2024年高考数学专项排列组合专题06 染色问题（解析版）.pdf

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1、1专题专题 6 染色问题染色问题例 1如图所示的几何体由三棱锥PABC与三棱柱111ABCABC组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111ABC不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A6种B9种C12种D36种例 2如图，用四种不同的颜色给图中的 A，B，C，D，E，F，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A192 种B336 种C600 种D624 种例 3现有 6 种不同的颜色，给图中的 6 个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A720 种B1440 种C2880 种D432

2、0 种2024年高考数学专项排列组合专题06 染色问题（解析版）2例 4将 5 种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）A420B180C64D25例 5用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的 5 块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A120 种B720 种C840 种D960 种例 6 如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A40320

3、 种B5040 种C20160 种D2520 种例 7如图所示，将四棱锥 S-ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）3A240B360C420D960例 8如图所示，将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为()A33B56C64D78例 9如图给三棱柱ABCDEF的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_.例 10现用五种

4、不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有_种不同着色方法4例 11如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为_例 12从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出 3 种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是_.例 13如图一个正方形花圃被分成 5 份若给这 5 个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿 4 种颜色不同的花，则不同的种植方法有_种例

5、14现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有_种例 15现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相5邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有_种(用数字作答).例 16四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有 4 种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为_例 17如图，将标号为 1，2，3，4，5 的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中

6、的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有_种.例 18某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分.现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有_种.（用数字作答）例 19给图中 A，B，C，D，E，F 六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有 4 种颜色可供选择，则共有_种不同的染色方案.6例 20如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色（4 种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）例 21给如图染色，满足条件每个小方

7、格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用 4 种颜色染色的方案有_种，用 5 种颜色染色的方案共有_种.例 22如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABCA B C 的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有_种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有_种1专题专题 6 染色问题例 1如图所示的几何体由三棱锥PABC与三棱柱111ABCABC组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111ABC不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A6种B9种C12种D36种【解析】先涂三棱锥PABC的三个侧面

8、，有1113216C C C 种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有1112112C C C 种情况，共有6 212种不同的涂法故选：C例 2如图，用四种不同的颜色给图中的 A，B，C，D，E，F，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A192 种B336 种C600 种D624 种【解析】由题意，点 E，F，G 分别有 4，3，2 种涂法，2（1）当 A 与 F 相同时，A 有 1 种涂色方法，此时 B 有 2 种涂色方法，若 C 与 F 相同，则 C 有 1 种涂色方法，此时 D 有 3 种涂色方法；若 C 与 F 不同，则 D 有 2

9、 种涂色方法.故此时共有4 3 2 1 21 3 1 2240 种涂色方法.（2）当 A 与 G 相同时，A 有 1 种涂色方法，若 C 与 F 相同，则 C 有 1 种涂色方法，此时 B 有 2 种涂色方法，D 有 2 种涂色方法；若 C 与 F 不同，则 C 有 2 种涂色方法，此时 B 有 2 种涂色方法，D 有 1 种涂色方法.故此时共有4 3 2 11 2 22 2 1192 种涂色方法.（3）当 A 既不同于 F 又不同于 G 时，A 有 1 种涂色方法.若 B 与 F 相同，则 C 与 A 相同时，D 有 2 种涂色方法，C 与 A 不同时，C 和 D 均只有 1 种涂色方法；若

10、 B 与 F 不同，则 B 有 1 种涂色方法，（i）若 C 与 F 相同，则 C 有 1 种涂色方法，此时 D 有 2 种涂色方法；（ii）若 C 与 F 不同，则必与 A 相同，C 有 1 种涂色方法，此时 D 有 2 种涂色方法.故此时共有4 3 2 1 11 2 1 111 2 1 2168 种涂色方法.综上，共有240 192 168600种涂色方法.故选：C.例 3现有 6 种不同的颜色，给图中的 6 个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A720 种B1440 种C2880 种D4320 种【解析】根据题意分步完成任务：3第一步：完成 3 号区域：从 6 种颜色

11、中选 1 种涂色，有 6 种不同方法；第二步：完成 1 号区域：从除去 3 号区域的 1 种颜色后剩下的 5 种颜色中选 1 种涂色，有 5 种不同方法；第三步：完成 4 号区域：从除去 3、1 号区域的 2 种颜色后剩下的 4 种颜色中选 1 种涂色，有 4 种不同方法；第四步：完成 2 号区域：从除去 3、1、4 号区域的 3 种颜色后剩下的 3 种颜色中选 1 种涂色，有 3 种不同方法；第五步：完成 5 号区域：从除去 1、2 号区域的 2 种颜色后剩下的 4 种颜色中选 1 种涂色，有 4 种不同方法；第六步：完成 6 号区域：从除去 1、2、5 号区域的 3 种颜色后剩下的 3 种

12、颜色中选 1 种涂色，有 3 种不同方法；所以不同的涂色方法：6 5 4 3 4 34320 种.故选：D.例 4将 5 种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）A420B180C64D25【解析】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行区域A有 5 种涂法，B有 4 种涂法，A，D不同色，D有 3 种，C有 2 种涂法，有54 3 2120 种，A，D同色，D有 1 种涂法，C有 3 种涂法，有5 4 360 种，共有 180 种不同的涂色方案故选：B例 5用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所

13、示的 5 块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区4域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A120 种B720 种C840 种D960 种【解析】法一：A有 5 种颜色可选，B有 4 种颜色可选，D有 3 种颜色可选，若CA同色，E有 4 种颜色可选；若CB同色，E有 4 种颜色可选；若C与A、B都不同色，则C有 2 种颜色可选，此时E有 4 种颜色可选，故共有5 4 3442 4960 种法二：当使用 5 种颜色时，有55120A 种涂色方法；当使用 4 种颜色时，必有两块区域同色，可以是AC，BC，AE，BE，CE，共有455600A 种涂色方法；当使用 3 种颜色

14、时，只能是AC同色且BE同色，AE同色且BC同色，ACE同色，BCE同色，共有354240A 种涂色方法，共有120600240960种涂色方法.故选：D.例 6 如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.5A40320 种B5040 种C20160 种D2520 种【解析】先从 7 种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有177C 种方法，再将剩余的 6 种颜色全部涂在剩余的 6 个区域内，共有66A种方法，由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，所以不同的涂色方法，

15、共有66725202A种不同的涂法.故选：D.例 7如图所示，将四棱锥 S-ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A240B360C420D960【解析】由题设，四棱锥 S-ABCD 的顶点 S、A、B 所染的颜色互不相同，它们共有5 4 360 种染色方法.设 5 种颜色为 1，2，3，4，5，当 S、A、B 染好时，不妨设其颜色分别为 1、2、3，若 C 染 2，则 D 可染 3 或 4 或 5，有 3 种染法；若 C 染 4，则 D 可染 3 或 5，有 2 种染法，若 C 染 5，则 D 可染 3 或 4，有

16、2 种染法.6可见，当 S、A、B 已染好时，C、D 还有 7 种染法，故不同的染色方法有60 7420（种）.故选：C例 8如图所示，将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为()A33B56C64D78【解析】记分隔边的条数为L，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有 56 条分隔边，即56L，其次证明：56L，将将方格的行从上至下依次记为1233,A AA，列从左至右依次记为1233,B BB，行iA中方格出现的颜色数记为in A，列iB中

17、方格出现的颜色个数记为in B，三种颜色分别记为123,c c c，对于一种颜色jc，设jn c为含有jc色方格的行数与列数之和，定义当iA行含有jc色方格时，,1ijA c，否则,0ijA c，类似的定义,ijB c，所以 3333331111,iiijijjiiijn An BA cB cn c，由于染jc色的格有21333633个，设含有jc色方格的行有a个，列有b个，则jc色的方格一定再这个a7行和b列的交叉方格中，从而363ab，所以 22 3633839(1,2,3)jjn cababn cj，由于在行iA中有in A种颜色的方格，于是至少有1in A 条分隔边，类似的，在列iB中

18、有in B种颜色的方格，于是至少有1in B 条分隔边，则3333113311166iiiiiiiLn An Bn An B 3166jjn c下面分两种情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为1c色，则方格的 33 列均含有1c的方格，又1c色的方格有 363 个,故至少有 11 行有1c色方格，于是 111 3344n c由得 123664439396656Ln cn cn c，(2)没有一行也没有一列的所有方格同色,则对任意133i 均有2,2iin An B，从而，由式知：3316633 4666656iiiLn An B，综上，分隔边条数的最小值为 56.故选：B.

19、例 9如图给三棱柱ABCDEF的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_.8【解析】首先先给顶点,A B C染色，有3424A 种方法，再给顶点D染色，若它和点B染同一种颜色，点E和点C染相同颜色，点F就有 2 种方法，若点E和点C染不同颜色，则点E有 2 种方法，点F也有 1 种方法，则,D E F的染色方法一共有22 14 种方法，若点D和点B染不同颜色，且与点C颜色不同，则点D有 1 种方法，点E与点C颜色不同，则点E有 1 种方法，则点F有 1 种方法，此时有 1 种方法；若最后E与C相同，则F有 2

20、种方法，则共有 2 种方法；点D与点C颜色相同，则点D有 1 种方法，则点E有2 种方法，则点F有 2 种方法，共有2 24 种方法，所以点D和点B染不同，颜色共有1 247种方法，所以点,D E F的染色方法一共有4711种，所以共有24 11264种方法.故答案为：264例 10现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有_种不同着色方法【解析】先排I，有5种方法；9然后排II,IV，最后排III：当II,IV相同时，方法有4 4种，故方法数有5 4 480 种.当II,IV不同时，方法有4 3 3 种，故方法数有5 4 3 3 180 种.综上

21、所述，不同的着色方法数有80 180260种.故答案为：260例 11如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为_【解析】分三种情况：（1）用四种颜色涂色，有4424A 种涂法；（2）用三种颜色涂色，有34248A 种涂法；（3）用两种颜色涂色，有2412A 种涂法；所以共有涂色方法2448 1284.故答案为：84例 12从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出 3 种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是_.

22、【解析】从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出 3 种颜色有 4 种选法.因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类：10一类是，前三个圆用 3 种颜色，有336A 种方法，后 3 个圆也有 3 种颜色，有11224C C 种方法，此时不同方法有 64=24 方法；二类是，前 3 个圆 2 种颜色，后 3 个圆 2 种颜色，共有11326C C 方法.综上可知，所有的涂法共有4246120种方法.故答案为：120例 13如图一个正方形花圃被分成 5 份若给这 5 个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿 4 种颜色不同的花，则不同的种植方法有_种【解析】

23、先对E部分种植，有 4 种不同的种植方法；再对A部分种植，又 3 种不同的种植方法；对C部分种植进行分类：若与A相同，D有 2 种不同的种植方法，B有 2 种不同的种植方法，共有4 3 2 248 （种），若与A不同，C有 2 种不同的种植方法，D有 1 种不同的种植方法，B有 1 种不同的种植方法，共有4 3 2 1 124 （种），综上所述，共有 72 种种植方法故答案为：72.例 14现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有_种11【解析】依题意，I、II、III 区域有共同边颜色互不相同，按 I、II、III、IV 顺序着色

24、，则区域 I 有 5 种着色方法，区域 II 有 4 种着色方法，区域 III 有 3 种着色方法，IV 只与 II、III 相邻，因此区域 IV 有 3 种着色方法，根据分步乘法计数原理，不同的着色方法种数为5 4 3 3 180 .故答案为：180例 15现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有_种(用数字作答).【解析】当涂红色两个相邻的小正方形在两端时是有12224A A，当涂红色两个相邻的小正方形在不在两端时是有122A，则不同的涂法种数共有426种故答案为：6例 16四色猜想是近代数学难题之一，四色猜

25、想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有 4 种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为_12【解析】设五个区域分别为,A B C D E，依题意由公共边的两个区域颜色不同，用四种颜色进行涂色则有两个区域颜色相同，可以是A与C，A与E，B与E同色，有涂色方法44372A；或用三种颜色涂色，则有 2 组颜色同色，为A与C同色，B与E同色，有涂色方法3424A，根据分类加法原理，共有涂色方法722496.故答案为：96.例 17如图，将标号为 1，2，3，4，5 的五块区

26、域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有_种.13【解析】对于 1，有三种颜色可以安排；若 2 和 3 颜色相同，有两种安排方法，4 有两种安排，5 有一种安排，此时共有3 2 2 112 ；若 2 和 3 颜色不同，则 2 有两种，3 有一种.当 5 和 2 相同时，4 有两种；当 5 和 2 不同，则 4 有一种，此时共有322 118，综上可知，共有12 1830种染色方法.故答案为：30.例 18某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分.现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法

27、有_种.（用数字作答）【解析】由题意，6 个部分.栽种 4 种不同颜色的花，必有 2 组颜色相同的花，若 2、5 同色，则 3、6 同色或 4、6 同色，所以共有44248A 种栽种方法；若 2、4 同色，则 3、6 同色，所以共有4424A 种栽种方法；14若 3、5 同色，则 2、4 同色或 4、6 同色，所以共有44248A 种栽种方法；所以共有482448120种栽种方法.故答案为：120例 19给图中 A，B，C，D，E，F 六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有 4 种颜色可供选择，则共有_种不同的染色方案.【解析】解：要完成给图中A、B、C、D、E、F六

28、个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即AF同色，BD同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有344C种取法，三种颜色染三个区域有336A 种染法，共4 624种染法；第二类是用四种颜色染色，即AF，BD，CE中有一组不同色，则有 3 种方案(AF不同色或BD不同色或CE不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有2412A 种染法，剩余两种染在不同色区有 2 种染法，共有3 12 272种染法由分类加法原理得总的染色种数为247296种故答案为：9620如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色（4 种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜

29、色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）15例 21给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用 4 种颜色染色的方案有_种，用 5 种颜色染色的方案共有_种.【解析】（1）根据题意，若用 4 种颜色染色时，先对A、B区域染色有1143C C种，再对C染色：当C同B时，有1122C C种；当C同A时，有111322CC C种；当C不同A、B时，有111232()C CC种；综合共有11111111114322322232()252C CC CCC CC CC种；（2）根据题意，若用 5 种颜色染色时，先对A、B区域染色有1154C C种，再对C染色：当C同B时，

30、有1133C C种；当C同A时，有111433CC C种；当C不同A、B时，有11113423()C CC C种；综合，共有1111111111154334333423()1040C C C CCC CC CC C种.16故答案为：252；1040.例 22如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABCA B C 的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有_种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有_种【解析】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有3344576A A；（2）若B，A，A，C用四种颜色，则有4424A；若B，A，A，C用三种颜色，则有33442222192AA ；若B，A，A，C用两种颜色，则有242248A .所以共有24 19248264 种故答案为：576；264.