2024年高一下学期备战期末——三角恒等变换小题综合（解析版）.pdf

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1、1期末专题02 三角恒等变换小题综合期末专题02 三角恒等变换小题综合一、单选题一、单选题1.(2022(2022春 江苏南通 高一统考期末)已知cos+4=35，则sin2=()A.725B.1825C.-725D.-18252.(2022(2022春 江苏镇江 高一统考期末)计算：2 3sin70-3sin10cos10=()A.1B.2C.3D.43.(2022(2022春 江苏宿迁 高一统考期末)若sin+512=13，则cos 2-6的值为()A.4 29B.-4 29C.79D.-794.(2022(2022春 江苏淮安 高一统考期末)已知a=sin1，b=2cos1sin1，c=

2、2tan12，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.bcaC.cabD.cba5.(2022(2022春 江苏南通 高一金沙中学校考期末)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=sin2x与y=32tanx在区间6,上交点的横坐标为，则的值为()A.3B.23C.34D.566.(2022(2022春 江苏苏州 高一统考期末)已知向量a=3sin,-2,b=1,1-cos，若ab=-2，则tan2=()A.-1213B.-613C.-125D.-657.(2022(2022春 江苏常州 高一统考期末)已知a=22cos1-sin1，b=1-tan222.51+tan222.5，c=sin22c

3、os24+cos22sin24，则a，b，c的大小顺序为().A.bacB.cbaC.cabD.bca8.(2022(2022春 江苏南京 高一江苏省江浦高级中学校联考期末)下列等式不正确的是()A.cos15-sin15=22B.1+tan151-tan15=3C.sin22sin38-cos22sin52=12D.1-cos302=6-249.(2022(2022秋 江苏盐城 高一校考期末)已知x2,，sinx+sin x+2=105，则tanx=()A.-3B.-13C.-3或-13D.-122024年高一下学期备战期末三角恒等变换小题综合（解析版）210.(20222022春 江苏南通

4、 高一金沙中学校考期末)已知，0，tan(-)=12，tan=-17，则2-=()A.54B.4C.-4D.-3411.(20222022春 江苏扬州 高一统考期末)已知0，函数 f(x)=5sin x-6，若 f()=f()=3，则sin(-)=()A.2425B.-2425C.1D.-3512.(20222022春 江苏常州 高一统考期末)已知090，且sin18 1+sin2=2cos29cos2，则=()A.9B.18C.27D.3613.(20222022春 江苏连云港 高一统考期末)如图，屋顶的断面图是等腰三角形ABC，其中AC=BC，横梁AB的长为8米，BAC=，为了使雨水从屋顶

5、(设屋顶顶面为光滑斜面)上尽快流下，则的值应为()A.30B.45C.60D.7514.(20222022春 江苏盐城 高一统考期末)已知函数 f(x)=2x2-3x+1，若方程 f(sinx)=a+cos2x在x0,2)上恰有四个不同的解，则实数a的取值范围是()A.-34a1B.34a1C.-916a1D.-916a0)，b=sin2x2+4,cos2x2，函数 f x=ab，则()A.若 f(x)的最小正周期为，则 f(x)的图象关于点38,0对称B.若 f(x)的图象关于直线x=2称，则可能为12C.若 f(x)在-25,6上单调递增，则 0,32D.若 f(x)的图象向左平移3个单位

6、长度后得到一个偶函数的图象，则的最小值为3222.(20222022春 江苏镇江 高一统考期末)tan75=()A.2+3B.1+cos1501-cos150C.sin1501+cos150D.tan25tan35tan8523.(20222022春 江苏苏州 高一校联考期末)计算下列各式的值，其结果为1的有()A.cos40 1+3tan10B.121cos80-3sin80C.sin1403-tan190D.4sin18sin5424.(20222022春 江苏南京 高一南京市中华中学校考期末)已知函数 f(x)=|cos2x|+cos|x|，有下列四个结论，其中正确的结论为()A.f(x

7、)在区间34,32上单调递增B.是 f(x)的一个周期C.f(x)的值域为-22,2 D.f(x)的图象关于y轴对称25.(20222022秋 江苏无锡 高一统考期末)已知函数 f(x)=sinnx+cosnx nN N*，则()4A.当n=4时，f(x)的最小正周期是2B.当n=6时，f(x)的值域是14,1C.当n=2k-1 kN N*时，f(x)为奇函数D.对nN N*,f(x)的图象关于直线x=4对称三、填空题三、填空题26.(20222022春 江苏南京 高一统考期末)tan15=.27.(20222022春 江苏镇江 高一统考期末)求值：sin8cos8=28.(20222022春

8、 江苏南通 高一统考期末)如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边AB，直角边BC、AC，点D在以AC为直径的半圆上已知以直角边AC、BC为直径的两个半圆的面积之比为3，cosDAB=45，则cosDAC=29.(20222022春 江苏扬州 高一统考期末)tan75的值为30.(20222022春 江苏常州 高一校联考期末)已知cos+sin-6=0，则tan2=31.(20222022春 江苏连云港 高一统考期末)已知是锐角，sin=35，则cos-4的值是32.(20222022秋 江苏常州 高一校考期末)已知tan、tan是方程x

9、2-3 3x+4=0的两根，且、-2,2，则+的值等于.33.(20222022春 江苏淮安 高一统考期末)已知cos+3=13，且 0,2，则sin 2+6的值为34.(20222022春 江苏扬州 高一期末)在ABC中，AC=2BC=6，ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN=2，若CM CN 的最小值为3，则cosACB=35.(20222022春 江苏南京 高一江苏省江浦高级中学校联考期末)如图，正方形ABCD的边长为10米，以点A为顶点，引出放射角为6的阴影部分的区域，其中EAB=x，12x4，记AE，AF的长度之和为 f x则 f x的最大值为1期末专题期末专题0202

10、三角恒等变换小题综合三角恒等变换小题综合一、单选题一、单选题1.(20222022春 江苏南通 高一统考期末)已知cos+4=35，则sin2=()A.725B.1825C.-725D.-1825【答案】A【分析】根据两角和的余弦公式及平方关系，结合正弦的二倍角公式即可求解.【详解】由cos+4=35，得coscos4-sinsin4=35，即cos-sin=3 25，两边平方，得2sincos=725，即sin2=725.故选：A.2.(20222022春 江苏镇江 高一统考期末)计算：2 3sin70-3sin10cos10=()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据两角差的正弦公

11、式化简求解即可.【详解】2 3sin70-3sin10cos10=2 3sin(60+10)-3sin10cos10=2 332cos10+12sin10-3sin10cos10=3cos10cos10=3，故选：C3.(20222022春 江苏宿迁 高一统考期末)若sin+512=13，则cos 2-6的值为()A.4 29B.-4 29C.79D.-79【答案】D【分析】设=+512，再表达出2-6=2-，从而根据诱导公式与二倍角公式求解即可【详解】设=+512，则=-512，故2-6=2-56-6=2-，故sin=13，则cos 2-6=cos 2-=-cos2=2sin2-1=-79故

12、选：D4.(20222022春 江苏淮安 高一统考期末)已知a=sin1，b=2cos1sin1，c=2tan12，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.bcaC.cabD.cba【答案】D【分析】由二倍角公式，诱导公式，正弦函数的性质比较a,b大小，再利用三角函数线证明x为锐角时，tanxx，从而可比较c,b大小，得出结论2【详解】b=2cos1sin1=sin2=sin(-2)，又2-210，所以sin(-2)sin1，即ba，利用三角函数线可以证明x为锐角时，tanxx，如图，在单位圆中，以Ox为始边，O为顶点作出角x，其终边与单位圆交于点P，过单位圆与x轴正半轴交点A作x轴的垂线，

13、角x的终边与这条垂线交于点T，则AT=tanx，劣弧PA的长为l=x，扇形OPA的面积为S1=12lr=12x，OAT面积为S2=12OAAT=12tanx，由图形，易知S2S1，即12tanx12x，所以tanxx，所以c=2tan12212=1，b=sin2ba故选：D5.(20222022春 江苏南通 高一金沙中学校考期末)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=sin2x与y=32tanx在区间6,上交点的横坐标为，则的值为()A.3B.23C.34D.56【答案】D【分析】在区间6,上，联立y=sin2xy=32tanx，即可解出【详解】在x6,上，由y=sin2xy=32tanx 可得

14、2sinxcosx=32sinxcosx，而sinx0，所以，cos2x=34，即cosx=32或cosx=-32，而x6,，所以x=56故选：D6.(20222022春 江苏苏州 高一统考期末)已知向量a=3sin,-2,b=1,1-cos，若ab=-2，则tan2=()A.-1213B.-613C.-125D.-653【答案】C【分析】根据向量数量积的坐标表示ab=x1x2+y1y2，结合题意整理可得tan，再代入二倍角的正切公式tan2=2tan1-tan2运算求解【详解】由题意可得：ab=3sin-2 1-cos=-2，整理得3sin=-2cos，即tan=-23tan2=2tan1-

15、tan2=2-231-232=-125故选：C7.(20222022春 江苏常州 高一统考期末)已知a=22cos1-sin1，b=1-tan222.51+tan222.5，c=sin22cos24+cos22sin24，则a，b，c的大小顺序为().A.bacB.cbaC.cabD.bca【答案】B【分析】利用和差角正弦公式及商数关系可得a=sin44、b=sin45、c=sin46，根据正弦函数的性质判断大小.【详解】a=cos1sin45-sin1cos45=sin44，b=1-tan222.51+tan222.5=cos222.5-sin222.5cos222.5+sin222.5=c

16、os45=sin45，c=sin22cos24+cos22sin24=sin46，所以cba.故选：B8.(20222022春 江苏南京 高一江苏省江浦高级中学校联考期末)下列等式不正确的是()A.cos15-sin15=22B.1+tan151-tan15=3C.sin22sin38-cos22sin52=12D.1-cos302=6-24【答案】C【分析】A应用差角正弦公式化简；B应用和角正切公式化简；C应用诱导公式及差角正弦公式化简；D写出特殊角的函数值，将分子因式分解化简求值.【详解】A：cos15-sin15=2(sin45cos15-cos45sin15)=2sin30=22，正确

17、；B：1+tan151-tan15=tan45+tan151-tan45tan15=tan60=3，正确；C：sin22sin38-cos22sin52=sin22cos52-cos22sin52=-sin30=-12，错误；D：1-cos302=2-34=4-2 38=(3-1)28=3-12 2=6-24，正确；故选：C9.(20222022秋 江苏盐城 高一校考期末)已知x2,，sinx+sin x+2=105，则tanx=()A.-3B.-13C.-3或-13D.-124【答案】A【分析】由三角恒等变换将等式化简为cos x-4=55，即可求出sin x-4，进一步求出sinx，cos

18、x，即可求出tanx.【详解】因为sinx+sin x+2=105，则sinx+cosx=2cos x-4=105，则cos x-4=55，因为x2,，所以x-44,34，所以sin x-4=2 55，所以sinx=sin x-4+4=sin x-4cos4+cos x-4sin4=2 5522+5522=3 1010，因为x2,，所以cosx=-1010,tanx=sinxcosx=-3.故选：A.10.(20222022春 江苏南通 高一金沙中学校考期末)已知，0，tan(-)=12，tan=-17，则2-=()A.54B.4C.-4D.-34【答案】D【分析】结合式子中角的特点以及范围，

19、分别求tan=tan(-)+，tan(2-)=tan(-)+，再根据正切值缩小,的范围，从而得到2-的范围，即可得到角2-的大小.【详解】因为tan=tan-+=tan-+tan1-tan-tan=12-171+1217=13-1，所以04，34，-34，-2-4，所以2-=-34故选：D11.(20222022春 江苏扬州 高一统考期末)已知0，函数 f(x)=5sin x-6，若 f()=f()=3，则sin(-)=()A.2425B.-2425C.1D.-35【答案】A【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得623，2376，从而利用sin-=sin-6-6即可求解.5【详解】解：令

20、f x=5sin x-6=0，0 x2，则x=6或x=76，令 f x=5sin x-6=5，0 x2，则x=23，又0，f=f=3，所以623，2376，sin-6=35，sin-6=35，因为0-62，2-6，所以cos-6=45，cos-6=-45，所以sin-=sin-6-6=sin-6cos-6-cos-6sin-6=3545+4535=2425，故选：A.12.(20222022春 江苏常州 高一统考期末)已知090，且sin18 1+sin2=2cos29cos2，则=()A.9B.18C.27D.36【答案】D【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到cos 2+9=s

21、in9，结合090得到2+9=90-9，求出.【详解】因为sin18 1+sin2=2sin9cos9 1+sin2，所以2cos29cos2=2sin9cos9 1+sin2，整理得：cos9cos2=sin9sin2+sin9，cos9cos2-sin9sin2=sin9，cos 2+9=sin9，因为090，所以92+9189，所以2+9=90-9，解得：=36故选：D.13.(20222022春 江苏连云港 高一统考期末)如图，屋顶的断面图是等腰三角形ABC，其中AC=BC，横梁AB的长为8米，BAC=，为了使雨水从屋顶(设屋顶顶面为光滑斜面)上尽快流下，则的值应为()A.30B.45

22、C.60D.75【答案】B【分析】根据物体受力分析，利用二倍角的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出雨水流下时间的最小值对应的值.【详解】设雨水的质量为m，下滑加速度为a，AC=s，取AB的中点D，连接CD.6则CDAB,且AD=BD=12AB.因为F=mgsin=ma，所以a=gsin；在直角三角形ACD中，s=ADcos=12at2,所以t2=2ADacos=ABgsincos=2ABgsin22ABg=16g,当sin2=1,即=45时等号成立，故选：B.14.(20222022春 江苏盐城 高一统考期末)已知函数 f(x)=2x2-3x+1，若方程 f(sinx)=a+cos2x在x0

23、,2)上恰有四个不同的解，则实数a的取值范围是()A.-34a1B.34a1C.-916a1D.-916ag(1)=1，注意：a=g(-1)时t=-1，则对应x在0,2)上有一个解；g(1)ag(-1)或a=g38时t在-1,1只有一个对应值，则对应x在0,2)上有两个解；a=g(1)时t=1或t=-14，对应x在0,2)上有三个解；g38ag(1)时t在-1,1只有两个对应值，此时对应x在0,2)上有四个解；综上，-916a0，tanA+tanB2 tanAtanB，当且仅当tanA=tanB时等号成立，tanAtanB2 tanAtanB，即tanAtanB4，tan(A+B)=tanA+

24、tanB1-tanAtanB=tanAtanB1-tanAtanB=11tanAtanB-1，tanAtanB4，01tanAtanB14，-11tanAtanB-1-34，-4311tanAtanB-10)，b=sin2x2+4,cos2x2，函数 f x=ab，则()A.若 f(x)的最小正周期为，则 f(x)的图象关于点38,0对称B.若 f(x)的图象关于直线x=2称，则可能为12C.若 f(x)在-25,6上单调递增，则 0,32D.若 f(x)的图象向左平移3个单位长度后得到一个偶函数的图象，则的最小值为32【答案】BC【分析】首先化简函数 f x，再根据三角函数的周期，对称，单调

25、性，以及图象平移，即可判断选项.【详解】f x=ab=sinxsin2x2+4+cosxcos2x2=sinx1-cos x+22+cosx1+cosx2=sinx1+sinx2+cosx1+cosx2=12sinx+cosx+12=22sin x+4+12,A.若函数的最小正周期为，则=2，即 f x=22sin 2x+4+12，当x=38时，238+4=，此时 f x=12，所以函数关于38,12对称，故A错误；B.若函数的图象关于直线x=2对称，则2+4=2+k，kZ，得=12+2k，kZ，所以的可能为12，故B正确；11C.当x-25,6时，x+4-25+4,6+4，则-25+4-26

26、+420，解得：00，所以的最小值是34，故D错误.故选：BC22.(20222022春 江苏镇江 高一统考期末)tan75=()A.2+3B.1+cos1501-cos150C.sin1501+cos150D.tan25tan35tan85【答案】ACD【分析】根据两角和的正切公式及特殊角的三角函数值判断A，由正切半角公式判断BC，由tan 60-tan 60+tan=tan3，令=25即可判断出D.【详解】tan75=tan(45+30)=tan45+tan301-tan45tan30=1+331-33=2+3，故 A正确；由正切的半角公式知tan75=1-cos1501+cos150，故

27、B错误；tan75=sin75cos75=2sin75cos752cos275=sin1501+cos150，故C正确；tan 60-tan 60+tan=tan3，令=25，得tan75=tan25tan35tan85，可得D正确.故选：ACD.23.(20222022春 江苏苏州 高一校联考期末)计算下列各式的值，其结果为1的有()A.cos40 1+3tan10B.121cos80-3sin80C.sin1403-tan190D.4sin18sin54【答案】ACD【分析】由商数关系、诱导公式、和差角公式及倍角公式依次化简求值即可求解.【详解】对于A，cos40 1+3tan10=cos

28、40 1+3sin10cos10=cos40cos10+3sin10cos10=cos402sin 30+10cos10=2sin40cos40cos10=sin80cos10=sin 90-10cos10=cos10cos10=1，A正确；对于B，121cos80-3sin80=12sin80-3cos80sin80cos80=2sin 80-60sin160=2sin20sin 180-20=2，B错误；对于C，sin1403-tan190=sin1403-sin190cos190=sin1403cos190-sin190cos190=sin1402cos 30+190cos190=sin

29、1402cos 360-140cos190=2sin140cos140cos190=sin280cos190=12sin 190+90cos190=cos190cos190=1，C正确；对于D，4sin18sin54=4sin 90-72sin 90-36=4cos72cos36=4cos72cos36sin36sin36=2cos72sin72sin36=sin144sin36=sin 180-36sin36=sin36sin36=1，D正确.故选：ACD.24.(20222022春 江苏南京 高一南京市中华中学校考期末)已知函数 f(x)=|cos2x|+cos|x|，有下列四个结论，其中

30、正确的结论为()A.f(x)在区间34,32上单调递增B.是 f(x)的一个周期C.f(x)的值域为-22,2 D.f(x)的图象关于y轴对称【答案】CD【解析】代入特殊值检验，可得A错误；求得 f(x+)的表达式，即可判断B的正误；分段讨论，根据x的范围，求得cosx的范围，利用二次函数的性质，即可求得 f(x)的值域，即可判断C的正误；根据奇偶性的定义，即可判断 f(x)的奇偶性，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：因为x34,32，所以2x32,3，f54=cos52+cos54=-22,f()=cos2+cos=0，所以 f540tan+tan=3 3 0、0,2+0,，ta

31、n+=tan+tan1-tantan=3 31-4=-3，因为+0,，所以+=23，故答案为：2333.(20222022春 江苏淮安 高一统考期末)已知cos+3=13，且 0,2，则sin 2+6的值为【答案】79【分析】由诱导公式与二倍角公式求解即可【详解】sin 2+6=sin2+23-2=-cos 2+23=-cos2+3=-2cos2+3-1=-2132-1=79，16故答案为：7934.(20222022春 江苏扬州 高一期末)在ABC中，AC=2BC=6，ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN=2，若CM CN 的最小值为3，则cosACB=【答案】2-2 109【分

32、析】取线段MN的中点P，结合向量数量积求出边AB上的高CO，进而求出OCA,OCB的正余弦即可求解作答.【详解】取线段MN的中点P，连接CP，过C作COAB于O，如图，PM=12MN=1，依题意，CM CN=CP+PM CP-PM=CP 2-PM 2=CP 2-1，因CM CN 的最小值为3，则 CP 的最小值为2，因此CO=2，在RtAOC中，cosOCA=COCA=13，sinOCA=2 23，在RtBOC中，cosOCB=COCB=23，sinOCB=53，所以cosACB=cos(OCA+OCB)=cosOCAcosOCB-sinOCAsinOCB=2-2 109.故答案为：2-2 1

33、09【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.35.(20222022春 江苏南京 高一江苏省江浦高级中学校联考期末)如图，正方形ABCD的边长为10米，以点A为顶点，引出放射角为6的阴影部分的区域，其中EAB=x，12x4，记AE，AF的长度之和为 f x则 f x的最大值为【答案】10 6【分析】由题意结合三角恒等变换得到 f(x)=20 3sin x+3sin 2x+6+12且12x4，令t=sin x+36+24,1 ，进一步得到 f(x)=g(t)=20 32t-12t，由函数单调性求最大值即可.【详解】由题设，AE=ABco

34、sx=10cosx，12x4，17而FAD=EAB+EAF4,512，故DAF=3-x12,4，所以AF=ADcos3-x=10cos3-x，综上，f(x)=101cosx+1cos3-x且12x4，所以 f(x)=101cosx+2cosx+3sinx=103cosx+3sinxcosx(cosx+3sinx)=20 3sin x+3sin 2x+6+12，令t=sin x+36+24,1 ，则t2=sin2x+3=1-cos 2x+232=1-cos2+2x+62=1+sin 2x+62，所以sin 2x+6=2t2-1，故 f(x)=g(t)=20 32t-12t在t6+24,1 上递减，所以 f(x)max=g(t)max=g6+24=20 36+22-26+2=10 6，此时x=12或x=4.故答案为：10 6