2024年高中数学16个重要二级结论.pdf

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1、高中数学高中数学 1616 个二级结论个二级结论 结论一结论一 奇函数的最值性质奇函数的最值性质已知函数 f(x)是定义在集合 D 上的奇函数,则对任意的 xD,都有 f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数 f(x)在 D 上有最值,则 f(x)max+f(x)min=0,且若 0D,则 f(0)=0.例 1 设函数22(1)sin()1xxf xx的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=.跟踪跟踪集训集训 1.(1)已知函数2()ln(1 93)1f xxx,则1(lg2)(lg)2ff=()A.-1 B.0C.1D.2(2)对于函数 f(x)=asin x+bx+c(其中,a,bR,

2、cZ),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(-1),所得出的正确结果一定不可能是()A.4 和 6 B.3 和 1C.2 和 4D.1 和 2结论二结论二 函数周期性问题函数周期性问题 已知定义在 R 上的函数 f(x),若对任意的 xR,总存在非零常数 T,使得 f(x+T)=f(x),则称 f(x)是周期函数,T 为其一个周期.常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果 f(x+a)=-f(x)(a0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a.(2)如果 f(x+a)=1()f x(a0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a.(3)如果 f(x+a)

3、+f(x)=c(a0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a.(4)如果 f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=6a.例 2 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f 3()2x=-f(x),且 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(2 014)+f(2 015)=()来源:Zxxk.ComA.-2 B.-1 C.0 D.1跟踪集训跟踪集训 2.(1)奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=()A.-2 B.-1 C.0

4、D.1(2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=2log(1),0,(1)(2),0,x xf xf xx则 f(2 014)=()A.-1 B.0 C.1 D.22024年高中数学16个重要二级结论2024年高中数学16个重要二级结论结论三结论三 函数的对称性函数的对称性 已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数.(1)若 f(a+x)=f(b-x)恒成立,则 y=f(x)的图象关于直线 x=2ab对称,特别地,若 f(a+x)=f(a-x)恒成立,则 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称.(2)若 f(a+x)+f(b-x)=c,则 y=f(x)的图象关于点(,)22ab c

5、中心对称.特别地,若 f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.例 3 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=f(1-x),且在1,+)上是增函数,不等式 f(ax+2)f(x-1)对任意的x1,12恒成立,则实数 a 的取值范围是()A.-3,-1 B.-2,0 C.-5,-1 D.-2,1 跟踪集训跟踪集训 3.(1)若偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则 f(-1)=.(2)函数 y=f(x)对任意 xR 都有 f(x+2)=f(-x)成立,且函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(

6、1)=4,则 f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 .结论四结论四 反函数的图象与性质反函数的图象与性质 若函数 y=f(x)是定义在非空数集 D 上的单调函数,则存在反函数 y=f-1(x).特别地,y=ax与 y=logax(a0 且 a1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线 y=x 对称,即(x0,f(x0)与(f(x0),x0)分别在函数 y=f(x)与反函数 y=f-1(x)的图象上.例 4 设点 P 在曲线 y=12 ex上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为()A.1-ln 2 B.2(1-ln 2)C.1+ln 2 D.

7、2(1+ln 2)来源:学科网 ZXXK 跟踪集训跟踪集训 4.若 x1满足 2x+2x=5,x2满足 2x+2log2(x-1)=5,则 x1+x2=()A.52 B.3 C.72 D.4 结论五结论五 两个对数、指数经典不等式两个对数、指数经典不等式 1.对数形式:1-11xln(x+1)x(x-1),当且仅当 x=0 时,等号成立.2.指数形式:exx+1(xR),当且仅当 x=0 时,等号成立.例 5 设函数 f(x)=1-e-x.证明:当 x-1 时,f(x)1xx.跟踪集训跟踪集训 5.(1)已知函数 f(x)=1ln(1)xx,则 y=f(x)的图象大致为()(2)已知函数 f(

8、x)=ex,xR.证明:曲线 y=f(x)与曲线 y=12x2+x+1 有唯一公共点.结论六结论六 三点共线的充要条件三点共线的充要条件 设平面上三点 O,A,B 不共线,则平面上任意一点 P 与 A,B 共线的充要条件是存在实数 与,使得OPOAOB,且1.特别地,当 P 为线段 AB 的中点时,1122OPOAOB.例 6 已知 A,B,C 是直线 l 上不同的三个点,点 O 不在直线 l 上,则使等式20 x OAxOBBC成立的实数 x 的取值集合为()A.-1 B.C.0 D.0,-1 跟踪集训跟踪集训6.在梯形ABCD中,已知ABCD,AB=2CD,M、N分别为CD、BC的中点.若

9、ABAMAN,则 .结论七结论七 三角形三角形“四心四心”的向量形式的向量形式 设 O 为ABC 所在平面上一点,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,则(1)O 为ABC 的外心|2sinaOAOBOCA.(2)O 为ABC 的重心 0OAOBOC.(3)O 为ABC 的垂心 OA OBOB OCOC OA.(4)O 为ABC 的内心 0aOAbOBcOC.例 7 已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足1(1)(1)(12),3OPOAOBOCR,则点 P的轨迹一定经过()A.ABC 的内心 B.ABC 的垂心 C.ABC 的重心 D.AB 边的中点 跟踪集训跟踪集训

10、 7.(1)P 是ABC 所在平面内一点,若PA PBPB PCPC PA,则 P 是ABC 的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心(2)O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足,(0,)2OBOCOPAP,则 P 点的轨迹一定通过ABC 的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心(3)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足(),0,)|ABACOPOAABAC,则 P的轨迹一定通过ABC 的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 结论八结论八 等差数列等差数列 1.若 Sm,S2m,S3m分别为等差数列an的前 m 项

11、,前 2m 项,前 3m 项的和,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.2.若等差数列an的项数为 2m,公差为 d,所有奇数项之和为 S奇,所有偶数项之和为 S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,1mmSaSa奇偶.3.若等差数列an的项数为 2m-1,所有奇数项之和为 S奇,所有偶数项之和为 S偶,则所有项之和 S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,1SmSm奇偶.例 8(1)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=()A.3 B.4 C.5 D.6(2)

12、等差数列an的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-2ma=0,S2m-1=38,则 m 等于 .跟踪集训跟踪集训 8.(1)等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 S10=20,S20=50,则 S30=.(2)一个等差数列的前 12 项和为 354,前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 3227,则数列的公差 d=.结论九结论九 等比数列等比数列 已知等比数列an,其公比为 q,前 n 项和为 Sn.(1)数列1na也为等比数列,其公比为1q.(2)若 q=1,则 Sn=na1,且an同时为等差数列.(3)若 q1,则 Sn=11111(1)()11111nnnnaa qa

13、qaaaqqqqqqq.(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等比数列(q-1 或 q=-1 且 n 为奇数),其公比为 qn.(5)Sn,2nnSS,32nnSS,仍为等比数列,公比为2nq.例 9(1)已知an是首项为 1 的等比数列,Sn是an的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列1na的前 5 项和为()A.158或 5 B.3116或 5 C.3116 D.158(2)设等比数列an的前 n 项和为 Sn,若63SS=3,则96SS=()A.2 B.73 C.83 D.3 跟踪集训跟踪集训 9.在等比数列an中,公比为 q,其前 n 项和为 Sn.已知 S5=3116,a3

14、=14,则1234511111aaaaa .结论十结论十 多面体的外接球和内切球多面体的外接球和内切球 1.长方体的体对角线长 d 与共点三条棱长 a,b,c 之间的关系为 d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半径为 R,则有(2R)2=a2+b2+c2.2.棱长为 a 的正四面体内切球半径 r=612a,外接球半径 R=64a.例 10 已知一个平放的各棱长为 4的三棱锥内有一个小球 O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时,小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于()A.76 B.43 C.23 D.2

15、跟踪集训跟踪集训 10.(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是 1,且其外接球的表面积是 16,则该三棱柱的侧棱长为()A.14 B.2 3 C.4 6 D.3 (2)已知正三角形 ABC 的三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,点 E 是线段AB 的中点,过点 E 作球 O 的截面,则截面面积的最小值是()A.74 B.2 C.94 D.3 结论十一结论十一 焦点三角形的面积公式焦点三角形的面积公式 1.在椭圆22221xyab(ab0),F1,F2分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则PF1F2的面积1 22tan2PF FSb,其中=F1

16、PF2.2.在双曲线22221xyab1(a0,b0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则PF1F2的面积1 22tan2PF FbS,其中=F1PF2.例 11 已知 F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且F1PF2=3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.4 33 B.2 33 C.3 D.2 跟踪集训跟踪集训 11.(1)如图,F1,F2是椭圆 C1:2214xy与双曲线 C2的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2为矩形,则 C2的离心率是()A.2 B.3 C.32 D.62 (2)已知

17、 F1,F2是椭圆 C:22221xyab(ab0)的两个焦点,P 为椭圆 C 一上点,且12PFPF.若PF1F2的面积为9,则 b=.结论十二结论十二 圆锥曲线的切线问题圆锥曲线的切线问题 1.过圆 C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点 P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.2.过椭圆22221xyab上一点 P(x0,y0)的切线方程为00221x xy yab.3.已知点 M(x0,y0),抛物线 C:y2=2px(p0)和直线 l:y0y=p(x+x0).(1)当点 M 在抛物线 C 上时,直线 l 与抛物线 C 相切,其中 M 为切

18、点,l 为切线.(2)当点 M 在抛物线 C 外时,直线 l 与抛物线 C 相交,其中两交点与点 M 的连线分别是抛物线的切线,即直线 l 为切点弦所在的直线.(3)当点 M 在抛物线 C 内时,直线 l 与抛物线 C 相离.例 12 已知抛物线 C:x2=4y,直线 l:x-y-2=0,设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B为切点,当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程.跟踪集训跟踪集训 12.(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为()A.2x+y-3

19、=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0(2)设椭圆 C:22143xy,点 P3(1,)2,则椭圆 C 在点 P 处的切线方程为 .结论十三结论十三 圆锥曲线的中点弦问题圆锥曲线的中点弦问题 1.在椭圆 E:22221xyab(ab0)中:(1)如图所示,若直线 y=kx(k0)与椭圆 E交于 A,B 两点,过 A,B两点作椭圆的切线l,l,有 ll,设其斜率为 k0,则 k0k=22ba.(2)如图所示,若直线 y=kx 与椭圆 E 交于 A,B 两点,P 为椭圆上异于 A,B 的点,若直线 PA,PB 的斜率存在,且分别为k1,k2,则 k1k2=22ba.

20、(3)如图所示,若直线 y=kx+m(k0 且 m0)与椭圆 E 交于 A,B 两点,P 为弦 AB 的中点,设直线 PO 的斜率为 k0,则k0k=22ba.提醒该结论常变形为:以椭圆22221xyab内任意一点(x0,y0)为中点的弦 AB 的斜率 k=2020 xbay.2.在双曲线 E:22221xyab(a0,b0)中,类比上述结论有:(1)k0k=22ba.(2)k1k2=22ba.(3)k0k=22ba.例 13 已知椭圆 E:22221xyab(ab0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则椭圆 E 的方程

21、为()A.2214536xy B.2213627xy C.2212718xy D.221189xy 跟踪集训跟踪集训 13.(1)椭圆 C:22143xy的左,右顶点分别为 A1,A2,点 P 在椭圆上且直线 PA2的斜率的取值范围是-2,-1,那么直线 PA1的斜率的取值范围是 .(2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的直线交椭圆22142xy于 P,A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k.对任意 k0,求证:PAPB.结论十四结论十四 圆锥曲线中的一类定值问题圆锥曲线中的一类定值问题 在

22、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点 P(非顶点)与曲线上的两动点 A,B 满足直线 PA 与 PB 的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线 AB 的斜率为定值.图示 条件 结论 已知椭圆22221xyab(ab0),定点P(x0,y0)(x0y00)在椭圆上,A,B 是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0 直线 AB 的斜率 kAB为定值2020b xa y 已知双曲线22221xyab(a,b0),定点P(x0,y0)(x0y00)在双曲线上,A,B 是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足 kPA

23、+kPB=0 直线 AB 的斜率 kAB为定值2020b xa y 已知抛物线y2=2px(p0),定点P(x0,y0)(x0y00)在抛物线上,A,B 是抛物线上两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为 kPA,kPB,且满足 kPA+kPB=0 直线 AB 的斜率 kAB为定值0py 例14 已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足 kPA+kPB=0.证明:直线 AB 的斜率 kAB为定值,并求出该定值.跟踪集训跟踪集训 14.已知椭圆 C:22143xy,A 为椭圆上的定点且坐标为31,2（）,E

24、,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE的斜率与 AF 的斜率互为相反数.证明:直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值.结论十五结论十五 圆锥曲线中的一类定点问题圆锥曲线中的一类定点问题 若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆22221xyab(ab0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点2222(,0)abaab.同理,当以 AB 为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线 lAB过定点2222(,0)abaab.(2)对于双曲线22221xyab(a0,b0)上异于右顶点的两动点 A

25、,B,以 AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线 lAB过定点2222(,0)abaab.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为2222(,0)abaab.(3)对于抛物线 y2=2px(p0)上异于顶点的两动点 A,B,若0OA OB,则弦 AB 所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p0)上异于顶点的两动点 A,B,若OAOB,则直线 AB 过定点(0,2p).例 15 已知抛物线 y2=2px(p0)上异于顶点的两动点 A,B 满足以 AB 为直径的圆过顶点.求证:AB 所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.跟踪集训跟踪集训 15.已知椭圆22143xy,直线 l:y

26、=kx+m 与椭圆交于 A,B 两点(A,B 不是左、右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.结论十六结论十六 抛物线中的三类直线与圆相切问题抛物线中的三类直线与圆相切问题 AB 是过抛物线 y2=2px(p0)焦点 F 的弦(焦点弦),过 A,B 分别作准线 l:2p的垂线,垂足分别为 A1,B1,E 为 A1B1的中点.(1)如图所示,以 AB 为直径的圆与准线 l 相切于点 E.(2)如图所示,以 A1B1为直径的圆与弦 AB 相切于点 F,且|EF|2=|A1A|BB1|.(3)如图所示,以 AF 为直径的圆与 y 轴相切.例 16 过

27、抛物线 y2=2px(p0)的对称轴上一点 A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于 M,N 两点,自 M,N 向直线 l:x=-a作垂线,垂足分别为 M1,N1.当 a=2p时,求证:AM1AN1.跟踪集训跟踪集训 16.已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点,若0MA MB,则 k=.答案全解全析答案全解全析 结论一结论一 奇函数的最值性质奇函数的最值性质 跟踪集训 1.(1)D 令 g(x)=ln(-3x),xR,则 g(-x)=ln(+3x),因为 g(x)+g(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)=ln(1+9

28、x2-9x2)=ln 1=0,所以 g(x)是定义在 R 上的奇函数.又 lg=-lg 2,所以 g(lg 2)+g=0,所以 f(lg 2)+f=g(lg 2)+1+g+1=2.故选 D.(2)D 令 g(x)=f(x)-c=asin x+bx,易证 g(x)是奇函数.又 g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)-c=f(-1)+f(1)-2c,而 g(-1)+g(1)=0,c 为整数,f(-1)+f(1)=2c 为偶数.1+2=3 是奇数,故不可能,选 D.结论二结论二 函数周期性问题函数周期性问题 来源来源:学学,科科,网网 跟踪集训 2.(1)D 由 f(x+2)是偶函数可得 f

29、(-x+2)=f(x+2),又由 f(x)是奇函数得 f(-x+2)=-f(x-2),所以 f(x+2)=-f(x-2),f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),故 f(x)是以 8 为周期的周期函数,所以 f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,所以 f(8)=f(0)=0,故 f(8)+f(9)=1,故选 D.(2)C 当 x0 时,有 f(x)=f(x-1)-f(x-2),同理有 f(x+1)=f(x)-f(x-1),+得 f(x+1)=-f(x+2),即 f(x+3)=-f(x).所以 f(x+6)=-f(x+3)=f(

30、x),T=6.故 f(2 014)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log22-0=1,故选 C.结论三结论三 函数的对称性函数的对称性 跟踪集训 3.(1)答案 3 解析 因为 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,所以 f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又 f(-x)=f(x),所以 f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.(2)答案 4 解析 因为函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以 f(x)是 R 上的奇函数.f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故 f(x)的周期为 4.所以 f(

31、2 017)=f(5044+1)=f(1)=4,所以 f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f(2 014)=0,所以 f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.结论四结论四 反函数的图象与性质反函数的图象与性质 跟踪集训 4.C 因为 2x+2x=5,所以 x+2x-1=,同理 x+log2(x-1)=,令 t=x-1,则 x=t+1,即 t1是 t+2t=的解,t2是 t+log2t=的解,且 t1=x1-1,t2=x2-1.如图所示,t1为函数 y=2t与 y=-t 的图象交点 P 的横坐标,t2为函数 y=lo

32、g2t 与 y=-t 的图象交点 Q 的横坐标,所以P(t1,),Q(t2,log2t2),所以 P,Q 为对称点,且 t1+t2=t1+=t1+=.所以 x1+x2=t1+1+t2+1=+2=.故选 C.结论五结论五 两个对数、指数经典不等式两个对数、指数经典不等式 跟踪集训 5.(1)B 由题意得 f(x)的定义域为x|x-1 且 x0,所以排除选项 D.令 g(x)=ln(x+1)-x,则由经典不等式 ln(x+1)x 知,g(x)0 恒成立,故 f(x)=0,即 m24k2+3,即 m24k2+3,因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),所以(x1-2,y1)(x2-2,y2

33、)=0,即 x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,即 x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.把代入化简得 7m2+16km+4k2=0,得 m=-2k 或 m=-.当 m=-2k 时,直线 l:y=kx-2k 过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;当 m=-时,直线 l:y=kx-过定点,且满足 m24k2+3,符合题意.所以 l:y=kx+m 过定点.结论十六结论十六 抛物线中的三类直线与圆相切问题抛物线中的三类直线与圆相切问题 跟踪集训 16.答案 2 解析 如图所示,因为=0,所以 MAMB,故点 M 在以 AB 为直径的圆上,又准线为 x=-2,直

34、线 AB 经过焦点F(2,0),所以有 MFAB,又 kMF=-,所以 kAB=2.高中数学高中数学 127127 个快速解题公式个快速解题公式 第第 1 1 章章 集合集合 1 1、有限集合子集个数：、有限集合子集个数：子集个数：2n个，真子集个数：12n个；2 2、集合里面重要结论：、集合里面重要结论：ABAAB=；ABABA=；ABAB ABAB=3 3、同时满足求交集，分类讨论求并集、同时满足求交集，分类讨论求并集 4 4、集合元素个数公式：、集合元素个数公式：()()()()n ABn An Bn AB=+第第 2 2 章章 函数函数 5 5、几个近似值：、几个近似值：21.414,

35、31.732,52.236,3.142,2.718e 6 6、分数指数幂公式：、分数指数幂公式：nmnmaa=7 7、对数换底公式：、对数换底公式：log1log;logloglogcaacbbbbaa=8 8、单调性单调性的快速法：的快速法：.增增增；增减增；.减减减；减增减；.乘正加常，单调不变：.乘负取倒，单调不变：9 9、奇偶性的快速法：、奇偶性的快速法：.奇奇奇；偶偶偶；.奇()奇偶；偶()偶偶；奇()偶奇；1010、函数的切线方程：、函数的切线方程：000()()yyfxxx=1111、函数有零点、函数有零点minmax()0()0f xf x 1212、函数无零点、函数无零点ma

36、xmin()0()0f xf x或 1313、函数周期性：、函数周期性：()()f axf bx+=+的周期Tba=；1414、函数对称性：、函数对称性：()()f axf bx+=的对称轴2abx+=；1515、抽象函数对数型：抽象函数对数型：若()()()f xyf xf y=+，则()logaf xx=；1616、抽象函数指数型：抽象函数指数型：若()()()f xyf x f y+=，则()xf xa=；1717、抽象函数正比型：抽象函数正比型：若()()()f xyf xf y+=+，则()f xkx=；1818、抽象函数一次型：抽象函数一次型：若()fxc=，则()f xcxb=+

37、；1919、抽象函数导数型：抽象函数导数型：若()()fxf x=，则()xf xke=或()0f x=;2020、两个重要不等式：、两个重要不等式：1ln(1)1(0)ln1xxexxxexxx+=当且仅当时“”成立 2121、洛必达法则：、洛必达法则：()()()()limlimxaxaf xfxg xg x=(当()0()0f xg x或时使用)2222、恒成立问题：、恒成立问题：maxmin(1)()()(2)()()af xaf xaf xaf x思路：思路：思路 1：(1)()()()()0h xf xg xh x=（常规首选方法）思路 2：minmax()()f xg x（思路

38、1 无法完成）第第 3 3 章章 数列数列 2424、等差数列通项公式：、等差数列通项公式：1(1)naand=+2525、等差数列通项公式：、等差数列通项公式：11()(1)22nnn aan nSnad+=+2626、等比数列通项公式：、等比数列通项公式：11nnaa q=2727、等比数列通项公式：、等比数列通项公式：11(1)11nnnaa qaqSqq+=2828、等差数列的性质：、等差数列的性质：若mnpq+=+，则mnpqaaaa+=+2929、等比数列的性质：、等比数列的性质：若mnpq+=+，则mnpqa aa a=3030、等差中项：、等差中项：若,a A b成等差数列，则

39、2Aab=+3131、等比中项：、等比中项：若,a G b成等比数列，则2Gab=3232、裂项相消法、裂项相消法 1 1：若111(1)1n nnn+=，则有1111nnTnn=+3333、裂项相消法、裂项相消法 2 2：若1111(2)22n nnn+=，则有1111(1)2212nTnn=+3434、裂项相消法、裂项相消法 3 3：若111111nnnnaadaa+=，则有11111()nnTd aa+=3535、裂项相消法、裂项相消法 4 4：若1111(21)(21)22121nnnn+=，则有11(1)221nTn=+3636、错位相减法求和通式：、错位相减法求和通式：11 12(

40、)1(1)1nnnndq bba b qabTqqq=+第第 4 4 章章 三角函数三角函数 3737、三角函数的定义：、三角函数的定义：正弦：sinyr=；余弦：cosxr=；正切：tanyx=；其中：22rxy=+3838、诱导公式：、诱导公式：倍加减名不变，符号只需看象限；半加减名要变，符号还是看象限。3939、和差公式：、和差公式：sin()sincoscossin=（伞科科伞，符号不反）cos()coscossinsin=（科科伞伞，符号相反）tantantan()1tantan=（上同下相反）4040、二倍角公式：、二倍角公式：sin22sincos=2222cos2cossin1

41、2sin2cos1=22tantan21tan=4141、降幂公式：、降幂公式：.sin2sincos2=.21 cos2sin2=.21cos2cos2+=4242、辅助角公式、辅助角公式:22sincossin().(tan,0)bawxbwxabwxaa+=+=4343、正弦定理：、正弦定理：2sinsinsinabcRABC=4444、余弦定理：、余弦定理：222222cos2cos2bcaAabcbcAbc+=+222222cos2cos2acbBbacacBac+=+222222cos2cos2abcCcababCab+=+4545、三角形最值原理：三角形最值原理：三角形中一个角及

42、其对边已知时、另外两边或两角相等时周长取得最小值，面积取得最大值；第第 5 5 章章 向量向量 4646、向量加法、向量加法的作图的作图：上终下起，中间消去；ABBCAC+=4747、向量减法、向量减法的作图的作图：起点相同，倒回来读；CC=4848、向量平行的判定：、向量平行的判定：(1)向量法:/=abba;(2)向量法:1221/0abx yx y=4949、向量垂直的判定：向量垂直的判定：(1)向量法:0aba b=;(2)向量法:12120abx xy y+=5050、向量的数量积公式：向量的数量积公式：(1)向量法:cosa ba b=;(2)向量法:1212=a b x xy y

43、+5151、向量的夹角公式：、向量的夹角公式：(1)向量法:cos=a ba b;(2)向量法:121222221122cos=x xy yxyxy+5252、a方向方向上的上的单位向量单位向量:(1)向量法:aea=;(2)向量法:1122221111=,xyaeaxyxy=+5353、证明、证明A A、B B、C C三点共线三点共线两种方法两种方法：(1)两个向量,AB AC 共线且有一个公共点 A；(2)(1)PAxPByPC xy=+=第第 6 6 章章 立体几何立体几何 5454、线线角向量法公式：、线线角向量法公式：cosa ba b=5555、线面角、线面角：(1)向量法公式：s

44、ina ma m=；(2)几何法公式：sinxha=5656、二面、二面角：角：(1)向量法公式：cosm nm n=；(2)几何法公式：cosSS=射影原图 5757、点面距、点面距：(1)向量法公式：xm ABhm=；(2)几何法公式：1 12xS hhS=5858、多面体的内切球半径：、多面体的内切球半径：123nVrSSS=+5959、长方体的外接球半径：、长方体的外接球半径：2222Rabc=+6060、直棱锥的外接球半径：、直棱锥的外接球半径：222()22sinhRrarA=+=6161、正棱锥的外接球半径：、正棱锥的外接球半径：222()2sinRrhRarA=+=6262、正

45、三角形的性质：、正三角形的性质：高：32ha=，面积：234Sa=6363、正三角形与圆：、正三角形与圆：内切圆半径：36ra=，外接圆半径：33Ra=，且21Rr=6464、正四面体的高：、正四面体的高：斜高：32ha=斜，正高：63ha=正 6565、正四面体与球：、正四面体与球：内切球半径r，外接球半径R，且31Rr=且rRh+=正 第第 7 7 章章 解析几何解析几何 6666、圆的定义、圆的定义:若PAPB，则P的轨迹为以AB为直径的圆 6767、椭圆的定义、椭圆的定义:若12122(2)PFPFaaFF+=,则P的轨迹为以1 2F F为焦点,2a为长轴的椭圆 6868、双曲线的定义

46、、双曲线的定义:若12122(2)PFPFaaFF=,则P的轨迹为以1 2F F为焦点,2a为实轴的双曲线 7070、抛物线的定义：、抛物线的定义：到定点(,0)2pF和到定直线：2px=的距离相等的点P的轨迹为为双曲线 7171、直线的、直线的纵斜截式纵斜截式方程方程：bkxy+=；直线过y轴上点为(0,)Bb且不竖直于x轴 7272、直线的、直线的横斜截式横斜截式方程方程：xmya=+；直线过x轴上点为(,0)A a且不平行于x轴 7373、直线平行、直线平行：)(/212121bbkkll=；或01221=BABA 7474、直线垂直、直线垂直：12121=kkll；或02121=+BB

47、AA 7575、点点距公式：点点距公式：212212)()(yyxxAB+=7676、点线距公式：、点线距公式：2200BACByAxd+=7777、线线距公式：线线距公式：1222CCdAB=+7878、点差法点差法的斜率公式的斜率公式：220022000,b xb xpkkka ya yy=双椭抛 7979、通用、通用弦长弦长公式：公式：2212121()4lkxxx x=+,()4)11(212212yyyykl+=8080、圆的弦长圆的弦长公式公式：222lrd=8181、焦半径公式（带坐标）、焦半径公式（带坐标）：(1)椭圆中：0,MFaex=；(2)双曲线：0,MFexa=(3)抛

48、物线：20pxMF+=8282、焦半径公式（倾斜角）：、焦半径公式（倾斜角）：(1)椭圆中：2(1cos)bae；(2)双曲线：2(1cos)bae；(3)抛物线：1 cosp 8383、焦点弦公式（倾斜角）：、焦点弦公式（倾斜角）：(1)椭圆中：2222(1cos)bae；(2)双曲线：2222(1cos)bae；(3)抛物线：22sinp 8080、抛物线的焦点弦长：、抛物线的焦点弦长：2122222sinkplxxppk+=+=8181、椭圆的焦点三角形面积：、椭圆的焦点三角形面积：122tan2F PFSb=8282、双曲线焦点三角形面积：、双曲线焦点三角形面积：122cot2F PF

49、Sb=8383、双曲线双曲线的焦渐距为：的焦渐距为：b(虚半轴)8484、椭圆的离心率公式：、椭圆的离心率公式：221cbeaa=8585、双曲线的离心率公式：、双曲线的离心率公式：22211cbekaa=+=+渐 8686、圆锥曲线的离心率、圆锥曲线的离心率公式公式：1cos1e=+8787、椭圆、椭圆、双曲线通径公式：双曲线通径公式：22bPQa=8888、抛物线的通径公式：、抛物线的通径公式：2PQp=8989、抛物线焦点弦圆：抛物线焦点弦圆：以抛物线焦点弦为直径的圆必与准线相切；9090、抛物线焦点弦性质：、抛物线焦点弦性质：112,AFBFp+=9191、抛物线焦点直线的韦达定理：、

50、抛物线焦点直线的韦达定理：22212121212222,4pkpx xxxpy ypyykk+=+=+=9292、解析几何中的向量问题：、解析几何中的向量问题：2121yyxxOBOA+=,1212(,)OAOBxx yy+=+9393、向量与夹角问题：、向量与夹角问题：(1)AOB钝角0OA OB ;(3)AOB直角（OAOB）0OA OB=9494、向量与圆的问题：、向量与圆的问题：P与以AB为直径的圆的位置关系：(1)P在圆内：APB钝角0PA PB ;9595、坐标轴平分角问题：、坐标轴平分角问题：12120kkkk=+=第第 8 8 章章 概率统计概率统计 9696、频方图的频率、频