福建省宁德市2024届高三普通高中毕业班五月质量检测数学试题含答案.pdf

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1、#QQABBYaEogCgAJJAABhCQQHiCkMQkAEACAoGxAAIMAAAiRNABCA=#QQABBYaEogCgAJJAABhCQQHiCkMQkAEACAoGxAAIMAAAiRNABCA=#QQABBYaEogCgAJJAABhCQQHiCkMQkAEACAoGxAAIMAAAiRNABCA=#QQABBYaEogCgAJJAABhCQQHiCkMQkAEACAoGxAAIMAAAiRNABCA=#数学答案 第1页（共 8 页）2024 届宁德市普通高中毕业班五月份质量检查届宁德市普通高中毕业班五月份质量检查 数学试题参考答案及评分标准数学试题参考答案及评分标准 说明：

2、1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则 2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小

3、题 5 分，满分分，满分 40 分分 1B 2D 3D 4B 5B 6C 7C 8A 二、选择题：二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9 AC 10BD 11ABC 11.解法一：对于选项A,令0 xy=，得2(0)(0)(0)fff=+，所以(0)0f=或(0)1f=令0y=，得(0)()(0)()(0)ff x ff xf=+，由()f x的值域为 1,)+，所以当(0)0f=时，得()0f x，不合题意，所以(0)1f=A正确 对于选项B,令1xy=，得2(1)(1)2

4、(1)fff=+，所以(1)0f=或(1)1f=令1y=，得()()(1)()(1)f xf x ff xf=+，得(1)()10ff x+=，因为()f x的值域为 1,)+，所以(1)0f=.令1xy=，得2(1)(1)2(1)0fff=+=，所以(1)0f=或(1)2f=因为值域为 1,)+，所以(1)0f=，C正确 对于选项C,令1y=，得()()(1)()(1)fxf x ff xf=+，因为(1)0f=，则()()fxf x=，所以函数()f x为偶函数，图像关于0 x=对称，C正确 对于选项D,由值域 1,)+和偶函数，D错误选 ABC.解法二：由()()()()()f xyf

5、x f yf xf y=+，则()1()()()()1f xyf x f yf xf y+=+，得()1()1()1f xyf xf y+=+，设()()1g xf x=+，得()()()g xyg xg y=+，可设()g xx=（为正偶数），()1f xx=，不妨设2()1f xx=，可判断 ABC正确，D 错误选 ABC.三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 123 13 5 14(),1 四四、解答题：本大题共、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演

6、算步骤分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 15.本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性满分 13 分 解：(1)由2292cosacacB+=+及余弦定理，得 2222cos9bacacB=+=，#QQABBYaEogCgAJJAABhCQQHiCkMQkAEACAoGxAAIMAAAiRNABCA=#数学答案 第2页（共 8 页）3b=.2分 由sin3sinsinBAC=及正弦定理，得3 sinbaC=，4 分 因为A

7、BC的面积11sin22Sb BDabC=所以3sin33BDaC=.6分(2)由3BA BC=得cos3acABC=,7分 因为11sin3322ABCSacABC=,所以sin3 3acABC=,8分 由得tan3ABC=，9分 又(0,)ABC,故3ABC=，10 分 从而6ac=，221926152ac+=+=.11分 得222()227acacac+=+=，12分 所以3 3ac+=.13分 16.本小题主要考查空间解三角形、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查直观

8、想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性满分 15 分 解：（1）证明：翻折前，因为四边形ABCD为平行四边形，603,1DACCD=，,在三角形ACD中，由正弦定理可得sinsinACCDADCCAD=，31sin60sinCAD=,1分 1sin2CAD=，又ACCD，故30CAD=.2分 所以90ACD=，即CDAC，3 分 因为5PD=,2,1PCCD=,所以222PCCDPD+=,则有CDPC.5分 PCACC=，AC,PC 平面APC，所以CD 平面APC，6 分（2）由（1）CD 平面APC，且CD 平面ADC，所以平面ADC 平面APC.在平行四边形ABCD中，B

9、AAC，即PAAC,故PA平面ADC.7分 以点C为坐标原点，CD、CA、AP的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则()0,0,0C,()1,0,0D,()0,3,1P,()0,3,0A，8分#QQABBYaEogCgAJJAABhCQQHiCkMQkAEACAoGxAAIMAAAiRNABCA=#数学答案 第3页（共 8 页）设()()1,3,0,3,0ADAM=，其中01，则()()()0,3,0,3,0,33,0CMCAAM=+=+=，()0,3,1CP=，9 分 设平面MCP的法向量为(),x y z=m，则()30330yzCMCPxy=+=+=mm，取y=，则3z=

10、，()31x=，所以，()()31,3=m，11 分 易知平面CPA的一个法向量为()1,0,0=n，12 分 则()2223(1)2 39cos,13313=+m nm nmn，整理可得215210+=，因为01，解得15=，14 分 因此，线段PC上存在点M，使二面角MABC的余弦值为2 3913，且14AMMD=.15分 17本小题主要考查导数及其应用、函数的零点和不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性满分 15分 解法一：（1）1()s

11、inexfxax+=，(0)ef=,2分 又(0)efa=，所以切线方程为eeyxa=+，3 分 又切线过点(1,2)，得2ee+a=，所以2a=4分 所以1()2cosexf xx+=，1()2sinexfxx+=，当0,x时，()0fx，所以()f x在0,上单调递减，6分 所以()f x的最小值为1()2ef+=.7分（2）判断()f x在2(,0)3零点个数，等价于判断方程12cosexx+=根的个数，等价于判断方程12cos1exx+=根的个数.8分 令12cos()exxg x+=，2(,0)3x 12sin2cos()exxxg x+=,令()g x=0,则sin()04x+=，

12、得4x=10分 当2(,)34x 时，()0g x，()g x在2(,)34单调递增；#QQABBYaEogCgAJJAABhCQQHiCkMQkAEACAoGxAAIMAAAiRNABCA=#数学答案 第4页（共 8 页）当(,0)4x 时，()0g x，()g x在(,0)4单调递减12 分 21321()03eg=，3e()13eg=，2(0)1eg=，（或143()2e21 11.41444g=+）所以2(,0)3x 时，方程()1g x=有 2根，所以()f x在2(,0)3有 2 个零点15 分 解法二：（1）1()sinexfxax+=，(0)ef=,2 分 所以切线方程为ee2

13、yx=+，3 分 因此切点为(0,2e)，得2eea=，所以2a=4分 所以1()2cosexf xx+=，1()2sinexfxx+=，当0,x时，()0fx，所以()f x在0,上单调递减，6分 所以()f x的最小值为1()2ef+=.7分（2）由（1）得1()2cosexf xx+=，1()2sinexfxx+=，8分 令1()2sinexh xx+=，则1()2cosexh xx+=在2,03上为减函数，9分 132()1e03h=，12()e02h=，所以在2,32上()h x必有一个零点0 x，使得0()0h x=，10分 从而当02,3xx 时，()0h x，当()0,0 xx

14、时，()0h x，所以()h x在02,3x上单调递增，在()0,0 x上单调递减.11分 又133e03h=，12()2e02h=，(0)e0h=，所以在,02上()h x必有一个零点1x，使得1()0h x=12分 当12,3xx 时，()0h x，即()0fx，此时()f x单调递增；当1(,0)xx时，()0h x，即()0fx，此时()f x单调递减13分#QQABBYaEogCgAJJAABhCQQHiCkMQkAEACAoGxAAIMAAAiRNABCA=#数学答案 第5页（共 8 页）又因为131e03f=，12e02f=，131e03f=，(0)2e0f=，所以()f x在,

15、23上有一个零点，在,03上有一个零点14 分 综上，()f x在2,03有且只有 2 个零点15 分 18.本小题主要考查全概率公式、概率的分布列及期望、递推数列及等比数列等基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析和数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性满分 17分 （1）记第i次取出的球是黑球为事件iA，*iN，则21212()()AA AA A=，1 分 根据全概率公式得2121121()()(|)()(|)P AP AP AAP AP AA=+2分 =32447777+3分

16、=61622494949+=4 分 所以第 2次取出黑球的概率为2249.（2）(i)由题知得2X的可能取值为：1，3，55分 则326(1)7749P X=;354431(3)777749P X=+=;4312(5)7749P X=;8 分 故2X的分布列为：2X 1 3 5 P 649 3149 1249 9分 所以263112159()13549494949E X=+=.10分 (ii)设第1n 次完成操作后袋中黑球数为k（0,1,2,7k=）则7107()(1)(1)()77nnkkkE XkkP Xk=+=7105(1)()7nkkP Xk=+=#QQABBYaEogCgAJJAAB

17、hCQQHiCkMQkAEACAoGxAAIMAAAiRNABCA=#数学答案 第6页（共 8 页）7711005()()7nnkkkP XkP Xk=+=15()17nE X=+，13 分（也可以按如下方法得出递推关系：1111()()()()11()177nnnnnE XE XE XE XE X=+15()17nE X=+.）（若通过特殊性入手得出递推关系得 2分）即15()()17nnE XE X=+，由此得1757()()272nnE XE X=，15分 又因为0071()3,()22E XE X=，16分 所以715()()227nnE X=，即157()()272nnE X=+.1

18、7分 19.本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、双曲线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性，满分 17 分（1）证明：设(,)P x y，由题意可知()coscos cossinsincossinxOPrrxy=+=，()sinsincoscos sinsincosyOPrrxy=+=+=+，所以cossin,sincos.xxyyxy=+2分 故当3,0 xy=，且=4时，63cos,4263sin.42xy=所以66,22P.4

19、分（2）（i）设曲线C上的任一点(),P x y绕原点O顺时针旋转6后得到的点为(,)P x y，可视为(,)P x y绕原点O逆时针旋转6后得到的点(),P x y，所以31cossin,662213sincos.6622xxyxyyxyxy=+=+6 分#QQABBYaEogCgAJJAABhCQQHiCkMQkAEACAoGxAAIMAAAiRNABCA=#数学答案 第7页（共 8 页）由点(),P x y在曲线33:32C yxx=+上，所以 1333132232231222xyxyxy+=+，整理得2213yx=，8分 即曲线C绕原点O顺时针旋转6后得到的曲线方程为2213yx=，该

20、曲线为双曲线，离心率为 2.9 分（ii）由曲线22:5568xyxy+=，可知当点(),x y，满曲曲线方程时，点(),y x，(),yx，也满曲该曲线方程，故曲线关于直线yx=和yx=对称，10分 设曲线上任一点(),P x y绕原点O顺时针旋转4后得到的点为(,)P x y，则()()2cossin,4422sincos.442xxyxyyxyxy=+=+11 分 由点(),P x y在曲线22:5568xyxy+=上，所以22288xy+=，即旋转4后得到的曲线方程为椭圆：2214xy+=，其右焦点坐标为()3,0，12分 由（1）可知，其为点66,22绕原点O顺时针旋转4后得到的点，

21、故点66,22F为原椭圆的右焦点 由FM为ABF的外角平分线，所以sinsinAFMBFM=,故1sin21sin2FAMFBMMF FAAFMSMAFASMBFBMF FBBFM=.13 分 设1122(,),(,)A x yB xy，221114xy+=，222221111111133(3)2 312 342442xxFAxyxxxx=+=+=+=，同理2322FBx=，14分#QQABBYaEogCgAJJAABhCQQHiCkMQkAEACAoGxAAIMAAAiRNABCA=#数学答案 第8页（共 8 页）设00(,)M xy，显然M在线段AB的延长线或反向延长线上，所以101022322322xxxMAMBxxx=，15 分 所以10212201123333(2)2(2)22222x xxx xx xxx x+=+，210213()2()2xx xxx=，得04 33x=.16 分 所以点P的轨迹为直线4 33x=，故F到P的最短距离为4 33333=.17分#QQABBYaEogCgAJJAABhCQQHiCkMQkAEACAoGxAAIMAAAiRNABCA=#