2024年高考数学专项教材上的仿射变换背景及应用（解析版）.pdf

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1、1教材上的仿射变换背景及应用教材上的仿射变换背景及应用一引例一引例(人教A版选择性必修第一册 第115页“综合应用”第9题)如图，DPx轴，垂足为 D，点M在DP的延长线上，且|DM|DP|=32，当点P在圆x2+y2=4上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状二知识与方法二知识与方法在椭圆x2a2+y2b2=1 ab0中，我们运用坐标变换x=xy=aby，则可以得到圆x2+y2=a2，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来解决，从而使得问题简化，上述变换过程有如下对应关系：项目变换前变换后点的坐标P x0,y0Px0,aby0直线的斜率kk=abk图形的面积S

2、S=abS点与点的位置关系AB中点为MAB中点为M线与线的位置关系直线m和直线n相交直线m和直线n相交直线m和直线n平行直线m和直线n平行点与线的位置关系点A在直线l上点A在直线l上点A不在直线l上点A不在直线l上等倾斜程度线段长的关系ABAC=ABAC=总之，经过仿射变换，绝对量(如坐标、面积、斜率、线段的长等)都发生了变化，相对量(如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等)却没有发生变化.提醒：仿射变换常用于解决面积问题(尤其是一个顶点为原点的三角形面积)、斜率问题、共线线段比例问题等；需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具

3、体问题中2024年高考数学专项教材上的仿射变换背景及应用（解析版）2如何操作.三更多案例三更多案例1 1(2023届合肥一模)已知曲线C：x2+y2=2，从曲线C上的任意点P x,y作压缩变换x=xy=y2 得到点Px,y(1)求点Px,y所在的曲线E的方程；(2)设过点F-1,0的直线l交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线x=-2的位置关系，并写出分析过程2 2在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=4经过伸缩变换:x=xy=12y 后，得到曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，连接BO并延长与曲线C相交于点D，且 AD=2.求ABD面积的最

4、大值.33 3(2023届广东省一模)已知点A，点B和点C为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上不同的三个点.当点A，点B和点C为椭圆的顶点时，ABC恰好是边长为2的等边三角形.(1)求椭圆C标准方程；(2)若O为原点，且满足OA+OB+OC=0，求ABC的面积.4 4(23届南京盐城一模)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率2，直线l1:y=2x+4 3 与双曲线C仅有一个公共点.(1)求双曲线C的方程；(2)设双曲线 C 的左顶点为 A，直线 l2平行于 l1，且交双曲线于 M,N 两点，求证：AMN 的垂心在双曲线C上.下证：若ABC的顶点在反比例函数xy=m的

5、图像上，则ABC的垂心也在反比例函数的图像上.45 5设直线l与椭圆相交于A、B两点，则AOB的面积的最大值为.6 6已知椭圆C:x24+y2=1的左右顶点为A、B，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则直线PA、PB的斜率之积为.7 7已知过点M12,12的直线l与椭圆C:x24+y22=1交于A、B两点，若M恰好为AB的中点，则直线l的方程为.8 8已知椭圆C:x22+y2=1的A、B两点满足直线OA、OB的斜率之积为-12，其中O为原点，点P在射线OA上，且 OP=2 OA，若PB与椭圆交于另一点Q，则BPBQ=.5四：强化训练四：强化训练1已知椭圆C:x24+y2=1的右顶点为A，上顶点

6、为B，直线y=kx k0与椭圆C交于M、N两点，则四边形AMBN的面积的最大值是.2已知椭圆C:x23+y2=1的左、右顶点分别为A和B，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，过原点O作PA、PB的平行线与椭圆C交于M、N两点，则MON的面积为.3已知椭圆C:x22+y2=1上有点P22,32，过P作两条倾斜角互补的直线交椭圆C于另外两点M、N，则直线MN的斜率为.4已知A、B、C是椭圆E:x22+y2=1上的三个动点，则ABC的面积的最大值为.5设A、B两点在椭圆C:x22+y2=1上，且AB的中点为Q22,12，若椭圆C外的点P满足PA、PB的中点都在椭圆C上，则直线OP的斜率为.6已知直线l

7、:x+2y-2=0与椭圆C:x22+y2=1相交于点T，O为原点，平行于OT的直线l与直线l相交于点P，与椭圆C相交于A、B两点，若 PT2=PA PB，则=.1教材上的仿射变换背景及应用教材上的仿射变换背景及应用一引例一引例(人教A版选择性必修第一册 第115页“综合应用”第9题)如图，DPx轴，垂足为 D，点M在DP的延长线上，且|DM|DP|=32，当点P在圆x2+y2=4上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状解析：设点M的坐标为 x,y，点P x0,y0，由题意可知y00，则由题可得x=x0y=32y0，即x0=xy0=23y，点P在圆x2+y2=4上运动，x2+23y2=4,(

8、y0)，即点M的轨迹方程为x24+y29=1,(y0)，点M的轨迹为椭圆，除去与x轴的交点这个问题就是用仿射变换把圆变换为椭圆二知识与方法二知识与方法在椭圆x2a2+y2b2=1 ab0中，我们运用坐标变换x=xy=aby，则可以得到圆x2+y2=a2，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来解决，从而使得问题简化，上述变换过程有如下对应关系：项目变换前变换后点的坐标P x0,y0Px0,aby0直线的斜率kk=abk图形的面积SS=abS点与点的位置关系AB中点为MAB中点为M线与线的位置关系直线m和直线n相交直线m和直线n相交直线m和直线n平行直线m和直线n平行点

9、与线的位置关系点A在直线l上点A在直线l上点A不在直线l上点A不在直线l上等倾斜程度线段长的关系ABAC=ABAC=总之，经过仿射变换，绝对量(如坐标、面积、斜率、线段的长等)都发生了变化，相对量(如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等)却没有发生变化.提醒：2仿射变换常用于解决面积问题(尤其是一个顶点为原点的三角形面积)、斜率问题、共线线段比例问题等；需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中如何操作.三更多案例三更多案例1 1(2023届合肥一模)已知曲线C：x2+y2=2，从曲线C上的任意点P x,y作压缩变换x=x

10、y=y2 得到点Px,y(1)求点Px,y所在的曲线E的方程；(2)设过点F-1,0的直线l交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线x=-2的位置关系，并写出分析过程解析：解析：(1)由x=xy=y2 得x=xy=2y，代入x2+y2=2得x22+y2=1，曲线E的方程为x22+y2=1(2)由题知，当直线l的斜率存在时，设l：y=k x+1，由x22+y2=1y=k x+1 消去y整理得，1+2k2x2+4k2x+2k2-2=0设A x1,y1，B x2,y2，则x1+x2=-4k21+2k2x1x2=2k2-21+2k2，以AB为直径的圆的圆心横坐标为-2k21+2k2又 AB=

11、1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k2-4k21+2k22-42k2-21+2k2=2 2 1+k21+2k2，以AB为直径的圆的半径为R=2 1+k21+2k2，圆心到直线x=-2的距离为d=2-2k21+2k2=2k2+21+2k2，d-R=2k2+21+2k2-2 1+k21+2k2=2-21+k21+2k20，即dR，以AB为直径的圆与直线x=-2相离当直线l的斜率不存在时，易知以AB为直径的圆的半径为22，圆的方程是 x+12+y2=12，该圆与直线x=-2相离综上可知，以AB为直径的圆与直线x=-2相离2 2在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=4经过

12、伸缩变换:x=xy=12y 后，得到曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，连接BO并延长与曲线C相交于点D，且 AD=2.求ABD面积的最大值.解析：解析：(1)设圆x2+y2=4上任意一点M x,y经过伸缩变换:x=xy=12y 得到对应点Mx,y.将x=x，y=2y代入x2+y2=4，得x2+2y2=4，化简得x24+y2=1.曲线C的方程为x24+y2=1；3(2)ABD面积得最大值为2.3 3(2023届广东省一模)已知点A，点B和点C为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上不同的三个点.当点A，点B和点C为椭圆的顶点时，ABC恰好是边长为2的等边三

13、角形.(1)求椭圆C标准方程；(2)若O为原点，且满足OA+OB+OC=0，求ABC的面积.解析解析1 1：(仿射变换)考虑变换:x=xy=aby，则在的作用下椭圆x2a2+y2b2=1对应圆x2+y2=a2，则在压缩变换下，xOy平面对应封闭图形面积S是原来xOy平面上封闭图形面积S的ab倍，即S=abS设点A,B,C分别对应点A,B,C,由O为ABC的重心，又O为ABC的外心，从而ABC为正三角形易得圆x2+y2=a2的内接正三角形的面积为定值SPAB=3 34a2SPABSPAB=ab从而SPAB=baSPAB=3 34ab为定值一般地，已知 ABC 是椭圆x2a2+y2b2=1(a b

14、 0)的内接三角形，若其重心恰为椭圆的中心 O，那么ABC的面积为定值，即SABC=3 34ab4 4(23届南京盐城一模)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率2，直线l1:y=2x+4 3 与双曲线C仅有一个公共点.(1)求双曲线C的方程；(2)设双曲线 C 的左顶点为 A，直线 l2平行于 l1，且交双曲线于 M,N 两点，求证：AMN 的垂心在双曲线C上.下证：若ABC的顶点在反比例函数xy=m的图像上，则ABC的垂心也在反比例函数的图像上.证明：由于点A、B在反比例函数xy=m(m0)的图像上，所以xAyA=m,xByB=m.故yAyB=mxAmxB=m(xBxA)

15、xAxB，则kAB=yAyBxAxB=mxAxB=yAyBm.由于kAB=mxAxB，则过点 C与直线 AB垂直的直线 lC的斜率为xAxBm，所以 lC为.xAxBx-my=xAxBxC-myC同理，过点B且与直线AC垂直的直线lB为xAxCxmy=xAxBxCmyB.联立lB、lC的方程解得xH=m yB-yCxAxB-xC=m2xAxBxC,yH=xAxBxCm2=-m2yAyByC.故xHyH=m，即垂心H也在反比例函数图象上.5 5设直线l与椭圆相交于A、B两点，则AOB的面积的最大值为.解法解法1 1：直接法：直接法当直线l的斜率不存在时，设其方程为x=t-atb0，当且仅当a2-

16、t2=t2，即t=22a时取等号，所以 SAOBmax=ab2当直线l斜率存在时，设其方程为y=kx+m m0，设A x1,y1，B x2,y2，联立y=kx+mx2a2+y2b2=1 消去y整理得：a2k2+b2x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0，判别式=4k2m2a4-4 a2k2+b2a2m2-a2b2=4a2b2a2k2-m2+b2，所以 AB=1+k2 x1-x2=1+k22ab a2k2-m2+b2a2k2+b2，原点O到直线l的距离d=mk2+1，从而SAOB=12ABd=121+k22ab a2k2-m2+b2a2k2+b2mk2+1=aba2k2-m2+b2m2a2k

17、2+b2aba2k2+b2a2k2-m2+b2+m22=ab2当且仅当a2k2-m2+b2=m2时取等号，此时a2k2+b2=2m2，代入知=4a2b2m20，故 SAOBmax=ab2，综上所述，AOB的面积的最大值为ab2.解法解法2 2：仿射变换：仿射变换作变换x=xy=aby，则椭圆C变成圆x2+y2=a2，如图，因为SAOB=12OA OBsinAOB=a22sinAOB，所以当AOB=90时，SAOB取得最大值a22，因为S=abS，所以S=baS，从而SAOB的最大值为a22ba=ab2.6 6已知椭圆C:x24+y2=1的左右顶点为A、B，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则直

18、线PA、PB的斜5率之积为.解法解法1.1.第三定义第三定义本题当然可以利用椭圆的第三定义，快速得出结果为-14，其推导方法是设点P的坐标，运用点P的坐标满足椭圆的方程来化简PA、PB的斜率之积，得出斜率之积为定值，解法解法2.2.仿射变换仿射变换其实也可以用仿射变换来证明这一结果，作变换x=xy=2y，则椭圆C变换成圆O:x2+y2=4，如图，在圆O中，显然AB是直径，所以PAPB，从而kPAkPB=-1，又kPA=2kPA，kPB=2kPB，所以kPAkPB=4kPAkPB=-1，故kPAkPB=-14.7 7已知过点M12,12的直线l与椭圆C:x24+y22=1交于A、B两点，若M恰好

19、为AB的中点，则直线l的方程为.解法解法1 1：点差法：点差法如图1，由中点弦结论，kOMkAB=-12，而kOM=1，所以kAB=-12，从而直线l的方程为y-12=-12x-12，即2x+4y-3=0解法解法2 2：仿射变换：仿射变换作变换x=xy=2y，则椭圆C变换成圆O:x2+y2=4，如图2，在圆O中，M仍为 AB中点，所以 OMAB，且 M12,22，所以直线 OM的斜率为2，从而直线AB的斜率为-22，故直线AB的方程为y-22=-22x-12，即22x+y-3 24=0，将x=xy=2y 代入可得22x+2y-3 24=0，即2x+4y-3=0，所以直线AB的方程为2x+4y-

20、3=068 8已知椭圆C:x22+y2=1的A、B两点满足直线OA、OB的斜率之积为-12，其中O为原点，点P在射线OA上，且 OP=2 OA，若PB与椭圆交于另一点Q，则BPBQ=.解析：解析：作变换x=xy=2y，则椭圆C变成圆O:x2+y2=2，如图，则kOA=2kOA，kOB=2kOB，由题意，所以kOA kOB=2kOA kOB=-1，从而 OA OB，显然 OP=2 2，OB=2，OQ=2，所以 PB=OB2+OP2=10，作OGPB于G，则 OG=OP OBPB=2 105，BG=OB2-OG2=105，因为 OB=OQ，所以G为BQ的中点，从而 BQ=2 BG=2 105，故B

21、PBQ=52，所以在变换前的图形中，BPBQ=52.【答案答案】52【反思反思】在椭圆x2a2+y2b2=1 ab0中，若涉及到了两直线的斜率之积为-b2a2，则可以考虑利用仿射变换转化为圆，因为变换后两直线的斜率之积为-1，从而产生了两直线垂直这一良好的几何特征，往往可以使得问题简化.四：强化训练四：强化训练1已知椭圆C:x24+y2=1的右顶点为A，上顶点为B，直线y=kx k0与椭圆C交于M、N两点，则四边形AMBN的面积的最大值是.【解析解析】解法解法 1 1：如图 1，A 0,1，B 2,0，所以 A、B 两点到直线 MN 的距离分别为 d1=1k2+1，d2=2kk2+1，将 y=

22、kx 代入x24+y2=1 化简得：1+4k2x2=4，解得：x=21+4k2，所以 MN=1+k241+4k2，从而四边形AMBN的面积S=12MN d1+d2=121+k241+4k21k2+1+2kk2+1=2 1+2k1+4k2=21+4k+4k21+4k2=21+4k1+4k2=21+41k+4k21+421k4k=2 2，当日仅当1k=4k，即k=12时取等号，所以四边形AMBN的面积的最大值是2 2.7解法解法2 2：作变换x=xy=2y，则椭圆C变成圆O:x2+y2=4，如图2，显然 MN=4，由图可知A和B到直线MN的距离之和在ABMN时取得最大值，且最大值为 AB=2 2，

23、所以四边形AMBN的面积S的最大值为12MN AB=1242 2=4 2因为S=2S，所以四边形AMBN的面积的最大值是2 2.2已知椭圆C:x23+y2=1的左、右顶点分别为A和B，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，过原点O作PA、PB的平行线与椭圆C交于M、N两点，则MON的面积为.【解析解析】解法解法1 1：如图1，由图形的对称性，不妨假设 M在第一象限，N在第二象限，由椭圆的第三定义，kPAkPB=-13，又kOM=kPB，kON=kPA，所以kOMkON=-13，设kOM=k k0，则kON=-13k，联立y=kxx23+y2=1 消去y整理得：1+3k2x2=3，解得：x=31+3

24、k2，所以xM=31+3k2，故yM=3k1+3k2，从而M31+3k2,3k1+3k2，同理可得N-3k3k2+1,13k2+1，所以SMON=1231+3k213k2+1-3k3k2+13k1+3k2=32.解法解法2 2：作变换x=xy=3y，则椭圆C变成圆O:x2+y2=3，如图2，变换前，由椭圆的第三定义，kPAkPB=-13，又kOM=kPB，kON=kPA，所以kOMkON=-13，变换后，kOM=3kOM，kON=3kON，所以kOMkON=3kOMkON=-1，从而OMON，故SMON=123 3=32，又SMON=3SMON，所以SMON=32.83已知椭圆C:x22+y2

25、=1上有点P22,32，过P作两条倾斜角互补的直线交椭圆C于另外两点M、N，则直线MN的斜率为.【解析解析】作变换x=xy=2y，则椭圆 C 变成圆 O:x2+y2=2，如图 1 中，作 PQ x 轴交椭圆 C 于 Q，则在图 2中，PQ x轴，由题意，在图 1 中，MPQ=NPQ，所以在图 2 中，MPQ=NPQ，所以 MQ=NQ，故Q是MN的中点，从而OQMN，在图1中，由对称性可得 Q22,-32，所以在图2中，Q22,-62，从而kOQ=-3，所以kMN=33，又kMN=2kMN，所以kMN=66.4已知A、B、C是椭圆E:x22+y2=1上的三个动点，则ABC的面积的最大值为.【解析

26、解析】作变换x=xy=2y，则椭圆E变成圆O:x2+y2=2，如图，显然当ABC的面积取得最大值时，应有CDAB，且 CD=OD+OC设 OD=d 0d2，则 CD=d+2，AB=2OA2-OD2=2 2-d2所以SABC=12AB CD=122 2-d2 d+2=2-d2 d+2，从而SABC2=2-d2d+22=2-d2+d3=133 2-3d2+d2+d2+d133 2-3d+2+d+2+d+2+d44=274故SABC3 32，当且仅当3 2-3d=2+d时取等号，此时，d=22，所以ABC的面积的最大值为3 32，又SABC=2SABC，所以ABC的面和的最大值为3 64.【答案答案

27、】3 649【反思反思】圆的内接三角形中，正三角形面积最大，等于3 34R2.5设A、B两点在椭圆C:x22+y2=1上，且AB的中点为Q22,12，若椭圆C外的点P满足PA、PB的中点都在椭圆C上，则直线OP的斜率为.【解析】不难发现A为上顶点，B为右顶点，作变换x=xy=2y，则椭圆C变成圆O:x2+y2=2，如图在图2中，Q22,22，且PA和PB的中点都在圆O上，所以点P在AB的中垂线y=x上，显然原点O也在直线y=x上，从而直线OP的斜率为1，因为kOP=2kOP，所以kOP=22.【答案答案】226已知直线l:x+2y-2=0与椭圆C:x22+y2=1相交于点T，O为原点，平行于O

28、T的直线l与直线l相交于点P，与椭圆C相交于A、B两点，若 PT2=PA PB，则=.【解析解析】解法解法1 1：联立x+2y-2=0 x22+y2=1 解得：x=1，y=22，所以T 1,22，直线OT的斜率为22，因为l与直线l平行，所以可设l:x=2y+m，设A x1,y1，B x2,y2，O x0,y0，联立x=2y+mx+2y-2=0 解得：y=2 2-m4，所以y0=2 2-m4，从而 PT=1+-2222-y0=3 22-2 2-m4=64m，故 PT2=38m2PA PB=1+22 y1-y01+22 y2-y0=3y1-2 2-m4y2-2 2-m4，联立x=2y+mx22+

29、y2=1 消去x整理得：4y2+2 2my+m2-2=0,因为y1、y2是方程的两根，所以4y2+2 2my+m2-2=4 y-y1y-y2，在中令y=2 2-m4可得42 2-m216+2 2m2 2-m4+m2-2=42 2-m4-y12 2-m4-y210化简得：2 2-m4-y12 2-m4-y2=m28，从而 PA PB=3m28，所以 PT2=PA PB，故=1.解法解法 2 2：作变换联立x+2y-2=0 x22+y2=1 解得：x=1，y=22，所以 T 1,22，直线 OT 的斜率为22，从而变换后，T1,1，直线OT和直线AB的斜率为1，直线PT的斜率为-1，从而PTPT=1+-222 xP-xT1+-12 xP-xT=32xP-xTxP-xT，又由变换过程知xP=xP，xT=xT，所以PTPT=32，同理可得，PAPA=1+2221+12=32，PBPB=1+2221+12=32，所以 PT2=34PT2，PA PB=34PA PB，从而PT2PA PB=PT2PA PB，在图2中，由切割线定理，PT2=PA PB，所以PT2PA PB=1，故PT2PA PB=1，因为 PT2=PA PB，所以=PT2PA PB=1.【答案答案】1【反思反思】本题改编自2016年四川高考的解析几何大题，可以看到，运用放射变换，问题可以轻松解决.