2024届高考数学专项练习线性和非线性回归7种题型归纳（解析版）.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司线性和非线性回归线性和非线性回归 7 种题型归纳种题型归纳1回归分析如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线回归直线对应的方程叫做回归直线方程(简称回归方程)2回归方程的求解（1）求回归方程的方法是最小二乘法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据()(1,)2iix yin,，则回归方程ybxa中1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnx，aybx.其中1211,nniixxxxnnx2111nniiyyn

2、nyyy，(,)x y称为样本点的中心（2）线性回归模型ybxae，其中e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量【注意】回归直线ybxa必过样本点的中心(,)x y，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据利用回归直线方程不但可以预测在x取某一个值时，y的估计值，同时也能知道x每增加 1 个单位，y的变化量在回归直线方程中，b既表示直线的斜率，又表示自变量x的取值每增加一个单位时，函数y的改变量【题型一】线性回归【题型一】线性回归【典例分析】【典例分析】如图是某地 2014 年至 2020 年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.第1 页,共

3、2 6 页2024届高考数学专项练习线性和非线性回归7种题型归纳（解析版）学科网（北京）股份有限公司注：年份代码 17 分别对应年份 20142020.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；(2)建立y关于t的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2022 年某地生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：719.32iiy，7140.17iiit y，7210.55iiyy，72.646.参考公式：相关系数12211niiinniiiittyyrttyy，回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为121niiiniittyybtt，aybt.【变

4、变式式演演练练】1.2020 年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了 7 个月的月广告投入x（单位：万元）与月销量y（单位：万件）的数据如表所示：月广告投入x/万元1234567月销量y/万件28323545495260（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明，并求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破 70 万件第2 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司参考数据：71

5、150iiixxyy，721820iiyy，143537.88参考公式：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy；回归直线ybxa$的斜率和截距的最小二乘估计分别为121niiiniixxyybxx，aybx$2.根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村 200 名居民（未接种）5 天内每天新接种疫苗的情况，得如下

6、统计表：第x天12345新接种人数y1015192328（1）建立y关于x的线性回归方程；（2）预测该村80居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程ybxa$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221niiiniix ynxybxnx，aybx【题题型型二二】残残差差【典典例例分分析析】2018 年 9 月 17 日，世界公众科学素质促进大会在北京召开，国家主席习近平向大会致贺信中指出，科学技术是第一生产力，创新是引领发展的第一动力某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据xi，yi）（i

7、1，2，3，4，5，6），如表第3 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司试销单价 x（百元）123456产品销量 y（件）9186p787370（1）求出 p 的值；（2）已知变量 x，y 具有线性相关关系，求产品销量 y（件）关于试销单价：x（百元）的线性国归方程ybxa$（计算结果精确到整数位）；（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与 x 对应的产品销的估计值当销售数据（xi，yi）的残差的绝对值|yiy|1 时，则将销售数据称为一个“有效数据”现从这 6 组销售数中任取 2 组，求抽取的 2 组销售数据都是“有效数据”的概率参考公式及数据6116iyyi80，61iiix y16

8、06，621iix91，1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx，aybx.【变变式式演演练练】1.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.某生产企业积极响应号召，大力研发新产品.为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(,)(1,2,6)iix yi，如下表所示：已知611806iiyy.（1）求出q的值；（2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程ybxa；（3）用iy表示用正确的线性回归方程得到的与ix对应的产品销量的估计值.当

9、销售数据(,)iix y的残差的绝对值|1iiyy时，则将销售数据(,)iix y称为一个“好数据”.现从 6 个销售数据中任取 2 个，求抽取的 2 个销售数据中至少有 1 个是“好数据”的概率.第4 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司2.医学中判断男生的体重是否超标有一种简易方法，就是用一个人身高的厘米数减去 105 所得差值即为该人的标准体重比如身高 175cm 的人，其标准体重为 175-105=70 公斤，一个人实际体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了已知某班共有 30 名男生，从这 30 名男生中随机选取 6 名，其身高和体重的数据如表所示：编号123456身高（cm

10、）x165171160173178167体重（kg）y606362707158（1）从这 6 人中任选 2 人，求恰有 1 人体重超标的概率；（2）依据上述表格信息，用最小二乘法求出了体重 y 对身高 x 的线性回归方程：0.65yxa，但在用回归方程预报其他同学的体重时，预报值与实际值吻合不好，需要对上述数据进行残差分析按经验，对残差在区间3.5,3.5之外的同学要重新采集数据问上述随机抽取的编号为 3，4，5，6 的四人中，有哪几位同学要重新采集数据？参考公式：残差iiieybxa【题题型型三三】剔剔除除数数据据重重新新计计算算【典典例例分分析析】习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“

11、幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感现 S 市政府针对全市 10 所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如下表：敬老院ABCDEFGHIK满意度 x（%）20342519262019241913投资原 y（万元）80898978757165626052（1）求投资额y关于满意度x的相关系数；（2）我们约定：投资额y关于满意度x的相关系数r的绝对值在 0.75 以上（含 0.75）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即满意度最低的敬老院市财

12、政不再继续投资，改为区财政投资）.求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额y关于满意度x的线性回归方程（系数精确到 0.1）参考数据：21.9,72.1xy，1022110288.9iixx，102211037.16iiyy，10110452.1iiix yx y，第5 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司288.917.附：对于一组数据 1122,nnx yxyxy，其回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221,niiiniix ynx ybaybxxnx.线性相关系数1222211niiinniiiix ynx yrxnxyny.专题 18 概率与统计综合-2020

13、年高考数学（文）母题题源解密（全国专版）【变变式式演演练练】1.BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当 BMI 数值大于或等于 20.5 时，我们说体重较重，当 BMI 数值小于 20.5 时，我们说体重较轻，身高大于或等于 170cm 时，我们说身高较高，身高小于 170cm 时，我们说身高较矮.某中小学生成长与发展机构从某市的 320 名高中男体育特长生中随机选取 8 名，其身高和体重的数据如表所示：编号12345678身高（cm）ix166167160173178169158173体重（k

14、g）iy5758536166575066（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程0.875.9yx.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R（保留两位有效数字）；编号12345678身高（cm）ix166167160173178169158173体重（kg）iy5758536166575066残差 e0.10.30.91.50.5（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为 58（kg）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体

15、育特长生的身高与体重的线性回归方程.第6 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司参考公式：2211122221111.()nnniiiiiiiiinnniiiiiiyyxxyyx ynxyRyyxxnbxx，aybx.iiieybxa.参考数据：8178880iiix y，821226112iix，168x，58.5y，821226iiyy.河北省石家庄市第二中学（南校区）2019-2020 学年高三下学期教学质量检测模拟数学（理）试题2.某手机公司生产某款手机，如果年返修率不超过千分之一，则生产部门当年考核优秀，现获得该公司2010-2018 年的相关数据如下表所示：年份20102011

16、2012201320142015201620172018年生产量（万台）34567791012产品年利润（千万元）3.64.14.45.26.27.87.57.99.1年返修量（台）474248509283728790（1）（理）专题 1.5 概率与统计-回归分析、独立性检验-2021 年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）从该公司 2010-2018 年的相关数据中任意选取 3 年的数据，以X表示 3 年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现 2015 年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y（千万元）关于年生产量x（万台

17、）的线性回归方程（精确到 0.01）.部分计算结果：9116.29iiyy，921509iix，91434.1iiix y.附：=年返修量 台年返修率年生产量 台；线性回归方程ybxa$中，1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx，aybx.【题题型型四四】非非线线性性回回归归 1：指指数数型型【典典例例分分析析】从集市上买回来的蔬菜仍存有残留农药，食用时需要清洗数次，统计表中的x表示清洗的次数，y表示清洗x次后1千克该蔬菜残留的农药量（单位：微克）第7 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司x12345y4.52.21.41.30.6（1）在如图的坐标系

18、中，描出散点图，并根据散点图判断，ybxa$与xymen哪一个适宜作为清洗x次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据判断及下面表格中的数据，建立y关于x的回归方程；表中ixie，5115iixy521iixx521ii51iiixxyy51iiiyy320.12100.09-8.70.9（3）对所求的回归方程进行残差分析附：线性回归方程ybxa$中系数计算公式分别为121()()()niiiniixxyybxx，aybx$；22121()1()niiiniiyyRyy，20.95R 说明模拟效果非常好；10.37e，210.14e，310.05e，4

19、10.02e，510.01e【变变式式演演练练】1.为了研究一种昆虫的产卵数 y 和温度 x 是否有关，现收集了 7 组观测数据列于下表中，并做出了散点图，第8 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型212yC xC与模型；34C x Cye作为产卵数 y 和温度 x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度 x/20222426283032产卵数 y/个6102124641133222tx4004845766767849001024lnzy1.792.303.043.184.164.735.77xtyz266

20、92803.5771271iiiiixxyyxx71271iiiiittyytt71271iiiiizzxxxx71271iiiiizztttt1157.540.430.320.00012其中2iitx，7117iitt，lniizy，7117iizz.附：对于一组数据 1122,nn ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121niiinii，.（1）根据表中数据，模型、的相关指数计算分别为210.82R，220.96R，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.（2）根据（1）中的判断，在拟合效果更好的模型下求 y 关于 x 的回归方程；并估计温度为 30时的产卵第9 页,共2 6

21、 页学科网（北京）股份有限公司数.（1C，2C，3C，4C与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：4.6518e04.5，4.8514e27.7，5.0512e56.0）2.近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用，另一方面，也成为环境污染、空气污染、土壤污染的重要来源之一如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提某研究团队收集了 10 组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值化肥施

22、用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）参考数据：101iiix y101iix101iiy1021iix101iiit z101iit101iiz1021iit65091.552.51478.630.5151546.5表中ln,ln(1,2,10)iiiitx zy i(1)根据散点图判断，yabx与dycx，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)根据（2）的回归方程，并预测化肥施用量为 27 公斤时，粮食亩产量y的值；附：对于一组数据,(1,2,3,)iiu

23、vin，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221,niiiniiu vnuvavuunu；取2.7e 第1 0 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司【题题型型五五】非非线线性性回回归归 2：反反比比例例型型【典典例例分分析析】为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：3g/m）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值（表中1iiux，9119iiuu）xyu921iixx921iiuu921iiyy91iiixxyy91iiuuiyy697.900.21600.1414.1226.131.

24、40（1）利用样本相关系数的知识，判断yabx与dycx哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？（2）根据（1）的结果回答下列问题：（i）建立y关于x的回归方程；（ii）样本对原点的距离20 x=时，金属含量的预报值是多少？（iii）已知该金属在距离原点mx时的平均开采成本W（单位：元）与x，y关系为1000lnWyx1100 x，根据（2）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？附：对于一组数据 1122,nnt st st s，其线性相关系数12211niiinniiiittssrttss，其回归直线st的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121niiiniitts

25、stt，st【变变式式演演练练】1.近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲，乙两同学一起收集 6 家农户的数据，进行回归分析，得到两个回归摸型：模型：(1)1.628 55.7yx，模型：(2)26.63.71 50yx，对以上两个回归方程进行第1 1 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司残差分析，得到下表：种植面积x(亩)234579每亩种植管理成本y(百元)252421221614模型估计值(1)y25.2723.6221.9717.0213.72残差 1ie-0.270.38-0.97-

26、1.020.28模型(2)y26.8420.1718.8317.3116.46 2ie-1.840.833.17-1.31-2.46（1）将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好；（2）视残差ie的绝对值超过 1.5 的数据视为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求回归方程.附：121niiiniixxyybxx，aybx$；222220.270.380.971.020.282.2772.我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从 2021 年到 2025 年的“十四五”规划某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金现该企业

27、为了了解年研发资金投入额x(单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额ix和年盈利额iy的数据通过对比分析，建立了两个函数模型：yabx；dycx，若对于任意一点(,)(12.)iiiP x yin，过点iP作与x轴垂直的直线，交函数yabx的图象于点(,)iiiA xy，交函数dycx的图象于点(,)iiiB xy，定义：11niiiQyy，21niiiQyy，若12QQ则用函数yabx来拟合y与x之间的关系更合适，否则用函数dycx来拟合y与x之间的关系（1）给定一组变量123456(1,4),(2,5),(3,6),(4

28、,6.5),(5,7),(6,8)PPPPPP，对于函数23xy与函数52xyx，第1 2 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司试利用定义求1Q，2Q的值，并判断哪一个更适合作为点(,)(1,2,.6)iiiP x yi 中的y与x之间的拟合函数；（2）若一组变量的散点图符合dycx图象，试利用下表中的有关数据与公式求y与x的回归方程，并预测当=10 x时，y的值为多少xy821()iixx821()ii81()iiixxyy（81()iiiyy（6.6216.820.3280.4144.24表中的1=x，811=8ii附：对于一组数据11(,)u v，22(,)u v，(,)nnu v

29、，其回归直线方程vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()=()niiiniiuu vvuu，vu【题题型型六六】非非线线性性回回归归 3：对对数数型型【典典例例分分析析】某投资公司 2012 年至 2021 年每年的投资金额x（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图如图：该投资公司为了预测 2022 年投资金额为 20 万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个回归模型；模型：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：2.502 0.5yx；模型：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在由线：lnyb xa的附近，对投资金额x做换元，令lntx，则yb ta，且有101010

30、102111122.00,230,569.00,50.92iiiiiiiiityt yt，(1)根据所给的统计量，求模型中y关于x的回归方程；第1 3 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司(2)分别利用这两个回归模型，预测投资金额为 20 万元时的年利润增量（结果保留两位小数）；附：样本1,1,2,it yin的最小乘估计公式为121,niiiniittyybaybttt；参考数据：ln20.6931,ln51.6094.【变变式式演演练练】1.有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变.中国的

31、高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁.高铁可以说是中国一张行走的名片.截至到 2020 年，中国高铁运营里程已经达到 3.9万公里.下表是 2013 年至 2020 年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：年份20132014201520162017201820192020年份代码x12345678运营里程(y万公里)1.31.61.92.22.52.93.53.9根据以上数据，回答下面问题.（1）甲同学用曲线 y=bx+a 来拟合，并算得相关系数 r1=0.97，乙同学用曲线 y=cedx 来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数

32、r2=0.99，试问哪一个更适合作为 y 关于 x 的回归方程类型，并说明理由；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程(系数精确到 0.01).参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：121()(),()niiiniixxyybaybxxx；参考数据：882112.48,()()15.50,()42.00,iiiiiyxxyyxx令8820.1411ln,0.84,6.50,1.01,1.15.iiiiiwy wxxwwwwe第1 4 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司2.某电器企业统计了近10年的年利润额y（千万元）与投入的年广告费用x（十万元）的

33、相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令lniiux，lniivy，得到相关数据如表所示：101iiiu v101iiu101iiv1021iiu30.5151546.5（1）从ybxa；0,0kym xmk；2ycxdxe三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；（3）预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？(结果保留到万元)参考数据：3103.6788 3.678849.787e，参考公式：回归方程vbua中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221niiiniiu

34、vnxybunu【题题型型七七】非非线线性性回回归归 4：其其他他函函数数型型【典典例例分分析析】光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：年份2011 年2012 年2013 年2014 年2015 年2016 年2017 年2018 年年份代码x12345678新增光伏装机量y兆瓦0.40.81.63.15.17.19.712.2第1 5 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司某位同学分别用两种模型：2ybxa，ydxc进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于i

35、iyy）：经过计算得8172.8iiixxyy，82142iixx，81686.8iiittyy，8213570iitt，其中2iitx，8118iitt.（1）根据残差图，比较模型，的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由.（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程，并预测该地区 2020 年新增光伏装机量是多少.（在计算回归系数时精确到 0.01）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121niiiniixxyybxx，aybx$.【变变式式演演练练】1.2021年11月4日，第四届中国国际进口博览会在上海开幕，共计2900多家参展商参展，420多项新产品，

36、新技术，新服务在本届进博会上亮相某投资公司现从中选出20种新产品进行投资为给下一年度投资提供决策依据，需了解年研发经费对年销售额的影响，该公司甲、乙两部门分别从这20种新产品中随机地选取10种产品，每种产品被甲、乙两部门是否选中相互独立第1 6 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司101iix101iiy10213iix10413iix10213iiixy657520587732016(1)求20种新产品中产品A被甲部门或乙部门选中的概率；(2)甲部门对选取的10种产品的年研发经费ix（单位：万元）和年销售额1,2,10iy i（单位：十万元）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计

37、量的值根据散点图现拟定y关于x的回归方程为23yb xa.求a、b的值（结果精确到0.1）；(3)甲、乙两部门同时选中了新产品A，现用掷骰子的方式确定投资金额若每次掷骰子点数大于2，则甲部门增加投资1万元，乙部门不增加投资；若点数小于3，则乙部门增加投资2万元，甲部门不增加投资，求两部门投资资金总和恰好为100万元的概率附：对于一组数据11,v u、22,v u、L、,nnv u，其回归直线uv的斜率和截距的最小二乘估计分别为121niiiniivvuuvv，uv，2016205 7.5298773205 20.5277，201665 7.51019877365 6.55567.2.某公司为确

38、定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：吨)的影响，对近8年的年宣传费ix和年销售量iy1,2,3,8i 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821iixx821iiww81iiixxyy81iiiwwyy46.65636.8289.81.61469108.8表中：11wx，8118iiww（1）根据散点图判断，yabx与ycdx，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类第1 7 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司型(给出判断即可，不必说明理由)；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3

39、）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费36x 千元时，年销售预报值是多少？附：对于一组数据11,u v，22,u v，,nnu v，其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：81821iiiiiuuvvuu，vu.【经典题专练】1.某课外活动兴趣小组为了解某种植物的生长情况，收集了该种植物月生长量cmy与月平均气温x()的6 组数据.编号123456x141517182021y35681012（1）请根据上面的数据求y关于x的线性回归方程(结果保留 1 位小数)；（2）利用（1）中求出的线性回归方程进行残差分析.若用ybxa中的 y估计回归方程ybxae中的bxa，由于随机误差eybxa，

40、所以eyy是e的估计值，ie为相应点,iix y的残差.请填写下面的残差表，并绘制残差图，根据得到的残差图，分析该回归方程的拟合效果.残差表：编号123456x141517182021y35681012ie残差图：第1 8 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司参考数据：61105iix，6144iiy，61815iiix y，62137 5iixx.参考公式：线性回归方程ybxa中，121niiiniix ynxybxx，aybx.2.某新兴环保公司为了确定新开发的产品下一季度的营销计划，需了解月宣传费 x（单位：千元）对月销售量 y（单位：t）和月利润 z（单位：千元）的影响，收集了

41、2019 年 12 月至 2020 年 5 月共 6 个月的月宣传费ix和月销售量iy（1,2,6i）的数据如下表：月份1212345宣传费 x1357911月销售量 y14.2120.3131.831.1837.8344.67现分别用两种模型ybxa，bxyae分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：（注残差在数理统计中是指实际观察值与估计值（拟合值）之间的差.）xy61iiix y621iix6301284.24286第1 9 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司（1）根据残差图，比较模型，的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）残

42、差绝对值大于 2 的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程；（3）已知该产品的月利润 z 与 x，y 的关系为2253zyx，根据（2）的结果回答下列问题：（i）若月宣传费15x 时，该模型下月销售量 y 的预报值为多少？（ii）当月宣传费 x 为何值时，月利润 z 的预报值最大？附：对于一组数据11,x y，22,xy，,nnxy，其回归直线ybxa$的斜率和截距的最小二乘估计分别为1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxnxxx$，aybx$3.（衡水金卷 2021-2022 学年度高三一轮复习摸底测试卷数学（三）千百年来，人

43、们一直在通过不同的方式传递信息.在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用;第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化;之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”“顺风耳”变为现实.现在，5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至 6 月份的5G经济收入y(单位:百万元)关于月份x的数据如表:第2 0 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司时间(月份)123456收入(百万元)6.68.616.121.633.041 0.根据以上数据绘制

44、散点图，如图.(1)根据散点图判断，yaxb与,(dxycea b c d均为常数)哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司 8 月份的5G经济收入；(3)从前 6 个月的收入中抽取3个记月收入超过16百万的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据:xyu621iixx61iiixxyy61iiixxuu3.5021.152.8517.50125.356.73其中设ln,ln1,2,3,4,5,6iiuy uy i参考公式和数据:对于一组具有线性相关关系的数据1,2,3,iix

45、 vin，其回归直线vx的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:121niiiniixxvvxx，4.564.58,95.58,97.51.avx ee4.某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：表 1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序号 x12345678910第2 1 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司营业收入 y（亿元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表 1，得到下面的散点图：根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型2ybxa（b 和 a 是待定参数）来拟合 y 和 x

46、的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令2tx，得ybta，由表 1 可得变换后的数据见表 2.表 2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根据表中数据，建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到个位数）；（2）根据（1）中得到的回归方程估计 2021 年的营业收入，以及营业收入首次超过 4000 亿元的年份.附：对于一组数据 1122,nnu vu vu v，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为121niiiniiuuvvuu，vu.参考数据：10102451138.5,703.45,1.051 10,

47、2.327 10iiiiityttttyy.5.自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国 2020 年 4 月 9 日-12 月 14 日每隔 25 天统计1 次共计 11 次累计确诊人数（万）日期（月/日）4/095/045/296/237/188/13统计时间序号x123456第2 2 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司累计确认人数y43.3118.8179.4238.8377.0536.0日期（月/日）9/0610/0110/2611/1912/14统计时间序号x7891011累计确认人数y646.0744.7888.91187.41673.7（1）将 4 月 9

48、日作为第 1 次统计，若将统计时间序号作为变量x，每次累计确诊人数作为变量x，得到函数关系0,0bxyaeab，对上表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值6x，603.09y，1111ln5.9811iiy，11115835.70iiixyxy，1121110iixx，1121lnln11.90iiyy，111lnln35.10iiixxyy，4.0657.97e，4.0758.56e，4.0859.15e，根据相关数据，确定该函数关系式（参数a，b的取值精确到 0.01）；（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地曾患新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为 45 人

49、，30 人，15 人，按分层抽样的方法随机抽取 6 人进行问卷调查，再从 6 人中随机抽取 2 人进行调查结果对比，求这 2 人中至少有一人是老年人的概率参考公式：线性回归方程ybxa$中，121niiiniixxyybxx，aybx$；6.2020 年新型冠状病毒肺炎疫情席卷金球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时供应，统筹协调医用物资生产企业高速生产，支援世界各国抗击肺炎疫情我市某医疗器械公司转型升级，从 9 月 1 日开始投入呼吸机生产，该公司 9 月 1 目9 月 9 日连续 9 天的呼吸机日生产量为iy（

50、单位：百台，=1,2,9），数据作了初步处理；得到如图所示的散点图第2 3 页,共2 6 页学科网（北京）股份有限公司yzt=192?=19?2.731952851095注：图中日期代码 19 分别对应 9 月 1 日9 月 9 日；表中=，?=19=19?（1）从 9 个样本点中任意选取 2 个，在 2 个样本点的生产量都不高于 300 台的条件下，求 2 个样本点都高于 200 台的概率；（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线=ln(+)的附近，求 y 关于 t 的方程=ln(+)，并估计该公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过 500 台参考公式：回归直线方程是=?+?；?=1