=1+12=62，A正确；当F2A=13F2B 时，设F2OA=，AOB=，设a=1，如图，则F2OB=+，F1OB=-(+)，在RtOAF2中，tan=|AF2|OA|=ba，设|AF2|=bt,|OA|=at，又|AF2|2+|OA|2=|OF2|2，则(bt)2+(at)2=c2，又双曲线中c2=a2+b2，即t=1，于是|OA|=a=1，|OF2|=c=e，|AF2|=b，|BF2|=3b，则|AB|=2b，tan=ba=b，tan=2ba=2b，8而ta

25、nF1OB=tan-(+)=-tan(+)=tan，即tan(+)=tan+tan1-tantan=-tan，因此b+2b1-b2b=-b，即3=2b2-1，解得b=2，则e=ca=a2+b2=3，C正确.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.13.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=22x，则其离心率是.【解析】由题意知ba=22，又因为在双曲线中，c2=a2+b2，所以e2=c2a2=1+b2a2=32，故e=62(负舍)14.14.已知双曲线方程为C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)，左焦点F关于一条

26、渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.【解析】如图：设F关于渐近线y=bax对称的点A在渐近线y=-bax上，FA的中点B在渐近线y=bax上，则FOB=BOA，又FOB=AOx，所以FOB=BOA=AOx=60，所以tan60=ba=3，所以e=ca=a2+b2a2=1+ba2=1+3=2.15.15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F c,0，直线l:x=c与双曲线C交于A,B两点，与双曲线C的渐近线交于D,E两点，若 DE=2 AB，则双曲线C的离心率是【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：y=bax，直线l:x=c，AB为双曲线的通径，则由

27、x=cx2a2-y2b2=1 得x=cy=b2a，则 AB=2b2a，9由x=cy=bax 得x=cy=bca，则 DE=2bca，由 DE=2 AB得：2bca=4b2a即c=2b，所以a=c2-b2=3b，所以离心率e=ca=2 3316.16.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若 AQ3 AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.【解析】依题意可得，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，不妨设双曲线的这条渐近线方程为y=bax，由y=baxx2+

28、y2=c2，得：x=ay=b 或x=-ay=-b，所以Q(a,b),P(-a,-b)，双曲线的左顶点为A，则A(-a,0)，所以 AQ=(a+a)2+b2=4a2+b2，AP=(-a+a)2+b2=b，因为 AQ3 AP，所以4a2+b23b，化简得a22b2，所以a22(c2-a2)，所以e2=a2c232，所以e62，又e1，所以e 1,62.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范

29、围【解析】双曲线x2a2-y2b2=1 a0,b0的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点，PF1-PF2=2a,PF1=2a+PF2，PF12PF2=2a+PF22PF2=4a2PF2+4a+PF28a，当且仅当4a2PF2=PF2，即 PF2=2a时取等号，PF1=2a+PF2=4a，10 PF1-PF2=2ab10与双曲线C2:x2a22-y2b22=1 a20,b20，有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且 F1F2=4 PF2，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，求e2-e1的取值范围.【解析】设 PF1=m，PF2=n，F1F2=2c

30、，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m-n=2a1，解得m=a1+a2，n=a1-a2，由 F1F2=4 PF1，可得n=12c，即a1-a2=12c，由e1=ca1，e2=ca2，可得1e1-1e2=12，由0e11，可得1e212，即1e22，则e2-e1=e2-2e22+e2=e222+e2，设2+e2=t 3t0,b0)离心率为e，圆O：x2+y2=R2R0(1)若e=2，双曲线T的右焦点为F 2,0，求双曲线方程；(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求b2a2的值；(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l

31、与双曲线T交于点A，B时总有AOB=2，求离心率e的取值范围【解析】(1)因e=2，双曲线T的右焦点为F 2,0，则c=2，ca=2，a=1，b2=c2-a2=3，则双曲线方程为x2-y23=1.(2)如图所示，11因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，则OA=c，AOF=45，则A22c,22c，代入双曲线方程x2a2-y2b2=1，可得b2a2-a2b2=2，令x=b2a2x0，则x-1x=2，解得x=1+2，即b2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且R=1，则圆心到直线l距离为mk2+1=1，化简得m2=k2+1，又AOB=2，设A x1,y

32、1,B x2,y2，则kOAkOB=-1，即y1x1y2x2=-1，则k2x1x2+km x1+x2+m2x1x2=-1，联立y=kx+mx2a2-y2b2=1 得 b2-a2k2x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，则x1+x2=2a2kmb2-a2k2，x1x2=-a2m2+b2b2-a2k2，联立，得 k2+1a2+a2b2-b2=0，则a2+a2b2-b2=0，又c2=a2+b2，则c2a2=c2-a2+2=b2+22，则e=ca2，即离心率e的取值范围为2,+.1220.20.已知点P是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，P

33、F1=(2+3)PF2，F1PF2=60(1)求双曲线的离心率；(2)设R、r分别是F1PF2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr【解析】(1)由P为双曲线的右支上一点，可得|PF1|-|PF2|=2a，又 PF1=(2+3)PF2，可得 PF1=(3+1)a，PF2=(3-1)a，在F1PF2中，F1PF2=60，由余弦定理可得4c2=(4+2 3)a2+(4-2 3)a2-2(3+1)(3-1)a212=8a2-2a2=6a2，即c=62a，可得e=ca=62；(2)由2R=2csin60=6a32=2 2a，即R=2a；因为SPF1F2=12PF1PF2sin60=12(3+1)(3-1)a

34、232=32a2，又SPF1F2=12PF1+PF2+2cr=12(2 3a+6a)r，所以r=32 3+6a=2-22a，所以Rr=2 22-2=2+2 221.21.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，AF2-AF1=2b(1)求双曲线C的离心率；(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线AD,BD与x轴交点的横坐标分别为x1,x2，且 x1x2=1，求双曲线C的方程【解析】(1)由于A为双曲线C左支上一点，由双曲线的定义可知 AF2-AF1=2a=2b，所以2a2=b2=c2-a2整理，得3a2=c2

35、，所以ca=3，所以双曲线C的离心率为3(2)由(1)可设双曲线C的标准方程为x2a2-y22a2=113设A x3,y3，B x3,-y3，D x4,y4直线AD的方程为y-y3=y3-y4x3-x4x-x3令y=0，则x1=-x3y4-x4y3y3-y4直线BD的方程为y+y3=-y3-y4x3-x4x-x3，令y=0，则x2=x3y4+x4y3y3+y4所以 x1x2=-x3y4-x4y3y3-y4x3y4+x4y3y3+y4=x23y24-x24y23y23-y24因为A x3,y3，D x4,y4满足方程x2a2-y22a2=1，所以x23=a2+y232，x24=a2+y242,所

36、以 x1x2=x23y24-x24y23y23-y24=a2+y232y24-a2+y242y23y23-y24=a2=1,所以双曲线C的方程为x2-y22=122.22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且kABkOM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N 2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，则Mx1+x22,y1+y22，由题意得x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1

37、,所以x21-x22a2-y21-y22b2=0，y21-y22x21-x22=b2a2,y1-y2x1-x2y1+y22x1+x22=b2a2,kAB=y1-y2x1-x2,kOM=y1+y22x1+x22，kABkOM=b2a2，即b2a2=34，a2=43b2,c2=a2+b2=73b2,e2=c2a2=74，e=72；14(2)因为双曲线的右顶点N 2,0，所以双曲线C的标准方程为x24-y23=1，因为kABkOM=34，所以直线l的斜率一定存在，并且k32(如果k=32，则kOM=32,ABOM，这不可能)，设直线l的方程为y=kx+m，联立方程y=kx+mx24-y23=1 得：

38、3-4k2x2-8kmx-4m2-12=0 3-4k20，所以=64k2m2-4 3-4k2-4m2-120，即m2-4k2+30，所以x1+x2=8km3-4k2,x1x2=-4m2-123-4k2.因为以AB为直径的圆经过点N，所以NANB，所以NA NB=0，又因为NA=x1-2,y1,NB=x2-2,y2，所以NA NB=x1-2x2-2+y1y2=x1x2-2 x1+x2+4+y1y2=0，又因为y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2，所以NA NB=k2+1x1x2+km-2x1+x2+m2+4=0，即 k2+1-4m2-123-4k2+km-28km3-4k2+m2+4=0，化简得m2+16km+28k2=0，即 m+14km+2k=0，解得m=-14k或m=-2k，且均满足m2-4k2+30，当m=-2k时，y=kx-2k=k x-2，因为直线l不过定点N 2,0，故舍去；当m=-14k时，y=kx-14k=k x-14，所以直线l恒过定点E 14,0；综上，e=72，直线l恒过定点E 14,0.15