圆锥曲线中的探索性和综合性问题-2024年高考数学复习大题题型归纳（解析）.pdf

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1、圆锥曲线中的探索性和综合性问题圆锥曲线中的探索性和综合性问题1 在直角坐标平面中，ABC的两个顶点的坐标分别为A-77a,0,B77a,0(a0)，两动点MN满足MA+MB+MC=0,|NC|=7|NA|=7|NB|，向量MN 与AB 共线.(1)求ABC的顶点C的轨迹方程；(2)若过点P 0,a的直线与(1)的轨迹相交于EF两点，求PE PF 的取值范围.(3)若G-a,0,H 2a,0,为C点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数(0)，使得QHG=QGH恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.2“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸

2、活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为4，按上述方法折纸.以点F、E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点建立平面直角坐标系.(1)求折痕围成的椭圆的标准方程；(2)若过点Q 1,0且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点T t,0，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若

3、存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.1圆锥曲线中的探索性和综合性问题-2024年高考数学复习大题题型归纳（解析）3已知椭圆C：x24+y2b2=1 0bb0的左，右焦点分别为F1，F2，且椭圆C过点-2,0，离心率为12.(1)求椭圆C的方程；(2)若点M x0,y0是椭圆x2m2+y2n2=1 mn0上任一点，则该椭圆在点M处的切线方程为x0 xm2+y0ym2=1.已知N x1,y1是椭圆C上除顶点之外的任一点，椭圆C在N点处的切线和过N点垂直于该切线的直线分别与y轴交于点P、Q.(i)求证：PF1QF1.(ii)在椭圆C上是否存在点N，使得PF1Q的面积等于1，如果存在，试求出

4、N点坐标，若不存在，请说明理由.25如图所示，由半椭圆C1:x24+y2b2=1 y0和两个半圆C2:x+12+y2=1 y0、C3:x-12+y2=1 y0组成曲线C:F x,y=0，其中点A1,A2依次为C1的左、右顶点，点B为C1的下顶点，点F1,F2依次为C1的左、右焦点若点F1,F2分别为曲线C2,C3的圆心(1)求C1的方程；(2)若过点F1,F2作两条平行线l1,l2分别与C1,C2和C1,C3交与M,N和P,Q，求 MN+PQ的最小值6已知抛物线H:x2=2py(p为常数，p0)(1)若直线l:y=kx-2pk+2p与H只有一个公共点，求k；(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关

5、领域中重要的参数曲线法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：|AD|DE|=|EF|FC|=|DB|BF|37已知直线l与抛物线C1:y2=2x交于两点A x1,y1，B x2,y2，与抛物线C2:y2=4x交于两点C x3,y3，D x4,y4，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.(1)若直线l过点M 1,0，且1BM-1AM=22，求直线l的方程；

6、(2)证明：1y1+1y2=1y3+1y4；设AOB，COD的面积分别为S1，S2，(O为坐标原点)，若 AC=2 BD，求S1S2.8在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3，直线l:y=x-1与双曲线C交于A,B两点，点D x0,y0在双曲线C上.(1)求线段AB中点的坐标;(2)若a=1，过点D作斜率为2x0y0的直线l与直线l1:2x-y=0交于点P，与直线l2:2x+y=0交于点Q，若点R(m,n)满足|RO|=|RP|=|RQ|，求m2+2x20-2n2-y20的值.49如图，过抛物线E:x2=2py(p0)的焦点F作直线l交E于A，

7、B两点，点A，B在x轴上的射影分别为D，C当AB平行于x轴时，四边形ABCD的面积为4(1)求p的值；(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的43倍已知点P在抛物线E上，且E在点P处的切线平行于AB，根据上述理论，从四边形ABCD中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率为12时直线l的斜率10某城市决定在夹角为30的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，AB=2千米，O为AB的中点，OD为椭圆

8、的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45，交OD于G(1)若OE=3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；(2)若椭圆的离心率为32，当线段OG长为何值时，游乐区域OMN的面积最大？511法国数学家加斯帕尔蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0，则称圆心在原点O，半径是a2+b2的圆为“椭圆C的伴随圆”，已知椭圆x2a2+y2b2=1 ab0的一个焦点为F2,0，其短轴的一个端点到

9、焦点F的距离为3.(1)若点A为椭圆C的“伴随圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C的两相异点，且BDx轴，求AB AD 的取值范围.(2)在椭圆C的“伴随圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由.12如图，过抛物线E:x2=2py(p0)的焦点F作直线l交E于A，B两点，点A，B在x轴上的射影分别为D，C，当AB平行于x轴时，四边形ABCD的面积为4(1)求p的值；(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点

10、作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的43倍已知点P在抛物线E上，且E在点P处的切线平行于AB，根据上述理论，从四边形ABCD中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率的取值范围613已知椭圆方程为C1:x2a2+y2b2=1(ab0)，过椭圆的C1的焦点F1,F2分别做x轴的垂线与椭圆交于四点，依次连接这四个点所得的四边形恰好为正方形.(1)求该椭圆C1的离心率.(2)若椭圆C1的顶点恰好是双曲线C2焦点，椭圆C1的焦点恰好是双曲线C2顶点，设椭圆C1的焦点F1,F2，双曲线C2的焦点F1,F2,A为C1与C2的一个公共点，记F1AF2=，F1AF2=，求cosco

11、s的值.14如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，直线l与圆C1:x2+y2=b2相切于第一象限，与椭圆C相交于A，B两点，与圆C2:x2+y2=a2相交于M，N两点，|MN|=2 3(1)求椭圆C的标准方程；(2)当OAB的面积取最大值时(O为坐标原点)，求直线l的方程715在平面内动点P与两定点A1(-3,0),A2(3,0)连线斜率之积为-23(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0)，过点P作轨迹E的切线其斜率记为k(k0)，当直线PF1,PF2斜率存在时分别记为k1,k2探索1k1k1+1k2是否为定值若是，求出该定值；若不

12、是，请说明理由16已知双曲线:x2-y23=1,F为双曲线的右焦点，过F作直线l1交双曲线于A,B两点，过F点且与直线l1垂直的直线l2交直线x=12于P点，直线OP交双曲线于M,N两点.(1)若直线OP的斜率为32，求 AB的值；(2)设直线AB,AP,AM,AN的斜率分别为k1,k2,k3,k4，且k1k2k3k40,k1+k20，记k1+k2=u,k1k2=v,k3+k4=w，试探究v与u,w满足的方程关系，并将v用w,u表示出来.817在xOy平面上设椭圆：x2m2+y2=1(m1)，梯形ABCD的四个顶点均在上，且ABCD设直线AB的方程为y=kx(kR)(1)若AB为的长轴，梯形A

13、BCD的高为12，且C在AB上的射影为的焦点，求m的值；(2)设m=2，直线CD经过点P 0,2，求OC OD 的取值范围；(3)设m=2，AB=2 CD，AD与BC的延长线相交于点M，当k变化时，MAB的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由18已知双曲线C的中心在坐标原点，左焦点F1与右焦点F2都在x轴上，离心率为3，过点F2的动直线l与双曲线C交于点A、B设AF2 BF2AB2=(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)若点A、B都在双曲线C的右支上，求的最大值以及取最大值时AF1B的正切值；(关于求的最值某学习小组提出了如下的思路可供参考：利用基本不等式求最值；设AF2|AB|

14、为，建立相应数量关系并利用它求最值；设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值).(3)若点A在双曲线C的左支上(点A不是该双曲线的顶点，且=1，求证：AF1B是等腰三角形且AB边的长等于双曲线C的实轴长的2倍919某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道为了简单起见，现作如下假设：假设1：绿地是由线段AB，BC，CD，DE和弧EA围成的，其中EA是以O点为圆心，圆心角为23的扇形的弧，见图1；假设2：线段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圆弧EA暂时未修路；假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示图1-图3中的相

15、关边、角满足以下条件：直线BA与DE的交点是O，AB CD，ABC=2DE=EO=OA=AB=200米小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米(1)假设休息亭建在弧EA的中点，记为Q，沿EA和线段QC修路，如图2所示求QC的长；(2)假设休息亭建在弧EA上的某个位置，记为P，作PMBC交BC于M，作PNCD交DC于N沿EP、线段PM和线段PN修路，如图3所示求修建的总路长EP+PM+PN的最小值；(3)请你对(1)和(2)涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价1020从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆

16、性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中如图，已知抛物线C:x2=2py p1，从点 4,9发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的D点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点-1,5(1)求抛物线C的方程；(2)已知圆M:x2+y-32=4，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别为A、B，求EA EB 的取值范围21如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅

17、笔尖扣紧绳子，让细绳紧贴住三角板的直角边，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上留下轨迹C.已知细绳长度为3cm，经测量，当笔尖运动到点P处时，FAP=30,AFP=90.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，以1cm为单位长度，建立平面直角坐标系.(1)求C的方程；(2)过点D 0,-3且斜率为k的直线l与C交于M,N两点，k的取值范围为 0,2，探究：是否存在，使得DM=DN，若存在，求出.的取值范围，若不存在，说明理由.1122已知F1，F2分别为双曲线E：x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右焦点，为渐近线上一点，且3

18、PF1=7 PF2，cosF1PF2=217.(1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线E实轴长为2，过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支不同的A，B两点，Q为x轴上一点且满足 QA=QB，试探究2 QF2AF1+BF1-4是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.23已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1F2，焦距为2 3，过F1的直线m与椭圆C相交于A,B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点G 1,0的动直线n与椭圆C相交于M,N两点，直线l的方程为x=4.过点M作MPl于点P，过点N作NQl于点Q.记GPQ,GPM,GQN的

19、面积分别为S，S1，S2.问是否存在实数，使得 S1S2-S=0成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.1224在数学中常有“数形结合”的思想，即找到代数式的几何意义，比如：y=x-12+4x2-32+x2+4x2-12的几何意义便是抛物线y=4x2上的点P到点 1,3和点 0,1的距离之和，进而可以简化计算现在，已知函数 f x=2x+aln2x-4的两个零点分别为x1,x2(1)当a=1时，证明：x1+x253；(2)当a1时，证明：a4ln2x1x2+x1+x2-2 x1x2169时，求k的取值范围1326如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F，G，H分别是矩形四条边

20、的中点，R，R分别是线段OF，CF上的动点，且满足OR4+FR3=1设直线ER与GR相交于点P(1)证明：点P始终在某一椭圆上，并求出该椭圆的标准方程；(2)设S，T为该椭圆上两点，T关于直线y=x的对称点为Q，设M 2 3,32，且直线MS，MT的倾斜角互补，证明：OS OQ 为定值27数学家加斯帕尔蒙日创立的 画法几何学 对世界各国科学技术的发展影响深远.在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线C的实轴长为2 6，其蒙日圆方程为x2+

21、y2=4.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设点P 3,1关于坐标原点的对称点为Q，不过点P且斜率为13的直线与双曲线C相交于M,N两点，直线PM与QN交于点D x0,y0，求直线OD的斜率值.1428如图，F1(-c,0)、F2(c,0)为双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为F2，设C1与C2在第一象限的交点为P(m,n)，且 PF1=7，PF2=5，PF2F1为钝角.(1)求双曲线C1与抛物线C2的方程；(2)过F2作不垂直于x轴的直线l，依次交C1的右支、C2于A、B、C、D四点，设M为AD中点，N为BC中点，试探究AD NF2

22、BC MF2是否为定值.若是，求此定值；若不是，请说明理由.29离心率为22；经过点M-3,22；PF1=3，请在上述三个条件中选择一个作为已知条件，回答下列问题已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，且椭圆经过点P(2,1)，(1)求椭圆的方程；(2)过P的斜率为k(k0)的直线l与椭圆交于点Q(异于点P)，过F1与直线l垂直的直线交椭圆于点A，B，记PQ中点为M x1,y1，记AB的中点为N x2,y2，求满足x1-2x2=2k+12的直线l的斜率k1530人造地球卫星在以地球的球心为一个焦点的椭圆轨道上运行，运行轨道离地面的最近距离为600千米，离心率为32，

23、将地球看作一个半径为6400千米的球体，以运行轨道的中心为坐标原点，运行轨道的中心与近地点所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，记该卫星的运行轨迹为曲线D，定义7 2+3103千米为1H.(1)以H为单位，求曲线D的方程；(2)已知A,B,C三颗卫星在轨道D上运行，当轨道中心恰好为ABC的重心时，则称此时为“三星对中”状态.则当A,B,C三颗卫星成“三星对中”状态时，ABC的面积是否为定值？若是，求出这个定值并给出证明；若不是，请说明理由.16圆锥曲线中的探索性和综合性问题圆锥曲线中的探索性和综合性问题1在直角坐标平面中，ABC的两个顶点的坐标分别为A-77a,0,B77a,0(a0)，两动点M

24、N满足MA+MB+MC=0,|NC|=7|NA|=7|NB|，向量MN 与AB 共线.(1)求ABC的顶点C的轨迹方程；(2)若过点P 0,a的直线与(1)的轨迹相交于EF两点，求PE PF 的取值范围.(3)若G-a,0,H 2a,0,为C点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数(0)，使得QHG=QGH恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x2-y23=a2(2)-,4a2 20a2,+(3)存在=2；理由见解析【分析】(1)设C x,y，由MA+MB+MC=0知Mx3,y3，由 NA=NB 且向量MN 与AB 共线，知N在边AB的中垂线上，由此能求出ABC的

25、顶点C的轨迹方程；(2)设E x1,y1F x2,y2，过点P 0,a的直线方程为y=kx+a，代入双曲线方程，得 3-k2x2-2akx-4a2=0，再由根的判别式和韦达定理即可求出PE PF 的取值范围；(3)通过由特殊到一般的方法进行求解.【详解】(1)设C x,y，由MA+MB+MC=0知，M是ABC的重心，Mx3,y3.NA=NB 且向量MN 与AB 共线，N在边AB的中垂线上，A-77a,0,B77a,0(a0),N 0,y3，又 NC=7NA,x2+49y2=7a27+y29，化简得x2-y23=a2，即所求的轨迹方程是x2-y23=a2.(2)设E x1,y1F x2,y2，过

26、点P 0,a的直线方程为y=kx+a，代入x2-y23=a2得 3-k2x2-2akx-4a2=0，x1+x2=2ak3-k2,x1x2=-4a23-k2，且=4a2k2+16a23-k20，解得k24.k2-34或4k2-30,y00，则x20-y203=a2，即y20=3 x20-a20.1当QHx轴时，x0=2a,y0=3a,QGH=4，即QHG=2QGH，故猜想=2.当QH不垂直x轴时，tanQHG=-y0 x0-2a,tanQGH=y0 x0+a，tan2QGH=2tanQGH1-tan2QGH=2y0 x0+a1-y0 x0+a2=-y0 x0-2a=tanQHG.又2QGH与QH

27、G同在 0,22,内，2QGH=QHG.故存在=2，使2QGH=QHG恒成立.【点睛】轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法.定义法：(1)判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；(2)设标准方程，求方程中的基本量(3)求轨迹方程相关点法：(1)分析题目：与动点M(x,y)相关的点P(x0,y0)在已知曲线上；(2)寻求关系式，x0=f(x,y)，y0=g(x,y)；(3)将x0，y0代入已知曲线方程；(4)整理关于x，y的关系式得到MM的轨迹方程2“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(

28、如图)：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为4，按上述方法折纸.以点F、E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点建立平面直角坐标系.(1)求折痕围成的椭圆的标准方程；(2)若过点Q 1,0且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点T t,0，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x

29、29+y25=1(2)存在，T 3,0，-109【分析】(1)根据椭圆的定义对照折纸的方法求出a,b,c；(2)设直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理再结合斜率的两点公式求解即可.2【详解】(1)如图以FE所在的直线为x轴，FE的中点O为原点建立平面直角坐标系，设P x,y为椭圆上一点，由题意可知，PF+PE=PA+PE=AE=6 EF=4，所以P点轨迹是以F，E为焦点，长轴长2a=6的椭圆，所以c=2，a=3，则b2=a2-c2=5，所以椭圆方程为x29+y25=1；(2)由已知：直线l过Q 1,0，设l的方程为x=my+1，由题意m必定是存在的联立两个方程得x29+y25=1x=my

30、+1，消去x得 5m2+9y2+10my-40=0，=100m2+160 5m2+90得mR，设M x1,y1，N x2,y2，则y1+y2=-10m5m2+9，y1y2=-405m2+9(*)所以kTMkTN=y1x1-ty2x2-t=y1y2my1+1-tmy2+1-t=y1y2m2y1y2+m 1-ty1+y2+1-t2，将(*)代入上式，可得kTMkTN=-405 t2-9m2+9 1-t2，要使kTMkTN为定值，则有9-t2=0，t2=9，又t0t=3，此时kTMkTN=-109，存在点T 3,0，使得直线TM与TN斜率之积为定值-109.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与

31、圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为 x1,y1,x2,y2；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2(或y1+y2、y1y2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3已知椭圆C：x24+y2b2=1 0b2，设过点A 1,0的直线l交椭圆C于M，N两点，交直线x=4于点P，点E为直线x=1上不同于点A的任意一点.3(1)若 AM1，求b的取值范围；(2)若b=1，记直线EM，EN，EP的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在k1，k2，k3的某种排列ki1，ki

32、2，ki3(其中 i1,i2,i3=1,2,3，使得ki1，ki2，ki3成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.【答案】(1)2,2)(2)k1，k3，k2或k2,k3,k1成等差数列,证明见解析.【分析】(1)设点M x1,y1，表示出 AM，结合 AM1可得x12b24-b2，结合-2x12可得不等式，即可求得答案；(2)判断出结论，加以证明；考虑直线l的斜率为0和不为0两种情况；当直线l斜率不为0时，设直线l:x=my+1(m0),M(x1,y1)N(x2,y2)，联立方程，可得根与系数的关系，利用k1+k2=y1-tx1-1+y2-tx2-1结合根与系

33、数关系式化简，即可证明结论.【详解】(1)设点M x1,y1，其中x214+y21b2=1,-2x12且x11，则|AM|=(x1-1)2+y21=(x1-1)2+b21-x214=1-b24x21-2x1+b2+1，由 AM1，得 1-b24x21-2x1+b2=(x1-2)1-b24x1-b22 0，x12,0b0,1-b24x1-b220,x12b24-b2，只需22b24-b2，又0b2，故2 b0，故y1+y2=-2mm2+4,y1y2=-3m2+4，4因为k1=y1-tx1-1,k2=y2-tx2-1,k3=3m-t3=3-mt3m，所以k1+k2=y1-tx1-1+y2-tx2-

34、1=y1-tmy1+y2-tmy2=y2(y1-t)+y1(y2-t)my1y2=2y1y2-t(y1+y2)my1y2=-6m2+4+2mtm2+4-3mm2+4=6-2mt3m=2k3，所以k1，k3，k2或k2,k3,k1成等差数列，综合上述，k1，k3，k2或k2,k3,k1成等差数列.【点睛】难点点睛：本题第二问与数列进行了综合，形式比较新颖，有一定难度，难点在于判断出结论，进而证明，证明时结合直线方程联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合k1+k2=y1-tx1-1+y2-tx2-1进行化简，计算量较大，因而要注意计算的准确性.4椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左，右焦点分别

35、为F1，F2，且椭圆C过点-2,0，离心率为12.(1)求椭圆C的方程；(2)若点M x0,y0是椭圆x2m2+y2n2=1 mn0上任一点，则该椭圆在点M处的切线方程为x0 xm2+y0ym2=1.已知N x1,y1是椭圆C上除顶点之外的任一点，椭圆C在N点处的切线和过N点垂直于该切线的直线分别与y轴交于点P、Q.(i)求证：PF1QF1.(ii)在椭圆C上是否存在点N，使得PF1Q的面积等于1，如果存在，试求出N点坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)x24+y23=1(2)(i)证明见解析；(ii)不存在，理由见解析【分析】(1)根据顶点和离心率建立方程求解即可；(2)利用椭圆上点的

36、切线方程结论表示直线NP,利用垂直关系求出直线NQ，从而求出P、Q坐标，利用数量积证明PF1QF1，建立PF1Q面积函数，利用基本不等式求解，根据值域确定存在与否.【详解】(1)由已知得a=2ca=12a2=b2+c2 ，解得a=2c=1b=3，故椭圆的方程为：x24+y23=1.(2)(i)依题意得，直线NP:x1x4+y1y3=1，令x=0，得P 0,3y1，则直线NQ方程为y-y1=4y13x1x-x1，令x=0，得Q 0,-y13，又F1-1,0，PF1 QF1=-1,-3y1-1,y13=0，即PF1QF1.(ii)由(1)知PF1Q为直角三角形，又 PF1=1+9y21，QF1=1

37、+y219，SPF1Q=12PF1 QF1=121+9y211+y219=122+9y21+y2191，5当且仅当9y21=y219时取等号，即y1=3，又N为椭圆C上异于顶点外的任意一点，y1-3,0 0,3，y13，故不存在这样的点N使得SPF1Q=1.5如图所示，由半椭圆C1:x24+y2b2=1 y0和两个半圆C2:x+12+y2=1 y0、C3:x-12+y2=1 y0组成曲线C:F x,y=0，其中点A1,A2依次为C1的左、右顶点，点B为C1的下顶点，点F1,F2依次为C1的左、右焦点若点F1,F2分别为曲线C2,C3的圆心(1)求C1的方程；(2)若过点F1,F2作两条平行线l

38、1,l2分别与C1,C2和C1,C3交与M,N和P,Q，求 MN+PQ的最小值【答案】(1)x24+y23=1 y0(2)5【分析】(1)由圆的方程可确定圆心坐标，即椭圆焦点坐标，进而根据椭圆a,b,c关系求得方程；(2)根据对称性将问题转化为求解椭圆x24+y23=1截直线l2的弦长的最小值，利用韦达定理和弦长公式可表示出所求弦长，由此可确定最小值.【详解】(1)由两圆的方程知：圆心分别为C1-1,0，C21,0，即F1-1,0，F21,0，b2+1=4，解得：b2=3，C1:x24+y23=1 y0.(2)由题意知：MN+PQ=MF1+PF2+2；l1l2，由对称性可知：MF1+PF2为椭

39、圆x24+y23=1截直线l2的弦长，设l2:x=my+1，其与椭圆x24+y23=1交于点 x1,y1和 x2,y2由x=my+1x24+y23=1 得：3m2+4y2+6my-9=0，则=48 3m2+30y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，MF1+PF2=1+m2y1+y22-4y1y2=12 m2+13m2+4=4-43m2+4，当m=0时，MF1+PF2取得最小值4-1=3，MN+PQ的最小值为3+2=5.【点睛】关键点睛：本题考查直线截椭圆所得弦长最值的求解问题，本题求解最小值的关键是能够对 MN+PQ转化为 MF1+PF2+2，再根据对称性将 MF1+PF2转

40、化为直线截椭圆所得弦长的求解问题.6已知抛物线H:x2=2py(p为常数，p0)6(1)若直线l:y=kx-2pk+2p与H只有一个公共点，求k；(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：|AD|DE|=|EF|FC|=|DB|BF|【答案】(1)k=2(2)证明见解析【分析】(1)联立直线l的方程和抛

41、物线方程，消去y后利用判别式求得k的值.(2)求得过A,B,C三点的切线方程，进而求得D,E,F的恒坐标，根据抛物线的知识证得结论成立.【详解】(1)将y=kx-2pk+2p代入x2=2py，化简得x2+2pkx+4p2(k-1)=0(*)，方程(*)的判别式=4p2k2-4 4p2k-4p2=0，化简得k2-4k+4=0，即k=2(2)设A xA,yA,B xB,yB,C xC,yC,D xD,yD,E xE,yE,F xF,yF，设抛物线x2=2py在A点处的切线方程为y-yA=kAx-xA，由y-yA=kAx-xAx2=2py 消去y并化简得x2-2pkAx+2pkAxA-2pyA=0，

42、=4p2k2A-4 2pkAxA-2pyA=4p2k2A-8pkAxA+8pyA=0，pk2A-2xAkA+2yA=0，pk2A-2xAkA+2x2A2p=pk2A-2xAkA+x2Ap=0，解得kA=xAp，故切线方程为y-yA=xApx-xA=xApx-x2Ap，py-pyA=xAx-x2A，py-px2A2p=xAx-x2A,py-x2A2=xAx-x2A，即2py=2xAx-x2A，同理可求得抛物线x2=2py上过点B，C的切线方程分别为：2py=2xBx-x2B，2py=2xCx-x2C，由过A,B,C的切线方程两两联立，可以求得交点D，E，F的横坐标分别为：xD=xA+xB2，xE

43、=xA+xC2，xF=xB+xC2，注意到结论中线段长度的比例可以转化为点的横坐标的比例，得|AD|DE|=|EF|FC|=|DB|BF|=xB-xAxC-xB，命题得证77已知直线l与抛物线C1:y2=2x交于两点A x1,y1，B x2,y2，与抛物线C2:y2=4x交于两点C x3,y3，D x4,y4，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.(1)若直线l过点M 1,0，且1BM-1AM=22，求直线l的方程；(2)证明：1y1+1y2=1y3+1y4；设AOB，COD的面积分别为S1，S2，(O为坐标原点)，若 AC=2 BD，求S1S2.【答案】(1)l:x=y+1(2)证明见解析

44、；S1S2=710【分析】(1)设Ay212,y1，By222,y2，设l:x=my+1，联立直线和抛物线，利用韦达定理和两点间距离公式，代入1BM-1AM=22，可以求解m的值，进而可以求出直线l的方程；(2)设l:x=my+n，联立直线和抛物线，利用韦达定理，代入1y1+1y2=1y3+1y4中，即可证明；代入 AC=2 BD中，可用m分别表示y1，y2，y3，y4，根据S1S2=y1-y2y3-y4求出比值即可.【详解】(1)设Ay212,y1，By222,y2，Cy234,y3，Dy244,y4，其中y1,y30，y2,y40，y2,y40,b0)的离心率为3，直线l:y=x-1与双曲

45、线C交于A,B两点，点D x0,y0在双曲线C上.(1)求线段AB中点的坐标;8(2)若a=1，过点D作斜率为2x0y0的直线l与直线l1:2x-y=0交于点P，与直线l2:2x+y=0交于点Q，若点R(m,n)满足|RO|=|RP|=|RQ|，求m2+2x20-2n2-y20的值.【答案】(1)-1,-2；(2)174.【分析】(1)由离心率为3，可得双曲线C的方程为2x2-y2-2a2=0，后将l:y=x-1与双曲线方程联立，利用韦达定理可得答案；(2)结合(1)，由题可得直线l的方程为x0 x-y0y2=1，2x20-y20=2，R为OPQ外心，设P x3,y3,Q x4,y4，通过联立

46、OP，OQ中垂线方程可得m=34x3+x4n=3 28x3-x4，通过联立l与l1:2x-y=0及l2:2x+y=0可得x3+x4=2x0，x3-x4=2y0.则m=34x3+x4=32x0n=3 28x3-x4=34y0，由此结合2x20-y20=2可得答案.【详解】(1)依题意，双曲线C的离心率e=ca=1+b2a2=3，则b2=2a2，故双曲线C的方程为2x2-y2-2a2=0，联立2x2-y2-2a2=0y=x-1，得x2+2x-2a2-1=0，且0，设A x1,y1,B x2,y2，则x1+x2=-2,x1x2=-2a2-1，设线段AB的中点为E x,y，故x=-1，将x=-1代入直

47、线l:y=x-1，得y=-2，故线段AB的中点坐标为-1,-2；(2)依题意，a=1，则双曲线C的方程为x2-y22=1，直线l:y-y0=2x0y0 x-x0，又点D x0,y0在双曲线C上，所以x20-y202=1，故直线l的方程为x0 x-y0y2=1，由题可知，点O,P,Q均不重合，由|RO|=|RP|=|RQ|易知R(m,n)为OPQ的外心，设P x3,y3,Q x4,y4，则2x3-y3=0，即y3=2x3,2x4+y4=0，即y4=-2x4，线段OP的垂直平分线的方程为y-y32=-22x-x32，线段OQ的垂直平分线的方程为y-y42=22x-x42，联立y-y32=-22x-

48、x32y-y32=22x-x32，得x=m=34x3+x4y=n=3 28x3-x4，联立y3=2x3x0 x3-y0y32=1，得x3=1x0-22y0，同理可得x4=1x0+22y0，故x3+x4=1x0-22y0+1x0+22y0=2x0 x20-y202=2x0，9x3-x4=1x0-22y0-1x0+22y0=2y0 x20-y202=2y0故m=34x3+x4=32x0n=3 28x3-x4=34y0，即m2-2n2=94x20-98y20=94x20-y202=94，则m2+2x20-2n2-y20=94+2=174.【点睛】关键点点睛：本题涉及直线与双曲线方程的综合运用，难度较

49、大.(1)虽然双曲线方程带有参数，但联立双曲线与直线方程后可发现x1+x2=-2，据此可得答案；(2)关键为从|RO|=|RP|=|RQ|中得到R(m,n)为OPQ外心，从而得到m，n表达式.9如图，过抛物线E:x2=2py(p0)的焦点F作直线l交E于A，B两点，点A，B在x轴上的射影分别为D，C当AB平行于x轴时，四边形ABCD的面积为4(1)求p的值；(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的43倍已知点P在抛物

50、线E上，且E在点P处的切线平行于AB，根据上述理论，从四边形ABCD中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率为12时直线l的斜率【答案】(1)p=2(2)22【分析】(1)当AB平行于x轴时，四边形ABCD为矩形，根据矩形面积公式求出 p的值；(2)设l:y=kx+1，P x0,y0，A x1,y1，B x2,y2，将直线和抛物线联立得韦达定理，求出|AB|，点P到AB的距离，求出S弓形APB，又四边形ABCD是直角梯形或矩形，求出S四边形ABCD，P=1-S弓形APBS四边形ABCD=12即可求出k的值.【详解】(1)当AB平行于x轴时，四边形ABCD为矩形，|AB|=2p，|AD|=p2，