2024年高一下学期备战期末——解三角形小题综合（解析版）.pdf

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1、期末专题04 解三角形小题综合期末专题04 解三角形小题综合一、单选题一、单选题1(2022(2022春 江苏常州 高一校联考期末)在ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断2(2022(2022春 江苏连云港 高一统考期末)在锐角三角形ABC中，a=2bsinA，则B=()A.6B.4C.3D.7123(2022(2022春 江苏泰州 高一统考期末)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若2a=3bsinA，则sinB=()A.63B.33C.23D.134(2022(2022春 江苏淮安 高一统考期末)在A

2、BC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=ccosB，则ABC的形状()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定5(2022(2022春 江苏淮安 高一统考期末)在ABC中，B=45，点D是边BC上一点，AD=5，AC=7，DC=3，则边AB的长是()A.4 6B.1036C.5 62D.2 66(2022(2022秋 江苏南京 高一南京市第九中学校考期末)中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分(如图2)

3、，经测量知AB=CD=4，BC=3，AD=7，则该玉佩的面积为()12024年高一下学期备战期末解三角形小题综合（解析版）A.496-9 34B.493-9 32C.496D.4937(20222022秋 江苏南通 高一统考期末)图1是南北方向、水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成)示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬2326)在某地利用一表高为2dm的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98dm，则该地的纬度约为北纬()(参考数据：tan340.67，

4、tan561.49)A.2326B.3234C.34D.568(20222022春 江苏镇江 高一扬中市第二高级中学校考期末)设 f x=sinxcosx-cos2x+4，在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若 fA2=0，a=1，则ABC面积的最大值为()A.2+33B.3+33C.2+34D.3+349(20222022春 江苏扬州 高一统考期末)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得ABC恰有一个解的是()A.a=2,b=4,A=3B.a=13,b=4,A=32C.a=2 3,b=4,A=23D.a=3 2,b=4,A=2310(202220

5、22春 江苏南通 高一统考期末)已知ABC为锐角三角形，AC=2，A=6，则BC的取值范围为()A.1,+B.1,2C.1,2 33D.2 33,211(20222022春 江苏镇江 高一统考期末)已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，且测得点B对点A和点C的张角为120，则点B到AC的距离为()kmA.20 77B.10 217C.20 217D.10 7712(20222022春 江苏无锡 高一统考期末)设ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b=2，a2sinC=6sinA，则ABC面积的最大值为()A.3B.5C.6D.313(20222022春 江苏南

6、通 高一金沙中学校考期末)ABC中，A,B,C的对边分别为a，b，c，则()A.若abc，则cosBsinB，则ABC.若AB2+AC2BC2，则ABC为钝角三角形D.若A=60，AC=4，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是(2 3,+)19(20222022春 江苏南京 高一统考期末)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=45,c=2，下列说法正确的是()4A.若a=3,ABC有两解B.若a=3,ABC有两解C.若ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2,2 2)D.若ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0,2)20(20222022春 江苏宿迁 高一沭

7、阳县修远中学校考期末)在三角形ABC中，A=3，若三角形有两解，则ca的可能取值为()A.2 23B.1.1C.2 33D.1.0121(20222022春 江苏南通 高一统考期末)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c=2b，B=30，则角A可能为()A.135B.105C.45D.1522(20222022春 江苏苏州 高一校联考期末)在ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c，设向量m=c,a+b,n=a,c，且mn，则下列选项正确的是()A.A=2BB.C=2AC.1caB，则sinAsinBB.若a=2，b=5，B=3，则该三角形有两解C.若acosA=bcosB，则

8、ABC一定为等腰三角形D.若sin2Csin2A+sin2B，则ABC一定为钝角三角形26(20222022春 江苏无锡 高一统考期末)ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是()A.若sinAsinB，则ABB.若a2+b2-c20，则ABC是锐角三角形C.若acosB+bcosA=a，则ABC是等腰三角形D.若asinA=bcosB=ccosC，则ABC是等边三角形627(20222022春 江苏苏州 高一江苏省昆山中学校考期末)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是()A.c=acosB+bcosAB.若acosA=bcosB，则A

9、BC为等腰或直角三角形C.若a2tanB=b2tanA，则a=bD.若a3+b3=c3，则ABC为锐角三角形28(20222022春 江苏苏州 高一校考期末)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，下列说法正确的是()A.若acosA=bcosB，则ABC是等腰三角形B.若AB=2 2,B=45,AC=3，则满足条件的三角形有且只有一个C.若ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCD.若AB BC 0，则ABC为钝角三角形三、填空题三、填空题29(20222022春 江苏连云港 高一统考期末)曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB

10、时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB按顺时针方向旋转角时，P和Q之间的距离是xcm，若OA=3cm，AP=7cm，=120，则x的值是30(20222022春 江苏南京 高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知轮船A和轮船B同时离开C岛，7A船沿北偏东30的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)若A船的航行速度为40nmile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45的方向上，则此时A，B两船相距nmile31(20222022春 江苏无锡 高一统考期末)ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知C=60，a=1，c=7，则b=.32(20222022春 江苏扬州 高一期末)后汉书

11、张衡传：“阳嘉元年，复造候风地动仪以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形中有都柱，傍行八道，施关发机外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之振声激扬，伺者因此觉知虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在验之以事，合契若神”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B地km33(20222022春 江苏泰州 高一统考期末)如图所示，该图由三个全等的BAD、ACF

12、、CBE构成，其中DEF和ABC都为等边三角形.若DF=2，DAB=12，则AB=.834(20222022春 江苏常州 高一统考期末)在ABC中，AB=2 2，BC=3，B=45，点D在边BC上，且cosADC=1717，则tanDAC的值为.35(20222022春 江苏南通 高一统考期末)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=6，b=2，要使ABC为钝角三角形，则c的大小可取(取整数值，答案不唯一)36(20222022春 江苏南京 高一南京市中华中学校考期末)拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三

13、条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若BAC=30,DF=4，利用拿破仑定理可求得AB+AC的最大值为9期末专题期末专题0404 解三角形小题综合解三角形小题综合一、单选题一、单选题1(20222022春 江苏常州 高一校联考期末)在ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断【答案】C【分析】根据余弦定理可得cosB0，进而得B为钝角，即可求解.【详解】在ABC中,由余弦定理以及AB=5，BC

14、=6，AC=8可知:cosB=AB2+BC2-AC22ABBC=25+36-64256=-1200,故B为钝角，因此ABC是钝角三角形故选：C2(20222022春 江苏连云港 高一统考期末)在锐角三角形ABC中，a=2bsinA，则B=()A.6B.4C.3D.712【答案】A【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】解：在锐角三角形ABC中，0B2，由正弦定理得asinA=bsinB，又a=2bsinA，所以sinB=12，且0B1，无解；B.因为a=13,b=4,A=3，由正弦定理得asinA=bsinB，则sinB=bsinAa=4sin313=2 3913，又322 39131，则3B2

15、3，有两解，故错误；C.因为aA，所以无解，故错误；D.因为a=3 2,b=4,A=23，由正弦定理得asinA=bsinB，则sinB=bsinAa=4sin33 2=63，又1263b，所以6B2，故有一解，故正确.故选：D10(20222022春 江苏南通 高一统考期末)已知ABC为锐角三角形，AC=2，A=6，则BC的取值范围为()4A.1,+B.1,2C.1,2 33D.2 33,2【答案】C【分析】根据锐角三角形得出角B的范围，再利用正弦定理及三角函数的性质即可求解.【详解】因为ABC为锐角三角形，所以A=60B2056-B2,解得3B2,所以32sinB1.在ABC中，由正弦定理

16、，得ACsinB=BCsinA，即BC=ACsinAsinB=2sin6sinB=1sinB,由32sinB1，得11sinB2 33，即1BC2 33.所以BC的取值范围为 1,2 33.故选：C.11(20222022春 江苏镇江 高一统考期末)已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，且测得点B对点A和点C的张角为120，则点B到AC的距离为()kmA.20 77B.10 217C.20 217D.10 77【答案】B【分析】由余弦定理求出AC，再由面积等积法求解.【详解】由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2ABBCcos120=102+202-21020-12=

17、700，即AC=10 7，所以SABC=12ABBCsin120=12ACh，解得h=ABBCsin120AC=100 310 7=10 217.故选：B12(20222022春 江苏无锡 高一统考期末)设ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b=2，a2sinC=6sinA，则ABC面积的最大值为()A.3B.5C.6D.3【答案】B【分析】由a2sinC=6sinA结合正弦定理可得ac=6，再利用余弦定理可求得cosB23，则可得sinB53，从而可求出ABC面积的最大值【详解】因为a2sinC=6sinA，所以由正弦定理可得a2c=6a，得ac=6，由余弦定理得b2=a2+c2

18、-2accosB，4=a2+c2-12cosB，5所以4+12cosB=a2+c22ac=12，当且仅当a=c时取等号，所以cosB23，所以sinB=1-cos2B 1-49=53，所以12acsinB12653=5，当且仅当a=c时取等号，所以ABC面积的最大值为5，故选：B13(20222022春 江苏南通 高一金沙中学校考期末)ABC中，A,B,C的对边分别为a，b，c，则()A.若abc，则cosBsinCB.A,B使得sin(A+B)=sinA+sinBC.B,C都有tan(B+C)=tanB+tanC1-tanBtanCD.若sinA+cosA=32，则A是钝角【答案】D【分析】

19、特殊值法判断A、C；B由题设有sinA(cosB-1)=sinB(1-cosA)，进而有cosB=cosA=1即可判断；D由已知得sin A+4=6422，结合0A即可判断.【详解】A：由题设ABsinC，错误；B：若sin(A+B)=sinA+sinB，则sinA(cosB-1)=sinB(1-cosA)，而sinA,sinB0，所以cosB=cosA=1，又0A+B，故不存在这样的A,B，错误；C：当B=C=4时tan(B+C)=tanB+tanC1-tanBtanC不成立，错误；D：由sinA+cosA=2sin A+4=32，故sin A+4=6422，而0AA+434，即A2，正确.

20、故选：D14(20222022春 江苏南通 高一统考期末)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac=8,sinB+2sinCcosA=0，则ABC面积的最大值为()A.1B.3C.2D.4【答案】C【分析】根据sinB+2sinCcosA=0利用三角恒等变换和正余弦定理得到2b2=a2-c2，再根据余弦定理和基本不等式可得cosB的范围，由此得B的范围，从而得到sinB的最大值，从而根据SABC=12acsinB可求ABC面积的最大值【详解】sinB+2sinCcosA=0，sin A+C+2sinCcosA=0，即sinAcosC+cosAsinC+2sinCcosA=0，

21、即sinAcosC+3cosAsinC=0，则ab2+a2-c22ab+3b2+c2-a22bcc=0，整理得2b2=a2-c2，6cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a2-c222ac=a2+3c24ac2 3ac4ac=32，当且仅当a2=3c2c=83,a=8 3 时取等号，B 0，6，sinB12，则SABC=12acsinB12812=2故选：C15(20222022春 江苏扬州 高一期末)ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p=(a+c，b)，q=(b-a，c-a)，若pq，则角C的大小为()A.6B.3C.2D.23【答案】B【分析】因为pq，所以

22、 a+cc-a-b b-a=0，再根据余弦定理化简即得解.【详解】因为pq，所以 a+cc-a-b b-a=0，所以c2-a2-b2+ab=0,a2+b2-c2=ab，所以2abcosC=ab,cosC=12,0C0，所以c=a-2ccosB，由正弦定理得：sinC=sinA-2sinCcosB，因为sinA=sin B+C=sinBcosC+cosBsinC，所以sinC=sinBcosC-cosBsinC=sin B-C，因为ABC为锐角三角形，所以B-C为锐角，所以C=B-C，即B=2C，由B 0,2C=B2 0,2A=-B2-B 0,2，解得：B3,2，因为a=kc，所以cosB=a-

23、c2c=12k-12 0,12，解得：k 1,2，故选：A【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.二、多选题二、多选题18(20222022春 江苏南京 高一南京市中华中学校考期末)在ABC中，下列结论中，正确的是()8A.若cos2A=cos2B，则ABC是等腰三角形B.若sinAsinB，则ABC.若AB2+AC2sinB，则aB，所以选项B正确；对于选项C，由AB2+AC2BC2，以及余弦定理可得cosA0，即ABC为钝角三角形，所以选项C正确；对于选项D，由A=60，AC=4，以及正弦定理可得

24、sinB=ACBCsinA=2 3BC2 3，且由大边对大角BA，可得ACBC，即BC4，所以BC长的取值范围是(2 3，4)，所以选项D错误；故选：ABC.19(20222022春 江苏南京 高一统考期末)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=45,c=2，下列说法正确的是()A.若a=3,ABC有两解B.若a=3,ABC有两解C.若ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2,2 2)D.若ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0,2)【答案】AC【分析】根据三角形的构成，可判断三角形有几个解所要满足的条件，即csinAac或a=csinA，ABC有一解，acsinA，ABC

25、有0解，根据直角三角形的情况，便可得出ABC为锐角或钝角三角形时，b的取值范围.【详解】A选项，csinAac，ABC有一解，故B错误；C选项，ABC为锐角三角形，ccosAbcccosA，即2 b2 2，故C正确；D选项，ABC为钝角三角形，0bcccosA，即0b2 2，故D错误.故选：AC20(20222022春 江苏宿迁 高一沭阳县修远中学校考期末)在三角形ABC中，A=3，若三角形有两解，则ca的可能取值为()A.2 23B.1.1C.2 33D.1.01【答案】BD9【分析】根据正弦定理可知三角形有两解，则满足32cac，即可求解.【详解】若三角形有两解，则满足32cac，故1ca

26、b，则CB，0C180，故C=45或135，A=105或15故选：BD22(20222022春 江苏苏州 高一校联考期末)在ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c，设向量m=c,a+b,n=a,c，且mn，则下列选项正确的是()A.A=2BB.C=2AC.1ca2D.若ABC的面积为c24，则C=2【答案】BC【分析】根据向量平行得到c2=a2+ab，结合余弦定理转化为cosC=-12+b2a，进而利用正弦定理得到cosC=-12+sinB2sinA，化简整理即可判断A、B选项；利用正弦定理及二倍角公式将ca转化为2cosA，然后求出角A的范围，进而求出值域即可判断C选项；利用S=12ab

27、sinC=c24，结合正弦定理及二倍角公式化简整理可求得角A，进而可以求出角C，从而可以判断D选项.【详解】因为向量m=c,a+b,n=a,c，且mn，所以c2=a a+b，即c2=a2+ab，结合余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab，cosC=-ab+b22ab，cosC=-12+b2a，再结合正弦定理得cosC=-12+sinB2sinA，2sinAcosC=-sinA+sinB，又因为sinB=sin A+C=sinAcosC+cosAsinC,所以2sinAcosC=-sinA+sinAcosC+cosAsinC，sinAcosC-cosAsinC=-sinA，sin A-C=-

28、sinA，sin A-C=sin-A，所以A-C=-A，故C=2A，所以B正确，A错误；ca=sinCsinA=sin2AsinA=2sinAcosAsinA，因为sinA0，所以ca=2cosA，10又因为0A18002A1800180-3A180，所以0A60，所以12cosA1，即12cosA2，因此1ca2，故C正确；因为S=12absinC=c24，结合正弦定理12sinAsinBsinC=14sin2C，即sinAsinB=12sinC，则sinAsin 180-3A=12sin2A,sinAsin3A=12sin2A,sinAsin3A=sinAcosA，sin3A=cosA，s

29、in3A=sin A+90则3A+A+90=180，或3A=A+90，故A=22.5或A=45，故C=45或C=90，故D错误.故选：BC.23(20222022春 江苏泰州 高一统考期末)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c若b=6，c=2，3sinA3+cosA3=2cosC，则下列说法正确的有()A.A+3C=B.sinC=64C.a=2D.SABC=154【答案】AD【分析】利用三角恒等变换可得出cosC=cos3-A3，结合余弦函数的单调性可判断A选项；利用正弦定理、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用正弦定理可判断C选项；利用三角形的面积公式可判

30、断D选项.【详解】因为2cosC=2 cosA3cos3+sin3sinA3=2cos3-A3，即cosC=cos3-A3，因为0A，0C，则03-A33且余弦函数y=cosx在 0,上递减，所以，C=3-A3，所以，A+3C=，A对；因为A+3C=A+B+C，则B=2C，所以，02C，可得0CB，则sinAsinBB.若a=2，b=5，B=3，则该三角形有两解C.若acosA=bcosB，则ABC一定为等腰三角形D.若sin2Csin2A+sin2B，则ABC一定为钝角三角形【答案】AD【分析】对A，根据正弦定理判断即可；12对B，根据正弦定理求解sinA判断即可；对C，根据正弦定理结合正弦

31、函数的取值判断即可；对D，根据正弦定理边角互化，再根据余弦定理判断即可【详解】对A，由三角形的性质，当AB时，ab，又由正弦定理asinA=bsinB0，故sinAsinB，故A正确；对B，由正弦定理asinA=bsinB，故2sinA=532，故sinA=155，因为ab，故Aa2+b2，又余弦定理cosC=a2+b2-c22absinB，则ABB.若a2+b2-c20，则ABC是锐角三角形C.若acosB+bcosA=a，则ABC是等腰三角形D.若asinA=bcosB=ccosC，则ABC是等边三角形【答案】AC【分析】A由正弦定理及大边对大角判断；B由余弦定理知C为锐角；C正弦边角关系

32、及三角形内角和性质得A=C；D由正弦定理及三角形内角性质得B=C=45.【详解】A：由sinAsinB及正弦定理知：ab，根据大边对大角有AB，正确；B：由余弦定理cosC=a2+b2-c22ab0，只能说明C为锐角，但不能确定ABC是锐角三角形，错误；C：sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=sinA，则a=c，故ABC是等腰三角形，正确；D：由asinA=bcosB=ccosC=bsinB=csinC，则sinB=cosB,sinC=cosC，且0A,B,C，故B=C=45，即ABC是等腰直角三角形，错误.故选：AC27(20222022春 江苏苏州 高一江苏省昆

33、山中学校考期末)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是()A.c=acosB+bcosAB.若acosA=bcosB，则ABC为等腰或直角三角形C.若a2tanB=b2tanA，则a=bD.若a3+b3=c3，则ABC为锐角三角形【答案】ABD【分析】由余弦定理判断A，利用正弦定理和正弦函数性质判断B，由正弦定理，切化弦及正弦函数性13质判断C，由余弦定理判断D【详解】解：由余弦定理acosB+bcosA=aa2+c2-b22ac+bb2+c2-a22bc=c，A正确；acosA=bcosB，由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B

34、，A,B是三角形内角，所以2A=2B或2A+2B=，即A=B或A+B=2，三角形为等腰三角形或直角三角形，B正确；由a2tanB=b2tanA得sin2AsinBcosB=sin2BsinAcosA，sin2A=sin2B，同上得a=b或a2+b2=c2，C错；若a3+b3=c3，所以ac3+bc3=1，因此0ac1,0bcac3+bc3=1，即a2+b2c2，cosC=a2+b2-c22ab0，C(0,)，所以C为锐角，显然c边最大，C角最大，所以ABC为锐角三角形，D正确故选：ABD28(20222022春 江苏苏州 高一校考期末)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，下列说法

35、正确的是()A.若acosA=bcosB，则ABC是等腰三角形B.若AB=2 2,B=45,AC=3，则满足条件的三角形有且只有一个C.若ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCD.若AB BC 0，则ABC为钝角三角形【答案】BC【分析】对于A利用正弦边角关系及三角形内角性质可得A=B或A+B=2判断；对于B应用余弦定理求BC即可判断；对于C由三角形内角性质及和角正切公式判断对于D由向量数量积定义判断；【详解】对于A：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，则sin2A=sin2B，则ABC中A=B或A+B=2，故A错误；对于B：由cosB=AB

36、2+BC2-AC22ABBC=BC2-14 2BC=22，则BC2-4BC-1=0，可得BC=25，故BC=2+5，满足条件的三角形有一个，故B正确；对于C：由ABC不是直角三角形且A=-(B+C)，则tanA=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC，所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故C正确；对于D:AB BC=|AB|BC|cos(-B)=-|AB|BC|cosB0，B为锐角，故ABC不一定为钝角三角形，故D错误；故选：BC三、填空题三、填空题29(20222022春 江苏连云港 高一统考期末)曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位

37、置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB按顺时针方向旋转角时，P和Q之间的距离是xcm，若OA=3cm，AP=7cm，=120，则x的值是14【答案】5【分析】根据余弦定理解决实际问题，直接计算即可.【详解】如下图，在APO中，由余弦定理可知49=OP2+9-23OPcosAOPOP=5cm，另外，由图可知，在点A与点B重合时，OQ=AP+OA=10cm,PQ=OQ-OP=10-5=5cm,故答案为：530(20222022春 江苏南京 高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)若A船的航行速度为40nmile/

38、h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45的方向上，则此时A，B两船相距nmile【答案】20 2【分析】利用正弦定理求AB的长度即可.【详解】由题设，CA=40 nmile且ABC=135，15正弦定理有ABsinBCA=CAsinABC，则ABsin30=40sin135，可得AB=20 2 nmile.故答案为：20 231(20222022春 江苏无锡 高一统考期末)ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知C=60，a=1，c=7，则b=.【答案】3【分析】利用余弦定理求解即可【详解】因为在ABC中，C=60，a=1，c=7，所以由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos

39、C，所以7=1+b2-2bcos60，b2-b-6=0，(b+2)(b-3)=0，得b=-2(舍去)，或b=3，故答案为：332(20222022春 江苏扬州 高一期末)后汉书张衡传：“阳嘉元年，复造候风地动仪以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形中有都柱，傍行八道，施关发机外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之振声激扬，伺者因此觉知虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在验之以事，合契若神”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75方向，

40、若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B地km【答案】60 3+60【分析】由题意作图后由正弦定理求解【详解】作图如下，由题意得A=75，B=60，C=45，AB=120，故BCsinA=ABsinC，BC=120sin45sin75，而sin75=sin(45+30)=6+24，得BC=60 3+60故答案为：60 3+601633(20222022春 江苏泰州 高一统考期末)如图所示，该图由三个全等的BAD、ACF、CBE构成，其中DEF和ABC都为等边三角形.若DF=2，DAB=12，则AB=.【答案】6+2#2+6【分析】设AF=BD=x，在AB

41、D中，利用正弦定理求出x的值，再利用正弦定理可求得AB的长.【详解】由已知ABDCAF，所以，AF=BD，设AF=x，在ABD中，ADB=23，BAD=12，则ABD=4，sinBAD=sin12=sin3-4=sin3cos4-cos3sin4=6-24，由正弦定理BDsin12=ADsin4，即x6-24=x+222，解得BD=AF=x=2 33，由正弦定理BDsin12=ABsin23得AB=BDsin23sin12=2 33326-24=6+2.故答案为：6+2.34(20222022春 江苏常州 高一统考期末)在ABC中，AB=2 2，BC=3，B=45，点D在边BC上，且cosAD

42、C=1717，则tanDAC的值为.【答案】67【分析】首先由余弦定理求出b，再求出sinADC，由正弦定理求出AD，再由余弦定理求出BD，最后在ADC中由正弦定理求出sinDAC，最后由同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为AB=2 2，BC=3，B=45，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，即b2=9+8-232 2 22=5，所以b=5，因为cosADC=1717，所以sinADC=1-cos2ADC=4 1717，17所以sinADB=sin-ADC=sinADC=4 1717由正弦定理ABsinADB=ADsinB，所以AD=172，再由余弦定理AD2=BD2+AB

43、2-2ABBDcosB，即4BD2-16BD+15=0，解得BD=32或BD=52，又BC=3，ADC 0,2，所以BD=32，则DC=32，在ADC中由正弦定理ACsinADC=DCsinDAC，即54 1717=32sinDAC，所以sinDAC=6 8585，又ADDC，所以cosDAC=1-sin2DAC=7 8585，所以tanDAC=sinDACcosDAC=67；故答案为：6735(20222022春 江苏南通 高一统考期末)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=6，b=2，要使ABC为钝角三角形，则c的大小可取(取整数值，答案不唯一)【答案】5(填7也对，答案

44、不唯一)【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出4c8，再分别讨论a和c为钝角时，边c的取值范围，根据题意即可得到答案.【详解】首先由a，b，c构成三角形有4=a-bca2+b2=40，c40，若a为钝角所对边，有36=a2b2+c2=4+c2，c32，由ba，b不可能为钝角所对边，综上，c的取值范围是 4，3240,8,由题意，c取整数值，故c的大小可取5或7.故答案为：5(填7也对，答案不唯一).36(20222022春 江苏南京 高一南京市中华中学校考期末)拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等

45、边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若BAC=30,DF=4，利用拿破仑定理可求得AB+AC的最大值为【答案】4 6【分析】结合拿破仑定理求得AD,AF，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB+AC的最大值.【详解】设BC=a，AC=b，AB=c，如图，连接AF，BD，AD由拿破仑定理知，DEF为等边三角形因为D为等边三角形的中心，所以在DAB中，AD=12ABsin60=c3，同理AF=b318又BAC=30,CAF=30,BAD=30，所以DAF=BAD+BAC+CAF=90在ADF中，由勾股定理可得DF2=AD2+AF2，即16=c23+b23，化简得 b+c2=2bc+48，由基本不等式得 b+c22b+c22+48，解得b+c4 6(当且仅当b=c=2 6 时取等号)，所以 AB+ACmin=4 6故答案为：4 619