2024年高中数学重难点20种排列组合问题的具体方法技巧.pdf

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1、第 1 页 共 7 页20种排列组合问题的具体方法技巧排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，但只要掌握【排列组合题目的总体原则与方法】，再加上下面要学习这些具体的方法技巧，就可以做到以不变应万变，搞定所有排列组合题目！复习巩固复习巩固基础知识：1、排列组合基础知识：1、排列组合（1）排列数)!(!)1).(2)(1(mnnmnnnnAmn（2）组合数12).1()1).(1()!(!mmmnnnmnmnPPCmmmnmn2、计数原理2、计数原理（1）分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第 1 类办法中有1m种不同的方法，在第 2 类办法中有2m种不同的方法，在第n类

2、办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNmmm种不同的方法（2）分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第 1 步有1m种不同的方法，做第 2 步有2m种不同的方法，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNmmm种不同的方法（3）分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件排列组合题目的总体原则与方法（一般过程）如下:排列组合题目的总体原则与方法（一般过程）如下:1.做什么：认真审题弄清要做什么事，用具体个例帮助理解2.怎样做：怎样

3、做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类；下面要学习的具体方法技巧可帮助你如何去完成具体某件事。3.如何计算：分步相乘，分类相加；确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素，用排列数与组合数帮助计算.一.特殊元素和特殊位置优先策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位，从 1,3,5 三个数中任选一个共有13C排法；然后排首位，从，和剩余的两个奇数

4、中任选一个共有14C最后排中间三个数，从剩余四个数中任选个的排列数共有34A种排法；C14A34C13由分步计数原理得C41C31A43 2882024年高中数学重难点第 2 页 共 7 页练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？解：先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？解：先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有24A不同种法，再其它葵花有不同种法，再其它葵花有55A不同种法，所以共有不同种法不同种法，所

5、以共有不同种法254512 1201440A A 种不同的种法种不同的种法二.相邻元素捆绑策略二.相邻元素捆绑策略例 2.例 2.7 人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排由分步计数原理可得共有522522480A A A 种不同的排法乙甲 乙甲丁丙 丁丙练习题:某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20练习题:某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20解：命中的

6、三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位，共有解：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位，共有2520A 种不的情形种不的情形三.不相邻问题插空策略三.不相邻问题插空策略例 3.例 3.一晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有55A种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种46A不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如

7、果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30四.定序问题倍缩空位插入策略四.定序问题倍缩空位插入策略例 4.例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7733AA(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A种方法，其

8、余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A种方法（七个空位坐了四人，剩下个空位按一定顺序坐下甲，乙，丙）思考:可以先让甲乙丙就坐吗?思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有3474C A方法（先选三个座位坐下甲，乙，丙共有37C种选法，余下四个空位排其它四人共有44A种排法，所以共有3474C A种方法）练习题:10 人身高各不相等,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？练习题:10 人身高各不相等,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C五.重排问题求幂策略五.重

9、排问题求幂策略例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：练习题：1 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原1 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 422.某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法节目单中，那么不同插法的种数为 422.某

10、8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87六.环排问题直排策略六.环排问题直排策略如果在圆周上m个不同的位置编上不同的号码，那么从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排第 3 页 共 7 页在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题一个m个元素的环形排列，相当于一个有m个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m个元素的环形排列对应着m个直线排列，设从n个元素中取出

11、m个元素组成的环形排列数为N个，则对应的直线排列数为mN个，又因为从n个元素中取出m个元素的排成一排的排列数为mnA个，所以mnmNA，所以mnANm即从n个元素中取出m个元素组成的环形排列数为mnANmn个元素的环形排列数为!(1)!nnAnNnnn例 6.8 人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有(8 1)!7!种排法，即7!7 6 5 4 3 2 1840 种HFDCAABCDEABEGHGF练习题：6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120练习题：6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种

12、钻石圈120七.多排问题直排策略七.多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.先排前个位置，个特殊元素有24A种排法,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有14A种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有55A种,则共有215445A A A种排法（排好后，按前个为前排，后人为后排分成两排即可）练习题：有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346练习题：有两排

13、座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第 1,4,8,11 四个位置和后排第，位置是排甲乙中的一个时，与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除个，所以共有排列解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第 1,4,8,11 四个位置和后排第，位置是排甲乙中的一个时，与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除个，所以共有排列11116181417108238346C CC C八.排列组合混合问题先选后排策略八.排列组合混合问题先选后排策略例 8.有 5

14、个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有25C种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4个不同的盒内有44A种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种练习题：一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先

15、整体后局部策略九.小集团问题先整体后局部策略例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在 1,在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？（注：两个偶数，在两个奇数，之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与进行排列）解：把,当作一个小集团与排队共有22A种排法，再排小集团内部共有2222A A种排法，由分步计数原理共有222222A A A种排法.练习题：.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,幅油画,幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为练习题：.计划展出

16、10幅不同的画,其中1幅水彩画,幅油画,幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A2.5 男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有2.5 男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A种种第 4 页 共 7 页十.元素相同问题隔板策略十.元素相同问题隔板策略例 10.有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排相邻名额之间形成个空隙在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对

17、应一种分法共有69C种分法注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的即班级不同，但名额都是一样的练习题：10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法？练习题：10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法？49C2.2.100 xyzw求这个方程组的自然数解的组数求这个方程组的自然数解的组数3103C十一.正难则反总体淘汰策略（间接法）十一.正难则反总体淘汰策略（间接法）例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于

18、 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法 这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有35C,只含有 1 个偶数的取法有1255C C,和为偶数的取法共有123555C CC再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种，符合条件的取法共有1235559C CC练习题：我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?练习题：我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略十二.平均分组问题除法策略例 12.6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多

19、少分法？解:分三步取书得222642C C C种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF，若第一步取AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22264233C C CA种分法练习题：1将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队,有多少分法？（练习题：1将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队,有

20、多少分法？（544138422C C CA）2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人,另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为_（）2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人,另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为_（2224262290C C AA）十三.合理分类与分步策略

21、十三.合理分类与分步策略例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以nnA(n为均分的组数)避免重复计数。一班一班二班二班三班三班四班四班五班五班六班六班七班七班第 5 页 共 7 页目,有多少选派方法解：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有2233C C种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员112534C C C种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上

22、唱歌人员有2255C C种，由分类计数原理共有22112223353455C CC C CC C种解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。本题还有如下分类标准：本题还有如下分类标准：*以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准；*以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准；*以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准；*以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准；*以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准；都可经得到正确结果练习题：1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某

23、个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 342.3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人,2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3只船,但小孩不能单独乘一只船,这 3 人共有多少乘船方法.（27）*以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准；都可经得到正确结果练习题：1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 342.3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人,2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3只船,但小孩不能单

24、独乘一只船,这 3 人共有多少乘船方法.（27）十四.构造模型策略十四.构造模型策略例 14.马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有35C种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习题：某排共有 10 个座

25、位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不练习题：某排共有 10 个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）同的坐法有多少种？（120）十五.实际操作穷举策略十五.实际操作穷举策略例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有25C种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下 3,4,5 号球,3,4,5 号盒,3 号球只能装入 4 号或 5 号盒

26、,共两种装法,当 3 号球装 4 号盒时，则4,5号球只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有252C种.练习题：1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有 72 种练习题：1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有 72 种十六.分解与合

27、成策略十六.分解与合成策略例 16.30030 能被多少个不同的偶数整除分析：先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=235 7 1113依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：1234555555CCCCC练习:正方体的 8 个顶点可练习:正方体的 8 个顶点可连成连成多少对异面直线.多少对异面直线.(是连成异面直线,所以包括对角线)(是连成异面直线,所以包括对角线)解：我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共解：我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共481258C,每个四面体有,每个四面体有54321

28、第 6 页 共 7 页BA3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连成3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连成3 58174对异面直线对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略十七.化归策略十七.化归策略例

29、 17.25 人排成 55 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成 9 人排成 33 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从 33 方队中选 3 人的方法有111321C C C种 再从 55 方阵选出 33 方阵便可解决问题.从 55 方队中选取 3 行 3 列有3355C C选法所以从 55 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人有3311155321C C C C C选法从从3 3方阵中任取 3 个人时,

30、因这三人不在同一行同一列,所以每行必有一人,据此,从每行任了方阵中任取 3 个人时,因这三人不在同一行同一列,所以每行必有一人,据此,从每行任了练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成，其中实线表示马路，从 A 走到 B 的最短路径有多少种？(练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成，其中实线表示马路，从 A 走到 B 的最短路径有多少种？(3735C)十八.数字排序问题查字典策略十八.数字排序问题查字典策略例 18由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数？解:543215432122297NAAAAA数字排序问题可用查字典法,查字典

31、的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数是3140到大排列起来,第 71 个数是3140十九.树图策略十九.树图策略例 193人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有_10N 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果练习:分别编

32、有 1，2，3，4，5 号码的人与椅，其中练习:分别编有 1，2，3，4，5 号码的人与椅，其中i号人不坐号人不坐i号椅（号椅（1,2,3,4,5i）的不同坐法有多）的不同坐法有多少种？少种？44N 二十.复杂分类问题表格策略二十.复杂分类问题表格策略例 20有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法解:一些复杂的分类选取题一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多要满足的条件比较多,无从入手无从入手,经常出现重复遗漏的情况经常出现重复遗漏的情况,用表格法用表格法,则分类明确则分类明确,能保证题中须满足

33、的条件能保证题中须满足的条件,能达到好的效能达到好的效果.小结本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固排列组合历来是学习中的难点，通过红111223黄123121兰321211取法1415CC2415CC3415CC1325CC2325CC1235CC第 7 页 共 7 页我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证同学们只有对基本的解题策略熟练掌握根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础