2024年高考数学专项排列组合专题16 分解法模型和最短路径问题（解析版）.pdf

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1、1专题专题 16 分解法模型和最短路径问题分解法模型和最短路径问题类型类型 1：分解模型：分解模型例 1对 33000 分解质因数得333300023511，则33000的正偶数因数的个数是（）A48B72C64D96例 25400 的正约数有（）个A48B46C36D38例 3.30030 能被多少个不同的偶数整除类型类型 2：最短路径问题：最短路径问题例 1有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A6B8C10D12例 2如图，某城市中，

2、M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）2024年高考数学专项排列组合专题16 分解法模型和最短路径问题（解析版）2A10B13C15D25例 3如图，蚂蚁从 A 沿着长方体的棱以的方向行走至 B，不同的行走路线有()A6 条B7 条C8 条D9 条例 4如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A 到 H 可走的不同的旅游路线的条数为（）A14B15C16D17例 5小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格

3、线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）A72B56C48D40例 6某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为 3 个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1,2,6)i i，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）3A21 种B24 种C25 种D27 种例 7如下图，从 A 点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达 B 点的路径的条数为_.例 8如图，甲从 A 到 B，乙从 C 到 D，两人每次都只能向上或者向右走一格，

4、如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有_对.（用数字作答）例 9如图所示线路图，机器人从 A 地经 B 地走到 C 地，最近的走法共有_种.（用数字作答）例 10如图所示，机器人明明从 A 地移到 B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从 A 移到 B 最近的走法共有_种.4例 11如图所示，机器人明明从 A 地移到 B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从 A 移到 B 最近的走法共有_种例 12如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的走法共有_种例 13某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如

5、果只能在马路上行走,则从A点到B点的最短路径的走法有_种5例 14某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜如果你在该游戏中，猜得珠子从出口 3 出来，那么你取胜的概率为()A516B532C16D以上都不对例 15如图所示，某城镇由 7 条东西方向的街道和 6 条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有45种不同的走法例 16如图所示，某城镇由 6 条东西方向的街道和 6 条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的A处走到B处

6、，使所走的路程最短，最多可以有35种不同的走法例 17某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从 3 号口出来，那么他取胜的概率为5166例 18在nn的方格中进行跳棋游戏规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格 设()f n表示从左下角“”位置开始，连续跳到右上角“”位置结束的所有不同路径的条数如图，给出了 3n时的一条路径则f（3）9；()f n例19某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少

7、种不同的走法？1专题专题 16 分解法模型和最短路径问题分解法模型和最短路径问题类型类型 1：分解模型：分解模型例 1对 33000 分解质因数得333300023511，则33000的正偶数因数的个数是（）A48B72C64D96【解析】33000的因数由若干个2（共有32102,2,2,2四种情况），若干个3（共有03,3两种情况），若干个5（共有32105,5,5,5四种情况），若干个11（共有1011,11两种情况），由分步计数乘法原理可得33000的因数共有424264，不含2的共有24216，正偶数因数的个数有641648个，即33000的正偶数因数的个数是48，故选 A.例 25

8、400 的正约数有（）个A48B46C36D38【解析】3325400235，5400 的正约数一定是由 2 的幂与 3 的幂和 5 的幂相乘的结果，所以正约数个数为(31)(31)(21)48故选：A例 3.30030 能被多少个不同的偶数整除【解析】先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=235 7 1113，依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：012345555555+32CCCCCC.类型类型 2：最短路径问题：最短路径问题例 1有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有2一个

9、方格不同即为不同走法现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A6B8C10D12【解析】如图，从入口13560出口，从入口13460出口，从入口1347891060出口，从入口13491060出口，从入口23460出口，从入口23560出口，从入口2347891060出口，从入口23491060出口，共有 8 种，故选：B3例 2如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）A10B13C15D25【解析】因为只能向东或向北两个方向向北走的路有 5 条，向东走的路有 3 条走路时向北走的

10、路有 5 种结果，向东走的路有 3 种结果根据分步计数原理知共有3515种结果，选 C例 3如图，蚂蚁从 A 沿着长方体的棱以的方向行走至 B，不同的行走路线有()A6 条B7 条C8 条D9 条【解析】共有 3 个顶点与A点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有 2 条路径到达B点，所以，蚂蚁从A沿着长方体的棱以规定的方向行走至B，不同的行走路线有：326（条），故选 A.例 4如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A 到 H 可走的不同的旅游路线的条数为（）4A14B15C16D17【解析】要到 H 点，需从 F、E、G 走过来，F、E、G

11、 各点又可由哪些点走过来，这样一步步倒推，最后归结到 A，然后再反推过去得到如下的计算方法：A 至 B、C、D 的路数记在 B、C、D 的圆圈内，B、C、D 分别到 F、E、G 的路数亦记在圈内，最后 F、E、G 各路数之和，即得到至 H 的总路数，如下图所示，易得到 17 条路线，故选 D例 5小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）A72B56C48D40【解析】由题意可得从家到水果店有 6 种走法，水果店到花店有 3 种走法，花店到医院有 4 种走法，因此一共

12、有63472（种）例 6某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为 3 个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1,2,6)i i，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）5A21 种B24 种C25 种D27 种【解析】由题意知正方形ABCD（边长为 3 个单位）的周长是 12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是 12，列举出在点数中三个数字能够使得和为 12 的有 1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，

13、3，6；5，5，2；4，4，4；共有 6 种组合，前三种组合 1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出336A种结果，3，3，6；5，5，2；有 6 种结果，4，4，4；有 1 种结果根据分类计数原理知共有24125种结果，故选：C例 7如下图，从 A 点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达 B 点的路径的条数为_.【解析】如下图所示6从点 A 到 C,D,E,F,G 的路径都只有 1 条从点 A 到点 H 的路径有 2 条，分别为ACH,AFH从点 A 到点 O 的路径有 3 条，分别为从 A 经过 H 到点 O 有 2 条和AFGO从点 A 到点 M 的路径有 3 条，分别是从点

14、 A 经过点 H 到点 M 有 2 条和ACDM从点 A 到点 P 的路径有 6 条，分别是从点 A 经过点 O 到点 P 的 3 条和从点 A 经过点 M 到点 P 的 3 条从点 A 到点 N 的路径有 4 条，分别是从点 A 经过点 M 到点 N 的 3 条和从点 A 经过点 E 到点 N 的 1 条从点 A 到点 Q 的路径有 10 条，分别是从点 A 经过点 P 到点 Q 的 6 条和从点 A 经过点 N 到点 Q 的 4 条从点 A 到点 R 的路径有 6 条，就是从点 A 经过点 P 到点 R 的 6 条所以从点 A 到点 B 的路径有 16 条，分别是从点 A 经过点 R 到点

15、 B 的 6 条和从点 A 经过点 Q 到点 B 的 10条所以到达 B 点的路径的条数为 16条故答案为：16例 8如图，甲从 A 到 B，乙从 C 到 D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有_对.（用数字作答）【解析】7甲从 A 到 B，需要向右走 4 步，向上走 4 步，共需 8 步，所以从 A 到 B 共有48C种走法，乙从 C 到 D，需要向右走 4 步，向上走 4 步，共需 8 步，所以从 A 到 B 共有48C种走法，根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径4488CC对，甲从 A 到 D，需要向右走 6

16、 步，向上走 4 步，共需 10 步，所以从 A 到 D 共有410C种走法,乙从 C 到 B，需要向右走 2 步，向上走 4 步，共需 6 步，所以从 C 到 B 共有26C种走法,所以相交路径共有42106CC对，因此不同的孤立路一共有4442881067070210151750CCCC对.故答案为：1750例 9如图所示线路图，机器人从 A 地经 B 地走到 C 地，最近的走法共有_种.（用数字作答）【解析】A 到 B 共 2 种走法，从 B 到 C 共25C种不同走法，由分步乘法原理，知从 A 地经 B 地走到 C地，最近的走法共有25220C种.故答案为：20例 10如图所示，机器人

17、明明从 A 地移到 B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从 A 移到 B 最近的走法共有_种.【解析】8AC有22A种方法；CB有36C种方法；DB有22A种方法；共有23226280AC A例 11如图所示，机器人明明从 A 地移到 B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从 A 移到 B 最近的走法共有_种【解析】分步计算，第一步AC最近走法有 2 种；第二步CD最近走法有3620C种；第三步DB最近走法有 2 种，故由AB最近走法有220280种故答案为：80例 12如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的走法共有_种【解析】9分三

18、步来考查：从A到C，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有12C种走法；从C到D，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有36C种走法；从D到B，由可知有12C种走法.由分步乘法计数原理可知，共有13126280C C C种不同的走法.故答案为：80.例 13某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从A点到B点的最短路径的走法有_种【解析】根据题意，从 A 到 B 的最短路程，只能向左、向下运动；从 A 到 B，最短的路程需要向下走 2 次，向右走 3 次，即从 5 次中任取 2 次向下，剩下 3 次

19、向右，有2510C种情况，但图中有空格，故是方法数为1037中故答案为：7.例 14某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜如果你在该游戏中，猜得珠子从出口 3 出来，那么你取胜的概率为()A516B532C16D以上都不对【解析】我们把从A到 3 的路线图单独画出来：10分析可得，从A到 3 总共有2510C种走法，每一种走法的概率都是12，珠子从出口 3 出来是25515()216C故选：A例 15如图所示，某城镇由 7 条东西方向的街道和 6 条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道现要从城镇的A处走到B处，使

20、所走的路程最短，最多可以有45种不同的走法【解析】由题意知本题有两种途径是最短的路程，ACFB其中AC有 5 法FB有 1 法，共有515法ADEB，从A到D，最短的路程需要向下走 2 次，向右走 3 次，即从 5 次中任取 2 次向下，剩下3 次向右，故有2510C种，从E到B，最短的路程需要向下走 3 次，向右走 1 次，即从 4 次中任取 3 次向下，剩下 1 次向右，故有344C种，从ADEB共有10440法，从A到B的短程线总共54045种走法故答案为：4511例 16如图所示，某城镇由 6 条东西方向的街道和 6 条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道

21、，现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有35种不同的走法【解析】由题意知本题有两种大途径是最短的路程，QACDB其中AC有 5 法DB有 1 法，共有515法AEFB其中AE有 10 种方法，FB有 3 法，共有10330法，从A到B的短程线总共53035种走法故答案为：35例 17某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从 3 号口出来，那么他取胜的概率为516【解析】我们把从顶点A到 3 的路线图单独画出来：12分析可得，从顶点A到 3 总共有2510C种走法，每一种走法的概率都是12，珠子从

22、出口 3 出来是25515()216C例 18在nn的方格中进行跳棋游戏规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格 设()f n表示从左下角“”位置开始，连续跳到右上角“”位置结束的所有不同路径的条数如图，给出了 3n时的一条路径则f（3）9；()f n【解析】由给出的33方格看出，要从左下角“”位置开始，连续跳到右上角“”位置，需要先从第一行跳到第二行，共有 3 种跳法，跳到第二行的每一个方格内要完成到达右上角“”位置，又可以看作从该方格有几种到达第三行的方法，所以该题只需思考向上走就行了，从第一行到第二行有 3 种跳法，从第二行到第三行也有 3 种跳法，故f（3）239由此可推得nn的方格中从左下角“”位置开始，连续跳到右上角“”位置的方法种数是1n个n的乘积即1()nf nn故答案分别为 9；1nn例19某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？13【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A到B需要走(2)nm段，而这些段中，必须有东西方向的(1)n段，其余的为南北方向的(1)m段，共有 1122mnm nm nCC种走法