2024年高考数学专项排列组合专题09 间接法模型（解析版）.pdf

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1、1专题专题 9 间接法模型间接法模型例 1为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（）A18B24C30D36例 2某校从 8 名教师中选派 4 名同时去 4 个边远地区支教（每地 1 名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（）A900 种B600 种C300 种D150 种例 3某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单

2、独成组，则不同的派遣方案共有（）种A240B320C180D120例 4某校高一开设 4 门选修课，有 4 名同学选修，每人只选 1 门，恰有 2 门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（）A96 种B84 种C78 种D16 种例 5从 5 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为A100B110C120D180例 6某教师一天上 3 个班级的课，每班上 1 节，如果一天共 9 节课，上午 5 节，下午 4 节，并且教师不能连上 3 节课（第 5 节和第 6 节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（）A474 种B77 种C

3、462 种D79 种例 7从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同工作，若其中乙和丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案共有()A36 种B12 种C18 种D24 种例 8 某教育局公开招聘了 4 名数学老师，其中 2 名是刚毕业的“新教师”，另 2 名是有了一段教学时间的“老教师”，现随机分配到 A、B 两个学校任教，每个学校 2 名，其中分配给学校 A 恰有 1 名“新教师”和 1 名“老教师”的概率是（）A14B13C12D23例 9某校教师迎春晚会由6个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在第202

4、4年高考数学专项排列组合专题09 间接法模型（解析版）2一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A112种B120种C144种D180种例 10某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A96B120C48D72例 11 2019 年 4 月 23 日中国人民海军建军 70 周年.为展现人民海军 70 年来的辉煌历程和取得的巨大成就，我国在山东青岛及附近海空举行盛大的阅兵仪式.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”作战群将参加军演，要求 2艘攻击型核潜艇一前一后，3 艘

5、驱逐舰和 3 艘护卫舰分列左右，每侧 3 艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法种数为（）A1296B648C324D72例 12现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了 2 篇文章和 4 个视频，一位学习者准备学习这 2 篇文章和其中 2 个视频，则这 2 篇文章学习顺序不相邻的学法有（）种.A24B36C72D144例 13在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（）A60B75C105D120例 14某部门在一周的 7 天内给 3 名实习生每人安排 1 天的工作，若每天最多安排一名实

6、习生，且这 3 名实习生不能安排在连续的 3 天，则不同的安排方案的种数为（）A30B120C180D210例 15我省某医院呼吸科要从 2 名男医生，3 名女医生中选派 3 人支持湖北省参加疫情防控工作，若这 3人中至少有 1 名男医生，则选派方案有（）A60 种B12 种C10 种D9 种例 16有 13 名医生，其中女医生 6 人，现从中抽调 5 名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少有 2 名男医生，同时至多有 3 名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式是（）.A5141376CC C；B23324157676767C CC CC CC；C51451376

7、6CC CC；D23711C C；例 17在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件不合格品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件，则()A抽出的 3 件中恰好有 1 件是不合格品的抽法有12298AC种3B抽出的 3 件中恰好有 1 件是不合格品的抽法有1229821298+C CC C种C抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有2212988129C CC C种D抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有3310098CC种例 18新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有_种不

8、同安排方法（用数字作答）例 19某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 号至 16 号（某节假期）值班，每天安排 2 人，每人值班 1 天.若 6 位员工中的甲不值 16 号，乙不值 14 号，则不同的安排方法共有_种.例 20从数字 0，1，2，3，4，5，6 中任取 3 个，这 3 个数的乘积为偶数时的不同取法共有_种（用数字作答）.例 21中国有十二生肖，又叫十二属相，是以十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）形象化代表人的出生年份，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位属相不同的小朋友依次每人选一个，则三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有_种例 22从正

9、方体的 8 个顶点中选 4 个点作一个平面，可作_个不同的平面，从正方体的 8 个顶点中选 4 个点作一个四面体，可作_个四面体.例 23由数字 1，2，3，4，5 组成无重复数字的五位数.（1）共可以组成多少个五位数？（2）其中奇数有多少个？（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125 是第几个数？说明理由.1专题 9 间接法模型例 1为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（）A18B24C30D36【解析】因为甲

10、、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：2343CA种；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A种，所以不同的分配方法种数有：23343336630CAA故选：C例 2某校从 8 名教师中选派 4 名同时去 4 个边远地区支教（每地 1 名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（）A900 种B600 种C300 种D150 种【解析】第一类，甲去，则

11、丙一定去，乙一定不去，再从剩余的 5 名教师中选 2 名，有2510C（种）不同选法，第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从 6 名教师中选 4 名，有4615C（种）不同选法，所以不同的选派方案共有(10+15)44600A（种）.故选 B.例 3某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A240B320C180D120【解析】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，2又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为432882221180CCA

12、A.故选：C.例 4某校高一开设 4 门选修课，有 4 名同学选修，每人只选 1 门，恰有 2 门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（）A96 种B84 种C78 种D16 种【解析】先确定选的两门:246C,再确定学生选:24214,所以不同的选课方案有6 1484,选 B.例 5从 5 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为A100B110C120D180【解析】试题分析：10 人中任选 3 人的组队方案有310120C，没有女生的方案有3510C，所以符合要求的组队方案数为 110 种例 6某教师一天上 3 个班级的课，每班上 1

13、 节，如果一天共 9 节课，上午 5 节，下午 4 节，并且教师不能连上 3 节课（第 5 节和第 6 节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（）A474 种B77 种C462 种D79 种【解析】试题分析：根据题意，由于某教师一天上 3 个班级的课，每班一节，如果一天共 9 节课，上午 5 节、下午 4 节，并且教师不能连上 3 节课（第 5 和第 6 节不算连上），所有的上课方法有39A，那么连着上 3 节课的情况有 533A种，则利用间接法可知所求的方法有39A-533A=474，故答案为 A.例 7从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同工

14、作，若其中乙和丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案共有()A36 种B12 种C18 种D24 种【解析】利用分类加法原理，对所选的 3 人中分三种情况：3乙和丙有 2 人，对两个人进行排列，第三项工作再从乘下的 3 人中选 1 人，即2231A C；乙和丙有 1 人，则有 2 种情况，这个人可以从两项工作中任取一项有 2 种情况，则乘下的两项工作由 3 个人来排列，即232 2 A；乙和丙都没有，三项工作就由其他 3 个人来进行排列，即33A；223233312 236NA CAA.故选：A例 8 某教育局公开招聘了 4 名数学老师，其中 2 名是刚毕业的“新教

15、师”，另 2 名是有了一段教学时间的“老教师”，现随机分配到 A、B 两个学校任教，每个学校 2 名，其中分配给学校 A 恰有 1 名“新教师”和 1 名“老教师”的概率是（）A14B13C12D23【解析】分配给学校 A 两个“新教师”与两个“老教师”的概率之和为24213C.故分配给学校 A 恰有 1 名“新教师”和 1 名“老教师”的概率是12133.故选：D例 9某校教师迎春晚会由6个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在第一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A112种B120种C144种D180种【解析】利用间

16、接法求解，先考虑将丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，共有2525240A A 种.若甲排在第一位和最后一位，且丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，此时，排法种数为12422496C A A.综上所述，符合条件的排法种数为24096144（种）.故选：C.例 10某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁4金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A96B120C48D72【解析】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A种，然后将3盆锦紫苏放入到 4 个位置中有34A种，根据分步乘法计数原理有3334A

17、 A，扣除郁金香在两边，排2盆虞美人、1盆郁金香有222A种，再将3盆锦紫苏放入到 3 个位置中有33A，根据分步计数原理有23232A A，所以共有332334232120A AA A种.故选:B.例 11 2019 年 4 月 23 日中国人民海军建军 70 周年.为展现人民海军 70 年来的辉煌历程和取得的巨大成就，我国在山东青岛及附近海空举行盛大的阅兵仪式.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”作战群将参加军演，要求2 艘攻击型核潜艇一前一后，3 艘驱逐舰和 3 艘护卫舰分列左右，每侧 3 艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法种数为（）A1296B648C324D72【解析】由题意可得

18、：2 艘攻击型核潜艇一前一后，有22A种方法排列，6 艘舰艇的任意排列，有66A种方法排列，6 艘舰艇每侧 3 艘且同侧是同种舰艇，有33332A A 种方法排列，6 艘舰艇每侧 3 艘，同侧不能都是同种舰艇，有6336332AA A种方法排列，舰艇分配方案的方法种数有：2633263322720721296AAA A故选：A例 12现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了 2 篇文章和4 个视频，一位学习者准备学习这 2 篇文章和其中 2 个视频，则这 2 篇文章学习顺序不相邻的学法有（）5种.A24B36C72D144【解析】根据题意，分 2 步进行分

19、析：，在 4 个视频中任选 2 个进行学习，有246C 种情况，将选出的 2 个视频与 2 篇文章依次进行学习，共有4424A 种情况，其中 2 篇文章学习顺序相邻的情况有232312A A 种情况，故 2 篇文章学习顺序不相邻的情况有 12 种，则这 2 篇文章学习顺序不相邻的学法有6 1272种；故选：C例 13在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（）A60B75C105D120【解析】试题分析：由题可从反面处理，即从选法中减去全是女生的选法，则可得有；55961266120CC种选法例 14某部门在一周的 7 天内给 3 名

20、实习生每人安排 1 天的工作，若每天最多安排一名实习生，且这 3 名实习生不能安排在连续的 3 天，则不同的安排方案的种数为（）A30B120C180D210【解析】由题意，将 3 名实习生随机安排在一周的 7 天内，共有37A种安排方案，将 3 名实习生安排在连续的 3 天的安排方案有335A种，所以满足题意的不同安排方案有33735180AA（种）故选：C例 15我省某医院呼吸科要从 2 名男医生，3 名女医生中选派 3 人支持湖北省参加疫情防控工作，若这 3人中至少有 1 名男医生，则选派方案有（）A60 种B12 种C10 种D9 种【解析】6根据题意，有 2 名男医生，3 名女医生，

21、共 5 名医生中选派 3 人，有3510C 种选法，其中没有男医生，即全部为女医生的选法有331C 种，则有10 19 种不同的选法；故选：D例 16有 13 名医生，其中女医生 6 人，现从中抽调 5 名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少有 2 名男医生，同时至多有 3 名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式是（）.A5141376CC C；B23324157676767C CC CC CC；C514513766CC CC；D23711C C；【解析】解：13 名医生，其中女医生 6 人，男医生 7 人利用直接法，2 男 3 女：2376C C；3 男 2 女

22、：3276C C；4 男 1 女：4176C C；5 男：57C，所以23324157676767NC CC CC CC；利用间接法：13 名医生，任取 5 人，减去 4、5 名女医生的情况，即514513766NCC CC；所以能成为N的算式是 BC故选：BC例 17在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件不合格品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件，则()A抽出的 3 件中恰好有 1 件是不合格品的抽法有12298AC种B抽出的 3 件中恰好有 1 件是不合格品的抽法有1229821298+C CC C种C抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有2212988129C

23、CC C种D抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有3310098CC种【解析】由题意知，抽出的三件产品恰好有一件不合格品,则包括一件不合格品和两件合格品,共有12298AC种结果，则选项 A 正确，B 不正确；根据题意,至少有 1 件不合格品可分为有 1 件不合格品与有 2 件不合格品两种情况,有 1 件不合格品的抽取方法有28129C C种,7有 2 不合格次品的抽取方法有21298C C种,则共有2212988129C CC C种不同的抽取方法,选项 C 正确；至少有 1 件不合格品的对立事件是三件都是合格品，三件都是合格品的抽取方法有398C种,抽出的 3 件中至少有 1 件是

24、不合格品的抽法有3310098CC，选项 D 正确；故选：ACD.例 18新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有_种不同安排方法（用数字作答）【解析】先考虑没有限制条件下的排法种数，将5人分为三组，三组的人数分别为3、1、1或2、2、1，此时，所有的排法种数为2233535322150C CCAA.其次考虑甲、乙两人安排在同一路口时的排法种数，此时有12333336CCA种排法.综上所述，共有15036114种.故答案为：114.例 19某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 号至 16 号（某

25、节假期）值班，每天安排 2 人，每人值班 1 天.若 6 位员工中的甲不值 16 号，乙不值 14 号，则不同的安排方法共有_种.【解析】解：根据题意，不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值 16 号或乙值 14 号的排法数，再加上甲值 16 号且乙值 14 号的排法，即221211645443242C CC CC C，故答案为：42例 20从数字 0，1，2，3，4，5，6 中任取 3 个，这 3 个数的乘积为偶数时的不同取法共有_种（用数字作答）.【解析】从数字 0，1，2，3，4，5，6 中任取 3 个，共有3735C，乘积为奇数只有1,3,5一种情况故这 3 个数的乘积为偶数时的不同

26、取法共有34种.8故答案为：34例 21中国有十二生肖，又叫十二属相，是以十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）形象化代表人的出生年份，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位属相不同的小朋友依次每人选一个，则三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有_种【解析】解：三位小朋友选择的总情况共有31212 11 101320A（种）三人都选与自己属相相同的吉祥物，有 1 种选法；三人中有二人选与自己属相相同的吉祥物，选法共有23927C（种）；三人中有一人选与自己属相相同的吉祥物，选法有13109 9273C（种），所以三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有13201

27、272731019（种）故答案为：1019例 22从正方体的 8 个顶点中选 4 个点作一个平面，可作_个不同的平面，从正方体的 8 个顶点中选 4 个点作一个四面体，可作_个四面体.【解析】正方体的 8 个顶点中选 4 个点作一个平面，共有正方体的 6 个面和 6 个对角面，共 12 个不同平面，故可作481258C 个四面体.故答案为：12；58.例 23由数字 1，2，3，4，5 组成无重复数字的五位数.（1）共可以组成多少个五位数？（2）其中奇数有多少个？（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125 是第几个数？说明理由.【解析】（1）由数字 1，2，3，4，5 组成无重复

28、数字的五位数，共可以组成 A55120 个五位数（2）由 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的五位数的奇数，第五个数字必须从 1、3、5 中选出，共有 C31种结果，其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有 A44种结果，根据分步计数原理得到共有 C31A4472；9（3）根据题意，用 1、2、3、4、5 这五个数字组成无重复数字的五位数，有 A55120 种情况，即一共有120 个五位数，再考虑大于 43125 的数，分为以下四类讨论：1、5 在首位，将其他 4 个数字全排列即可，有 A4424 个，2、4 在首位，5 在千位，将其他 3 个数字全排列即可，有 A336 个，3、4 在首位，3 在千位，5 在百位，将其他 2 个数字全排列即可，有 A222 个，4、43215，43251，43152，共 3 个故不大于 43125 的五位数有 120（24+6+2+3）85 个，即 43125 是第 85 项