2024年高考数学专项复习调和点列与极点极线（解析几何）（解析版）.pdf

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1、 调和点列与极点极线 调和点列与极点极线知识与方法以极点极线为背景的题目经常出现在高考和各级竞赛试题之中,如圆锥曲线的切线、切点弦、圆锥曲线内接四边形两对边延长线的交点轨迹等,是圆锥曲线的常考问题,这些问题大多和极点极线与调和点列 的性质有关.熟悉调和点列与极点极线基本性质,能抓住此类问题的本质，明确问题的目标,能更高效地 解决问题.下面介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius 圆、极点和极线等射影几何的重要概念及 性质,溯本求源，揭示此类与极点极线有关的问题的来龙去脉.(一一)调和分割的概念调和分割的概念“调和分割”又称“调和共轭”,来源于交比，分“调和线束”和“调和点列”两种,

2、它是交比研究中的一个重要特例,也是贯穿 高等几何 课程的一个重要概念.定义定义1 1 线束和点列的交比线束和点列的交比:如图,过点O的四条直线被任意直线l所截的有向线段之比AC AD/BC BD称为线束OA、OC、OB、OD或点列 A,C,B,D的交比.定理 1 交比与所截直线无关.【证明】令线束O a,b,c,d分别交l于A,B,C,D,则ACAD/BCBD=SAOCSAOD/SBOCSBOD=COsinAOCDOsinAOD/COsinCOBDOsinBOD=sinAOCsinAOD,sinCOBsinBOD,又因为各对应向量方向相同,故交比与所截直线无关.【注】定理说明，点列的交比与其对

3、应线束的交比是相同的.保持线束不变,取另一直线 l交线束于A,B,C,D,可视为对l作射影变换,所得交比不变,由此说明交比是射影不变量,具有射影不变性.2024年高考数学专项复习调和点列与极点极线（解析几何）（解析版）定义定义2 2调和线束与调和点列调和线束与调和点列:定理1若交比为-1,则称为调和比.交比为-1 的线束称为调和线束,点列称为调和点列.一般地,若AC=CB AD=-DB (0且1,则A,C,B,D四点构成“调和点列”;A,B叫做“基点”,C,D叫做“(内、外)分点”.根据定义可得：如果点C内分线段AB，点D外分线段AB,且ACCB=ADDB,那么称点C,D调和分割线段AB.亦称

4、A,C,B,D为调和点列.线段端点和内外分点,依次构成调和点列.即：调和点列内分比=外分比.也可以以D,C为基点,则四点D,B,C,A仍构成调和点列,故称A,B与C,D调和共轭.如图,若A,C,B,D构成调和点列,O为直线AB外任意一点,则四直线OA,OC,OB,OD为调和线束;若另一直线截此调和线束,则截得的四点A,C,B,D仍构成调和点列(由定理1可知).定理2 调和点列的性质：若A,C,B,D为调和点列,即ACCB=ADDB,则:(1)调和性:1AC+1AD=2AB证明:CACB=DADBCBCA=DBDAAB-CACA=DA-ABDAABCA-1=1-ABDAABCA+ABDA=21A

5、C+1AD=2AB(2)共轭性:若A,C,B,D构成调和点列,则D,B,C,A也构成调和点列.即：若1AC+1AD=2AB成立,则1DB+1DA=2DC也成立;(3)等比性:CACB=DADB=记线段AB的中点为M,则有 MA|2=MB|2=MC MD.记线段CD的中点为N,则有 NC|2=ND|2=NA NB.(同2可证)证明:CACB=DADBMA+MCMA-MC=MD+MAMD-MAMA+MCMD+MA=MA-MCMD-MA由等比性质可知:MA+MC+MA-MCMD+MA+MD-MA=MA+MC-MA-MCMD+MA-MD-MA2 MA2 MD=2 MC2 MA MA|2=MB2=MC

6、MD同理可得 NC|2=ND|2=NA NB.定理3 斜率分别为k1,k2,k3的三条直线l1,l2,l3交于x轴外的点P,过P作x轴的垂线l4,则k1,k2,k3成等差数列的充要条件为l1,l2、l3,l4成调和线束.分析：不妨设k1、k2、k3均为正数,其它情况同理可证.【证明】如图,设l1,l2、l3,l4与x轴分别交于A,B,C,D四点,则2k2=k1+k32DB=1DA+1DCDADC=BABCA,B,C,D成调和点列l1,l3,l2,l4成调和线束.定理4 已知F为椭圆的焦点,l为F相应的准线,过F任作一直线交椭圆于 A,B两点,交l于点M,则A,B,F,M成调和点列.(说明：此处

7、图像应修正：B点在椭圆上，BB1虚线应往上移一点)【证明】如图,分别过A,B作l的垂线,垂足为A1,B1,则由椭圆的第二定义及平行线的性质可得:AFBF=AA1BB1=AMBM,故A,B,F,M成调和点列.定义 3 阿波罗尼斯 Apollonius 圆：到两定点 A、B 距离之比为定值 k(k 0 且 k 1)的点的轨迹为圆,称为 Apollonius圆(简称阿氏圆)，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决.【证明】如图,由AP=kPB,则在AB直线上有两点 C、D满足ACBC=ADBD=APBP,故PC、PD分别为 APB 的内外角平分线,则 CP DP,即 P 的轨迹为以 CD

8、为直径的圆(圆心 O 为线段CD的中点).由ACBC=ADBD可知,图中A,C,B,D为调和点列.定义4 完全四边形：我们把两两相交,且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.如图，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF,AC、BD、EF称为其对角线.定理 5 完全四边形对角线所在直线互相调和分割.即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列.【证明】HEHFIFIE=SAECSAFCSBDFSBDE=SAECSACDSACDSAFCSBDFSBEFSBEFSBDE=ECCDADAFDCECAFAD=1,即HEHF=IEIF,所以EHFI为调

9、和点列.其余的可由线束的交比不变性得到.(二二)极点和极线的概念极点和极线的概念1 1.极点和极线的几何定义极点和极线的几何定义如图,P 为不在圆锥曲线 上的点,过点 P 引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H,连接 EH,FG 交于 N,连接 EG,FH 交于 M,我们称点 P 为直线 MN 关于圆锥曲线 的极点,称直线 MN 为点P关于圆锥曲线的极线.直线MN交圆锥曲线于A,B两点,则PA,PB为圆锥曲线的两条切线.若P在圆锥曲线上,则过点P的切线即为极线.(1)自极三角形：极点P 一一极线MN；极点M 一一极线PN;极点N 一一极线MP;即PMN中,三 个顶点和对边分别为一对极点

10、和极线,称PMN为“自极三角形”.(2 2)极点和极线的两种特殊情况极点和极线的两种特殊情况(1)当四边形变成三角形时：曲线上的点E F,M,N对应的极线,就是切线PE;(2)当四边有一组对边平行时,如：当FH EG时,EG和FH的交点M落在无穷远处;点P的极线NM2和点N的极线PM1满足:FHNM2EGPM1.2 2.极点和极线的代数定义极点和极线的代数定义对于定点 P x0,y0与非退化二次曲线 :Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，过点 P 作动直线与曲线 交于点A与点 B,那么点P关于线段AB的调和点Q的轨迹是什么?可以证明:点Q在一条定直线l:Ax0 x+Cy0y+Dx+x02+Ey

11、+y02+F=0 上，如下图.我们称点P为直线l关于曲线的极点;相应地,称直线l为点P关于曲线的极线.一般地,对于圆锥曲线:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，设极点P x0,y0,则对应的极线为l:Ax0 x+Bx0y+y0 x2+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0【注】替换规则为:x2xx0,y2yy0,xyx0y+y0 x2,xx+x02,yy+y02.(1)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的三类极点极线(1)若极点P x0,y0在椭圆外,过点P作橢圆的两条线,切点为A,B,则极线为切点弦所在直线AB:x0 xa2+y0yb2=1;(2)若极点P x0,y0在椭圆上

12、,过点P作椭圆的切线l,则极线为切线x0 xa2+y0yb2=1;(3)若极点P x0,y0在橢圆内,过点P作椭圆的弦AB,分别过A,B作椭圆切线,则切线交点轨迹为极线x0 xa2+y0yb2=1由此可得椭圆极线的几何作法:(2)对于双曲线x2a2-y2b2=1,极点P x0,y0对应的极线为x0 xa2-y0yb2=1;(3)对于拋物线y2=2px,极点P x0,y0对应的极线为y=p x0+x.3 3.极点和极线的性质极点和极线的性质(1)引理:已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),直线l的方程为x0 xa2+y0yb2=1,点P x0,y0不与原点重合.过点P作直线交椭圆于A,

13、B两点,M点在直线AB上，则“点M在直线l上的充要条件是P,M调和分割 A,B,即APPB=AMMB.【证明】先证必要性.设M点的坐标为 x1,y1,则有x0 x1a2+y0y1b2=1.设直线AB的参数方程为x=x0+tx11+ty=y0+ty11+t(t为参数)与椭圆方程联立,得x21a2+y21b2-1t2+2x0 x1a2+y0y1b2-1t+x20a2+y20b2-1=0，即x21a2+y21b2-1t2+x20a2+y20b2-1=0,该方程有两个不等实根,设为t1,t2,则t1+t2=0.即P,M调和分割A,B,也即APPB=AMMB.将以上证明过程反向推导，即得充分性成立.设P

14、是圆锥曲线的一个极点,它对应的极线为l,过P任意引一条直线,交于点A,B,交l于点Q,若点A是位于P,Q间的点,结合引理可得如下极点和极线的三个调和性质:(1)调和性1PA+1PB=2PQ(2)共轨性B,Q,A,P四点也构成“调和点列”,即1BQ+1BP=2BA.(3)等比性(1)点Q、P是线段AB的内、外分点,PAPB=QAQB=.(2)若为椭圆或双曲线，当直线AB经过曲线中心O时,OP OQ=OA|2=OB|2.4 4.配极原则配极原则若P点关于圆锥曲线的极线通过另一点Q,则Q点的极线也通过P,称P、Q关于调和共轭.【证明】设点 P xP,yP,则相应的极线为 lP:xpxa2+yPyb2

15、=1,点 Q xQ,yQ,相应的极线为 lQ:xQxa2+yQyb2=1.因为lP过点Q,Q坐标满足方程xPxa2+yPyb2=1,即xPxQa2+yPyQb2=1;则P点坐标满足方程xQxa2+yQyb2=1,这也说明,也就是lQ过点P.配极原则说明:lP过点QlQ过点P,由此可得下面推论:推论1:共线点的极线必然共点(A、G、D、E四点共线,它们的极线 a、g,d、e共交点F);共点线的极点必然共线(直线a、g,d、e共交点F,它们的极点A、G，D、E四点共线).推论2：如下图,过极点P作两条直线,与桞圆分别交于点A,B和C,D,则直线AD,BC的交点T必在极线上.5 5.椭圆的极点与极线

16、的常用性质椭圆的极点与极线的常用性质对于椭圆x2a2+y2b2=1,极点P x0,y0(不是原点)对应的极线为x0 xa2+y0yb2=1,有如下性质：性质性质1 1:“类焦点“类焦点 与“类准线”与“类准线”当极点 P m,0m0在 x 轴上时，对应的极线 x=a2m平行于 y 轴，当极点 P 0,nn0在 y 轴上时对应的极线y=b2n平行于x轴;特别地,当极点P为椭圆的焦点时,极线为相应的准线.性质性质2 2：平方模型：平方模型如下图,射线 OP 与椭圆交于点 D,与点 P 的极线交于点 C,则|OP|OC|=|OD|2;当点 P 在x 轴上时,|OP|OC|=a2;当点 P 在 y 轴

17、上时,|OP|OC|=b2.性质性质 3 3：共轭方向：共轭方向设极点 P x0,y0不在坐标轴上,则直线 OP 的斜率为 kOP=y0 x0,极线 l:x0 xa2+y0yb2=1 的斜率 k=-b2x0a2y0，则 kOPk=y0 x0-b2x0a2y0=-b2a2.【注】性质 3 表明:椭圆内一点 P 的极线方向与以极点 P 为中点的弦的方向相同，称 OP 与极线方向共轭.当极点 P x0,y0在椭圆内时，极线 l 平行于以 P 为中点的弦所在直线 EF(用点差法易证).设直线 OP 与椭圆相交于点 D,过点 D 作椭圆的切线 l1,则以 P 为中点的弦所在直线EF、过点 D 的切线 l

18、1、极点 P 的极线 l,三线互相平行,如下图.性质性质 4 4:平行平行如下图,设四边形 ABCD 为椭圆的内接梯形,ACBD,ADBC=Q,则点 P 的极线过 Q,且与直线 AC、BD 平行.特别地,若 BCADy 轴时,点 P 的极线平行 y 轴,且与 x 轴的交点 R也是 AC、BD 交 点,有|OR|OP|=|OF|2=a2.性质性质 5 5:垂直垂直设圆锥曲线 的一个焦点为 F,与 F 相应的准线为 l,若过点 F 的直线与圆雉曲线 相交于 M,N 两 点,则 在 M,N 两点处的切线的交点 Q 在准线 l 上,且 FQMN.【证明】以椭圆为例证明,双曲线与拋物线类似处理.设 P

19、x0,y0,则 P x0,y0对应的极线为 MN:x0 xa2+y0yb2=1,由 F(c,0)在直线 MN 上得cx0a2=1,所以x0=a2c,故 Q 在准线 l:x=a2c上.由 Pa2c,y0,易证 kMNkQF=-1,所以 FQMN.性质性质 6 6：等角定理：等角定理如下图,A,B 是椭圆 的一条对称轴 l 上的两点(不在 上),若 A,B 关于 调和共轭,过 A任作 的一条割线,交 于 P,Q 两点,则 PBA=QBA.证明：因 关于直线 l 对称,故在 上存在 P,Q 的对称点 P,Q.若 P与 Q 重合,则 Q与 P也重合,此时 P,Q 关于 l 对称,有 PAB=QAB；若

20、 P与 Q 不重合,则 Q与 P 也不重合,由于 A,B 关于 调和共轭,故 A,B 为 上完全四点形 PQQP的对边交点,即 Q在 PA 上也在 PB 上,故 BP,BQ 关于直 线 l 对称,也有 PBA=QBA.【注】事实上,性质 6 对于圆锥曲线都成立.我们还可以得到下列结论:(1)直线 PB 与椭圆的另一交点为 Q,则 Q与 Q 关于 l 对称;(2)PAO=QAB=QAB;(3)kAP+kAQ=0.典型例题典型例题类型类型 1 1:判断位置关系判断位置关系【例【例1 1】已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是()A.相切B.

21、相交C.相离D.不确定类型类型 2 2:求极线方程求极线方程【例【例2 2】过椭圆x29+y24=1 内一点 M(1,2),作直线 AB 与椭圆交于点 A,B,作直线 CD 与椭圆交于点C,D,过 A,B 分别作椭圆的切线交于点 P,过 C,D 分别作椭圆的切线交于点 Q,求 P,Q 连线所在的直线方程.【例【例3 3】设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点 M(2,1),且左焦点为 F1(-2,1).(1)求敉圆 C 的方程;(2)当过点 P(4,1)的动直线 l 于椭圆 C 相交于两不同点 A,B 时,在线段AB 上取点 Q,满足|AP|QB|=|AQ|PB|,证明：点 Q 总在

22、某定直线上.类型类型 3 3：证明直线过定点或三点共线：证明直线过定点或三点共线【例【例4 4】如图,过直线 l:5x-7y-70=0 上的点 P 作椭圆x225+y29=1 的切线 PM 和 PN,切点分别为 M,N,连结 MN.(1)当点 P 在直线 l 上运动时,证明：直线 MN 恒过定点 Q;(2)当 MNl 时,定点 Q 平分线段 MN.【例【例5 5】已知 A,B 分别为椭圆 E:x2a2+y2=1(a 1)的左、右顶点,G 为 E 的上顶点,AG GB=8,P为直线 x=6 上的动点,PA 与 E 的另一交点为 C,PB 与 E 的另一交点为 D.(1)求 E 的方程;(2)证明

23、：直线 CD 过定点.类型类型 4 4:证明两直线垂直证明两直线垂直【例【例6 6】已知 A(-2,0),B(2,0),点 C 是动点,且直线 AC 和直线 BC 的斜率之积为-34.(1)求动点 C 的轨迹方程;(2)设直线 l 与(1)中轨迹相切于点 P,与直线 x=4 相交于点 Q,且 F(1,0),求证:PFQ=90.类型类型 5 5:证明向量数量积证明向量数量积(或线段长度之积或线段长度之积)为定值为定值【例【例7 7】如图,椭圆有两顶点 A(-1,0),B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点,并与x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于点

24、Q.(1)当|CD|=322 时,求直线 l 的方程 A(-1,0);(2)当点 P 异于 A、B 两点时,求证：OP OQ 为定值.类型类型 6 6:与斜率有关的定值问题与斜率有关的定值问题【例【例8 8】设 P x0,y0为桞圆x24+y2=1 内一定点(不在坐标轴上),过点 P 的 两条直线分别与椭圆交于点 A,C 和 B、D,且 ABCD.(1)证明:直线 AB 的斜率为定值;(2)过点 P 作 AB 的平行线,与椭圆交于 E、F 两点,证明：点 P 平分线段 EF.【例【例9 9】如图,椭圆 E:x2a2+y2b2=1(ab0的离心率为22,直线 l:y=12x 与椭圆 E 相交于

25、A、B 两 点,AB=25,C、D 是椭圆 E 上异于 A、B 的任意两点,且直线 AC、BD 相交于点 M,直线AD、BC 相交于点 N,连结 MN.(1)求椭圆 E 的方程;(2)求证：直线 MN 的斜率为定值.【例【例1010】四边形 ABCD 是椭圆x23+y22=1 的内接四边形,AB 经过左焦点 F1,AC,BD 交于右焦点F2,直线 AB 与直线 CD 的斜率分别为 k1,k2.(1)证明:k1k2为定值;(2)证明：直线 CD 过定点,并求出该定点的坐标.类型类型 7 7:等角问题等角问题【例【例1111】设椭圆 C:x22+y2=1 的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C

26、 交于 A,B 两点,点 M 的坐标为(2,0).(1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程;(2)设 O 为坐标原点,证明:OMA=OMB.【例【例1212】如图,已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为 F,点-1,32在椭圆 C 上,过原点O 的 直线与椭圆 C 相交于 M、N 两点,且|MF|+|NF|=4.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 P(1,0),Q(4,0),过点 Q 且斜率不为零的直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点,证明:APO=BPQ类型类型 8 8:三斜率成等差数列三斜率成等差数列引理:二次曲线:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

27、与直线 PQ 交于点 P,Q,定点 O 在直线PQ 上,PQ 与 O 点关于曲线 C 的极线交于点 R.曲线 C 上有两动点 A,B,且直线 AO、BO 分别交曲线 于点 C,D,直线 AB，CD 分别交 PQ 于点 M,N.则 M,O,N,R 成调和点列.【证明】【证明】延长 XO 交 BC 于点 E,由定理 5 可知：B,E,C,Y 成调和点列(完全四边形中的调和点列),故 M,O,N,R 也成调和点列(调和点列在射影变换下的不变性).【例【例1313】椭圆 C:x2a2+y2b2=1,P 的坐标是x0,0,Q 点在 P 关于椭圆的极线 x=a2x0上.过 P 作直线交椭圆于点 A,B.求

28、证：直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列.该结论对于拋物线,双曲线同样适用.特别地，当 Q 点在 x 轴上时,就是等角线,此时 PQ 斜率为0,PQ 平分 AQB.【例【例1414】如图,已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0),过焦点 F 任作一直线交椭圆 C 于 A,B 两点,交F 相应的准线于点 M,P 为过 F 与 x 轴垂直的直线上的任意一点,则直线 PA,PM,PB 的斜率成等差数 列.【例【例1515】如下图,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点为 A1,B1,Q 为直线 x=m 上一点,QA1,QB1分别于椭圆交于点 A,B,过点 P 作直线交桞圆于 A,B

29、 两点,直线 AB 与 x 轴交于点 P,与直线x=m 交 于点 M,记直线 QA1,QB1,QP 的斜率分别为 k1,k2,k0,则:(1)k1,k0,k2成等差数列;(2)xPxQ=a2.【例【例1616】椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)经过点 M 1,32,离心率 e=12.(1)求椭圆的方程;(2)设 P 是直线 x=4 上任意一点,AB 是经过椭圆右焦点 F 的一条弦(不经过点 M).记直线PA,PF,PB 的斜率依次为 k1,k2,k3.问：是否存在常数,使得 k1+k3=k2.若存在,求 的值;若不 存在,说明理由.调和点列与极点极线 调和点列与极点极线知识与方法以极点极线为

30、背景的题目经常出现在高考和各级竞赛试题之中,如圆锥曲线的切线、切点弦、圆锥曲线内接四边形两对边延长线的交点轨迹等,是圆锥曲线的常考问题,这些问题大多和极点极线与调和点列 的性质有关.熟悉调和点列与极点极线基本性质,能抓住此类问题的本质，明确问题的目标,能更高效地 解决问题.下面介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius 圆、极点和极线等射影几何的重要概念及 性质,溯本求源，揭示此类与极点极线有关的问题的来龙去脉.(一一)调和分割的概念调和分割的概念“调和分割”又称“调和共轭”,来源于交比，分“调和线束”和“调和点列”两种,它是交比研究中的一个重要特例,也是贯穿 高等几何 课程的一个重

31、要概念.定义定义1 1 线束和点列的交比线束和点列的交比:如图,过点O的四条直线被任意直线l所截的有向线段之比AC AD/BC BD称为线束OA、OC、OB、OD或点列 A,C,B,D的交比.定理 1 交比与所截直线无关.【证明】令线束O a,b,c,d分别交l于A,B,C,D,则ACAD/BCBD=SAOCSAOD/SBOCSBOD=COsinAOCDOsinAOD/COsinCOBDOsinBOD=sinAOCsinAOD,sinCOBsinBOD,又因为各对应向量方向相同,故交比与所截直线无关.【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的.保持线束不变,取另一直线 l交线束于A,

32、B,C,D,可视为对l作射影变换,所得交比不变,由此说明交比是射影不变量,具有射影不变性.定义定义2 2调和线束与调和点列调和线束与调和点列:定理1若交比为-1,则称为调和比.交比为-1 的线束称为调和线束,点列称为调和点列.一般地,若AC=CB AD=-DB (0且1,则A,C,B,D四点构成“调和点列”;A,B叫做“基点”,C,D叫做“(内、外)分点”.根据定义可得：如果点C内分线段AB，点D外分线段AB,且ACCB=ADDB,那么称点C,D调和分割线段AB.亦称A,C,B,D为调和点列.线段端点和内外分点,依次构成调和点列.即：调和点列内分比=外分比.也可以以D,C为基点,则四点D,B,

33、C,A仍构成调和点列,故称A,B与C,D调和共轭.如图,若A,C,B,D构成调和点列,O为直线AB外任意一点,则四直线OA,OC,OB,OD为调和线束;若另一直线截此调和线束,则截得的四点A,C,B,D仍构成调和点列(由定理1可知).定理2 调和点列的性质：若A,C,B,D为调和点列,即ACCB=ADDB,则:(1)调和性:1AC+1AD=2AB证明:CACB=DADBCBCA=DBDAAB-CACA=DA-ABDAABCA-1=1-ABDAABCA+ABDA=21AC+1AD=2AB(2)共轭性:若A,C,B,D构成调和点列,则D,B,C,A也构成调和点列.即：若1AC+1AD=2AB成立,

34、则1DB+1DA=2DC也成立;(3)等比性:CACB=DADB=记线段AB的中点为M,则有 MA|2=MB|2=MC MD.记线段CD的中点为N,则有 NC|2=ND|2=NA NB.(同2可证)证明:CACB=DADBMA+MCMA-MC=MD+MAMD-MAMA+MCMD+MA=MA-MCMD-MA由等比性质可知:MA+MC+MA-MCMD+MA+MD-MA=MA+MC-MA-MCMD+MA-MD-MA2 MA2 MD=2 MC2 MA MA|2=MB2=MC MD同理可得 NC|2=ND|2=NA NB.定理3 斜率分别为k1,k2,k3的三条直线l1,l2,l3交于x轴外的点P,过P

35、作x轴的垂线l4,则k1,k2,k3成等差数列的充要条件为l1,l2、l3,l4成调和线束.分析：不妨设k1、k2、k3均为正数,其它情况同理可证.【证明】如图,设l1,l2、l3,l4与x轴分别交于A,B,C,D四点,则2k2=k1+k32DB=1DA+1DCDADC=BABCA,B,C,D成调和点列l1,l3,l2,l4成调和线束.定理4 已知F为椭圆的焦点,l为F相应的准线,过F任作一直线交椭圆于 A,B两点,交l于点M,则A,B,F,M成调和点列.(说明：此处图像应修正：B点在椭圆上，BB1虚线应往上移一点)【证明】如图,分别过A,B作l的垂线,垂足为A1,B1,则由椭圆的第二定义及平

36、行线的性质可得:AFBF=AA1BB1=AMBM,故A,B,F,M成调和点列.定义 3 阿波罗尼斯 Apollonius 圆：到两定点 A、B 距离之比为定值 k(k 0 且 k 1)的点的轨迹为圆,称为 Apollonius圆(简称阿氏圆)，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决.【证明】如图,由AP=kPB,则在AB直线上有两点 C、D满足ACBC=ADBD=APBP,故PC、PD分别为 APB 的内外角平分线,则 CP DP,即 P 的轨迹为以 CD 为直径的圆(圆心 O 为线段CD的中点).由ACBC=ADBD可知,图中A,C,B,D为调和点列.定义4 完全四边形：我们把两两

37、相交,且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.如图，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF,AC、BD、EF称为其对角线.定理 5 完全四边形对角线所在直线互相调和分割.即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列.【证明】HEHFIFIE=SAECSAFCSBDFSBDE=SAECSACDSACDSAFCSBDFSBEFSBEFSBDE=ECCDADAFDCECAFAD=1,即HEHF=IEIF,所以EHFI为调和点列.其余的可由线束的交比不变性得到.(二二)极点和极线的概念极点和极线的概念1 1.极点和极线的几何定义极点和极线的几何定义

38、如图,P 为不在圆锥曲线 上的点,过点 P 引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H,连接 EH,FG 交于 N,连接 EG,FH 交于 M,我们称点 P 为直线 MN 关于圆锥曲线 的极点,称直线 MN 为点P关于圆锥曲线的极线.直线MN交圆锥曲线于A,B两点,则PA,PB为圆锥曲线的两条切线.若P在圆锥曲线上,则过点P的切线即为极线.(1)自极三角形：极点P 一一极线MN；极点M 一一极线PN;极点N 一一极线MP;即PMN中,三 个顶点和对边分别为一对极点和极线,称PMN为“自极三角形”.(2 2)极点和极线的两种特殊情况极点和极线的两种特殊情况(1)当四边形变成三角形时：曲线上的

39、点E F,M,N对应的极线,就是切线PE;(2)当四边有一组对边平行时,如：当FH EG时,EG和FH的交点M落在无穷远处;点P的极线NM2和点N的极线PM1满足:FHNM2EGPM1.2 2.极点和极线的代数定义极点和极线的代数定义对于定点 P x0,y0与非退化二次曲线 :Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，过点 P 作动直线与曲线 交于点A与点 B,那么点P关于线段AB的调和点Q的轨迹是什么?可以证明:点Q在一条定直线l:Ax0 x+Cy0y+Dx+x02+Ey+y02+F=0 上，如下图.我们称点P为直线l关于曲线的极点;相应地,称直线l为点P关于曲线的极线.一般地,对于圆锥曲线:Ax

40、2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，设极点P x0,y0,则对应的极线为l:Ax0 x+Bx0y+y0 x2+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0【注】替换规则为:x2xx0,y2yy0,xyx0y+y0 x2,xx+x02,yy+y02.(1)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的三类极点极线(1)若极点P x0,y0在椭圆外,过点P作橢圆的两条线,切点为A,B,则极线为切点弦所在直线AB:x0 xa2+y0yb2=1;(2)若极点P x0,y0在椭圆上,过点P作椭圆的切线l,则极线为切线x0 xa2+y0yb2=1;(3)若极点P x0,y0在橢圆内,过点P作椭圆的弦AB,分别

41、过A,B作椭圆切线,则切线交点轨迹为极线x0 xa2+y0yb2=1由此可得椭圆极线的几何作法:(2)对于双曲线x2a2-y2b2=1,极点P x0,y0对应的极线为x0 xa2-y0yb2=1;(3)对于拋物线y2=2px,极点P x0,y0对应的极线为y=p x0+x.3 3.极点和极线的性质极点和极线的性质(1)引理:已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),直线l的方程为x0 xa2+y0yb2=1,点P x0,y0不与原点重合.过点P作直线交椭圆于A,B两点,M点在直线AB上，则“点M在直线l上的充要条件是P,M调和分割 A,B,即APPB=AMMB.【证明】先证必要性.设M点

42、的坐标为 x1,y1,则有x0 x1a2+y0y1b2=1.设直线AB的参数方程为x=x0+tx11+ty=y0+ty11+t(t为参数)与椭圆方程联立,得x21a2+y21b2-1t2+2x0 x1a2+y0y1b2-1t+x20a2+y20b2-1=0，即x21a2+y21b2-1t2+x20a2+y20b2-1=0,该方程有两个不等实根,设为t1,t2,则t1+t2=0.即P,M调和分割A,B,也即APPB=AMMB.将以上证明过程反向推导，即得充分性成立.设P是圆锥曲线的一个极点,它对应的极线为l,过P任意引一条直线,交于点A,B,交l于点Q,若点A是位于P,Q间的点,结合引理可得如下

43、极点和极线的三个调和性质:(1)调和性1PA+1PB=2PQ(2)共轨性B,Q,A,P四点也构成“调和点列”,即1BQ+1BP=2BA.(3)等比性(1)点Q、P是线段AB的内、外分点,PAPB=QAQB=.(2)若为椭圆或双曲线，当直线AB经过曲线中心O时,OP OQ=OA|2=OB|2.4 4.配极原则配极原则若P点关于圆锥曲线的极线通过另一点Q,则Q点的极线也通过P,称P、Q关于调和共轭.【证明】设点 P xP,yP,则相应的极线为 lP:xpxa2+yPyb2=1,点 Q xQ,yQ,相应的极线为 lQ:xQxa2+yQyb2=1.因为lP过点Q,Q坐标满足方程xPxa2+yPyb2=

44、1,即xPxQa2+yPyQb2=1;则P点坐标满足方程xQxa2+yQyb2=1,这也说明,也就是lQ过点P.配极原则说明:lP过点QlQ过点P,由此可得下面推论:推论1:共线点的极线必然共点(A、G、D、E四点共线,它们的极线 a、g,d、e共交点F);共点线的极点必然共线(直线a、g,d、e共交点F,它们的极点A、G，D、E四点共线).推论2：如下图,过极点P作两条直线,与桞圆分别交于点A,B和C,D,则直线AD,BC的交点T必在极线上.5 5.椭圆的极点与极线的常用性质椭圆的极点与极线的常用性质对于椭圆x2a2+y2b2=1,极点P x0,y0(不是原点)对应的极线为x0 xa2+y0

45、yb2=1,有如下性质：性质性质1 1:“类焦点“类焦点 与“类准线”与“类准线”当极点 P m,0m0在 x 轴上时，对应的极线 x=a2m平行于 y 轴，当极点 P 0,nn0在 y 轴上时对应的极线y=b2n平行于x轴;特别地,当极点P为椭圆的焦点时,极线为相应的准线.性质性质2 2：平方模型：平方模型如下图,射线 OP 与椭圆交于点 D,与点 P 的极线交于点 C,则|OP|OC|=|OD|2;当点 P 在x 轴上时,|OP|OC|=a2;当点 P 在 y 轴上时,|OP|OC|=b2.性质性质 3 3：共轭方向：共轭方向设极点 P x0,y0不在坐标轴上,则直线 OP 的斜率为 kO

46、P=y0 x0,极线 l:x0 xa2+y0yb2=1 的斜率 k=-b2x0a2y0，则 kOPk=y0 x0-b2x0a2y0=-b2a2.【注】性质 3 表明:椭圆内一点 P 的极线方向与以极点 P 为中点的弦的方向相同，称 OP 与极线方向共轭.当极点 P x0,y0在椭圆内时，极线 l 平行于以 P 为中点的弦所在直线 EF(用点差法易证).设直线 OP 与椭圆相交于点 D,过点 D 作椭圆的切线 l1,则以 P 为中点的弦所在直线EF、过点 D 的切线 l1、极点 P 的极线 l,三线互相平行,如下图.性质性质 4 4:平行平行如下图,设四边形 ABCD 为椭圆的内接梯形,ACBD

47、,ADBC=Q,则点 P 的极线过 Q,且与直线 AC、BD 平行.特别地,若 BCADy 轴时,点 P 的极线平行 y 轴,且与 x 轴的交点 R也是 AC、BD 交 点,有|OR|OP|=|OF|2=a2.性质性质 5 5:垂直垂直设圆锥曲线 的一个焦点为 F,与 F 相应的准线为 l,若过点 F 的直线与圆雉曲线 相交于 M,N 两 点,则 在 M,N 两点处的切线的交点 Q 在准线 l 上,且 FQMN.【证明】以椭圆为例证明,双曲线与拋物线类似处理.设 P x0,y0,则 P x0,y0对应的极线为 MN:x0 xa2+y0yb2=1,由 F(c,0)在直线 MN 上得cx0a2=1

48、,所以x0=a2c,故 Q 在准线 l:x=a2c上.由 Pa2c,y0,易证 kMNkQF=-1,所以 FQMN.性质性质 6 6：等角定理：等角定理如下图,A,B 是椭圆 的一条对称轴 l 上的两点(不在 上),若 A,B 关于 调和共轭,过 A任作 的一条割线,交 于 P,Q 两点,则 PBA=QBA.证明：因 关于直线 l 对称,故在 上存在 P,Q 的对称点 P,Q.若 P与 Q 重合,则 Q与 P也重合,此时 P,Q 关于 l 对称,有 PAB=QAB；若 P与 Q 不重合,则 Q与 P 也不重合,由于 A,B 关于 调和共轭,故 A,B 为 上完全四点形 PQQP的对边交点,即

49、Q在 PA 上也在 PB 上,故 BP,BQ 关于直 线 l 对称,也有 PBA=QBA.【注】事实上,性质 6 对于圆锥曲线都成立.我们还可以得到下列结论:(1)直线 PB 与椭圆的另一交点为 Q,则 Q与 Q 关于 l 对称;(2)PAO=QAB=QAB;(3)kAP+kAQ=0.典型例题典型例题类型类型 1 1:判断位置关系判断位置关系【例【例1 1】已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定【答案】B.【解析】因为 ax+by=1 是圆 x2+y2=1 的切点弦方程,所以直线与圆相交,故选 B.

50、类型类型 2 2:求极线方程求极线方程【例【例2 2】过椭圆x29+y24=1 内一点 M(1,2),作直线 AB 与椭圆交于点 A,B,作直线 CD 与椭圆交于点C,D,过 A,B 分别作椭圆的切线交于点 P,过 C,D 分别作椭圆的切线交于点 Q,求 P,Q 连线所在的直线方程.【答案】x9+y2=1.【解析】该题实质上就是求椭圆 x29+y25=1 内一点 M(1,2)对应的极线方程，答案为 x9+y2=1.【例【例3 3】设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点 M(2,1),且左焦点为 F1(-2,1).(1)求敉圆 C 的方程;(2)当过点 P(4,1)的动直线 l 于椭圆