2024年高考数学专项突破累加法累乘法求数列通项（解析版）.pdf

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1、累加法累乘法求数列通项累加法累乘法求数列通项【必备知识点】累加法累加法若数列 an满足an+1an=f(n)(nN*)，则称数列 an为“变差数列”，求变差数列 an的通项时，利用恒等式an=a1+(a2a1)+(a3a2)+(anan1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+f(n1)(n2)求通项公式的方法称为累加法.具体步骤：a2-a1=f(1)a3-a2=f(2)a4-a3=f(3)an-an-1=f(n-1)将上述n-1个式子相加(左边加左边，右边加右边)得：(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=f(1)+f(2)+f(3)+f(n-1)整理得：an-a

2、1=f(1)+f(2)+f(3)+f(n-1)1 1 已知数列 an满足a1=1，对任意的nN N都有an+1=an+n+1，则a10=()A.36B.45C.55D.662 2 已知数列 an满足an+1-an=2n，a1=1，则a5=()A.30B.31C.22D.233 3 已知数列 an满足a1=2，an+1-an=1n n+1，则a10=()A.238B.289C.2910D.32111.1.已知数列an满足a2=2,a2n=a2n-1+3n(nN*)，a2n+1=a2n+(-1)n+1(nN*)，则数列an第2022项为()A.31012-52B.31012-72C.31011-5

3、2D.31011-722.2.已知数列an满足an+1-an=2n(nN)，a2=3，则a8=()A.511B.502C.256D.2553.3.已知数列 an满足a1=2,an+1=an-n,则求a100=4.4.数列 an中，a1=1,an+1=an+1n2+n，则a5=.5.5.已知数列 an满足a1=1，且an-an-1=n,(n2)，若bn=12an，n为正整数，则数列 bn的前n项和Sn=12024年高考数学专项突破累加法累乘法求数列通项（解析版）6.6.若数列an+1-an是等比数列，且a1=1，a2=2，a3=5，则an=累乘法累乘法若数列 an满足an+1an=f(n)(nN

4、*)，则称数列 an为“变比数列”，求变比数列 an的通项时，利用an=a1a2a1a3a2a4a3anan1=a1 f(1)f(2)f(3)f(n1)(n2)求通项公式的方法称为累乘法。具体步骤：a2a1=f(1)a3a2=f(2)a4a3=f(3)anan-1=f(n-1)将上述n-1个式子相乘(左边乘左边，右边乘右边)得：a2a1a3a2a4a3anan-1=f(1)f(2)f(3)f(n-1)整理得：ana1=f(1)f(2)f(3)f(n-1)4 4已知a1=1，an=n an+1-annN N+，则数列 an的通项公式是an=()A.2n-1B.n+1nn+1C.n2D.n5 5若

5、数列 an满足 n-1an=n+1an-1n2,a1=2，则a4=()A.2B.6C.12D.206 6设 an是首项为1的正项数列，且 n+1a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,)，则它的通项公式是a100=()A.100B.1100C.101D.11017 7已知数列 an满足(n+2)an+1=(n+1)an，且a2=13，则an=()A.n-1n+1B.12n-1C.n-12n-1D.1n+11.1.若数列 an满足 n-1an=n+1an-1n2，a1=2，则满足不等式 an 870 的最大正整数n为()A.28B.29C.30D.3122.2.已知数列 an满足

6、a1=13，an=2n-32n+1an-1(n2，nN N*)，则数列 an的通项an=()A.14n2-1B.12n2+1C.12n-12n+3D.1n+1n+33.3.数列 an满足：a1=23，2n+2-1an+1=2n+1-2annN*，则 an的通项公式为.4.4.已知数列 an，bn满足a1=12，an+1=anan+1，bn=1an+1，bn的前n项和为Sn，前n项积为Tn则Sn+2Tn=5.5.在数列 an中，a1=12，an=n-1n+1an-1n2，则数列 an的通项公式an=.6.6.已知数列 an的前n项和为Sn，且满足通项公式a1=2021,Sn=n2an，则a202

7、1=【过关检测】一、单选题一、单选题1数列 an满足a1=1，且对任意的m,nN*都有am+n=am+an+mn，则1a1+1a2+1a3+1a201=()A.201101B.400201C.200201D.1992002已知Sn是等差数列 an的前n 项和，其中S3=6,S4=10，数列 bn满足b1=1，且bn+an=bn+1，则数列 bn的通项公式为()A.n2+22B.n2-n+22C.n22D.n2+n+223已知数列an满足an+1-an=2n(nN),a2=3，则a1+a2+a3+a8=()A.511B.255C.256D.5024已知a1=2,an+1=n+1nan，则a201

8、6=()A.504B.1008C.2016D.40325已知数列an满足a1=2，an=n(an+1-an)(nN*)，则数列an的通项公式为an=()A.2nB.n+1nnC.n2+1D.n+16已知数列a1，a2a1，a3a2，an+1an，是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列 an中的项的是()A.16B.128C.32D.647已知数列 an满足a1=1，an=n an+1-an，则数列 an的通项公式为an=()A.2n-1B.n+1nn-1C.n2D.n3二、填空题二、填空题8已知数列 an满足a1=1，an=an-1+2n-1(n2,nN)，则a6=9设数列 an满足

9、a1=1，an+1-an=n，则an=10已知数列 an满足a1=2,an+1-2=an+2n nN，则数列1an 的前2022项的和为.11已知数列 an的首项为1，前n项和为Sn，且nSn+1=n+2Sn，则数列 an的通项公式an=.12已知数列 an满足：a1=12，a1+a2+an=n2an，则a10=13已知数列 an中，a1=2,an+1=n+2nan，则数列 an的通项公式an=.三、解答题三、解答题14已知数列 an满足a1=3，an-an-1=8n-4 n2(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列1an 的前n项和Tn15已知数列 an满足：a1=1,a2=3,a3=7,

10、an+1-an为等差数列.(1)求数列 an的通项公式；(2)若cn=an+1-74，证明：1c1+1c2+1cn0，an+1=nn+1an，即an+1an=nn+1，a2a1a3a2anan-1=1223n-1n，即ana1=1n，又a1=1，an=1n，a100=1100，故选：B57 7已知数列 an满足(n+2)an+1=(n+1)an，且a2=13，则an=()A.n-1n+1B.12n-1C.n-12n-1D.1n+1【答案】D【解析】数列an满足(n+2)an+1=(n+1)an，且a2=13，a1=12，an+1an=n+1n+2，anan-1=nn+1，an-1an-2=n-

11、1n，a2a1=23，累乘可得：anan-1an-1an-2a2a1=nn+1n-1nn-2n-123，可得：an=2n+112=1n+1故选：D1.1.若数列 an满足 n-1an=n+1an-1n2，a1=2，则满足不等式 an 870 的最大正整数n为()A.28B.29C.30D.31【答案】A【解析】解：由 n-1an=n+1an-1n2，得anan-1=n+1n-1，所以an=a1a2a1a3a2anan-1=23142n+1n-1=n2+n因为an870，所以n2+n-8700，解得-30n0，依次有an0根据an+1=anan+1可得1an-1an+1=1an+1，故Sn=b1

12、+b2+bn=1a1-1a2+1a2-1a3+1an-1an+1=1a1-1an+1=2-1an+1.由an+1=anan+1可得bn=1an+1=anan+1，从而Tn=b1b2bn=a1a2a2a3anan+1=12an+1，故Sn+2Tn=2-1an+1+212an+1=2，故答案为：2.5.5.在数列 an中，a1=12，an=n-1n+1an-1n2，则数列 an的通项公式an=.【答案】1n n+1【解析】因为an=n-1n+1an-1n2，a1=12，所以an0 nN*，所以当n2时，anan-1=n-1n+1，所以an=anan-1an-1an-2a3a2a2a1a17=n-1

13、n+1n-2n241312=1n n+1(n2)当n=1，a1=112=12满足上式，所以an=1n n+1.故答案为：1n n+16.6.已知数列 an的前n项和为Sn，且满足通项公式a1=2021,Sn=n2an，则a2021=【答案】11011【解析】因为Sn=n2an，所以n2时，an=Sn-Sn-1=n2an-n-12an-1，即 n-12an-1=n2-1an，化简得anan-1=n-1n+1，又a1=2021，所以an=anan-1an-1an-2an-2an-3a3a2a2a1a1=n-1n+1n-2nn-3n-124132021=4042n n+1，检验n=1时也成立，所以a

14、n=4042n n+1，所以a2021=40422021 2021+1=11011，故答案为：11011.【过关检测】一、单选题一、单选题1数列 an满足a1=1，且对任意的m,nN*都有am+n=am+an+mn，则1a1+1a2+1a3+1a201=()A.201101B.400201C.200201D.199200【答案】A【解析】已知am+n=am+an+mn，令m=1可得an+1=a1+an+n=an+n+1，则n2时，an-an-1=n,an-1+an-2=n-1，a3-a2=3,a2-a1=2，将以上式子累加可得an-a1=n+n-1+3+2，则an=n+n-1+3+2+1=n+

15、1n2，n=1时也符合，则an=n+1n2，1an=2n+1n=21n-1n+1，则1a1+1a2+1a3+1a201=281-12+12-13+1201-1202=2 1-1202=201101.故选：A.2已知Sn是等差数列 an的前n 项和，其中S3=6,S4=10，数列 bn满足b1=1，且bn+an=bn+1，则数列 bn的通项公式为()A.n2+22B.n2-n+22C.n22D.n2+n+22【答案】B【解析】设等差数列 an的公差为d，因为S3=6,S4=10，所以3a1+322d=64a1+432d=10，解得a1=1d=1，所以an=a1+(n-1)d=1+n-1=n，因为

16、bn+an=bn+1，所以bn+1-bn=an=n，所以b2-b1=1，b3-b2=2，b4-b3=3，bn-bn-1=n-1，所以bn-b1=1+2+3+(n-1)=n(n-1)2，因为b1=1，所以bn=n(n-1)2+1=n2-n+22，故选：B3已知数列an满足an+1-an=2n(nN),a2=3，则a1+a2+a3+a8=()A.511B.255C.256D.502【答案】D【解析】由题设，a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23，an-an-1=2n-1且n2，所以an-a1=2+22+.+2n-1=2n-2，又a2=3，则a1=1，故an=2n-1，显然a1=1也满足

17、an=2n-1.所以a1+a2+a3+a8=2+22+.+28-8=2(28-1)-8=502.故选：D4已知a1=2,an+1=n+1nan，则a2016=()A.504B.1008C.2016D.4032【答案】D【解析】由a1=2,an+1=n+1nan可得：an+1an=n+1n，故 a2016=a2016a2015a2015a2014a2a1a1=2016201520152014212=4032，9故选：D.5已知数列an满足a1=2，an=n(an+1-an)(nN*)，则数列an的通项公式为an=()A.2nB.n+1nnC.n2+1D.n+1【答案】A【解析】解：由an=n a

18、n+1-an，得 n+1an=nan+1，即an+1an=n+1n，则anan-1=nn-1，an-1an-2=n-1n-2，an-2an-3=n-2n-3，a2a1=21，n2，由累乘法可得ana1=n，所以an=2n(n2)，又a1=2，符合上式，所以an=2n.故选：A6已知数列a1，a2a1，a3a2，an+1an，是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列 an中的项的是()A.16B.128C.32D.64【答案】D【解析】an+1=a1a2a1a3a2an+1an=121222n=21+2+n=2n n+12，当n=3时，a4=26=64故选：D7已知数列 an满足a1=1

19、，an=n an+1-an，则数列 an的通项公式为an=()A.2n-1B.n+1nn-1C.n2D.n【答案】D【解析】解：由an=n an+1-an，得 n+1an=nan+1，即an+1an=n+1n，则anan-1=nn-1，an-1an-2=n-1n-2，an-2an-3=n-2n-3，a2a1=21，n2，由累乘法可得ana1=n，所以an=n,n2，又a1=1，符合上式，所以an=n.故选：D二、填空题二、填空题8已知数列 an满足a1=1，an=an-1+2n-1(n2,nN)，则a6=【答案】63【解析】由题设，an-an-1=2n-1(n2,nN)，所以a6-a5+a5-

20、a4+a4-a3+a3-a2+a2-a1=a6-a1=25+24+23+22+21=62，又a1=1，所以a6=63.故答案为：63.109设数列 an满足a1=1，an+1-an=n，则an=【答案】n2-n+22【解析】由an+1-an=n可得，a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,an-an-1=n-1，以上各式相加可得an-a1=1+2+3+n-1=n-11+n-12=n2-n2，所以an=n2-n2+a1=n2-n2+1=n2-n+22，n=1时也满足故答案为：n2-n+2210已知数列 an满足a1=2,an+1-2=an+2n nN，则数列1an 的前2022项的和为.

21、【答案】20222023【解析】由题意可知，满足a1=2,an+1-an=2n+2，当n2时，an-an-1=2 n-1+2=2n，a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,an-an-1=2n，以上各式累加得，an=a1+a2-a1+a3-a2+a4-a3+an-an-1=2+4+6+8+2n.=(2+2n)n2=n(n+1)，当n=1时，a1=2,也满足上式，an=n(n+1)，则1an=1n(n+1)=1n-1n+1.数列1an 的前n项和为Sn=1a1+1a2+1a3=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1，S2022=20222023.故答案为：20222

22、023.11已知数列 an的首项为1，前n项和为Sn，且nSn+1=n+2Sn，则数列 an的通项公式an=.【答案】n【解析】解：nSn+1=(n+2)Sn，Sn+1Sn=n+2n当n2时，Sn=SnSn-1Sn-1Sn-2S2S1S1，=n+1n-1nn-2n-1n-3n-2n-4645342311=n(n+1)2当n=1时，S1=122=1=a1成立，Sn=n(n+1)2，11当n2时，an=Sn-Sn-1=n(n+1)2-(n-1)n2=n，当n=1时，a1=1满足上式，an=n.故答案为：n12已知数列 an满足：a1=12，a1+a2+an=n2an，则a10=【答案】1110【解

23、析】因为a1+a2+an=n2an，所以a1+a2+an-1=(n-1)2an-1(n2)，两式相减可得an=n2an-(n-1)2an-1(n2)，整理得anan-1=(n-1)2n2-1=n-1n+1(n2)，所以a10a9a9a8a8a7a2a1=9118107913，整理得a10a1=211110，又a1=12，解得a10=1110.故答案为：111013已知数列 an中，a1=2,an+1=n+2nan，则数列 an的通项公式an=.【答案】n+1n【解析】由an+1=n+2nan得an+1an=n+2nanan-1=n+1n-1an-1an-2=nn-2an-2an-3=n-1n-

24、3a4a3=53a3a2=42a2a1=31，n2,nN以上式子相乘得ana1=n+1n12，又a1=2an=n+1n，又a1=2符合an=n+1nan=n+1n故答案为：n+1n.三、解答题三、解答题14已知数列 an满足a1=3，an-an-1=8n-4 n2(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列1an 的前n项和Tn【答案】(1)an=4n2-112(2)Tn=n2n+1【解析】(1)当n2时，an-an-1+an-1-an-2+a2-a1=8n-4+8n-12+12=8n-4+12n-12=4n2-4，即an-a1=4n2-4，则an=4n2-1，当n=1时，a1=3，满足an=4

25、n2-1，综上所述，当nN*时，an=4n2-1.(2)因为an=4n2-1，所以1an=14n2-1=1212n-1-12n+1，则Tn=1211-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+1=n2n+1.15已知数列 an满足：a1=1,a2=3,a3=7,an+1-an为等差数列.(1)求数列 an的通项公式；(2)若cn=an+1-74，证明：1c1+1c2+1cn43.【答案】(1)an=n2-n+1；(2)证明见解析.【解析】(1)由a2-a1=2,a3-a2=4，故 an+1-an的公差为d=2，an+1-an=a2-a1+n-12=2n，an=an-an-1+a

26、n-1-an-2+a2-a1+a1=2 n-1+2 n-2+2+1=n2-n+1 n2，当n=1时，a1=1满足an=n2-n+1，故对nN N*,an=n2-n+1；(2)证明：cn=(n+1)2-n+1+1-74=n2+n-34=n-12n+32，故1cn=1n-12n+32=42n-12n+3=12n-1-12n+3，故1c1+1c2+1cn=11-15+13-17+15-19+12n-1-12n+3=11+13-12n+1-12n+30，则an+1=2an，则an+1an=2，所以，数列 an是公比为2的等比数列，a1=2，an=22n-1=2n；(2)由an+2=4an+1-3an，

27、得：an+2-an+1=3 an+1-an，又a2-a1=6，所以，数列 an+1-an是以6为首项，3为公比的等比数列，13得an+1-an=63n-1=23n，当n2时，a2-a1=231，a3-a2=232，an-an-1=23n-1，累加得an-a1=2 3+32+3n-1=23 1-3n-11-3=3n-3，a1=2，则an=3n-1，a1=2也满足an=3n-1，故对任意的nN，an=3n-1.17已知数列an满足a1=1，a2=3，an+2-2an+1=an+1-2an(nN*)证明：数列an+1-an是等比数列，并求an的通项公式；【答案】证明见解析，an=2n-1【解析】解：

28、因为an+2-2an+1=an+1-2an(nN*)，所以an+2-an+1=2(an+1-an)，又a2-a1=20，所以an+1-an是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以an+1-an=2n，当n2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+21+1=1-2n1-2=2n-1，而a1=1也满足an=2n-1，所以an=2n-1；18设Sn为数列 an的前n项和，已知a1=1，且满足Sn=n2an.(1)求数列 an的通项公式；(2)若等差数列 bn的前n项和等于1an,cn=(-1)bnb2n，求数列 cn的前n项和Mn.【答案】(1

29、)an=2n(n+1)(2)当n为奇数时，Mn=-n-1；当n为偶数时，Mn=n.【解析】(1)因为Sn=n2an所以当n2时，Sn-1=(n-1)2an-1-可得：an=n2an-(n-1)2an-1，整理可得anan-1=n-1n+1则a2a1a3a2a4a3anan-1=132435n-2nn-1n+1所以ana1=2n(n+1)，所以当n2时an=2n(n+1)易知n=1时上式也成立，所以数列 an的通项公式为an=2n n+1(2)记等差数列 bn的公差为d，由题可得nb1+n(n-1)d2=n(n+1)2，即dn2+(2b1-d)n=n2+n所以d=12b1-d=1，解得d=1,b1=1，所以bn=n所以cn=(-1)n2n所以Mn=-2+4-6+8-+(-1)2n当n为奇数时，Mn=-2+(4-6)+(8-10)+(-1)n-12(n-1)+(-1)n2n=-2-2n-12=-n-1；14当n为偶数时，Mn=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+(-1)n-12(n-1)+(-1)n2n=2n2=n.15