2024年高考数学专项圆锥曲线在高考压轴题中的考法探究（解析版）.pdf

《2024年高考数学专项圆锥曲线在高考压轴题中的考法探究（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学专项圆锥曲线在高考压轴题中的考法探究（解析版）.pdf（48页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1圆锥曲线在高考压轴题目中的考法探究1.1.题型分类类型一类型一圆锥曲线中的轨迹方程问题1 1 在平面直角坐标系xOy中，点A,B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|=3，动点P满足3OP=2OA+OB(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设圆O:x2+y2=2上任意一点Q处的切线交轨迹C于点M,N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标若不过定点，请说明理由1.方法总结1.曲线方程的定义一般地，如果曲线C与方程F(x,y)=0之间有以下两个关系：曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解；以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点此时，把方程F(x,y)=

2、0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程F(x,y)=0的曲线2.求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略)；(2)设曲线上任意一点的坐标为y=kx；(3)根据曲线上点所适合的条件写出等式；(4)用坐标表示这个等式，并化简；(5)确定化简后的式子中点的范围上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围2024年高考数学专项圆锥曲线在高考压轴题中的考法探究（解析版）23.求轨迹方程的方法：3.13.1定义法：定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中

3、的常数，即可得到轨迹方程。3.23.2直接法：直接法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点 P的坐标(x,y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.33.3代入法代入法(相关点法相关点法)：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出P(x,y)，用(x,y)表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。3.43.4点差法：点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是

4、把弦的两端点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1+x2，y1+y2，x1-x2，y1-y2等关系式，由于弦AB的中点P(x,y)的坐标满足2x=x1+x2，2y=y1+y2且直线AB的斜率为y2-y1x2-x1，由此可求得弦AB中点的轨迹方程.类型二类型二圆锥曲线中的中点弦问题1 1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为2 55，其短轴的一个端点到焦点F1的距离为5(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P为OF1的中点，M为椭圆上一点，过P且平行于OM的直线l与椭圆C相交于A，B两点，是否存在实数，使

5、得|OM|2=PA PB？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由32.方法总结1.相交弦中点(点差法)直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：(1)求中点坐标；(2)求中点轨迹方程；(3)求直线方程；(4)求曲线；中点M(x0,y0)，x0=x1+x22，y0=y1+y222.点差法设直线和曲线的两个交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程，得x12a2+y12b2=1；x22a2+y22b2=1；将两式相减，可得x12x22a2+y12y22b2=0；(x1+x2)(x1x2)a2=(y1+y2)(

6、y1y2)b2；最后整理得：1=a2(y1+y2)(y1y2)b2(x1+x2)(x1x2)1=ka2b2y0 x0同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2(y1+y2)(y1y2)b2(x1+x2)(x1x2)1=ka2b2y0 x0设直线和曲线的两个交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得y12=2px1；y22=2px2；将两式相减，可得(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2)；整理得：y1y2x1x2=2py1+y2类型三类型三圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题1 1已知双曲线T：x2a2-y2b2=1 a0,b0的离心率为2，且过点3,1若抛物线C：y2

7、=2px p0的焦点F与双曲线T的右焦点相同(1)求抛物线C的方程；(2)过点M-2,0且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点(A在M，B之间)，点N满足：NA=6AF，求ABF与AMN面积之和的最小值，并求此时直线l的方程43.方法总结1.弦长公式|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2|AB|=(1+k2)(x1-x2)2=1+k2x1-x2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2(最常用公式，使用频率最高)=1+1k2(y1+y2)2-4y1y22.三角形面积问题直线AB方程：y=kx+md=PH=kx0-y0+m1+k2SABP=12ABd=121+k2Akx0-y0+m1

8、+k2=kx0-y0+m2 A3.焦点三角形的面积直线AB过焦点F2,ABF1的面积为SABF1=12F1F2 y1-y2=c y1-y2=c ASAOB=12|AB|d=12A2+B24a2b2(a2A2+b2B2-C2)a2A2+b2B2|C|A2+B2=ab(a2A2+b2B2-C2)C2a2A2+b2B2注意：A为联立消去x后关于y的一元二次方程的二次项系数4.平行四边形的面积直线AB为y=kx+m1，直线CD为y=kx+m2d=CH=m1-m21+k2AB=1+k2x1-x2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2-BA2-4CA=1+k2ASABCD=ABd=1+k2Am1

9、-m21+k2=m1-m2A注意：A为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的系数.5.范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式a2+b22ab(a,bR)变式：a+b2 ab(a,bR+);aba+b22(a,bR+)作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值5注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：(1)S=2tt2+64=2t+64t(注意分t=0,t0,t0)的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为2 2-2.点M、N是椭圆C上位于x轴上方

10、的两点，且向量F1M 与向量F2N 平行.(1)求椭圆C的方程；(2)当F1N F2N=0时，求F1MN的面积；(3)当 F2N-F1M=6 时，求直线F2N的方程.75.方法总结1.设u为直线l的方向向量,若u=1,k,则l斜率为k；若u=m.n(m0),则l斜率为nm；2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:AB=AC;OC=OA+OB且+=1;=(OA+OB)/(1+)；AB AC.3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:AC=CB;OC=12(OA+OB).4.在四边形ABCD中,若AB AC=0,则ABAC;若AB+

11、AD=AB-AD,则ABAD;若AC AC=AD AC,则ACBD.5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量a=x1,y1,b=x2,y2共线x1y2-x2y1=0转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.2.2.课时训练1人造地球卫星在以地球的球心为一个焦点的椭圆轨道上运行，运行轨道离地面的最近距离为600千米，离心率为32，将地球看作一个半径为6400千米的球体，以运行轨道的中心为坐标原点，运行轨道的中心与近地点所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，记该卫星的运行轨迹为曲线D，定义7 2+3103千米为1H.(1)以H

12、为单位，求曲线D的方程；(2)已知A,B,C三颗卫星在轨道D上运行，当轨道中心恰好为ABC的重心时，则称此时为“三星对中”状态.则当A,B,C三颗卫星成“三星对中”状态时，ABC的面积是否为定值？若是，求出这个定值并给出证明；若不是，请说明理由.82已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F(-1,0)，点P在E上，PFx轴，且直线PA的斜率为32(1)求E的方程；(2)M(异于点F)是线段PF上的动点，AM与E的另一交点为C，CF与E的另一交点为D，直线BD与直线AM相交于点N，问：|AN|AM|是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由3已知双曲线

13、C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点M 3,1，且焦距为4 2.(1)求C的方程；(2)已知过点P 2,1的动直线l交C的右支于A,B两点，Q为线段BA上的一点，且满足APAQ=BPBQ，证明：点Q总在某定直线上.94已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，C的离心率为22，且C上的点B到F的距离的最大值和最小值的积为1过点F的直线l1(l1与x轴不重合)交C于P，Q两点，直线A1P，A2Q分别交过点F且垂直x轴的直线l2于M，N两点(1)求C的方程；(2)记A1FN，A2FM的面积分别为S1，S2，试探究：S1S2是否为定值？若是，求出定值

14、；若不是，请说明理由5已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为4 3,E上任意一点到其中一个焦点的距离的最小值为1.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l:y=kx+m 0k3交E于M,N两点，O为坐标原点，以OM，ON为邻边作平行四边形OMPN,P在椭圆E上，求 OP的取值范围.106如图，已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与x轴夹角为3，点 1,0在E上，过G 4,0的两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，且k1k2=3,l1交E于AB,l2交E于CD，线段AB与CD的中点分别为MN,GHMN(1)求双曲线E的方程；(2

15、)求证：存在点K，使HK为定值.7已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点为F，点P，Q在椭圆C上运动，且 PF的最小值为6-3；当点P不在x轴上时点P与椭圆C的左、右顶点连线的斜率之积为-12.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l:x-2y=0与椭圆C在第一象限交于点A，若PAQ的内角平分线的斜率不存在.探究：直线PQ的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.118在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0上的动点P作x轴的垂线，垂足为点M，MQ=2MP，|OQ|=2.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y=kx+m交C于不同的两点A、B，

16、向量 i=1,0，j=0,1，是否存在常数k，使得满足OA i+2OB j=0的实数m有无穷多解？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.9已知双曲线C1：x2a2-y2b2=1的一条渐近线为y=-12x，椭圆C2：x2a2+y2b2=1的长轴长为4，其中ab0.过点P 2,1的动直线l1交C1于A，B两点，过点的动直线l2交C2于M，N两点.(1)求双曲线C1和椭圆C2的方程；(2)是否存在定点Q，使得四条直线QA，QB，QM，QN的斜率之和为定值?若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.1210已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，椭圆内一点

17、M满足OM=MA，BMAB=64(1)求椭圆的离心率；(2)椭圆上一点P在第一象限，且满AMP=6，PO与椭圆交于点Q，直线AQ交PM的延长线于点D若PDQ的面积为5 312，求椭圆的标准方程11设直线x=m与双曲线C：x2-y23=m(m0)的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形OAB的面积为3.(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为M，F为C的右焦点，若M，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点.1312平面直角坐标系中，O为坐标原点，F1-1,0,F21,0，动点M满足 MF1,MO,MF2成等比数列.(1

18、)设动点M的轨迹为曲线E，求曲线E的标准方程；(2)若动直线x=m m0与曲线E相交于不同两点M,N，直线NF1与曲线E的另一交点为P，证明：直线MP过定点.13已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，P(4,4)是C上的一点.(1)若直线PF交C于另外一点A，求 AP；(2)若圆E：x-22+y2=r20rb0上.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l交C于P、Q两点，且kPBkQB=-1，则直线l是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.15如图，已知半圆C1:x2+y2=b2y0与x轴交于A，B两点，与y轴交于E点，半椭圆C2:y2a2+x2b2=1 y0,ab0的

19、上焦点为F，并且ABF是面积为3 的等边三角形，将满足y2a2+x2b2=1,y0 x2+y2=b2,yb0，直线l1经过点M m,0，交椭圆E于点A，B，直线l2经过点N-m,0，交椭圆E于点A，C，其中点A不是椭圆E的顶点记kOA为直线OA的斜率，kBC为直线BC的斜率写出kOA与kBC的关系式(只需写出结果即可，不需写出推证过程)1圆锥曲线在高考压轴题目中的考法探究1.1.题型分类类型一类型一圆锥曲线中的轨迹方程问题1 1在平面直角坐标系xOy中，点A,B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|=3，动点P满足3OP=2OA+OB(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设圆O:x2+y2=2上任意

20、一点Q处的切线交轨迹C于点M,N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标若不过定点，请说明理由【答案】(1)x26+y23=1(2)以MN为直径的圆过定点(0,0).【详解】(1)设P(x,y),A(x0,0),B(0,y0)由|AB|=3得x20+y20=9由3OP=2OA+OB 得(3x,3y)=(2x0,0)+(0,y0)所以x0=32x,y0=3y,代入式得32x2+(3y)2=9整理得x26+y23=1，所以动点P的轨迹C的方程为x26+y23=1.(2)当切线斜率不存在时，切线方程为x=2,x=-2(i)当切线方程为x=2 时，M(2,2),N(2,-2)

21、以MN为直径的圆的方程为(x-2)2+y2=2(ii)当切线方程为x=-2 时，M(-2,2),N(-2,-2)以MN为直径的圆的方程为(x+2)2+y2=2，由联立，可解得交点为(0,0).当过点Q且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+m，2则|m|k2+1=2，故m2=2(k2+1)由y=kx+m,x26+y23=1,联立并消去y整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0因为=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)=-8(m2-6k2-3)=-8(2k2+2-6k2-3)=8(4k2+1)0所以切线与椭圆C恒有两个交点，设M(x1,y1),N(x2,y2)，则x

22、1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-61+2k2所以OM ON=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)2m2-61+2k2+km-4km1+2k2+m2=3m2-6-6k21+2k2=32(k2+1)-6-6k21+2k2=0所以OMON，即以MN为直径的圆过原点(0,0)综上所述，以MN为直径的圆过定点(0,0).1.方法总结1.曲线方程的定义一般地，如果曲线C与方程F(x,y)=0之间有以下两个关系：曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解；以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的

23、点此时，把方程F(x,y)=0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程F(x,y)=0的曲线2.求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略)；(2)设曲线上任意一点的坐标为y=kx；(3)根据曲线上点所适合的条件写出等式；(4)用坐标表示这个等式，并化简；(5)确定化简后的式子中点的范围上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围3.求轨迹方程的方法：3.13.1定义法：定义法：3如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。3.23.

24、2直接法：直接法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点 P的坐标(x,y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.33.3代入法代入法(相关点法相关点法)：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出P(x,y)，用(x,y)表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。3.43.4点差法：点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A(x1,y1),B(x

25、2,y2)的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1+x2，y1+y2，x1-x2，y1-y2等关系式，由于弦AB的中点P(x,y)的坐标满足2x=x1+x2，2y=y1+y2且直线AB的斜率为y2-y1x2-x1，由此可求得弦AB中点的轨迹方程.类型二类型二圆锥曲线中的中点弦问题1 1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为2 55，其短轴的一个端点到焦点F1的距离为5(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P为OF1的中点，M为椭圆上一点，过P且平行于OM的直线l与椭圆C相交于A，B两点，是否存在实数，使得|OM|2=PA PB？若存在，求

26、出的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)x25+y2=1(2)存在；=45【详解】(1)由题意，得a=b2+c2=5，又e=ca=2 55，所以c=2，所以b=a2-c2=1，故椭圆C的标准方程为x25+y2=1；(2)F1-2,0，P-1,0，若直线l的斜率不存在，则 OM=1，PA=PB=2 55，由|OM|2=PA PB，得=45，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k x+1，4由y=k x+1,x25+y2=1 消去y，得 5k2+1x2+10k2x+5k2-5=0，=10k22-4 5k2+15k2-50，设A x1,y1，B x2,y2，则x1+x2=-10k25k2+1，

27、x1x2=5k2-55k2+1，由题意 PA=k2+1 x1+1，PB=k2+1 x2+1，所以 PA PB=k2+1x1+1x2+1=k2+1x1x2+x1+x2+1=4 k2+15k2+1由题意知，直线OM的方程为y=kx，由y=kx,x25+y2=1 消去y，得 5k2+1x2-5=0，设M x0,y0，则x20=55k2+1，所以|OM|2=x20+y20=5 k2+15k2+1，由|OM|2=PA PB，得=45，综上，存在实数=45，使得|OM|2=PA PB成立2.方法总结1.相交弦中点(点差法)直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实

28、际情况处理该式子。主要有以下几种问题：(1)求中点坐标；(2)求中点轨迹方程；(3)求直线方程；(4)求曲线；中点M(x0,y0)，x0=x1+x22，y0=y1+y222.点差法设直线和曲线的两个交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程，得x12a2+y12b2=1；x22a2+y22b2=1；将两式相减，可得x12x22a2+y12y22b2=0；(x1+x2)(x1x2)a2=(y1+y2)(y1y2)b2；最后整理得：1=a2(y1+y2)(y1y2)b2(x1+x2)(x1x2)1=ka2b2y0 x0同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2(y1+y2)(y1y2

29、)b2(x1+x2)(x1x2)1=ka2b2y0 x05设直线和曲线的两个交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得y12=2px1；y22=2px2；将两式相减，可得(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2)；整理得：y1y2x1x2=2py1+y2类型三类型三圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题1 1已知双曲线T：x2a2-y2b2=1 a0,b0的离心率为2，且过点3,1若抛物线C：y2=2px p0的焦点F与双曲线T的右焦点相同(1)求抛物线C的方程；(2)过点M-2,0且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点(A在M，B之间)，点N满足：NA=6AF，求ABF

30、与AMN面积之和的最小值，并求此时直线l的方程【答案】(1)y2=8x(2)16 5，5x-3y+2 5=0【详解】(1)由题意得：ca2=23a2-1b2=1，解之得c2=2a2=2b2=4，即双曲线的右焦点为 2,0，p2=2，所以y2=8x；(2)根据题意不妨设直线l的方程为x=ty-2，A x1,y1，B x2,y2，y10,y20，则由x=ty-2y2=8x 得y2-8ty+16=0=64 t2-10y1+y2=8ty1y2=16 NA=6AF，yN=7y1，又SABF=SBMF-SAMF=12 2-2y2-y1=2y2-2y1，同理SAMN=SNMF-SAMF=2 yN-y1=12

31、y1，SABF+SAMN=10y1+2y22 10y12y2=16 5，当且仅当y1=4 55，y2=4 5 时，“=”成立，即y1+y2=8t=4 55+4 5 t=3 55，此时，直线l的方程为5x-3y+2 5=063.方法总结1.弦长公式|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2|AB|=(1+k2)(x1-x2)2=1+k2x1-x2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2(最常用公式，使用频率最高)=1+1k2(y1+y2)2-4y1y22.三角形面积问题直线AB方程：y=kx+md=PH=kx0-y0+m1+k2SABP=12ABd=121+k2Akx0-y0+m1+k2=k

32、x0-y0+m2 A3.焦点三角形的面积直线AB过焦点F2,ABF1的面积为SABF1=12F1F2 y1-y2=c y1-y2=c ASAOB=12|AB|d=12A2+B24a2b2(a2A2+b2B2-C2)a2A2+b2B2|C|A2+B2=ab(a2A2+b2B2-C2)C2a2A2+b2B2注意：A为联立消去x后关于y的一元二次方程的二次项系数4.平行四边形的面积直线AB为y=kx+m1，直线CD为y=kx+m2d=CH=m1-m21+k2AB=1+k2x1-x2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2-BA2-4CA=1+k2ASABCD=ABd=1+k2Am1-m21+

33、k2=m1-m2A注意：A为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的系数.5.范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式a2+b22ab(a,bR)变式：a+b2 ab(a,bR+);aba+b22(a,bR+)作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值7注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：(1)S=2tt2+64=2t+64t(注意分t=0,t0,t0).将AB两点坐标代入双曲线方程得-22a2=1(-14)2a2-242b2=1 ，所以a=2,b=2 3

34、，即双曲线方程为x24-y212=1.(2)直线DG过定点A-2,0，若D,G,A三点共线kAD=kAG，设点D x1,y1,E x2,y2，直线DE方程为y=k x+2+3，由题意知：直线AB的方程为l1:y=-2x-4，点F为线段EG的中点，从而F x2,-2x2-4,G x2,-4x2-8-y2，8kAD=y1x1+2,kAG=-4x2-8-y2x2+2，若kAD=kAGy1x1+2=-4x2-8-y2x2+2，化简得y1x2+2+y2x1+2+4 x1+2x2+2=0又因为y1=k x1+2+3,y2=k x2+2+3，代入式得 2k+4x1x2+4k+11x1+x2+8k+28=0联

35、立y=k x+2+3x24-y212=1，化简得 3-k2x2-2k 2k+3x-(2k+3)2-12=0，则3-k20，0,x1+x2=2k 2k+33-k2,x1x2=-12-(2k+3)23-k2.代入式左边得 2k+4-12-(2k+3)23-k2+4k+112k 2k+33-k2+8k+28=0，由于 2k+4-12-(2k+3)2=-8k3-40k2-90k-84，4k+114k2+6k=16k3+68k2+66k，3-k28k+28=-8k3-28k2+24k+84，从而式左边等于0成立，直线DG过定点A-2,0.4.方法总结定点问题定点问题1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基

36、本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.定值问题定值问题3.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而

37、始终是一个确定的值常见定值问题的处理方法：(1)确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数.4.定值问题的处理技巧：(1)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直线等)求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.(2)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢(3)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算9定直线问题定直线问题定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即

38、为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等类型五类型五圆锥曲线中的向量问题1 1设点F1，F2分别是椭圆C:x22t2+y2t2=1(t0)的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为2 2-2.点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量F1M 与向量F2N 平行.(1)求椭圆C的方程；(2)当F1N F2N=0时，求F1MN的面积；(3)当 F2N-F1M=6 时，求直线F2N的方程.【答案】(1)x28+y24=1；(2)43；(3)x+2y-2=0【详解】解：(1)点F1、F2分别是椭圆C:x22t2+y2t2=1(t0)的左、右焦点，a=2t，c=t，椭圆C上的点到点F

39、2的距离的最小值为2 2-2，a-c=2t-t=2 2-2，解得t=2，椭圆的方程为x28+y24=1，(2)由(1)可得F1(-2,0)，F2(2,0)，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，可设N(2 2cos，2sin)，F1N=(2 2cos+2，2sin)，F2N=(2 2cos-2，2sin)，F1N F2N=0，(2 2cos+2)(2 2cos-2)+4sin2=0，解得cos=0，sin=1，N(0,2)，F2N=(-2,2)，kF2N=22=-1，向量F1M 与向量F2N 平行，直线F1M的斜率为-1，直线方程为y=-x-2，联立方程组y=-x-2x28+y24=1，解得x

40、=0，y=-2(舍去)，或x=-83，y=23，M-83，23，10|F1M|=-83+22+232=2 23，点N到直线直线y=-x-2的距离为d=42=2 2，F1MN的面积=12|F1M|d=122 232 2=43，(3)向量F1M 与向量F2N 平行，F1M=F2N，|F2N|-|F1M|=6，(-1)|F1M|=6，即1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，(x1+2)=x2-2，y2=y1，x2=x1+2(+1)x28+y24=1，x22+2y22=8，x1+2(+1)2+22y21=122+8+4+4(+1)x1=8，4(+1)x1=(1-3)(+1)，x1=1-3=1-3，

41、y21=4-(1-3)22，|F1M|2=(x1+2)2+y21=1-3+22+4-(1-3)22=(+1)222，|F1M|=+12，(-1)+12=6，2-2 3-1=0解得=2+3，或=2-3(舍去)x1=1-3=12+3-3=-1-3，y21=4-(-1-3)22=2-3=4-2 32=(3-1)22，y1=3-12，kF1M=3-12-0-1-3+2=-22，直线F2N的方程为y-0=-22(x-2)，即为x+2y-2=0115.方法总结1.设u为直线l的方向向量,若u=1,k,则l斜率为k；若u=m.n(m0),则l斜率为nm；2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,

42、则A、B、C共线:AB=AC;OC=OA+OB且+=1;=(OA+OB)/(1+)；AB AC.3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:AC=CB;OC=12(OA+OB).4.在四边形ABCD中,若AB AC=0,则ABAC;若AB+AD=AB-AD,则ABAD;若AC AC=AD AC,则ACBD.5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量a=x1,y1,b=x2,y2共线x1y2-x2y1=0转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.2.2.课时训练1人造地球卫星在以地球的球心为一

43、个焦点的椭圆轨道上运行，运行轨道离地面的最近距离为600千米，离心率为32，将地球看作一个半径为6400千米的球体，以运行轨道的中心为坐标原点，运行轨道的中心与近地点所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，记该卫星的运行轨迹为曲线D，定义7 2+3103千米为1H.(1)以H为单位，求曲线D的方程；(2)已知A,B,C三颗卫星在轨道D上运行，当轨道中心恰好为ABC的重心时，则称此时为“三星对中”状态.则当A,B,C三颗卫星成“三星对中”状态时，ABC的面积是否为定值？若是，求出这个定值并给出证明；若不是，请说明理由.【答案】(1)x24+y2=1(2)是定值，定值为3 32，证明见解析【分析】(1

44、)由已知条件设出椭圆方程待定系数求解即可；(2)分类讨论计算ABC的面积，斜率存在时联立方程组由韦达定理计算ABC的面积为定值即可.【详解】(1)设曲线D:x2a2+y2b2=1(ab0)，则a-c=6400+6007 2+3103=2-3,ca=32,解得a=2,c=3,b=1.12曲线D的方程为x24+y2=1.(2)设A x0,y0,B x1,y1,C x2,y2，当直线BC斜率不存在时，如图即x1=x2,y1=-y2，由轨道中心O为ABC的重心可知，x0+x1+x23=0,y0+y1+y23=0，A-2x1,0，因为点A在椭圆D上，所以x21=1，当x1=1时，A-2,0,B 1,32

45、,C 1,-32，则SABC=1233=3 32，同理当x1=-1时，SABC=3 32.当直线BC斜率存在时，如图：设直线BC:y=kx+m，联立y=kx+m,x24+y2=1,整理得 1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0，且=(8km)2-4 1+4k24m2-4=16 4k2+1-m20，则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2，由轨道中心O为ABC的重心可知，x0=-x1+x2,y0=-y1+y2=-k x1+x2-2m，则A8km1+4k2,-2m1+4k2.将点A坐标代入x24+y2=1，化简得8km1+4k22+4-2m1+4k22=4，即4m2=1+

46、4k2.由轨道中心O为ABC的重心，可知A到直线BC的距离d为轨道中心O到直线BC的距离的3倍，所以d=3 m1+k2,BC=1+k2x1-x2=1+k24 3 m1+4k2，13SABC=12 BCd=121+k24 3 m1+4k23 m1+k2=6 3|m|21+4k2=6 3|m|24m2=3 32.综上所述，ABC的面积为定值3 32.【点睛】求解定值问题常用方法为：“特殊探路，一般证明”:即先通过特殊情况确定定值，再转化为有方向、有目的的一般性证明.2已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F(-1,0)，点P在E上，PFx轴，且直线PA的斜率

47、为32(1)求E的方程；(2)M(异于点F)是线段PF上的动点，AM与E的另一交点为C，CF与E的另一交点为D，直线BD与直线AM相交于点N，问：|AN|AM|是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由【答案】(1)x24+y23=1(2)是定值，定值是2【分析】(1)设P-1,y0，代入E的方程，再结合直线PA的斜率为32及左焦点为F(-1,0)，即可得出a，b的值，进而得出E的方程；(2)设直线CD的方程及C x1,y1，D x2,y2，N(m,n)，其中y10，y20，直线CD的方程与椭圆E联立消去x，根据韦达定理得出y1+y2和y1y2，再由直线BD与直线AM相交于点N，得出kAC

48、=kAN，kBD=kBN，表示出m-2m+2，代入y1+y2和y1y2即可得出m-2m+2=3，解出m得出点N在直线x=-4上，结合MFx轴，F(-1,0)即可得出|AN|AM|的值【详解】(1)设P-1,y0，因为点P在E上，直线PA的斜率为32，椭圆E的左焦点为F(-1,0)，则由题意得(-1)2a2+y20b2=1y0-1+a=32a2-b2=1，解得a=2，b=3，y0=32，所以E的方程为x24+y23=1(2)由(1)知A(-2,0)，B(2,0)，设C x1,y1，D x2,y2，N(m,n)，其中y10，y20，由题意设lCD：x=my-1，与x24+y23=1联立消x得 3m

49、2+4y2-6my-9=0，则y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，因为直线BD与直线AM相交于点N，且AM与E的另一交点为C，所以kAC=kAN，kBD=kBN，即y1x1+2=nm+2，y2x2-2=nm-2，14所以m-2m+2=y1x1+2y2x2-2=y1x2-2y2x1+2=y1my2-3y2my1+1=my1y2-3y1my1y2+y2=-9m3m2+4-3y1-9m3m2+4+6m3m2+4-y1=-9m3m2+4-3y1-3m3m2+4-y1=3，所以m=-4，即点N在直线x=-4上，又MFx轴，F(-1,0)，所以|AN|AM|=-2-(-4)-1-(-2)

50、=2，即|AN|AM|为定值23已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点M 3,1，且焦距为4 2.(1)求C的方程；(2)已知过点P 2,1的动直线l交C的右支于A,B两点，Q为线段BA上的一点，且满足APAQ=BPBQ，证明：点Q总在某定直线上.【答案】(1)x26-y22=1(2)证明见解析【分析】(1)根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线C的方程；(2)设点A x1,y1、B x2,y2、Q x,y，记=APPB=AQQB，则AP=PB，AQ=BQ，利用平面向量的坐标运算结合点差法求出点Q的轨迹方程，即可证得结论成立.【详解】(1)由