2024年高考数学专项梅涅劳斯和赛瓦定理（解析版）.pdf

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1、1梅涅劳斯定理和赛瓦定理梅涅劳斯定理和赛瓦定理梅涅劳斯定理：(此定理常用于证明三点共线的问题)梅涅劳斯定理：(此定理常用于证明三点共线的问题)若直线l不经过ABC的顶点，并且与ABC的三边BC,CA,AB或它们的延长线分别交于P,Q,R，则BPPCCQQAARRB=1作平行线：作CMPQ,则BPPC=BRRM,CQQA=RMAR,BPPCCQQAARRB=BRRMRMARARRB=1面积法：BPPC=SBPQSPCQ,ARRB=SARPSBRP=SARQSBRQ=SAQBSBPQ,CQQA=SPCQSAPQ,得证梅涅劳斯定理逆定理：梅涅劳斯定理逆定理：设P、Q、R分别是ABC的三边BC、CA、

2、AB上或它们的延长线上的三点，若BPPCCQQAARRB=1，则P、Q、R三点共线；塞瓦定理塞瓦定理设 P、Q、R 分别是 ABC 的 BC、CA、AB 边上的点，则 AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是:BPPCCQQAARRB=12024年高考数学专项梅涅劳斯和赛瓦定理（解析版）年高考数学专项梅涅劳斯和赛瓦定理（解析版）2证：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M，则：BPPC=SABPSACP=SBMPSCMP=SABMSACM同理：CQQA=SBCMSABM,ARRB=SACMSBCM以上三式相乘，得：BPPCCQQAARRB=11如图四边形ABCD的内切圆分别切AB,BC,CD,

3、DA于点E,F,G,H,求证：HG,AC,EF交于一点.2在ABC中，D,E分别在CB,CA上，且AD,BE分别为BAC和ABC的角平分线.设DE交AB于M，证明CM为ACB的外角平分线.3涉及定理：角平分线定理涉及定理：角平分线定理3四边形ABDF,AB,DF交于C，BD,AF交于E，连接BF,AD,CE,设AD延长线交CE于N,证明：AMMD=ANND.4以ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC,交于D,E,分别过点D,E,作BC的垂线，垂足依次为F,G,线段DG和EF交于点M，求证AMBC.45ABC，一个过A,B的圆交边AC,BC于D,E,AB,DE交于点F，BD，CF交于点

4、M，求证：MF=MC的充分条件是MBMD=MC2.6如图，ABC的三个顶点A,B,C各作其外接圆的切线，分别与相应的顶点的对边所在直线相交，证明：三个交点D,E,F关系.57如图，O1和O2与ABC的三边所在的直线都相切，E,F,G,H为切点，并且EG,FH,对的延长线交于点P.求证PABC.8在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD.在CD上取一点E，BE与AC相交于F,延长DF，交BC于G，求证：GAC=EAC.69四边形ABCD中，ABD，BCD，ABC的面积之比是3:4:1,点M,N分别在AC,CD上，满足AM:AC=CN:CD,并且B,M,N共线，求证M,N分别是AC,CD的中点.1

5、0设P为ABC内点，过P的直线l,m,n分别垂直于AP,BP,CP，若l交BC于Q,m交AC于R，n交AB于S,证明：Q,S,R共线.711已知AB=AD，BC=CD，过O的两条线段分别交AB,BC,CD,DA于G,F,H,E,GF,EH交BD于I,J求证：OI=OJ.1梅涅劳斯定理和赛瓦定理梅涅劳斯定理和赛瓦定理梅涅劳斯定理：梅涅劳斯定理：(此定理常用于证明三点共线的问题此定理常用于证明三点共线的问题)若直线l不经过ABC的顶点，并且与ABC的三边BC,CA,AB或它们的延长线分别交于P,Q,R，则BPPCCQQAARRB=1作平行线：作CMPQ,则BPPC=BRRM,CQQA=RMAR,B

6、PPCCQQAARRB=BRRMRMARARRB=1面积法：BPPC=SBPQSPCQ,ARRB=SARPSBRP=SARQSBRQ=SAQBSBPQ,CQQA=SPCQSAPQ,得证梅涅劳斯定理逆定理：梅涅劳斯定理逆定理：设P、Q、R分别是ABC的三边BC、CA、AB上或它们的延长线上的三点，若BPPCCQQAARRB=1，则P、Q、R三点共线；塞瓦定理塞瓦定理设 P、Q、R 分别是 ABC 的 BC、CA、AB 边上的点，则 AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是:BPPCCQQAARRB=12证：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M，则：BPPC=SABPSACP=SBMPSCMP=

7、SABMSACM同理：CQQA=SBCMSABM,ARRB=SACMSBCM以上三式相乘，得：BPPCCQQAARRB=11如图四边形ABCD的内切圆分别切AB,BC,CD,DA于点E,F,G,H,求证：HG,AC,EF交于一点.证明：设HG与AC交于P1，EF与AC交于P2AP1P1CCGGDDHHA=1AP2P2CCFFBBEEA=1CG=CF,AH=AE,DH=DG,BE=BFAP1P1C=AP2P2C,P1,P2是同一个点.2在ABC中，D,E分别在CB,CA上，且AD,BE分别为BAC和ABC的角平分线.设DE交AB于M，证明CM为ACB的外角平分线.证明：D,E,M截ABCCEEA

8、AMMBBDDC=1,BCBAAMMBBAAC=13AMMB=ACBCACsinMCABCsinMCB=ACBCMCB+BCM=180AMMB=ACCB，得证涉及定理：角平分线定理涉及定理：角平分线定理3四边形ABDF,AB,DF交于C，BD,AF交于E，连接BF,AD,CE,设AD延长线交CE于N,证明：AMMD=ANND.证明：B，M，F截ACDAMMDDFFCCBBA=1AMMD=FCBADFCBC，N，E截ADFANNDDCCFFEEA=1ANND=CFEADCFEAMMD:ANND=BAEFDCAEEDCB=14以ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC,交于D,E,分别过点

9、D,E,作BC的垂线，垂足依次为F,G,线段DG和EF交于点M，求证AMBC.法1AM/DF/EG,FHHG=DMMG=FMME4由梅涅劳斯定理，AMHMHFCFCEAE=1，AMHMHGBGBDAD=1HFCFCEAE=HGBGBDAD，HFHG=BDADCFBGAECECD2=FCBC,BE2=BGBCFCBG=CD2BE2,FHHG=CD2AEBDBE2CEAD，ABEACD，CDBE=ADAEFHHG=CDBEBDCE=SDBCSEBC=DFEG=DMMG法2作AHBC于H，只需证A,M,H,共线，即BHHGGMMDDABA=1BHHG=ABBcosAECcos=AC cosBAD c

10、osC,GMMD=EGDF=BCcosC sinCBC cosB sinB=cosC sinCcosB sinB=ABACcosCcosBBHHGGMMD=ABAD,即BHHGGMMDDABA=15ABC，一个过A,B的圆交边AC,BC于D,E,AB,DE交于点F，BD，CF交于点M，求证：MF=MC的充分条件是MBMD=MC2.证明：MBMD=MC2MBMC=MCMDMBCMCDMCD=CBM=DAEAEFCFAABBEECCMMF=1FAABBEEC=1FAAB=CEBE,AEFC6如图，ABC的三个顶点A,B,C各作其外接圆的切线，分别与相应的顶点的对边所在直线相交，证明：三个交点D,E

11、,F关系.5由梅涅劳斯逆定理，去证：AFFBBDDCCEEA=1AFFBBDDCCEEA=SFACSFBCSBDASDCASCEBSEAB=bsinBcsinAcsinCbsinBasinAcsinC=17如图，O1和O2与ABC的三边所在的直线都相切，E,F,G,H为切点，并且EG,FH,对的延长线交于点P.求证PABC.方法一：由题意，易得O1,O2,A三点共线。如图，延长PA交EF于D，连接01E,O2F,0102,因为O1E、O2FEF，所以去证：AO2AO1=DFDE连接O1G,O2H,易得AO1GAO2H，所以AO2AO1=AHAG,所以去证DFDE=HAGA于是考虑使用梅氏定理。

12、ADC与直线PE:APPDDEECCGGA=1,整理有：APPD=AGDEABD与直线PF:APPDDFFBBHHA=1,整理有：APPD=HADF，得证.方法二：过A作ADBC于D，延长DA交直线HF于P,ABD与直线PF:APPDDFFBBHHA=1,整理有：APPD=AHDF6对于ADC与P,G,E三点:APPDDEECCGGA=APPDDEGA=AHDFDEGA=1由梅涅劳斯逆定理，得证.8在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD.在CD上取一点E，BE与AC相交于F,延长DF，交BC于G，求证：GAC=EAC.方法一：BAC=GFD截BCE:BGGCCDDEEFFB=1SABGSAG

13、CSACDSAEDSAEFSAFB=1ABsin1ACsin2ACsin(3+4)AEsin4AEsin3ABsin(1+2)=1sin1sin2=sin4sin3sin(-2)sin2=sin(-3)sin32=3方法二：连接BD交AC于H点，设DAE=1，CAE=2，作CAG=2，交BC于G连接DG,则BAG=1，AC平分BADDHHB=ADAB,BGGC=ABsin1ACsin2,CEED=ACsin2ADsin1BGGCCEEDDHHB=1在BCD中，由塞瓦定理，DG,BE,CH共点，DG过F，G与G重合，1=29四边形ABCD中，ABD，BCD，ABC的面积之比是3:4:1,点M,N

14、分别在AC,CD上，满足AM:AC=CN:CD,并且B,M,N共线，求证M,N分别是AC,CD的中点.7去证AM:AC=CN:CD=1:2由面积比3:4:1，得AE:AC=3:7,BE:BD=1:7,设AM:AC=CN:CD=r,DEC梅涅劳斯，DBBEEMMCCNND=1,7r-371-rr1-r=1，r=1210设P为ABC内点，过P的直线l,m,n分别垂直于AP,BP,CP，若l交BC于Q,m交AC于R，n交AB于S,证明：Q,S,R共线.Q,S,R共线ASSBBQQCCRRA=1SPASSPSBSPBQSPQCSPCRSPRA=1PAsinAPSPBsinBPSBPsinBPQPCsi

15、nCPQPCsinCPRPAsinAPR=1sinAPSsinBPSsinBPQsinCPQsinCPRsinAPR=1APS与CPQ互补BPQ=APR，BPS=CPR，得证11已知AB=AD，BC=CD，过O的两条线段分别交AB,BC,CD,DA于G,F,H,E,GF,EH交BD于I,J求证：OI=OJ.8作G,F,关于AC的对称点G,F，连接GF,OG,EF,OF,假设FG与OD交于J,即证J与J重合即OD,FG,EH共点，由塞瓦定理：即证FHHDDGGEELLF=1FHHD=SOFHSOHD=12OFOHsinFOH12ODOHsinGOB=OFsinFOHODsinBOGDGGE=ODsinBOGOEsinEOG,ECLF=OEsinEODOFsinFODFHHDDGGEELLF=1