2024高考数学专项概率之超几何分布、二项分布、正态分布（解析版）.pdf

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1、概率之超几何分布、二项分布、正态分布概率之超几何分布、二项分布、正态分布目录一览目录一览一、典型例题讲解二、梳理必备知识三、基础知识过关四、解题技巧实战五、跟踪训练达标(1)超几何分布(2)二项分布(3)正态分布六、高考真题衔接一、典型例题讲解一、典型例题讲解【典例1】【典例1】一个袋子里10个大小相同的球，其中有黄球4个，白球6个(1)若每次随机取出一个球，规定：如果取出黄球，则放回袋子里，重新取球；如果取出白球，则停止取球，求在第3次取球之后停止的概率；(2)若从袋中随机摸出3个球作为样本，若有放回的摸球，求恰好摸到2个白球的概率；(3)若从袋中随机摸出3个球作为样本，若不放回的摸球，用X

2、表示样本中白球的个数，求X的分布列和均值【典例2】【典例2】在一次联考中某两校共有3000名学生参加，成绩的频率分布直方图如图所示：(1)求在本次考试中成绩处于 110,130内的学生人数.2024高考数学专项概率之超几何分布、二项分布、正态分布（解析版）(2)以两校这次考试成绩估计全省考生的成绩情况，现从全省考生中随机选取3人，记成绩在110分(包含110)以上的考生人数为X，求X的分布列和数学期望.【典例【典例3 3】在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？(2)

3、若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？附正态分布3概率表：P(-X+)0.682 7，P(-2X+2)0.954 5，P(-3X+3)0.997 3【典例详解】【典例详解】【典例【典例1 1】【分析】(1)先根据题意，理解第三次取球之后停止的意义是指前两次都是取到黄球，且有放回取球，第三次取到白球，利用独立事件概率公式计算即可；(2)利用独立重复试验的概率公式计算；(3)利用超几何分布公式计算分步列，并根据定义计算期望值(均值).【详解】解：(1)每次随机取出一个球，设摸出一个黄球为事件A，摸出一个白球为事件B.P(A)=410=25，P(B)=610=35

4、，设在第3次取球之后停止为事件C，则P(C)=P(A)2P(B)=25235=12125；(2)设恰好摸到2个白球为事件D，则P(D)=C2335225=54125；(3)X=0，1，2，3(写出随机变量的可能取值，可以酌情给分)依题意X服从超几何分布P(X=k)=C3-k4Ck6C310,k=0,1,2,3.(不写出此形式不扣分)P(X=0)=C34C06C310=130，P(X=1)=C24C16C310=310，P(X=2)=C14C26C310=12，P(X=3)=C04C36C310=16.X0123P1303101216均值为E(X)=0130+1310+212+316=95.【典

5、例【典例2 2】【分析】(1)读图可得处于 110,130的频率为0.0120=0.2，结合总人数可得解；(2)由题意，可知XB 3,14，列出分布列，计算数学期望即得解.【详解】(1)110,130的频率为0.0120=0.2 110,130的人数为30000.2=600人(2)由频率分布直方图可知，110及以上的考生概率为 0.01+0.002520=0.25=14(二项分布必然要找出“成功”的概率 p和实验次数n)因此全省考生中随机选取3人，成绩在110及以上的考生人数XB 3,14P X=k=Ck314k1-143-k=Ck314k343-k,k=0,1,2,3X0123P276427

6、64964164由于XB 3,14，EX=np=314=34【典例【典例3 3】【分析】(1)利用正态分布的性质得到成绩在90分以上(含90分)的概率，进而求得总人数；(2)利用正态分布的性质得到成绩在80分以上(含80分)的概率，进而结合(1)中所得总人数求得.【详解】(1)设参赛学生的成绩为X，因为XN(70，100)所以=70，=10.(确定和是第一要素，确定之后写出“3原则”对应的范围及其概率)则P(X90)=P(X50)=121-P(50X90)=121-P(-2X+2)12(1-0.954 5)=0.022 75，120.022 75527(人)因此，此次参赛学生的总数约为527人

7、(2)由P(X80)=P(X60)=121-P(60X80)=121-P(-X+)12(1-0.682 7)=0.158 65，5270.158 6584(人)因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人解题技巧：解题技巧：区别超几何分布和二项分布的关键信息一般有两个：（1）n个正品中的n是否能够确定具体数值（一般不会很大）（2）题目中是否出现“将频率视为概率”这句话，有的话一般是二项分布；正态分布题型确定和是第一要素，确定之后写出“3原则”对应的范围及其概率，一般与二项分布及其应用结合考查！二、梳理必备知识二、梳理必备知识1.1.二项分布(1)一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数

8、，设每次试验中事件A发生的概率为p，不发生的概率q=1-p，那么事件A恰好发生k次的概率是P X=k=Cknpkqn-k(k=0，1，2，n)于是得到X的分布列X01knpC0np0qnC1np1qn-1Cknpkqn-kCnnpnq0由于表中第二行恰好是二项式展开式q+pn=C0np0qn+C1np1qn-1+Cknpkqn-k+Cnnpnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率注：各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数二项分布是放回抽样问题，

9、在每次试验中某一事件发生的概率是相同的(2)若XB(n,p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p)2.2.超几何分布(1)在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件 X=k发生的概率为P(X=k)=CkMCn-kN-MCnN，k=0，1，2，m，其中m=min M，n，且nN，MN，n，M，NN*，称分布列为超几何分布列如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布X01mPC0MCn-0N-MCnNC1MCn-1N-MCnNCmMCn-mN-MCnN超几何分布和二项分布的区别(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；(2)超几何分布是

10、“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取(独立重复)，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.3.3.正态分布(1)随机变量X落在区间(a，b的概率为P(aXb)=ba,(x)dx，即由正态曲线，过点(a，0)和点(b，0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X落在区间(a，b的概率的近似值一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(a0，P(-aX+a)=+a-a,(x)dx为下图中阴影部分的面积，对于固定的和a而言，该面积随着的减小而变大这说明越小，X落在区间(-a,+a的概率越大，即X集中在周

11、围的概率越大特别地，有P(-X+)=0.6826；P(-2X+2)=0.9544；P(-3X+3)=0.9974由P(-3X+3)=0.9974，知正态总体几乎总取值于区间(-3，+3)之内而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取(-3，+3)之间的值，并简称之为3原则三、基础知识过关三、基础知识过关一、单选题单选题1.1.设10件同类型的零件中有 2件是不合格品，从其中任取 3件，以 X表示取出的3件中的不合格的件数，则P X=1=()A.15B.25C.815D.715

12、2.2.设袋子中有10个同样大小的球，其中有4个红球，6个白球，今从中任取5个球，令 X=“任取的5个球中红球的个数”，则P X=2=()A.821B.623C.1021D.13313.3.如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则P(X1)=()A.57B.47C.27D.174.4.工厂为赶上618的电商大促，甲车间连夜生产了 10个产品，其中有6个正品和4个次品，若从中任意抽取4个，则抽到的正品数比次品数少的概率为()A.1942B.435C.542D.8215.5.某校为全体

13、高中学生开设了 15 门校本课程，其中人文社科类 6 门，科学技术类 6 门，体育美育类 3门.学校要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的 8 门课程.从全校高中学生中随机抽取一名学生，设该学生选择的人文社科类的校本课程为X门，则下列概率中等于C56C39C815的是()A.P X3B.P X=3C.P X5D.P X=56.6.已知随机变量X服从二项分布XB 6,13，则P X=2等于()A.1316B.4243C.13243D.802437.7.某试验每次成功的概率为 p 0p1，现重复进行 10 次该试验，则恰好有 7 次试验未成功的概率为()A.C310p31-p7B.C310p71

14、-p3C.p31-p7D.p71-p38.8.从一个装有 4 个白球和 3 个红球的袋子中有放回地取球 5 次，每次取球 1 个，记 X 为取得红球的次数，则D(X)=()A.157B.207C.2521D.60499.9.若XB 20,12，则P(X=k)取得最大值时，k=()A.4或5B.6或7C.8D.1010.10.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入 A袋或B袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A袋中的概率为()A.14B.12C.34D.4511.11.设随机变

15、量XN 1,2，P 1X0=()A.0.68B.0.56C.0.78D.0.2212.12.设随机变量XN 7,2，若P(X14-a)=0.3，则P(Xa)=()A.0.7B.0.4C.0.3D.0.613.13.某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布 N 120,2，已P(X140)=0.2，则X100,140的学生人数为()A.5B.10C.20D.3014.14.某科研院校培育蜜橘新品种，新培育的蜜橘单果质量(单位：g)近似服从正态分布N(90,4)，现有该新品种蜜橘10000个，估计单果质量不大于96g的蜜橘个数为()附：若XN,2，则P(-X+)=0.6826,P(-2X+

16、2)=0.9544,P(-3X+3)=0.9974A.8413B.9772C.9974D.998715.15.4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间(单位：h)XN 8,4，则下列说法错误的是()A.该校学生每周平均阅读时间为8hB.该校学生每周阅读时间的标准差为2C.若该校有10000名学生，则每周阅读时间在46h的人数约为2718D.该校学生每周阅读时间不低于4h的人数约占2.28%四、解题技巧实战四、解题技巧实战1.1.由商务部和北京市人民政府共同举办的 2020年中国国际服务贸易交易会(简称服贸会)于9月4日开幕，主题为“全球服务，互惠共享”.某高校为了调查学生对服贸会的了

17、解情况，决定随机抽取 100名学生进行采访.根据统计结果，采访的学生中男女比例为3:2，已知抽取的男生中有10名不了解服贸会，抽取的女生中有25名了解服贸会，请你解答下面所提出的相关问题(1)完成22列联表，并回答“是否有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”.了解情况性别了解不了解合计男生女生合计100(2)若从被采访的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人在校内开展一次“介绍服贸会”的专题活动，记抽取男生的人数为，求出的分布列及数学期望.附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+dP K2k00.150.100.0

18、50.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.2.河北省将从2018年秋季入学的高一年级学生开始实施高考综合改革，不分文理科，实行新的学业水平考试制度某校为研究高一学生选修物理与性别是否有关，随机选取100名学生进行调查，数据如下：男生女生总计选修物理363268不选修物理161632(1)从独立性检验角度分析，能否有90%的把握认为性别与是否选修物理有关？(2)从选取的100名学生中任取一名，求该同学选修物理的概率；(3)将上述调查所得频率视为概率，现从该校(该校高一学生很多)所有高一女生中随机抽3人，记被抽取的女生

19、中选修物理的人数为X，求X的分布列及数学期望附：K2=a+b+c+dad-bc2a+ba+cb+dc+dP K2k00.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.8283.3.甲、乙两企业生产同一种型号零件，按规定该型号零件的质量指标值落在 45，75)内为优质品.从两个企业生产的零件中各随机抽出了500件，测量这些零件的质量指标值，得结果如下表：甲企业：分组25,35)35,45)45,5)55,5)65,5)75,5)85,95频数1040115165120455乙企业：分组25,5)35,5)45,5)55,5)65,

20、5)75,5)85,5频数56011016090705(1)已知甲企业的500件零件质量指标值的样本方差s2=142，该企业生产的零件质量指标值X服从正态分布N,2，其中近似为质量指标值的样本平均数x(注：求x时，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，2近似为样本方差s2，试根据企业的抽样数据，估计所生产的零件中，质量指标值不低于71.92的产品的概率.(精确到0.001)(2)由以上统计数据完成下面22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个企业生产的零件的质量有差异.甲厂乙厂总计优质品非优质品总计附：参考数据：142 11.92，参考公式：若XN,2，则P(-X

21、+)=0.6826，P(-2X+2)=0.9544，P(-3X0.9，则可判断y与x线性相关较强()2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d附表：0.100.050.0100.001x2.7063.8416.63510.8288.8.(20232023 湖南张家界湖南张家界 统考二模统考二模)2022年底，新冠病毒肆虐全国，很多高三同学也都加入羊羊行列某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式现随机抽取 200 名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40%，线下人数占60%，通过分别统计他们的数学成绩得到了如下两个频率分部直方图：其中 50,70称为合格

22、，70,90称为中等，90,110称为良好，110,130称为优秀，130,150称为优异(1)根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分(同一组数据可取该组区间的中点值代替)；(2)现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还是来自线下考试的可能性大(3)现从样本中线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求k的值二项分布二项分布9.9.(20232023 陕西西安陕西西安 统考二模统考二模)某学校在假期安排了“垃圾分类知识普及实践活动”，为了解学生的学习成果，该校对全校学生进行了测试，并随机抽取 5

23、0名学生的成绩进行统计，将其分成以下 6组：40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100，整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a的值；(2)若将频率视为概率，从全校成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示这3人中成绩在 90,100中的人数，求随机变量X的分布列及数学期望.10.10.(20232023春春 四川成都四川成都 高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为 37.2%，城乡居民达到 国民体质测定标准 合格以上的人数比例达到 90%以上.某市一健身

24、连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图 1 为会员年龄分布图(年龄为整数)，图 2 为会员一个月内到健身房次数分布扇形图.若将会员按年龄分为“年轻人”(20 岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)两类，将一个月内到健身房锻炼 16次及以上的会员称为”健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有56是“年轻人”.年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图的数据，补全上方22列联表，并判断是否有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关？(2)将(1)中相应的频率作为概率，该

25、健身连锁机构随机选取3名会员进行回访，设3名会员中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.附：K2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d.P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82811.11.(20232023 全国全国 模拟预测模拟预测)课外阅读不仅能开阔学生的视野、陶冶学生的情操、开发学生的智力，还能使学生具有远大的理想、执着的追求通过阅读，可以与名人对话接受思想熏陶，可以跨越时空了解古今中外获取丰富知识某校实践活动小组为了调查本校学生每日课外阅读的时间，从该

26、校随机选取了200名同学进行调查，得到如下数据：课外阅读时间t(单位：min)0,1515,3030,4545,6060,7575,9090,105人数166575201284(1)从该校任选1名同学，估计该同学每日课外阅读的时间小于45min的概率；(2)估计该校同学每日课外阅读的时间的中位数；(3)用频率估计概率，若在该校随机挑选4名同学，记这4名同学课外阅读时间在 60,90的人数为随机变量，求的分布列和数学期望12.12.(20232023 云南红河云南红河 统考二模统考二模)某市教育行政部门为开展普及法律常识的宣传教育活动，增强学生的法律意识，提高自身保护能力，在全市中小学生范围内，

27、组织了一次法律常识知识竞赛(满分100分)，现从所有参赛学生的竞赛成绩中随机抽取 200份，经统计，这200份成绩全部介于 30,100之间，将数据按照 30,40，40,50，90,100分成七组，得到如下频数分布表：竞赛成绩(单位：分)30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100人数(单位：人)6143074422311(1)试估计该市竞赛成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和第80百分位数(保留一位小数)；(2)以样本频率值作为概率的估计值，若从该市所有参与竞赛的学生中，随机抽取3名学生进行座谈，设抽到60分及以上的学生人数为X，求X的分布列

28、和数学期望13.13.(20232023 全国全国 模拟预测模拟预测)某单位开展职工文体活动，其中跳棋项目比赛分为初赛和决赛，经过初赛后，甲、乙、丙三人进入决赛决赛采用以下规则：抽签确定先比赛的两人，另一人轮空，后面每局比赛由前一局胜者与轮空者进行，前一局负者轮空；甲、乙进行比赛，甲每局获胜的概率为23，甲、丙进行比赛，甲每局获胜的概率为12，乙、丙进行比赛，乙每局获胜的概率为34；先取得两局胜者为比赛的冠军，比赛结束假定每局比赛无平局且每局比赛互相独立通过抽签，第一局由甲、乙进行比赛(1)求甲获得冠军的概率(2)记比赛结束时乙参加比赛的局数为，求的分布列和数学期望14.14.(2023202

29、3春春 河南商丘河南商丘 高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习)已知甲、乙两所体校都设有三个考试科目：足球、长跑、跳远若小明报考甲体校，其每个科目通过的概率均为23，若小明报考乙体校，则其足球、长跑、跳远三个科目通过的概率依次为34，23，m，其中 0 m 1，且每个科目是否通过相互独立(1)若m=34，A表示事件“小明报考甲体校时恰好通过2个科目”，B表示事件“小明报考乙体校时至多通过2个科目”，求P A，P B；(2)若小明报考甲体校相比报考乙体校，通过的科目数的期望值更大，求m的取值范围15.15.(20232023春春 河北衡水河北衡水 高三河北衡水

30、中学校考阶段练习高三河北衡水中学校考阶段练习)第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12、12、13，通过初赛后再通过决赛的概率均为13，假设他们之间通过与否互不影响(1)求这3人中至多有2人通过初赛的概率；(2)求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；(3)某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔

31、赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为12，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好16.16.(20232023 山东青岛山东青岛 统考一模统考一模)今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试(满分 100分)，随机抽取了100名学生的测试成绩，按照 60,70，70,80，8

32、0,90，90,100分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用P X=k表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在 90,100上的概率，求P X=k取最大值时对应的k的值；(3)从测试成绩在 90,100的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望正态分布正态分布17

33、.17.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：(1)试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；(2)设该公路上机动车的行车速度v服从正态分布N,2，其中，2分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差s2(经计算s2=210.25).(i)请估计该公路上10000辆机动车中车速不

34、低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：(ii)现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为X，求X的数学期望.附注：若N,2，则P-+=0.6827，P-2+2=0.9545，P-3+3=0.9973.参考数据：292=841.18.18.(20232023 山东济南山东济南 一模一模)为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试，得到如下表格：序号i12345678910成绩xi(分)38414451545658647480记

35、这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x，s2，经计算10i=1x1-x2=1690，10i=1x2i=33050(1)求x；(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N,2，用x，s2的值分别作为，2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间 30,82的人数为Y，求Y的数学期望E Y附：若N,2，则P(-+)0.6827，P(-2+2)0.9545，P(-3+3)0.997319.19.(2023202

36、3 贵州贵州 校联考二模校联考二模)某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的 200 名职工进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的 50名，统计其考核成绩(单位；分)，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这50名职工考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数t(精确到0.01)；(2)若该单位职工的考核成绩X服从正态分布N,2，其中“近似为50名职工考核成绩的平均数x,2近似为样本方差s2，经计算得s2=27.68，利用该正态分布，估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有多少名？(结果四舍五入保留整数.)附参考数据与公式：27.68 5.26，X

37、N,2，则P(-X+)=0.6826，P(-2X+2)=0.9544，P(-3X+3)=0.9974.20.20.(20232023 全国全国 模拟预测模拟预测)某公司新研发一种电子产品，准备从甲、乙两个代加工厂中选择一个进行生产，为此先让甲、乙两个代加工厂分别试生产 20件产品，通过检测，将甲工厂试生产产品的质量分数(单位：分)按照88，90)，90，92)，92，94)，94，96)，96，98)，98，100分组，得到频率分布直方图如图所示，乙工厂试生产产品的质量分数分别为 86，89，89，90，90，92，92，93，93，93，93，93，93，93，95，95，95，98，98，

38、100.已知产品质量越好，质量分数越高.以频率估计概率，以样本估计总体.(1)已知甲工厂试生产产品的质量分数的方差为7.29，乙工厂试生产产品的质量分数的平均数为93，判断该公司应该选择哪个工厂进行生产，并说明理由(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)现将质量分数低于92分的产品定为二等品，质量分数不低于92分的产品定为一等品，已知每生产一件二等品的利润为300元，每生产一件一等品的利润为400元，估计(1)中选择的工厂生产一件产品的利润；(3)根据甲工厂试生产产品的质量分数，可以近似认为甲工厂生产产品的质量分数服从正态分布N,2(用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值

39、)，求甲工厂生产产品的质量分数在90.8，98.9内的概率(结果精确到0.01).参考数据：若随机变量服从正态分布N(,2)，则P(-a f+a)0.6827，P(-2 f+2)0.9545，P(-3+3)0.9973，7.29=2.7.21.21.(20232023 内蒙古赤峰内蒙古赤峰 赤峰二中校联考模拟预测赤峰二中校联考模拟预测)某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收为了了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩，统计其亩产量x(单位：吨 t)，并以此为样本绘制

40、了如图所示的频率分布直方图(1)求这100亩水稻平均亩产量的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位)；(2)若该品种水稻的亩产量x近似服从正态分布N,2，其中为(1)中平均亩产量的估计值，0.15若该县共种植10万亩该品种水稻，试用正态分布估计亩产量不低于0.6t的亩数；(3)将频率视为概率，若从所有种植该品种水稻的田地中随机抽取3亩进行分析，设其亩产量不低于0.8t的亩数为，求随机变量的期望附：若随机变量X服从正态分布N,2，则P-X+=0.6826，P-2X+2=0.9544，P-3X+3=0.997422.22.(20232023 吉林长春吉林长春 校联考一模校

41、联考一模)某学校号召学生参加“每天锻炼 1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数0，5(5，10(10，15(15，20(20，25(25，30人数4153331116(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N,2，其中近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且=6.1，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)；(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15，30的学生中有30名男生，天数在0，15的学生中有20名男生，学校对

42、当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：性别活动天数合计0，15(15，30男生女生合计并依据小概率值=0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：P-X+=0.6827；P-2X+2=0.9545；P-3X+3=0.9973.2=n ad-bc2a+bc+da+cb+dn=a+b+c+d0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82823.23.(20222022秋秋 湖南长沙湖南长沙 高三宁乡一中校考阶段练习高三宁

43、乡一中校考阶段练习)云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的 云计算白皮书(2022年)可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y/亿元692962133420913229经计算得：5i=1lnyi=36.33，5i=1(xilnyi)=112.85.(1)根据以上数据，建立y关于x的回归方程y=ebx+a(e为自然对数的底数).(2)云计算为企业降低生产成本提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺

44、寸的误差N 0,4m，其中m为单件产品的成本(单位：元)，且P(-11)=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差N 0,1m.若保持单件产品的成本不变，则P(-11)将会变成多少？若保持产品质量不变(即误差的概率分布不变)，则单件产品的成本将会下降多少？附：对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回归直线y=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=ni=1xiyi-nxyni=1xi2-nx2，=y-x.若XN(,2)，则P(|X-|)=0.6827，P(X-|2)=0.9545，P(|X-|3)=0.9973.24.24.(20232023 四川凉山四

45、川凉山 二模二模)2022年12月6日全国各地放开对新冠疫情的管控，在强大的祖国庇护下平稳抗疫三年的中国人民迎来了与新冠变异毒株奥密克戎的首次正面交锋某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源从全市中小学生中随机抽取了 100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100 名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为 X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：疼痛指数XX1010X90X90人数(人)10819名称无症状感染者轻症感染者重症感染者其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者(1)统计学中常用L=P BAP BA表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比现从

46、样本中随机抽取1名学生，记事件A：该名学生为有症状感染者，事件B：该名学生为重症感染者，求似然比L的值；(2)若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似的服从正态分布N 50,2，且P X90=110若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的分布列及数学期望六、高考真题衔接六、高考真题衔接1.1.(20222022 全国全国 统考高考真题统考高考真题)在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2

47、)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间40,50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).2.2.(20202020 全国全国 统考高考真题统考高考真题)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩

48、余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.3.3.(20222022 全国全国 统考高考真题统考高考真题)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群

49、体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”P(B|A)P(B|A)与P(B|A)P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R()证明：R=P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)；()利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B)的估计值，并利用()的结果给出R的估计值附K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，P K2k0.0500.0100.001k3.8416.63510.8284.4.(20202020 北京北京 统考高考真题统考高考真题

50、)某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立()分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；()从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；()将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p