2024年高考数学专项排列组合专题10 几何问题（解析版）.pdf

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1、1专题专题 10 几何问题几何问题例 1从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对其中所成的角为60的共有()A24 对B30 对C48 对D60 对例 2四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取 3 个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有()A30 种B33 种C36 种D39 种例 3从四面体的顶点及各棱的中点这十个点中，任取 3 个点确定一个平面，则不同平面个数为()A17B23C25D29例 4四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，则不同的取法共有()A150 种B147 种C144 种D141 种例 5如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与

2、平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A60B48C36D24例 6正八边形ABCDEFGH的 8 个顶点，以其中 3 个点为顶点的不同位置的直角三角形共有个例 7如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个例 8.不共面的四点确定四面体(记得易除共面的情况）(I)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四面体?（II）以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四棱锥?例 9.考虑4 4的正方形方格表中的 25 个格点,则通过至少 3 个格点有不同直线的数目为例 10.如图，给定由 10

3、 个点(任意相邻两点距离为 1)组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是2024年高考数学专项排列组合专题10 几何问题（解析版）21专题专题 10 几何问题几何问题例 1从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对其中所成的角为60的共有()A24 对B30 对C48 对D60 对【解析】正方体的面对角线共有 12 条，两条为一对，共有21266C对，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有 6 对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3618从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对其中所成的角为60的共有：661848故选

4、：C例 2四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取 3 个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有()A30 种B33 种C36 种D39 种【解析】根据题意，如图，分析可得，所取的 3 点在 3 个侧面上时，每个侧面有35C种取法，共35330C 种情况；所取的 3 点不在侧面上时，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有 3种取法；综合可得，共30333种，故选：B例 3从四面体的顶点及各棱的中点这十个点中，任取 3 个点确定一个平面，则不同平面个数为()A17B23C25D29【解析】考虑点的选择：（1）三个点都是顶点：一共有 4 种，就是四面体的四个表面；

5、（2）两个顶点，一个棱中点：为了不和上面的四个面重合，当两个顶点确定时，只有一个选择（此时的面就是一条棱和它的对棱的中点确定的面），所以这种情况一共有 6 种；（3）一个顶点，两个棱中点：为了不和上面重合，确定一个顶点后，则只能选取它的对面的三个中点了，有 3 种情况，共有4312种；（4）三个都是棱中点：可以在正四面体中想，这样的面要么和外表面平行要么和一对对棱平行，所以有437种，综上，共有4612729种故选：D例 4四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，则不同的取法共有()A150 种B147 种C144 种D141 种【解析】从 10 个点中任取 4 个点

6、有410C种取法，其中 4 点共面的情况有三类第一类，取出的 4 个点位于四面体的同一个面上，有464C种；第二类，取任一条棱上的 3 个点及该棱对棱的中点，这 4 点共面，有 6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的 4 顶点共面，2有 3 种以上三类情况不合要求应减掉，不同的取法共有44106463141CC种故选：D例 5如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A60B48C36D24【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，一

7、个长方体的面可以和它相对的面上的 4 条棱和两条对角线组成 6 个，一共有 6 个面，共有6636种结果，长方体的对角面组成两组，共有 6 个对角面，共有 12 种结果，根据分类计数原理知共有361248种结果，故选：B例 6正八边形ABCDEFGH的 8 个顶点，以其中 3 个点为顶点的不同位置的直角三角形共有个【解析】正八边形ABCDEFGH的 8 个顶点在同一个圆上，8 个等分点可得 4 条直径，可构成直角三角形有4624个，故答案为：24例 7如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条

8、公共边的三角形共有8432（个)；第二类，有两条公共边的三角形共有 8（个)由分类加法计数原理知，共有32840（个)例 8.不共面的四点确定四面体(记得易除共面的情况）(I)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四面体?（II）以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四棱锥?【解析】（I）正方体的 8 个顶点可构成48C个四点组,其中共面的四点组有正方体的 6 个表面及正方体 6 组相对棱分别所在的 6 个平面的四个顶点,故可以确定四面体的个数为48C1258(II)由(I)知，正方体共面的四点组有 12 个,以这每一个四点组构成的四边形为底面,以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥,

9、故可以确定四棱锥的个数为1412C48.例 9.考虑4 4的正方形方格表中的 25 个格点,则通过至少 3 个格点有不同直线的数目为【解析】水平和竖直的直线共有 10 条,两条对角线和与两条对角线平行的直线共有 10 条,在4 4的正方形中有 6 个2 4的长方形,每个2 4的长方形有 2 条对角线，即6 212条,因此共有 32 条.3例 10.如图，给定由 10 个点(任意相邻两点距离为 1)组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是【解析】如图：边长为 1 的正三角形共有 1+3+5=9 个；边长为 2 的正三角形共有 3 个；边长为 3 的正三角形共有 1 个；边长为3的正三角形有 2 个.综上可知:共有 9+3+1+2=15 个.4