2024年高考数学专项突破构造法求数列通项的八种技巧（一）（解析版）.pdf

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1、构造法求数列通项的八种技巧(一)【必备知识点】构造一:待定系数之a构造一:待定系数之an+1n+1=Aa=Aan n+B型构造等比数列+B型构造等比数列求关于a求关于an+1n+1=Aa=Aan n+B(其中A,B均为常数,AB(A-1)0)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为a+B(其中A,B均为常数,AB(A-1)0)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为an+1n+1+M=A a+M=A an n+M+M,再利用待定系数法求出M的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数 M,构造成等比数列.常数 M的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法

2、推导出来.【经典例题1】,再利用待定系数法求出M的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数 M,构造成等比数列.常数 M的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.【经典例题1】已知 an满足a1=3,an+1=2an+1求数列 an的通项公式.【经典例题2】【经典例题2】已知数列 an中,a1=1,an+1=2an+3,求数列 an的通项公式.【经典例题3】【经典例题3】已知数列 an中,a1=1,an+1=3an+4,求数列 an的通项公式.【练习1】【练习1】数列 an中,an+1=2an-1,a3=2,设其前n项和为Sn,则S6=(

3、)A.874B.634C.15D.27【练习2】【练习2】已知数列 an的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2018=()A.22018-1B.22018-6C.122018-72D.132018-103【练习3】【练习3】在数列 an中,a1=2,an+1=2an+1,则a5=_.【练习4】【练习4】已知数列 an满足a1=3,an+1=2an+1,则数列 an的通项公式an=_.【练习5】【练习5】已知数列 an的首项a1=2,且an+1=12an+12nN N*,则数列1an-1 的前10项的和为 _.【练习6】【练习6】已知数列 an中,a1=1,an+1=3an+2,则an

4、=_.构造二:待定系数之a构造二:待定系数之an+1n+1=Aa=Aan n+Bn+C型构造等比数列+Bn+C型构造等比数列求关于an+1=Aan+Bn+C(A1,C0,B0)类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项Bn,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项 pn再构造等比数列就可以,即令 an+1+p(n+1)+q=A an+pn+q,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解 p,q,从而得到an+pn+q是公比为A的等比数列.2024年高考数学专项突破构造法求数列通项的八种技巧（一）（解析版）【经典例题【经典例题1 1】设数列 an满足a1=4,an=3a

5、n-1+2n-1(n2),求数列 an的通项公式.【经典例题【经典例题2 2】已知:a1=1,n2时,an=12an-1+2n-1,求 an的通项公式.【练习【练习1 1】已知数列 an是首项为a1=2,an+1=13an+2n+53.(1)求 an通项公式;(2)求数列 an的前n项和Sn.【练习【练习2 2】已知数列 an和 bn,an的前n项和Sn,对于任意的nN N*,an,Sn是二次方程x2-3n2x+bn=0的两根.(1)求 an和 bn通项公式;(2)an的前n项和Sn.【练习【练习3 3】设数列 an是首项为 a1=1,满足 an+1=2an-n2+3n(n=1,2,).问是否

6、存在,使得数列an+n2+n成等比数列?若存在,求出,的值,若不存在,说明理由;构造三构造三:待定系数之待定系数之a an n+1 1=papan n+q qn n型构造数列型构造数列求关于an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)0)类型的通项公式时,共有3种方法.方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为an+1+qn+1=p an+qn,根据对应项系数相等求出的值,再利用换元法转化为等比数列求解.方法二:先在递推公式两边同除以qn+1,得an+1qn+1=pqanqn+1q,引入辅助数列 bn(其中bn=anqn),得bn+1=pqbn+1q,再利用待定系数法解决；方法二:

7、也可以在原递推公式两边同除以 pn+1,得an+1pn+1=anpn+1pqpn,引入辅助数列 bn(其中 bn=anpn),得bn+1-bn=1pq.pn,再利用叠加法(逐差相加法)求解.【经典例题【经典例题1 1】已知数列 an中a1=56,an+1=13an+12n+1,求 an的通项公式.【经典例题【经典例题2 2】已知数列 an满足an+1=2an+43n-1,a1=-1,求数列 an的通项公式.【练习【练习1 1】已知数列 an满足 a1=1,an+1=3an+2nnN N*,bn=an+1an.设 t Z Z,若对于 n N N*,都有 bn t恒成立,则t的最大值为()A.3B

8、.4C.7D.9【练习【练习2 2】已知数列 an满足a1=2,an+1=an+2n+2 nN N*.(1)判断数列 an-2n是否为等差数列,并说明理由;(2)记Sn为数列 an的前n项和,求Sn.【过关检测】【过关检测】一、一、单选题单选题1.已知Sn为数列 an的前n项和，若an+1=2an-2,S2=10，则 an的通项公式为()A.an=3n-4B.an=2n+2C.an=n2+nD.an=3n2-12.已知数列 an中，a1=1，an+1=2an+1，则数列 an的通项公式为()A.an=nB.an=n+1C.an=2nD.an=2n-13.已知数列 an满足a1=3，an+1=5

9、an-8，则a2022的值为()A.52021-2B.52021+2C.52022+2D.52022-24.设数列 an的前n项和为Sn，若Sn=2an-2n+1，则S10=()A.211-23B.210-19C.3210-23D.329-195.在数列 an中，a1=1，且an+1=2an+1，则 an的通项为()A.an=2n-1B.an=2nC.an=2n+1D.an=2n+16.数列 an中，an+1=2an+1，a1=1，则a100=()A.2100+1B.2101C.2100-1D.21007.数列 an满足12an=an+1-12n+1，且a1=12，若an980，则n的最小值是

10、()A.8B.9C.10D.1112.设数列an中，a1=2，an+1=2an+3，则通项an可能是()A.5-3nB.32n-1-1C.5-3n2D.52n-1-313.在数列 an中，若a1=2，an+1=3an+2n+1，则an=()A.n2nB.52-12nC.23n-2n+1D.43n-1-2n+114.已知在数列 an中，a1=56，an+1=13an+12n+1，则an=()A.32n-23nB.23n-32nC.12n-23nD.23n-12n15.数列 an满足an+1=2an+3,nN*，若a2017a1，则a1的取值范围为()A.(-,-3B.-3C.(-3,+)D.-3

11、,+)二、二、填空题填空题16.设数列 an满足a1=1，且an=3an-1+4 n2，则数列 an的通项公式为an=_.17.已知数列 an中，a1=1，an+1=2an+1，则 an通项an=_；18.数列an满足 a1=1，an+1=2an+1.(nN*).数列an的通项公式为_19.数列 an满足an=4an-1+3，且a1=0，则a6=_.20.已知数列 an满足an+1=2an+12，且 an前8项和为761，则a1=_三、三、解答题解答题21.已知数列 an满足a1=1,an+1=3an+2.(1)证明 1+an为等比数列，并求 an的通项公式；(2)记数列11+an 的前n项和

12、为Sn，证明Sn34.22.已知数列 an满足a1=3,an+1=2an-2.(1)求 an的通项公式；(2)求 an的前n项和Sn.23.已知数列 an的首项a1=1，且1an+1=2an+1(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足anbn=n，求数列 bn的前n项和Sn24.在数列 an中，a1=5，且an+1=2an-1 nN*.(1)证明：an-1为等比数列，并求 an的通项公式；(2)令bn=(-1)nan，求数列 bn的前n项和Sn.25.已知数列 an的前n项和为Sn，a1=2，且an+1=2an+2(1)求数列 an的通项公式；(2)令bn=2 n+1an+2，记数

13、列 bn的前n项和为Tn，求证：Tn t恒成立,则t的最大值为()A.3B.4C.7D.9【答案】A【解析】解法一：因为an+1=3an+2n,所以an+12n=3an2n+1,所以an+12n+1=32an2n+12,所以an+12n+1+1=32an2n+1,因为a1=1,所以a121+1=32,所以数列an2n+1 是以32为首相以32为公比的等比数列,所以an2n+1=32n,所以an=3n-2n,故选A.解法二:令an+1+A2n+1=3 an+A2n,因为an+1=3an+2n,对比系数得:A=1,所以数列 an+2n是以3为首项,3为公比的等比数列,所以an+2n=3n,所以an

14、=3n-2n,所以 bn=an+1an=3n+1-2n+13n-2n=332n-232n-1n=3+132n-1,因为nN N*,所以32n-112.所以0132n-12,所以3t恒成立,所以t3,所以t的最大值为3,故选 A.【练习【练习2 2】已知数列 an满足a1=2,an+1=an+2n+2 nN N*.(1)判断数列 an-2n是否为等差数列,并说明理由;(2)记Sn为数列 an的前n项和,求Sn.【解析】(1)数列 an满足a1=2,an+1=an+2n+2 nN N*,所以 an+1-2n+1-an-2n=2.a1-2=0,所以数列 an-2n为等差数列,首项为0，公差为2.(2

15、)由(1)可得:an-2n=0+2(n-1),可得:an=2n+2(n-1),所以Sn=2 2n-12-1+2n(0+n-1)2=2n+1-2+n2-n【过关检测】【过关检测】一、一、单选题单选题1.已知Sn为数列 an的前n项和，若an+1=2an-2,S2=10，则 an的通项公式为()A.an=3n-4B.an=2n+2C.an=n2+nD.an=3n2-1【答案】B【解析】令n=1可得a2=2a1-2，又S2=a1+a2=10，解得a1=4，又an+1-2=2an-4=2(an-2)，则a1-2=2，an+1-2an-2=2，即 an-2是以2为首项，2为公比的等比数列，则an-2=2

16、2n-1，an=2n+2.故选：B.2.已知数列 an中，a1=1，an+1=2an+1，则数列 an的通项公式为()A.an=nB.an=n+1C.an=2nD.an=2n-1【答案】D【解析】an+1=2an+1，an+1+1=2(an+1),又a1=1，a1+1=2，所以数列 an+1是首项为2，公比为2 的等比数列，所以an+1=22n-1，an=2n-1.故选：D.3.已知数列 an满足a1=3，an+1=5an-8，则a2022的值为()A.52021-2B.52021+2C.52022+2D.52022-2【答案】B【解析】因为an+1=5an-8，所以an+1-2=5(an-2

17、)，又a1-2=1，所以an-2是等比数列，公比为5，首项是1，所以an-2=5n-1，an=5n-1+2，所以a2022=52021+2故选：B4.设数列 an的前n项和为Sn，若Sn=2an-2n+1，则S10=()A.211-23B.210-19C.3210-23D.329-19【答案】C【解析】当n=1时，S1=a1=2a1-2+1，解得a1=1.当n2时，Sn-1=2an-1-2n+3，所an=Sn-Sn-1=2an-2n+1-2an-1-2n+3，即an=2an-1+2，所以an+2=2 an-1+2，即an+2an-1+2=2，所以数列 an+2是首项为3，公比为2的等比数列，则

18、an+2=32n-1，从而Sn=32n-2n-3，故S10=3210-23.故选：C5.在数列 an中，a1=1，且an+1=2an+1，则 an的通项为()A.an=2n-1B.an=2nC.an=2n+1D.an=2n+1【答案】A【解析】解：an+1=2an+1，an+1+1=2 an+1，由a1=1，得a1+1=2，数列 an+1是以2为首项，2为公比的等比数列，an+1=22n-1=2n，即an=2n-1故选：A6.数列 an中，an+1=2an+1，a1=1，则a100=()A.2100+1B.2101C.2100-1D.2100【答案】C【解析】数列 an中，an+1=2an+1

19、，故an+1+1=2 an+1，故an+10，所以an+1+1an+1=2，因为a1=1，所以a1+1=20，所以 an+1是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1=2n，即an=2n-1，故a100=2100-1，故选：C.7.数列 an满足12an=an+1-12n+1，且a1=12，若an13，则n的最小值为()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】因为12an=an+1-12n+1，等式两边同时乘以2n+1可得2nan=2n+1an+1-1，所以，2n+1an+1-2nan=1且2a1=1，所以，数列 2nan是等差数列，且首项和公差都为1，则2nan=1+n-1=n，所以，a

20、n=n2n，因为an+1-an=n+12n+1-n2n=n+1-2n2n+1=1-n2n+1.当n=1时，a1=a2=12；当n2时，an+113，a4=1413；当n4时，an13.所以，an980，则n的最小值是()A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】因为an=2an-1-n+2 n2,nN+，所以an-n=2 an-1-n-1n2,nN+.因为a1=3，所以a1-1=2，所以数列 an-n是首项和公比都是2的等比数列，则an-n=2n，即an=2n+n,因为an-an-1=2n-1+10，所以数列 an是递增数列,因为a9=521980，所以满足an980的n的最小值是10,故

21、选：C12.设数列an中，a1=2，an+1=2an+3，则通项an可能是()A.5-3nB.32n-1-1C.5-3n2D.52n-1-3【答案】D【解析】设an+1+x=2 an+x，则an+1=2an+x，因为an+1=2an+3，所以x=3，所以 an+3是以a1+3为首项，2为公比的等比数列，an+3=52n-1，所以an=52n-1-3故选：D13.在数列 an中，若a1=2，an+1=3an+2n+1，则an=()A.n2nB.52-12nC.23n-2n+1D.43n-1-2n+1【答案】C【解析】令bn=an2n+2，则bn+1bn=an+12n+1+2an2n+2=3an+

22、2n+12n+1+2an2n+2=32，又b1=a12+2=3，所以 bn是以3为首项，32为公比的等比数列，所以bn=an2n+2=332n-1，得an=23n-2n+1故选：C14.已知在数列 an中，a1=56，an+1=13an+12n+1，则an=()A.32n-23nB.23n-32nC.12n-23nD.23n-12n【答案】A【解析】解:因为a1=56，an+1=13an+12n+1，所以2n+1an+1=232nan+1，整理得2n+1an+1-3=232nan-3，所以数列 2nan-3是以2a1-3=-43为首项，23为公比的等比数列所以2nan-3=-4323n-1，解

23、得an=32n-23n故选：A15.数列 an满足an+1=2an+3,nN*，若a2017a1，则a1的取值范围为()A.(-,-3B.-3C.(-3,+)D.-3,+)【答案】D【解析】由an+1=2an+3可得an+1+3=2 an+3，所以an+3=a1+32n-1所以an=a1+32n-1-3，所以a2017=a1+322016-3a1所以 a1+322016a1+3，所以a1+30，所以a1-3故选：D二、二、填空题填空题16.设数列 an满足a1=1，且an=3an-1+4 n2，则数列 an的通项公式为an=_.【答案】3n-2#-2+3n【解析】解：因为an=3an-1+4

24、n2，an+2=3 an-1+2，an+2an-1+2=3，a1=1，则a1+2=3，数列 an+2是以3为首项，3为公比的等比数列.an+2=33n-1=3n，所以an=3n-2，故答案为：3n-217.已知数列 an中，a1=1，an+1=2an+1，则 an通项an=_；【答案】2n-1【解析】因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1),an+1+1an+1=2，所以 an+1是一个以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，所以an+1=22n-1=2n,an=2n-1.故答案为：2n-118.数列an满足 a1=1，an+1=2an+1.(nN*).数列an的通项公式

25、为_【答案】an=2n-1 nN*【解析】an+1=2an+1(nN*)，an+1+1=2(an+1)，又a1+1=2 an+1是以2为首项，2为公比的等比数列an+1=2n即an=2n-1(nN*)故答案为：an=2n-1 nN*19.数列 an满足an=4an-1+3，且a1=0，则a6=_.【答案】1023【解析】由题意知：an+1=4an-1+4=4(an-1+1)，又a1+1=1，故 an+1是1为首项，4为公比的等比数列，故a6+1=a1+145=1024，故a6=1023.故答案为：1023.20.已知数列 an满足an+1=2an+12，且 an前8项和为761，则a1=_【答

26、案】52#2.5【解析】解：数列an满足an+1=2an+12，整理得an+1+12=2 an+12，若a1=-12，则an=-12，显然不符合题意，所以an-12，则an+1+12an+12=2(常数)；所以数列 an+12 是以a1+12为首项，2为公比的等比数列；所以an+12=a1+122n-1，整理得an=a1+122n-1-12；由于前8项和为761，所以S8=a1+12(1+2+.+27)-812=a1+121-281-2-4=255 a1+12-4=761，解得a1=52故答案为：52三、三、解答题解答题21.已知数列 an满足a1=1,an+1=3an+2.(1)证明 1+a

27、n为等比数列，并求 an的通项公式；(2)记数列11+an 的前n项和为Sn，证明Sn34.【答案】(1)证明见解析，an=23n-1-1(2)见解析【解析】(1)证明：因为an+1=3an+2，所以an+1+1=3 an+1，又a1+1=2，所以数列 1+an是以2为首项，3为公比的等比数列，则an+1=23n-1，所以an=23n-1-1；(2)证明：由(1)得1an+1=123n-1，因为1an+1+11an+1=123n123n-1=13，1a1+1=12，所以数列11+an 是以12为首项，13为公比的等比数列，则Sn=12 1-13n1-13=341-13n，因为1-13n1，所以

28、Sn34.22.已知数列 an满足a1=3,an+1=2an-2.(1)求 an的通项公式；(2)求 an的前n项和Sn.【答案】(1)an=2n-1+2；(2)Sn=2n+2n-1.【解析】(1)an+1=2an-2，an+1-2=2 an-2 即an+1-2an-2=2数列 an-2是以首相为1，公比为2的等比数列，an-2=2n-1an=2n-1+2(2)由(1)知an=2n-1+2Sn=a1+a2+a3+an=20+2+21+2+22+2+2n-1+2=20+21+22+2n-1+2n=1 1-2n1-2+2n=2n+2n-123.已知数列 an的首项a1=1，且1an+1=2an+1

29、(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足anbn=n，求数列 bn的前n项和Sn【答案】(1)an=12n-1(2)Sn=n-12n+1+2-n n+12【解析】(1)1an+1=2an+1，等式两边同时加1整理得1an+1+1=21an+1又a1=1，1a1+1=21an+1 是首项为2，公比为2的等比数列1an+1=2n，an=12n-1(2)anbn=n，bn=nan=n2n-n.记 n2n的前n项和为Tn则Tn=121+222+323+n-12n-1+n2n所以2Tn=122+223+324+n-12n+n2n+1相减得-Tn=21+22+23+24+2n-n2n+1整理得

30、Tn=n-12n+1+2.所以Sn=n-12n+1+2-n n+1224.在数列 an中，a1=5，且an+1=2an-1 nN*.(1)证明：an-1为等比数列，并求 an的通项公式；(2)令bn=(-1)nan，求数列 bn的前n项和Sn.【答案】(1)证明见解析，an=2n+1+1(2)Sn=432n-1,n=2k,kN N*,-2n+2+73,n=2k-1,kN N*.【解析】(1)解：因为an+1=2an-1，所以an+1-1=2 an-1，又a1-1=4，所以an+1-1an-1=2，所以 an-1是以4为首项，2为公比的等比数列.故an-1=42n-1，即an=2n+1+1.(2

31、)解：由(1)得bn=(-1)n 2n+1+1，则bn=2n+1+1,n=2k,kN*-2n+1+1,n=2k-1,kN*，当n=2k,kN N*时，Sn=-22-1+23+1-24+1+-2n-1+2n+1+1=-22+23-24+25+-2n+2n+1=22+24+2n=432n-1;当n=2k-1,kN N*时，Sn=Sn+1-bn+1=432n+1-1-2n+2+1=-2n+2+73，综上所述，Sn=432n-1,n=2k,kN*-2n+2+73,n=2k-1,kN*25.已知数列 an的前n项和为Sn，a1=2，且an+1=2an+2(1)求数列 an的通项公式；(2)令bn=2 n

32、+1an+2，记数列 bn的前n项和为Tn，求证：Tn3【答案】(1)an=2n+1-2(2)证明见解析【解析】(1)解：因为a1=2，an+1=2an+2，所以an+1+2=2 an+2，所以 an+2是以4为首项，2为公比的等比数列，所以an+2=42n-1=2n+1，所以an=2n+1-2；(2)解：由(1)可知bn=2 n+1an+2=2 n+12n+1=n+12n，所以Tn=221+322+423+n+12n，所以12Tn=222+323+424+n+12n+1；-得12Tn=1+122+123+12n-n+12n+1=1+1221-12n-11-12-n+12n+1=32-n+32n+1所以Tn=3-n+32n3；