2024届高考数学数列进阶训练——（5）数列的综合应用.pdf

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1、2024 届高考数学数列进阶训练届高考数学数列进阶训练（5）数列的综合应用）数列的综合应用1.现存入银行 8万元，年利率为2.50%，若采用 1年期自动转存业务，则 5年末的本利和是()A.38 1.025万元B.48 1.025万元C.58 1.025万元D.68 1.025万元2.某公司今年获利 5000万元，如果以后每年的利润都比上一年增加10%，那么总利润达 3 亿元时大约还需要()(参考数据:lg1.010.004，lg1.060.025，lg1.10.04，lg1.60.20)A.4 年B.7 年C.12年D.50年3.某企业在 2013年年初贷款 M万元，年利率为 m，从该年年末

2、开始，每年偿还的金额都是 a 万元，并恰好在 10 年间还清，则 a 的值为()A.1010(1)(1)1MmmB.10(1)MmmC.1010(1)(1)1MmmmD.1010(1)(1)1Mmmm4.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2个，现在有 1个这种细菌和 200 个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A.6 秒钟B.7 秒钟C.8秒钟D.9秒钟5.某种细胞开始有 2个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1个，2小时后分裂成 6个并死去1 个，3 小时后分裂成 10个并死去 1个，按此规律进行下去，6小时后细胞的存活数是()A.33B.64C.

3、65D.1276.通过测量知道，某电子元件每降低6 C，某电子元件的电子数目就减少一半，已知在零下34 C时，该电子元件的电子数目为 3个，则在室温26 C时.该元件的电子数目最接近()A.860 个B.1730 个C.3400个D.3900个7.已知数列 na满足12nnaa，若不等式21233naaaL成立，则 n的最大值为()A.6B.7C.8D.98.某小区现有住房的面积为a平方米，在改造过程中政府决定每年拆除b平方米旧住房，同时按当年住房面积的 10%建设新住房，则n年后该小区的住房面积为()A.1.1nanbB.1.1101.11nnabC.(1.11)na D.()1.1nab9

4、.已知数列 na的通项公式3log1nnan，设其前 n项和为nS，则使4nS 成立的最小正整数 n 等于()A.83B.82C.81D.8010.已知数列 na的前n项和为nS，且*(21)2nnSanN.记1,nnnnba aT为数列 nb的前n项和，则使63 264nT 成立的最小正整数为()A.5B.6C.7D.811.银行一年定期储蓄存款年利率为 r，三年定期储蓄存款年利率为 q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么 q的值应略大于_.12.在数列 na中，11a，*12,nnaan nnN.若不等式11nnna对任意的*nN恒成立，则实数的取值范围是_.13.已知数列

5、 na的前n项和为1,2nSa，且1121122nnaaaa，则na _；若10ma，则m的最小值为_.14.已知数列 ,nnab，且11111,1,2nnnnnabaabb，则nb _；设21nnnbca，则nc的最小值为_.15.对于数列 na，定义11222nnnanAaa为数列 na的“好数”.已知某数列 na的“好数”12nnA，记数列nakn的前 n项和为nS，若6nSS对任意的*nN恒成立，则实数 k的取值范围为_.答案以及解析答案以及解析1.答案：C解析：定期自动转存属于复利问题，5年末的本利和是558(12.50%)8 1.025 万元.2.答案：A解析：根据题意，每年的利润

6、构成一个等比数列 na，其中首项15000a，公比1 10%1.1q ，30000nS.于是得到5000 1 1.1300001 1.1n，整理，得1.11.6n，两边取对数得lg1.1lg1.6n，解得lg1.65lg1.1n，故还需要 4年.3.答案：C解析：由已知条件和分期付款公式，可得9810(1)(1)(1)1(1)ammmMm，1010(1)(1)1Mmmam.4.答案：C解析：根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数构成等比数列.设细菌将病毒全部杀死需要n nN秒钟，则23112222200n，1220012n，2201n，又,8nnN，即细菌将病毒全部杀死至少需要 8秒钟，故选 C.5

7、.答案：C解析：由112212 2112nnnnaaa 211021222221nnna，得76622a 165.6.答案：C解析：由题设知，该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且13a，公比2q.由26(34)60，60106，得10113 23072a .故选 C.7.答案：B解析：由于12nnaa，故 na是公差2d 的等差数列，其前 n项和1(1)2nn nSnad，故2221211133naaannanaaL，即2211(1)33 0anann.要求21233naaaL成立时整数 n的最大值，则此不等式对应一元二次方程的判别式22(1)4330nnn，即232133 0,(7

8、)(319)0nnnn，又*nN，则17n，故 n 的最大值为 7.8.答案：B解析：由题意，第一年的住房面积为11.1aab，第二年的住房面积为2211.11.11.1,aababbL，则11.1nnaab.设存在实数m，使得11.1nnamam，则10mb，10nab是首项为110ab，公比为 1.1的等比数列，则1110101.1(10)1.1nnnababab，1.1101.11nnnaab.故选 B.9.答案：C解析：由题，易得33loglog(1)nann，故3333log 1log 2log 2log 3nS 333loglog(1)log(1)4nnn L，解得43180n ，

9、故选 C.10.答案：C解析：由(21)2nnSa，可知11(21)2nnSa，11(21)0nnnnSSaa，即12nnaa.1n Q时，11(21)2aa，11a，0na，122nnaa.数列 na是以 1为首项，以22为公比的等比数列.2112212122nnnnnnnnbaaaba aa.又11222ba a，数列 nb是以22为首项，以12为公比的等比数列.21122112nnT12 12n.63 264nT Q，1631264n，即61112642n，6n.又*,nnN的最小值为 7.故选 C.11.答案：31(1)13r解析：设本金为 1，按一年定期存款，到期自动转存，三年总收益

10、为3(1)1r；若按三年定期存款，三年的总收益为3q，为鼓励储户存三年定期的存款，应使33(1)1qr，即31(1)13qr.12.答案：2,)解析：2n 时，1nnaan，即1nnaan，112211nnnnnaaaaaaaa(1)(1)212n nnn.又1n 时，11a 也符合上式，(1)2nn na.不等式11nnna化为221(1)n n，2221(1)n n，2.13.答案：2log 21n；256解析：将12a 代入1121122nnaaaa，整理得111222nnaa，又1122a，所以数列12na 是首项为 2，公差为 2的等差数列，所以122(1)22nann，所以2log

11、 21nan.由10ma，得2log 2110m ，解得256m，故m的最小值为 256.14.答案：21n；89解析：由题意可得111,2nnnnnaabb.由111,1nnaaa得nan，由11b 及12nnnbb运用累加法得21nnb，所以22nncn，所以211222221 222(1)(1)nnnnnnnccnnn n，所以当1,2n 时，10nncc，当3n 时，10nncc，则有12345cccccL，所以nc的最小值为389c.15.答案：16 7,73解析：由题意，得1112222nnnnaaaAn，即1112222nnnaaan，则当2n 时，212122(1)2nnnaa

12、an，-得1122(1)2(1)2nnnnnannn，所以2(1)nan.又1141aA，即14a，满足上式，故数列 na的通项公式为2(1)nan，所以(2)2naknk n，显然数列nakn为等差数列，故6nSS对任意的*nN恒成立660ak，770ak，即6(2)207(2)20kk，解得16773k，故实数 k的取值范围为16 7,73.2024 届高考数学数列进阶训练届高考数学数列进阶训练（6）等差数列与等比数列的综合应用）等差数列与等比数列的综合应用1.已知正项数列 na与 nb分别是等差数列与等比数列，且满足1133541,1,1ababab，则数列 nb的前 8项和为()A.1

13、27B.128C.255D.2562.已知等比数列 na和等差数列,nbnN，满足11233532,0,24abaab ab，则6102ab()A.2B.1C.4D.63.在等差数列 na和正项等比数列 nb中，10115ab，3716bb，则 na的前 2021项和为()A.2021B.4042C.6063D.80844.已知数列 na是等差数列，nb是正项等比数列，且1324355461,2,2bbbbaa baa，则20199ab()A.2025B.2529C.2026D.22755.已知数列 na中，13nnaS，则下列关于 na的说法正确的是()A.一定为等差数列B.一定为等比数列C

14、.可能为等差数列，但不会为等比数列D.可能为等比数列，但不会为等差数列6.已知等差数列 na的前n项和为nS，且640,14aS.将2345,a a a a去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列 nb的前三项，则数列nna b的通项公式为nna b()A.262nnB.2(6)2nnC.3(6)2nnD.362nn7.已知等差数列 na的公差0d，前 n项和为nS，等比数列 nb的公比 q是正整数，前n 项和为nT.若211,ad bd，且222123123aaabbb是正整数，则298ST()A.4517B.13517C.9017D.270178.已知等差数列na的前 n项和23nS

15、nan，等比数列 nb的前 n项和2()nnTa aR，则数列nnab的前 9项和为()A.14B.14C.794D.7749.在公比 q为整数的等比数列 na中，nS是数列 na的前 n项和.若1432aa，2312aa，则下列说法中，正确的是()数列na是等比数列；34a；数列2nS 是等比数列；数列2logna是等差数列A.B.C.D.10.（多选）已知数列na是各项均为正数的等比数列，nb是公差不为 0的等差数列，且2288,ab ab，则()A.55abB.55abC.44abD.66ab11.（多选）已知数列 na为等差数列，首项为 1，公差为 2，数列 nb为等比数列，首项为 1

16、，公比为 2，设nnbca，nT为数列 nc的前 n项和，则当2020nT 时，n的取值可以是()A.8B.9C.10D.1112.（多选）已知数列 na的前 n项和为nS，22nnSa，若存在两项ma，na，使得64mna a，则下列结论中正确的是()A.数列 na为等比数列B.数列 na为等差数列C.mn为定值D.设数列 nb的前 n项和为nT，2lognnba，则数列nTn为等差数列13.已知等差数列 na的公差0d，且1a，3a，9a成等比数列，则1392410aaaaaa_.14.已知等比数列 na的前 n项和为2468,170nSaaaa，8255S，设23lognnba，那么数列

17、 nb的前 21项和为_.15.在等差数列 na中，30a.如果ka是6a与6ka的等比中项，那么k _.16.在等差数列 na中，1612aa，2716aa.（1）求数列 na的通项公式；（2）已知数列nnab是首项为 2，公比为-2 的等比数列，求数列 nb的前 n项和nS.17.已知在等差数列 na中，134aa，43a，nb是各项都为正数的等比数列，1113ba，3141b a.求：（1）数列 na，nb的通项公式；（2）数列nna b的前 n项和nT.18.设 na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab.（1）求 na，nb的通项公式；（2

18、）求数列nnab的前 n项和nS.答案以及解析答案以及解析1.答案：C解析：设 na的公差为0d d，nb的公比为0,0q qq，由题意得23121,141dqdq，解得2q，所以数列 nb的前 8项和为81225512.故选 C.2.答案：D解析：设等比数列 na的公比和等差数列 nb的公差分别为,q d.因为122,0aa，所以0q.由题意得2222qd，又42(22)24qd，解得2,3qd，所以2,31nnnabn，所以6610222(3 10 1)64586ab，故选 D.3.答案：D解析：在正项等比数列 nb中，237516bbb，解得54b，即10114a，所以数列 na的前 2

19、021 项和12021202110112021202180842aaSa，故选 D.4.答案：D解析：设数列 nb的公比为(0)q q，1321,2bbbQ，1q且2112bqbq，即22qq，解得1q （舍）或2q，12nnb.Q数列 na是等差数列，公差设为 d，344355462,22baabaa，344464622,22,4,6aaaaa.由642aad，得1d，由615aa，得11,naan.820199201922275ab，故选 D.5.答案：C解析：13nnaS，13nnnSSS，14nnSS.若10S，则数列 na为等差数列；若10S，则数列 nS是首项为1S，公比为 4的等

20、比数列，114nnSS，此时21134(2)nnnnaSSSn，即数列 na从第二项起，后面的项成等比数列.综上，数列 na可能为等差数列，但不会为等比数列.故选 C.6.答案：D解析：设等差数列 na的公差为 d，由题意可得1150,43414,2adad解得15,1,ad 故6nan，数列 na的第 2项至第 5项依次为 4，3，2，1，所以等比数列 nb的前三项依次为 4，2，1，所以等比数列 nb的通项公式为312nnb，所以362nnnna b，选 D.7.答案：B解析：本题考查等差、等比数列的定义，等差、等比数列的前 n项和.Q数列 na是以d 为公差的等差数列，且123,2,3.

21、adad ad又数列 nb是公比为 q的等比数列，且2222123,bdbd q bd q2222*21232221231414,1111aaadqqbbbqqdqq N或 2或 7或 14.又 q 是正整数,2.q2229228a9 8920251352.2551712ddSdTdd故选 B.8.答案：C解析：由等比数列 nb的前 n项和nnTmqm(其中1,01bmqq且1q)，得1a，从而23,21nnnSnn T，易得162,2nnnanb，所以11621(62)()22nnnnannb，设数列nnab的前 n项和为nZ，则1(1220)()202nnZn，所以前 9项和9794Z 9

22、.答案：C解析：由题意，na为等比数列，1432aa，2312aa，由等比数列的性质得2314233212aaaaaa，22(12)32aa，22212320aa，2348aa或2384aa，又公比 q 为整数，2348aa，12148a qa q，12a，2q，112nnnaa q，11(1)221nnnaqSq，数列na，2(2)nnna，11(2)2(2)nnnnaa，且120a，因此数列na为等比数列，故正确；3328a，故不正确；数列2nS，122nnS，1122222nnnnSS，且1240S，因此数列2nS 为等比数列，故正确；数列2logna，2lognan，221loglog

23、1nnaa，因此数列2logna为等差数列，故正确.故选 C.10.答案：BC解析：设na的公比为(0)q q，nb的公差为(0)d d，111nnnaaa qqq，11(1)nbbndbdnd，将其分别理解成关于 n类(指数函数指数函数的图象为下凹曲线)和一次函数(一次函数的图象为直线)，则俩函数图象在2,8nn处相交，故nnab(37)n，从而445566,ab ab ab11.答案：AB解析：由题意，得12(1)21nann，12nnb，122121nnnnbca，则数列 nc为递增数列，其前 n项和121nT 23212121n12312 1222222212nnnnnn，当9n 时，

24、10132020nT；当10n 时，20362020nT，故 n的取值可以是 8，9，故选 AB.12.答案：ACD解析：数列 na的前 n项和为nS，22nnSa，则当1n 时，11122aSa，解得12a；当2n 时，1122nnSa，所以1122nnnnnaSSaa，整理，得12nnaa，即12nnaa（常数），所以数列 na是以 2为首项，2为公比的等比数列，所以12 22nnna，当1n 时也符合，所以2nna，故 A正确，B 错误；由于2nna，故存在两项ma，na，使得64mna a，即622m n，则6mn，故 C 正确；由题意，得2lognnban，所以(1)1232nn n

25、Tn，所以111222nTnnn符合一次函数的形式，故该数列为等差数列，故 D正确.故选 ACD.13.答案：1316解析：因为1a，3a，9a成等比数列，所以2193a aa，所以211182aadad，0d，化简，得1ad，则1(1)naandnd，所以13924103913241016aaadddaaaddd.14.答案：273解析：设等比数列 na的公比为(0)q q，由题意得135782468255 17085aaaaSaaaa，所以24681357170285aaaaqaaaa，所以12468511aqqq，则1112nnnaa q，所以1223log3log 22nnnban，则

26、数列 nb是首项为 3，公差为 1的等差数列，所以2121 2021 312732S.15.答案：9解析：设等差数列 na的公差为 d，由题意得3120aad，12ad.又ka是6a与6ka的等比中项，266kkaa a，即2111(1)5(5)akdadakd，2(3)3(3)kddkd，解得9k 或0k（舍去）.16.答案：（1）设数列 na的公差为 d，则112512,2716,adad解得11,2,ad所以1(1)21naandn.（2）因为数列nnab是首项为 2，公比为-2 的等比数列，所以12(2)(2)nnnnab .又21nan，所以(21)(2)nnbn ，所以23135(

27、21)222(2)nnSn 12221(2)2(2)1(2)3nnnn .17.答案：（1）由134aa，得224a，即22a，所以等差数列 na的公差42122aad，则数列 na的通项公式为211(2)2(2)122naandnn.设等比数列 nb的公比为(0)q q，所以1111313322ba，由3141b a，得381b，即318b，所以等比数列 nb的公比12q，所以数列 nb的通项公式为12nnb.（2）11121222nnnnna bn ，则234134522222nnnT，34121341222222nnnnnT，-，得3123412211113111232221222222

28、4212nnnnnnnT12231124144222nnnnn，故1422nnnT.18.（1）答案：21nan，12nnb解析：设 na的公差为 d，nb的公比为 q，则依题意有0q 且421221,1413,dqdq 解得2d，2q.所以1(1)21nandn，112nnnbq.（2）答案：12362nnnS解析：11211(21)22nnnnannb.122111111 35(23)(21)2222nnnSnn ，123111111135(23)(21)222222nnnSnn ，得122111111112(21)222222nnnnSn 2211111211222222nnnn 11121211212nnn，所以12362nnnS.