2024年高考数学专项突破数列大题基础练（解析版）.pdf

《2024年高考数学专项突破数列大题基础练（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学专项突破数列大题基础练（解析版）.pdf（34页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数列大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）数列大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1（2022浙江浙江模拟预测）模拟预测）已知数列 na满足，12(1)nnnaa .(1)若11a，数列2na的通项公式；(2)若数列 na为等比数列，求1a.2（2022海南省直辖县级单位海南省直辖县级单位校联考一模）校联考一模）等差数列 na的首项11a，且满足2512aa，数列 nb满足2nanb.(1)求数列 na的通项公式；(2)设数列 nb的前n项和是nT，求nT.3（2023黑龙江大庆黑龙江大庆统考一模）统考一模）设 na是公差不为 0 的等差数列，12a，3a是1a，11a的

2、等比中项.(1)求 na的通项公式；(2)设13nnnba a，求数列 nb的前 n 项和nS.4（2023广东惠州广东惠州统考模拟预测）统考模拟预测）数列 na中，12a，121nnaa(1)求证：数列1na 是等比数列；(2)若nnban，求数列 nb的前n项和nT5（2023广东江门广东江门统考一模）统考一模）已知数列 na（Nn）满足11a，133nnnaan，且nnabn.(1)求数列 nb是通项公式；(2)求数列 na的前 n 项和nS.6（2023江苏江苏统考一模）统考一模）已知等比数列 na的各项均为正数，且23439aaa，54323aaa.(1)求 na的通项公式；(2)数

3、列 nb满足nnnba，求 nb的前 n 项和nT.2024年高考数学专项突破数列大题基础练（解析版）7（2023重庆重庆统考二模）统考二模）已知数列 na的前n项和为nS,且满足115nnnana,且15a .(1)求证:数列5nan为常数列,并求 na的通项公式;(2)若使不等式20nS 成立的最小整数为7,且1Za,求1a和nS的最小值.8（2023海南海口海南海口校考模拟预测）校考模拟预测）已知数列 na的前n项和为nS，14a，12nnanSn(1)求数列 na的通项公式；(2)记12nnnac，数列 nc的前n项和为nT，求12111nTTT的值9（2023山东青岛山东青岛统考一模

4、）统考一模）已知等差数列 na的前 n 项和为nS，公差0d，2S，4S，54S 成等差数列，2a，4a，8a成等比数列(1)求nS；(2)记数列 nb的前 n 项和为nT，22nnnnbTS，证明数列1nnbS为等比数列，并求 nb的通项公式10（2023山东济南山东济南一模）一模）已知数列 na满足111,(1)1nnanana(1)若数列 nb满足1nnabn，证明：nb是常数数列；(2)若数列 nc满足sin22nannca，求 nc的前2n项和2nS11（2022辽宁鞍山辽宁鞍山统考一模统考一模）已知等差数列 na满足首项为3331log 15log 10log 42的值，且3718

5、aa.(1)求数列 na的通项公式；(2)设11nnnba a，求数列 nb的前 n 项和nT.12（2023广东广东统考一模）统考一模）已知各项都是正数的数列 na，前n项和nS满足2*2nnnaSanN.(1)求数列 na的通项公式.(2)记nP是数列1nS的前n项和，nQ是数列121na的前n项和.当2n 时，试比较nP与nQ的大小.13（2022吉林长春吉林长春东北师大附中校考模拟预测东北师大附中校考模拟预测）从12naSn n；23Sa，412aa a；12a，4a是2a，8a的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答已知等差数列 na的前 n 项和为nS，公差 d 不

6、等于零，_(1)求数列 na的通项公式；(2)若122nnnbSS，数列 nb的前 n 项和为nW，求nW14（2022广东珠海广东珠海珠海市第三中学统考二模）珠海市第三中学统考二模）已知数列 na，nb的前 n 项和分别为nS，nT，1221nnnabn，221nnnTSn(1)求11,a b及数列 na，nb的通项公式；(2)设*21N2nnnankckbnk，求数列 nc的前 2n 项和2nP15（2022云南大理云南大理统考模拟预测）统考模拟预测）已知数列 na的前 n 项和为nS，且满足1121,1nnSaan(1)求数列 na的通项公式；(2)若数列2,23,nnnCnn为奇数为偶

7、数，求数列nC的前2n项和2nT16（2022湖南永州湖南永州统考一模）统考一模）已知数列 ,nnab满足：111ab，且210nnn naba b.(1)若数列 na为等比数列，公比为121,2q aa，求 nb的通项公式；(2)若数列 na为等差数列，11nnaa，求 nb的前n项和nT.17（2022广东韶关广东韶关统考一模）统考一模）已知数列 na的首项145a，且满足143nnnaaa，设11nnba.(1)求证：数列 nb为等比数列；(2)若1231111140naaaa，求满足条件的最小正整数n.18（2022河北河北模拟预测）模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，13a，且1

8、123nnnSSa(1)求数列na的通项公式；(2)3lognnnbaa；3321loglognnnbaa；3lognnnbaa从上面三个条件中任选一个，求数列 nb的前n项和nT注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19（2022广东广州广东广州统考一模）统考一模）已知公差不为 0 的等差数列na中，11a，4a是2a和8a的等比中项.(1)求数列na的通项公式：(2)保持数列na中各项先后顺序不变，在ka与1(1,2,)kak之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列 nb，记 nb的前n项和为nT，求20T的值.20（2023湖北湖北荆州中学校联考二模）荆州中学校联考二模）

9、已知数列 na，若_（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列11nna a的前n项和nT从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解2123naaaan；11a，47a，*112,2nnnaaannN；11a，点,nA n a，11,nB na在斜率是 2 的直线上21（2023江苏南通江苏南通二模）二模）已知正项数列 na的前 n 项和为，且11a，2218nnSSn，*Nn(1)求nS；(2)在数列 na的每相邻两项1kkaa，之间依次插入12kaaa，得到数列 1121231234nbaaaaaaaaaa：，求 nb的前 100 项和.22（2023江苏南通江苏南通海

10、安高级中学校考一模）海安高级中学校考一模）已知数列 na满足1122nnnaaan，且12342,18aaaa(1)求 na的通项公式；(2)设21000nanb，求数列 nb的前15项和15T（用具体数值作答）.23（2023安徽安徽模拟预测模拟预测）已知 na为等差数列，nb是公比为 2 的等比数列，且223344ababba(1)证明：11ab；(2)求集合1,1500kmk baam中元素个数24（2023河北衡水河北衡水河北衡水中学校考三模）河北衡水中学校考三模）已知 na为等差数列，1154,115nnanaan.(1)求 na的通项公式；(2)若1,414nnnnbTaa为 nb

11、的前n项和，求nT.25（2023广东广州广东广州统考二模）统考二模）设数列 na的前n项和为nS，且22*nnSanN.(1)求 na的通项公式；(2)设2211loglognnnbaa，记 nb的前n项和为nT，证明：1nT.26（2023江苏泰州江苏泰州统考一模）统考一模）在124,S SS成等比数列，4222aa，8472SSS这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.已知数列 na是公差不为 0 的等差数列，其前n项和为nS，且满足_，_.(1)求 na的通项公式；(2)求12233411111nna aa aa aa a.注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.2

12、7（2023黑龙江黑龙江黑龙江实验中学校考一模黑龙江实验中学校考一模）已知数列 na，前 n 项和为nS，且满足112nnnaaa，2n，*Nn，1514aa，770S，等比数列 nb中，1212bb，且12,6b b，3b成等差数列(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)记nc为区间*,Nnna bn中的整数个数，求数列 nc的前 n 项和nP28（2023吉林吉林统考二模）统考二模）已知数列 na的前n项和为nS，13a，数列nSn是以2为公差的等差数列.(1)求 na的通项公式；(2)设 112nnnnnaba a，求数列 nb的前2n项和2nT.29（2023山西山西校联考模拟预测

13、校联考模拟预测）已知数列 na满足0na，22112nnnnaa aa，且13a，23a，3a成等差数列.(1)求 na的通项公式；(2)若12,log,nnna nba n为奇数为偶数，求数列 nb的前2n项和2nT.30（2023黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考二模）哈尔滨三中校考二模）已知数列 na满足：15a，134nnaa，设2nnba，*Nn(1)求数列 nb的通项公式；(2)设3132312logloglognnnbbbTbbb，*Nn，求证：34nT 数列大题基础练数列大题基础练-新高考数学复习新高考数学复习分层训练（新高考通用）分层训练（新高考通用）1（2022浙江浙江

14、模拟预测）模拟预测）已知数列 na满足，12(1)nnnaa .(1)若11a，数列2na的通项公式；(2)若数列 na为等比数列，求1a.【答案】(1)21na；(2)11a.【分析】（1）利用累加法求2na即可；（2）根据121nnnaa 得到212aa，322aa，联立得到1q ，然后代入求1a即可.【详解】（1）由题意得121nnnaa，所以 22212122211nnnnnaaaaaaaa212212121211nn 211 .（2）设数列 na的公比为q，因为121nnnaa，所以212aa，322aa，两式相加得2311aaqa，所以1q ，当1q 时，2112aaa不成立，所以

15、1q ，2112aaa，解得11a.2（2022海南省直辖县级单位海南省直辖县级单位校联考一模校联考一模）等差数列 na的首项11a，且满足2512aa，数列 nb满足2nanb.(1)求数列 na的通项公式；(2)设数列 nb的前n项和是nT，求nT.【答案】(1)21nan；(2)212233nnT.【分析】（1）由已知可得12512ad，代入11a，求出2d，即可得到通项公式；（2）由（1）知，142nnb，得到 nb是12b 为首项，以 4 为公比的等比数列.进而根据等比数列前n项和公式，即可求出答案.【详解】（1）解：设 na公差为d.由2512aa可得，12512ad.又11a，所

16、以2d.所以1 2121nann.（2）解：由（1）知，2112242nannnb.则14nnbb，故 nb是12b 为首项，以 4 为公比的等比数列.所以12nnTbbb214242143nn212233n.3（2023黑龙江大庆黑龙江大庆统考一模）统考一模）设 na是公差不为 0 的等差数列，12a，3a是1a，11a的等比中项.(1)求 na的通项公式；(2)设13nnnba a，求数列 nb的前 n 项和nS.【答案】(1)31nan(2)364nnSn【分析】（1）设 na的公差为d，由题意可得2222 2 10dd，求出3d，即可求出 na的通项公式；（2）由裂项相消法求和即可得出

17、答案.【详解】（1）设 na的公差为d，因为12a，3a是1a，11a的等比中项，所以2222 2 10dd，所以230dd.因为0d，所以3d，故23131nann.（2）因为1331131 323132nnnba annnn，所以1111111132557313223264nnSnnnn.4（2023广东惠州广东惠州统考模拟预测）统考模拟预测）数列 na中，12a，121nnaa(1)求证：数列1na 是等比数列；(2)若nnban，求数列 nb的前n项和nT【答案】(1)证明见解析(2)23212nnnnT【分析】（1）由已知等式变形得出1121nnaa，结合等比数列的定义可证得结论成立

18、；（2）求出数列 nb的通项公式，利用分组求和法可求得nT.【详解】（1）解：因为121nnaa，所以1121nnaa，因为12a，则21213aa，32215aa，L，以此类推可知，对任意的nN，2na，所以，1121nnaa，又111a ，所以数列1na 是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）解：由（1）可知112nna，nN，所以121nnnbann，又由题知 012112322232421nnnTbbbbn0121211 2222223411 22nnnnn 23212nnn.5（2023广东江门广东江门统考一模）统考一模）已知数列 na（Nn）满足11a，133nnnaan，且nn

19、abn.(1)求数列 nb是通项公式；(2)求数列 na的前 n 项和nS.【答案】(1)13nnb(2)21 3144nnnS【分析】（1）将na换为nnb代入133nnnaan中化简，根据定义即可判断 nb为等比数列，由首项公比写出通项公式即可；（2）由（1）中的通项公式求得na，再利用乘公比错位相减得出前 n 项和即可.【详解】（1）解：因为133nnnaan，所以131nnaann，又nnabn，所以111nnabn，所以13nnbb，又111ba，所以数列 nb是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，所以13nnb；（2）由（1）知，13nnnanb，所以13nnan，所以01232

20、11 32 33 34 31 33nnnSnn ，1234131 32 33 34 31 33nnnSnn ，两式相减可得：01234123333333nnnSn，所以31232nnnSn，故21 3144nnnS.6（2023江苏江苏统考一模）统考一模）已知等比数列 na的各项均为正数，且23439aaa，54323aaa.(1)求 na的通项公式；(2)数列 nb满足nnnba，求 nb的前 n 项和nT.【答案】(1)13nna；(2)969443nnnT.【分析】（1）根据等比数列基本量的运算可得1a，q，即可得数列 na的通项公式；（2）由题可得nb，然后利用错位相减法求解即可；或利

21、用裂项相消法求和即得.【详解】（1）设数列 na的公比为0q q，则2314321113923aqqqa qa qa q，0q，解得113aq，所以13nna，即 na的通项公式为13nna；（2）方法一：由题可知13nnnb，则122123113333nnnnnT，23111231333333nnnnnT，所以2311121111331311333333322313nnnnnnnnTn，nT96944 3nn.方法二：13939132424333nnnnnnnnnba，所以1201139393939011242424243333nnnnnnTbbb 3999692443443nnnn7（20

22、23重庆重庆统考二模）统考二模）已知数列 na的前n项和为nS,且满足115nnnana,且15a .(1)求证:数列5nan为常数列,并求 na的通项公式;(2)若使不等式20nS 成立的最小整数为7,且1Za,求1a和nS的最小值.【答案】(1)证明见解析,155naa n(2)13a ;nS的最小值为:4【分析】(1)中两边同除1n n,再结合裂项即可同构出所需数列;(2)中由不等式20nS 成立的最小整数为7可以确定nS为二次函数且开口向上,结合1Za,即可求出1a,从而nS就确定了.【详解】（1）因为115nnnana,两边同除1n n得,1555111nnaannn nnn,所以1

23、5511nnaannnn所以数列5nan为常数列;所以1155551nnaaaann.（2）由(1)知,数列 na是等差数列,所以2111115555222nnn aa nn aaa nanS因为20nS,化简得21155400a nan;令 2115540f na nan,则 0f n 成立的n最小值为7,所以 16070105fffa;解得185552821a.因为1Za,所以13a ;所以24nSnn,故nS的最小值为24S .8（2023海南海口海南海口校考模拟预测）校考模拟预测）已知数列 na的前n项和为nS，14a，12nnanSn(1)求数列 na的通项公式；(2)记12nnna

24、c，数列 nc的前n项和为nT，求12111nTTT的值【答案】(1)1 2nnan(2)21nn【分析】（1）根据11,1,2nnnS naSSn得到1nan是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，求出通项公式；（2）由（1）得12nnnacn，由等差数列求和公式得到11121nTnn，利用裂项相消法求和.【详解】（1）由12nnanSn得到21nnnaSn，当2n 时，1121nnnaSn，两式相减，有12121nnnnanaann，得到12111nnnanann，由于2n，121nnaann，因为122a，由上述递推关系知01nan，所以1nan是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所

25、以1221nnan，所以1 2nnan（2）由（1）知：12nnnacn，则111nnccnn，所以数列 nc为等差数列，所以数列 nc的前n项和为12nn nT，则1211211nTn nnn，所以121111111122122311nnTTTnnn9（2023山东青岛山东青岛统考一模）统考一模）已知等差数列 na的前 n 项和为nS，公差0d，2S，4S，54S 成等差数列，2a，4a，8a成等比数列(1)求nS；(2)记数列 nb的前 n 项和为nT，22nnnnbTS，证明数列1nnbS为等比数列，并求 nb的通项公式【答案】(1)2nSnn(2)11121nnbnn【分析】（1）根据

26、等比中项以及等差中项，结合等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，（2）根据22nnnnbTS结合前n项和与通项之间的关系即可证明等比数列，由等比数列的定义即可求解通项.【详解】（1）由2S，4S，54S 成等差数列，2a，4a，8a成等比数列可得111524122428111510422 46422,237adadadSSSadaa aadadad，21222nn nSnnn（2）由22nnnnbTS得111332212,22211nnnnbTbbTTn nnn，故1121212nnbTnn，两式相减可得11121211111222121121nnnnnbbbbbnnnnnnnn，而1111

27、nnnbbSnn，所以1nnbS为公比为 2 的等比数列，且首项为31122，故11121nnbnn，进而11121nnbnn10（2023山东济南山东济南一模）一模）已知数列 na满足111,(1)1nnanana(1)若数列 nb满足1nnabn，证明：nb是常数数列；(2)若数列 nc满足sin22nannca，求 nc的前2n项和2nS【答案】(1)证明见解析(2)412223nnS【分析】（1）计算出111101nnnnaabbnn，得到 nb是常数数列；（2）在（1）的基础上，得到21nan，21sin22nncn，利用分组求和得到答案.【详解】（1）因为11111(1)111(1

28、)(1)1(1)(1)nnnnnnnnnanaaannannabbnnnnnn1(1)0(1)nnnn，所以1nnbb，所以 nb是常数数列（2）因为11a，所以11121nabb，所以12nan，所以21nan因为2121sin(21)2sin222nnncnn，所以13541235sinsinsinsin 2 22222222nnSn2412 1422(1 1 1 11)143nn ，所以412223nnS11（2022辽宁鞍山辽宁鞍山统考一模统考一模）已知等差数列 na满足首项为3331log 15log 10log 42的值，且3718aa.(1)求数列 na的通项公式；(2)设11n

29、nnba a，求数列 nb的前 n 项和nT.【答案】(1)21nan(2)21nn【分析】（1）利用对数的运算法则求得 na的首项1a，再利用等差数列的通项公式代入3718aa即可求解；（2）将（1）中21nan代入11nnnba a，利用裂项求和法即可求得nT.【详解】（1）根据题意得，13331log 15log 10log 42a 333331533loglog4loglog 2log211022，因为数列 na是等差数列，设公差为d，则由3718aa，得112618adad，解得2d，所以11221nann.（2）由（1）可得1111(21)(21)2 2121nbnnnn，所以11

30、1 111111232 352 2121nTnn11122121nnn.12（2023广东广东统考一模）统考一模）已知各项都是正数的数列 na，前n项和nS满足2*2nnnaSanN.(1)求数列 na的通项公式.(2)记nP是数列1nS的前n项和，nQ是数列121na的前n项和.当2n 时，试比较nP与nQ的大小.【答案】(1)nan(2)nnPQ【分析】（1）根据nS与na的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）根据裂项相消法，结合等比数列前n项和、二项式定理进行求解即可.【详解】（1）当1n 时，211112aSaa，所以11a 或10a（舍去），当2n 时，有221112,2

31、,nnnnnnaSaaSa两式相减得221112nnnnnnnaaaaaaa，整理得111nnnnnnaaaaaa，因为 na的各项都是正数，所以11nnaa，所以 na是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以1 11nann ；（2）由（1）得12nn nS，则1211211nSn nnn，所以121111111112 12 122311nnPSSSnnn，由（1）得11211,2nna所以212112221111111111212 11222212nnnnnQaaaa，因为12(1 1)11022nnn nnnn ，所以1121nn，故111121nn，所以当2n 时，nnPQ.13（2

32、022吉林长春吉林长春东北师大附中校考模拟预测东北师大附中校考模拟预测）从12naSn n；23Sa，412aa a；12a，4a是2a，8a的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答已知等差数列 na的前 n 项和为nS，公差 d 不等于零，_(1)求数列 na的通项公式；(2)若122nnnbSS，数列 nb的前 n 项和为nW，求nW【答案】(1)条件选择见解析，2nan(2)11426nnnW【分析】（1）选：先计算出12a，得到前n项和公式，进而计算出方差和通项公式；选：得到关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，求出通项公式；选：根据等比中项，列出方程，求出公差，通项

33、公式；（2）在第一问的基础上，计算得到数列 nb的通项公式，进而利用分组求和计算出前 n 项和.【详解】（1）选易得11112aaS，解得：12a，即2nSnn，所以1226aSa，即24a，故212daa，所以2212nann选易得11111223adadada ad，所以12ad，所以2212nann选易得2428aa a，即223227ddd，解得：2d（0d 舍去），所以2212nann（2）由（1）知2nSnn，所以122112222223 42nnnnnnnnnbSS，所以 23233 44442222nnnW 11114 142 12344224261412nnnnnn14（20

34、22广东珠海广东珠海珠海市第三中学统考二模）珠海市第三中学统考二模）已知数列 na，nb的前 n 项和分别为nS，nT，1221nnnabn，221nnnTSn(1)求11,a b及数列 na，nb的通项公式；(2)设*21N2nnnankckbnk，求数列 nc的前 2n 项和2nP【答案】(1)1111,1,21,2nnnabanb；(2)21222233nnn【分析】（1）先根据221nnnTSn得到1221nnnnba，再结合1221nnnabn，求出数列 na，nb的通项公式；（2）在第一问的基础上利用分组求和进行求解.【详解】（1）在221nnnTSn中，当 n1 时，b1a10，

35、当 n2 时，22111121211221nnnnnnnnnbaTSTSnnn ，显然 b1a10 适合上式，所以1221nnnnba，Nn，又1221nnnabn，所以两式相减得21nan，两式相加得12nnb且 a11，b11；（2）因为*21N2nnnankckbnk，结合（1）中所求，*12121N22nnnnkcnnk，故212321234212nnnnPccccababab 21213212422 1414322221433nnnnnnaaabbbnn15（2022云南大理云南大理统考模拟预测）统考模拟预测）已知数列 na的前 n 项和为nS，且满足1121,1nnSaan(1)求

36、数列 na的通项公式；(2)若数列2,23,nnnCnn为奇数为偶数，求数列nC的前2n项和2nT【答案】(1)21nan(2)22241253nnTnn【分析】（1）根据nS与na的关系可得1(1)1nnnana，进而得11111(1)1nnaannn nnn，由累加法即可求解；（2）根据分组求和，由等差等比数列的求和公式即可求解.（1）因为121nnSan，所以12nnSnan，当2n 时，12(1)(1)nnSnan，-得：12(1)1nnnanana，即1(1)1nnnana，所以11111(1)1nnaannn nnn，所以21122naann，由23a，可得21nan，当1n 时，

37、11a，符合上式，所以21nan（2）由题意得，2,23,nnnCnn为奇数为偶数则21321242nnnTCCCCCC22 14(743)241251423nnnnnn，所以22241253nnTnn16（2022湖南永州湖南永州统考一模）统考一模）已知数列 ,nnab满足：111ab，且210nnn naba b.(1)若数列 na为等比数列，公比为121,2q aa，求 nb的通项公式；(2)若数列 na为等差数列，11nnaa，求 nb的前n项和nT.【答案】(1)14nnb或149n(2)21nnTn【分析】（1）先求出212a 或32，从而求出公比，根据题干条件得到*121nnbn

38、Nbq，即 nb是等比数列，从而求出通项公式；（2）先求出 na的通项公式，再用累乘法求出 nb的通项公式，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）因为数列 na为等比数列，公比为q，且11211,2aaa，所以212a 或232a 所以2112aaq 或32，又210nnn naba b所以*1221nnnnbanNbaq，即数列 nb是以11b 为首项，21q为公比的等比数列，故14nnb或149n.（2）依题意得公差1d，即11nandn，由于210nnn naba b所以*1112,nnnnbannNba，从而1312221111221143nnnnnnnnnbbbaabaabbbbbbb

39、aaaa1212112(2)(1)1nna ana an nnn又11b 满足上式，所以*1121,1nbnnNnn，1231111112212 1223111nnnTbbbbnnnn.故21nnTn.17（2022广东韶关广东韶关统考一模）统考一模）已知数列 na的首项145a，且满足143nnnaaa，设11nnba.(1)求证：数列 nb为等比数列；(2)若1231111140naaaa，求满足条件的最小正整数n.【答案】(1)证明见解析(2)140【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）利用分组求和的方法得到1231111314nnnaaaa，然后利用314nn 的增减性解不等

40、式1231111140naaaa即可.【详解】（1）11311141111nnnnnnnabaabaa3 134 14nnaa，111114ba，所以数列 nb为首项为114b，公比为34等比数列.（2）由（1）可得12311111111naaaa13144314n314n，即1231111314nnnaaaa 1231111314nnnaaaa 而314nn 随着n的增大而增大要使1231111140naaaa，即311404nn，则140n，n的最小值为 140.18（2022河北河北模拟预测）模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，13a，且1123nnnSSa(1)求数列na的通项公式

41、；(2)3lognnnbaa；3321loglognnnbaa；3lognnnbaa从上面三个条件中任选一个，求数列 nb的前n项和nT注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)3nna(2)答案见解析【分析】（1）由已知可得当2n 时，11122nnnnSSaa，进而得13(2)nnana，可求数列na的通项公式；（2）若选：3log3nnnnbaan 错位相减法可求nT 若选：1 11()22nbnn，可求nT 若选：3nnbn，分组求和可求nT【详解】（1）当2n 时，1123nnnSSa，123nnnSSa，11122nnnnSSaa，1122nnnnaaaa，13(

42、2)nnana，当1n 时，12223SSa112223aaaa29a，213aa，数列na是以13a，3 为公比的等比数列，13 33nnna（2）若选：3log3nnnnbaan，231 32 33 33nnTn ，23131 32 3(1)33nnnTnn，231233333nnnTn1113(1 3)133331 322nnnnnn ，1113()3244nnTn若选：332111 11()loglog(2)22nnnbaan nnn，111 111 111 111111(1)()()()(1)232 242 35222212nTnnnn32342(1)(2)nnn若选：3log3nn

43、nnbaan，23(3 1)(32)(33)(3)nnTn233333(123)nn123(1 3)(1)331 322nnn nnn【点睛】数列求和的常见方法：错位相减法裂项相消法分组求和公式法倒序相加法19（2022广东广州广东广州统考一模）统考一模）已知公差不为 0 的等差数列na中，11a，4a是2a和8a的等比中项.(1)求数列na的通项公式：(2)保持数列na中各项先后顺序不变，在ka与1(1,2,)kak之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列 nb，记 nb的前n项和为nT，求20T的值.【答案】(1)nan(2)2101【分析】（1）公式法解决即可；（2）ka与1ka

44、（1k，2，）之间插入2k，说明在数列 nb中有 10 项来自 na，10 项来自 2n，分组求和即可.【详解】（1）设数列na的公差为d，因为4a是2a和8a的等比中项，所以2428aaa，即211137adadad，因为11a 所以1d 或0d（舍）所以11111naandnn ，所以通项公式nan（2）由（1）得nan，因为ka与1ka（1,2,3.k）之间插入2k，所以在数列 nb中有 10 项来自 na，10 项来自 2n，所以101210202 121 101222.102102101212T 20（2023湖北湖北荆州中学校联考二模）荆州中学校联考二模）已知数列 na，若_（1）

45、求数列 na的通项公式；（2）求数列11nna a的前n项和nT从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解2123naaaan；11a，47a，*112,2nnnaaannN；11a，点,nA n a，11,nB na在斜率是 2 的直线上【答案】答案见解析.【分析】（1）若选，根据通项公式与前n项和的关系求解通项公式即可；若选，根据*112,2nnnaaannN可得数列 na为等差数列，利用基本量法求解通项公式即可；若选，根据两点间的斜率公式可得12nnaa，可得数列 na为等差数列进而求得通项公式；（2）利用裂项相消求和即可【详解】解：（1）若选，由2123naaaan

46、，所以当2n，212311naaaan，两式相减可得：22121nannn，而在2123naaaan中，令1n 可得：11a，符合上式，故21nan若选，由112nnnaaa（N*n，2n）可得：数列 na为等差数列，又因为11a，47a，所以413aad，即2d，所以11221nann 若选，由点,nA n a，11,nB na在斜率是 2 的直线上得：121nnaann，即12nnaa，所以数列 na为等差数列且11221nann（2）由（1）知：11111121212 2121nna annnn，所以111111123352121nTnnL11122121nnn21（2023江苏南通江苏

47、南通二模）二模）已知正项数列 na的前 n 项和为，且11a，2218nnSSn，*Nn(1)求nS；(2)在数列 na的每相邻两项1kkaa，之间依次插入12kaaa，得到数列 1121231234nbaaaaaaaaaa：，求 nb的前 100 项和.【答案】(1)21nSn，Nn(2)186【分析】（1）根据,nnSa的关系，即可求解，（2）根据 nb的形成规律，分组即可求解.【详解】（1）因为2218nnSSn，当2n 时，2222221211nnnSSSSSS818 11n 8 12311n(1)812n n 221n，因为0na，所以0nS，故21nSn当1n 时，111Sa适合上

48、式，所以21nSn，Nn.（2）（方法 1）因为21nSn，Nn，所以当2n 时，121232nnnaSSnn所以11,22.nnan，所以数列 nb：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，设(1)121002n nn，则22000nn，因为*nN，所以13n.所以 nb的前 100 项是由 14 个 1 与 86 个 2 组成所以10014 1862186T.（方法 2）设(1)121002n nn，则22000nn，因为Nn，所以13n.根据数列 nb的定义，知1001121231213129Taaaaaaaaaaaa123139SSSSS135251713(125)172186.22（

49、2023江苏南通江苏南通海安高级中学校考一模）海安高级中学校考一模）已知数列 na满足1122nnnaaan，且12342,18aaaa(1)求 na的通项公式；(2)设21000nanb，求数列 nb的前15项和15T（用具体数值作答）.【答案】(1)2nan(2)66490【分析】（1）依题意 na为等差数列，设公差为d，由12342,18aaaa，即可求出d，从而得到通项公式；（2）由（1）可知00021nnb，则10002,921000,10nnnnbn，再利用分组求和法计算可得；【详解】（1）解：因为1122nnnaaan，所以11nnnnaaaa，所以 na为等差数列，设公差为d，

50、因为12342,18aaaa，所以13618ad，所以2d，所以112naandn，即2nan（2）解：因为21000nanb，所以22100010002nnnb 所以10002,921000,10nnnnbn，所以 12910111515100021000210002210002100021000T 1291011152223 100022291062 123 10001212212106102216649030002223（2023安徽安徽模拟预测模拟预测）已知 na为等差数列，nb是公比为 2 的等比数列，且223344ababba(1)证明：11ab；(2)求集合1,1500kmk b