2024年高考数学专项复习排列组合专题12 插空法模型（解析版）.pdf

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1、1专题专题 12 插空法模型插空法模型例 1本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A72 种B144 种C288 种D360 种例 2只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A96B144C240D288例 3楼道里有 9 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()A10B15C20D24例 4某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数

2、学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A60B48C36D24例 5三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()A72 种B108 种C36 种D144 种例 6为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A720B768C810D816例 7已知身

3、穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A48 种B72 种C78 种D84 种例 8琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（）A1360B16C715D1152024年高考数学专项复习排列组合专题12 插空法模型（解析版）2例 9某中学话剧社的 6 个

4、演员站成一排照相，高一高二和高三年级均有 2 个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（）A48B144C288D576例 10已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.A432B576C696D960例 11中国古代儒家提出的“六艺”指:礼乐射御书数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()A18 种B36 种C72 种D144 种例 12电影院一排 10 个位置

5、，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（）A40B36C32D20例 13某公共汽车站有 6 个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候 228 路公交车的到来，由于市内堵车，228 路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有 2 个连续空座位的候车方式的种数是()A48B54C72D84例 14某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A96B120C48D72例 15甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的

6、顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（）A72 种B144 种C360 种D720 种例 16现有排成一排的 7 个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的 4 个小球全部放入这 7 个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_种.（结果用数字表示）例 17若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有_种（用数字填空）例 18用 1，2，3，4，5，6 组成数字不重复的六位数，满足 1 不在左右两端，2，4，6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为_.3例 19在疫情防控常态化条件下，

7、各地电影院有序开放，某影院一排共有 10 个座位，选出 3 个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_种（用数字回答）.例 20,A B C D E F六人并排站成一排，,A B必须站在一起，且,C D不能相邻，那么不同的排法共有_种（结果用数字表示）.例 21将 5 个相同的小球放入 3 个不同的盒子，盒子不空，有_种投放方法.例 22高三 2011 级某班的 12 名班委合影留念，他们先站成了前排 4 人，后排 8 人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）_.1专题 12 插空法模型例

8、1本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A72 种B144 种C288 种D360 种【解析】第一步排语文，英语，化学，生物 4 种，且化学排在生物前面，有2412A 种排法；第二步将数学和物理插入前 4 科除最后位置外的 4 个空挡中的 2 个，有2412A 种排法，所以不同的排表方法共有12 12144种.选B.例 2只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A96B144C240D288【解析】当

9、重复使用的数字为数字1时，符合题意的五位数共有：323436A C 个当重复使用的数字为2,3,4时，与重复使用的数字为1情况相同满足题意的五位数共有：36 4144个本题正确选项：B例 3楼道里有 9 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()A10B15C20D24【解析】问题等价于将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内关灯方案共有：3510C 种故选：A例 4某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排

10、课方法数为（）A60B48C36D24【解析】2先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在 3 个空中选 2 个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为22222324A A A，故选：D例 5三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()A72 种B108 种C36 种D144 种【解析】先将男生甲与男生乙“捆绑”，有22A种方法，再与另一个男生排列，则有22A种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有23A种方法，再将两组女生插空，插入男生 3 个空位中，则有23A种方法，利用分步乘法原理，共有2222

11、2233144A A A A 种.故选：D例 6为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A720B768C810D816【解析】由题知结果有三种情况(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有1444C A=96种情况，其中甲、乙相邻的有123423C A A48种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有964848种情况；(2)甲、乙、丙三名同

12、学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有314434C C A288种情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有224434432C C A 种情况 则选派的 4 名学生不同的朗诵顺序有28843248768种情况，故本题答案选B例 7已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）3A48 种B72 种C78 种D84 种【解析】由题意知先使五个人的全排列，共有55A种结果(1)身穿红、黄两种颜色衣服的两人都相邻时，把相邻的两人看成一个整体，共有22322324A A A 种情况；(2)只穿红颜

13、色衣服两人相邻，穿黄颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插空法，共有22222324A A A 种情况；(3)只穿黄颜色衣服两人相邻，穿红颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插空法，共有22222324A A A 种情况；穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有55242 2448A 种情况，故选：A例 8琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二

14、胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（）A1360B16C715D115【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为810A从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有57A种情况，再从排好的五种乐器形成的 6 个空中挑 3 个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有36A种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为5376A A所以所求的概率537681016A APA，故选：B例 9某中学话剧社的 6 个演员站成一排照相，高一高二和高三年级均有 2 个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（）A48B144C288D576

15、【解析】4分两类，第一类高一年级同学相邻高二年级同学不相邻，把高一两个同学“捆绑”看作一个元素与高三两个同学排列有2323A A种不同排法，把高二年级两个同学排入4 个空位中的 2 个（插空法）有24A种不同方法，故第一类有232234144A A A 种站法，第二类高二年级同学相邻高一年级同学不相邻，与第一类方法相同，也有 144 种站法，由分类加法计数原理知，共有144 144288种站法，故选：C例 10已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.A432B576C696D960【解析】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余 3 人排好，

16、共有33A种不同排列方式，甲、丁排在一起共有22A种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有34A种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有1224C A种不同方式；根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为33A22A34(A 1224)576C A种.故选：B.例 11中国古代儒家提出的“六艺”指:礼乐射御书数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()A18 种B36 种

17、C72 种D144 种【解析】由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有22A种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有33A种，最后将“乐”与“书”插入 4 个空即可，共有24A种，5由于是分步进行，所以共有232234144AAA种，故选：D.例 12电影院一排 10 个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（）A40B36C32D20【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有 7 个座位，它们之间共可形成六个空，三人从 6 个空中选三位置坐上去有36C种坐法，又甲坐在中间，所以

18、乙、丙有22A种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C2240A种.故选：A.例 13某公共汽车站有 6 个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候 228 路公交车的到来，由于市内堵车，228 路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有 2 个连续空座位的候车方式的种数是()A48B54C72D84【解析】根据题意，分 2 步进行分析：先将 3 名乘客全排列，有336A 种情况，3 名乘客排好后，有 4 个空位，在 4 个空位中任选 1 个，安排 2 个连续空座位，有 4 种情况，在剩下的 3 个空位中任选 1 个，安排 1 个空座

19、位，有 3 种情况，则恰好有 2 个连续空座位的候车方式有64372 种；故选：C例 14某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A96B120C48D72【解析】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A种，6然后将3盆锦紫苏放入到 4 个位置中有34A种，根据分步乘法计数原理有3334A A，扣除郁金香在两边，排2盆虞美人、1盆郁金香有222A种，再将3盆锦紫苏放入到 3 个位置中有33A，根据分步计数原理有23232A A，所以共有332334232120A AA A种.故选:B.例 15甲

20、、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（）A72 种B144 种C360 种D720 种【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有442A种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有 4 个空可选，所以有24A中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有4244=1442AA种.故选：B.例 16现有排成一排的 7 个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的 4 个小球全部放入这 7 个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_种.（结果用数字表示）【

21、解析】先不考虑红球与黄球不相邻，则 4 个小球有44A种排法，再安排空盒，有2252C A种方法，再考虑红球与黄球相邻，则 4 个小球有3232A A种排法，再安排空盒，有2242C A种方法，因此所求放法种数为44A2252C A 3232A A2242336.C A 例 17若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有_种（用数字填空）【解析】7从3人选择2人进行捆绑，形成1个“大元素”，然后与另外1人形成2个元素，再由3把椅子所形成的4个空位中选择2个空位插入即可，由分步乘法计数原理可知，符合条件的坐法种数为242372AA.故答案为：72.例 18用 1，2，3，4，5

22、，6 组成数字不重复的六位数，满足 1 不在左右两端，2，4，6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为_.【解析】从 2，4，6 三个偶数中任意取出 2 个看作一个整体，方法有236A 种，先排三个奇数，有336A 种，形成了 4 个空，将“整体”和另一个偶数插在 3 个奇数形成的四个空中，方法有2412A 种根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有：6 6 12432 种若 1 排在两端，3 个奇数的排法有12224AA种，形成了 3 个空，将“整体”和另一个偶数中插在 3 个奇数形成的 3 个空中，方法有236A 种，根据分步计数原理求得此时满足条件的 6 位数共有6

23、 4 6144 种故满足 1 不在左右两端，2，4，6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻的六位数有432 144288种故答案为：288例 19在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有 10 个座位，选出 3 个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_种（用数字回答）.【解析】由某影院一排共有 10 个座位，选出 3 个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，可先将其中的 7 个空位排成一排，其中有 6 个空隙，再把三个座位放在其中的 3 个空隙中，共有3620C 种不同方法.故答案为：20例 20,A B C D E F六人并排站成一排，,A B必须站

24、在一起，且,C D不能相邻，那么不同的排法共有_种（结果用数字表示）.【解析】解：根据题意，分 2 步进行分析：8将AB两人看成一个元素，与2EF人进行全排列，有232312A A 种排法，排好后有 4 个空位，在 4 个空位中任选 2 个，安排C、D，有2412A 种情况，则有12 12144种不同的排法.故答案为：144.例 21将 5 个相同的小球放入 3 个不同的盒子，盒子不空，有_种投放方法.【解析】5 个相同的小球产生 4 个空，插入两块隔板，共有246C 种投放方法.故答案为：6.例 22高三 2011 级某班的 12 名班委合影留念，他们先站成了前排 4 人，后排 8 人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）_.【解析】第一步：从后排8人中，抽取2个不相邻的同学共有：65432 121 种选法；第二步：将所抽取的两名同学捆绑，共有222A 种方法；第三步：将所抽取的两名同学插入前排4人形成的5个空档中，共有155C 种方法，由分步乘法计数原理可知，共有21 2 5210 种调整方法.故答案为：210.