2024高考数学专项解三角形中的结构不良问题（解析版）.pdf

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1、解三角形中的结构不良问题解三角形中的结构不良问题知识点梳理知识点梳理一、一、“结构不良问题结构不良问题”的解题策略的解题策略(1)题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；(2)在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息(1)如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；(2)如果式子中

2、含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；(3)以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到三、“边化角”或“角化边”的变换策略三、“边化角”或“角化边”的变换策略(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理题型精讲精练题型精讲精练1 1 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满

3、足2bcosC=2a-c(1)求角B；(2)在ABC的外接圆的面积为163，ABC的周长为12，b=4，这三个条件中任选一个，求ABC的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.12024高考数学专项解三角形中的结构不良问题（解析版）【题型训练1-刷真题】一、解答题一、解答题1(20232023 北京北京 统考高考真题统考高考真题)设函数 f(x)=sinxcos+cosxsin 0,|2(1)若 f(0)=-32，求的值(2)已知 f(x)在区间-3,23上单调递增，f23=1，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数 f(x)存在，求,的值条件：f3=2

4、；条件：f-3=-1；条件：f(x)在区间-2,-3上单调递减注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分2(20212021 北京北京 统考高考真题统考高考真题)在ABC中，c=2bcosB，C=23(1)求B；(2)再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长条件：c=2b；条件：ABC的周长为4+2 3；条件：ABC的面积为3 34；2【题型训练2-刷模拟】一、解答题一、解答题3(20232023 四川四川 校联考模拟预测校联考模拟预测)已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b

5、，c在下列三个条件m=sinA,-32，n=2cos2A,2cosA，且mn；asinB=3bcosA；cos2B+cos2C=cos2A+1-sinBsinC中任选一个，回答下列问题(1)求A；(2)若a=2，求ABC面积的最大值4(20232023 北京东城北京东城 统考模拟预测统考模拟预测)已知函数 f x=2 3sinxcosx-2sin2x+1 00,|2(1)若 f(0)=-32，求的值(2)已知 f(x)在区间-3,23上单调递增，f23=1，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数 f(x)存在，求,的值条件：f3=2；条件：f-3=-1；条件：f(x)在区间-

6、2,-3上单调递减注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)=-3.(2)条件不能使函数 f(x)存在；条件或条件可解得=1，=-6.2【分析】(1)把x=0代入 f(x)的解析式求出sin，再由|2即可求出的值；(2)若选条件不合题意；若选条件，先把 f(x)的解析式化简，根据 f(x)在-3,23上的单调性及函数的最值可求出T，从而求出的值；把的值代入 f(x)的解析式，由 f-3=-1和|0,|2所以 f(0)=sin 0cos+cos 0sin=sin=-32，因为|0,|0,|2，所以 f(x)的最大值为1，最小

7、值为-1.若选条件：因为 f(x)=sin x+的最大值为1，最小值为-1，所以 f3=2 无解，故条件不能使函数 f(x)存在；若选条件：因为 f(x)在-3,23上单调递增，且 f23=1，f-3=-1所以T2=23-3=,所以T=2,=2T=1,所以 f(x)=sin x+，又因为 f-3=-1，所以sin-3+=-1，所以-3+=-2+2k,kZ，所以=-6+2k,kZ，因为|2，所以=-6.所以=1，=-6；若选条件：因为 f(x)在-3,23上单调递增，在-2,-3上单调递减，所以 f(x)在x=-3处取得最小值-1，即 f-3=-1.以下与条件相同2(20212021 北京北京

8、统考高考真题统考高考真题)在ABC中，c=2bcosB，C=23(1)求B；(2)再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长条件：c=2b；条件：ABC的周长为4+2 3；条件：ABC的面积为3 34；【答案】(1)6；(2)答案不唯一，具体见解析【分析】(1)由正弦定理化边为角即可求解；3(2)若选择：由正弦定理求解可得不存在；若选择：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】(1)c=2bcosB，则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB，sin2B=si

9、n23=32，C=23，B 0,3，2B 0,23，2B=3，解得B=6；(2)若选择：由正弦定理结合(1)可得cb=sinCsinB=3212=3，与c=2b矛盾，故这样的ABC不存在；若选择：由(1)可得A=6，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得a=b=2Rsin6=R，c=2Rsin23=3R，则周长a+b+c=2R+3R=4+2 3，解得R=2，则a=2,c=2 3，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：2 32+12-22 3 1cos6=7；若选择：由(1)可得A=6，即a=b，则SABC=12absinC=12a232=3 34，解得a=3，则由余弦定理可得BC边上的中线

10、的长度为：b2+a22-2ba2cos23=3+34+3 32=212.【题型训练2-刷模拟】一、解答题一、解答题3(20232023 四川四川 校联考模拟预测校联考模拟预测)已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c在下列三个条件m=sinA,-32，n=2cos2A,2cosA，且mn；asinB=3bcosA；cos2B+cos2C=cos2A+1-sinBsinC中任选一个，回答下列问题(1)求A；(2)若a=2，求ABC面积的最大值【答案】(1)A=3(2)3【分析】(1)条件：根据向量平行的坐标表示转化sin2A=-3cos2A，求得A；条件：根据正弦定理转化为sinA=

11、3cosA，求得A；条件：将条件中的余弦转化为正弦，再用正弦定理与余弦定理求得A.(2)根据余弦定理及基本不等式求得ABC面积的最大值【详解】(1)选择条件，因为m=sinA,-32，n=2cos2A,2cosA，且mn，所以sinA2cosA+322cos2A=0，4即sin2A=-3cos2A，所以tan2A=-3，由ABC为锐角三角形可知0A2，则02A，故2A=23，A=3，选择条件，因为asinB=3bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=3sinBcosA，由ABC为锐角三角形可知0B2，所以sinB0，则sinA=3cosA，即tanA=3，由ABC为锐角三角形可知0A2，故

12、A=3选择条件，因为cos2B+cos2C=cos2A+1-sinBsinC，所以1-sin2B+1-sin2C=1-sin2A+1-sinBsinC，即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，由正弦定理可得b2+c2-a2=bc，根据余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=12，由ABC为锐角三角形可知0A2，故A=3，(2)因为a=2，由(1)可得A=3，所以根据余弦定理可得4=b2+c2-2bccos3=b2+c2-bc2bc-bc=bc，当且仅当b=c=2时，等号成立，满足条件则SABC=12bcsinA12432=3，故ABC面积的最大值为34(20232023

13、北京东城北京东城 统考模拟预测统考模拟预测)已知函数 f x=2 3sinxcosx-2sin2x+1 02.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：条件：在 f x图象上相邻的两个对称中心的距离为2；条件：f x的一条对称轴为x=6.(1)求；(2)将 f x的图象向右平移3个单位(纵坐标不变)，得到函数g x的图象，求函数g x在-3,3上的值域.【答案】(1)=1(2)-2,1【分析】(1)由三角函数的恒等变换对 f(x)进行化简，再分别由条件求的值(2)由三角函数的平移变换得 g(x)的解析式，再由函数的定义域求值域即可【详解】(1)f x=2 3sinxcosx-2sin2x

14、+1=3sin2x+cos2x=2sin 2x+6选：f(x)图象上相邻两个对称中心的距离为2，则T=22，则=1，5选：f(x)的一条对称轴为x=6，则26+6=k+2，kZ，=3k+1，又02，则=1，于是 f(x)=2sin 2x+6(2)将 f(x)=2sin 2x+6的图象向右移3个单位长度(纵坐标不变)，得到函数g(x)=2sin 2 x-3+6=2sin 2x-2=-2cos2x的图象x-3,3，2x-23,23，cos2x-12,1，g(x)的值域为-2,15(20232023 全国全国 模拟预测模拟预测)在bsinC+3ccosB=3a，sin B+6=a+b2c，asin

15、C+3=cAsin这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求角C；(2)若ABC外接圆的面积为4，求ABC面积的最大值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)C=3(2)3 3【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式和辅助角公式化简计算，即可求出C；(2)根据正弦定理可得c=2 3，利用余弦定理和基本不等式计算可得ab12，结合三角形的面积公式计算即可求解.【详解】(1)选条件bsinC=3a-3ccosB，由正弦定理得sinBsinC=3sinA-3sinCcosB因为A=-B+C，所以sinA=s

16、in B+C，故sinBsinC=3sin B+C-3sinCcosB=3sinBcosC因为sinB0，所以sinC=3cosC，得tanC=3，又0C，所以C=3选条件由sin B+6=a+b2c得a+b=2csin B+6=3csinB+ccosB由正弦定理得sinA+sinB=3sinBsinC+sinCcosB，得sin B+C+sinB=3sinBsinC+sinCcosB，得cosCsinB+sinB=3sinCsinB而sinB0，所以3sinC-cosC=1，即sin C-6=12，6而0C，所以C=3选条件由asin C+3=cAsin及正弦定理得Asinsin C+3=C

17、sinAsin，因为sinA0，所以sin C+3=Csin=，即sinCcos3+cosCsin3=sinC，即32cosC=12sinC，所以tanC=3，而0C0，于是利用平方公式得cosB，即可得ac的值，再根据面积公式即可得ABC的面积；若选根据向量数量积定义得AB BC=-accosB，且cosB0，于是利用平方公式得cosB，即可得ac的值，再根据面积公式即可得ABC的面积；(2)由正弦定理得即可求得b的值.【详解】(1)若选a2-b2+c2=2，由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac，整理得accosB=1，则cosB0，又sinB=13，则cosB=1-132=2 23

18、，ac=1cosB=3 24，则SABC=12acsinB=28；若选AB BC=-10，又sinB=13，则cosB=1-132=2 23，又AB BC=-accosB，得ac=1cosB=3 24，则SABC=12acsinB=28；(2)由正弦定理得：bsinB=asinA=csinC，则b2sin2B=asinAcsinC=acsinAsinC=3 2423=94，则bsinB=32，b=32sinB=127(20232023 云南昆明云南昆明 昆明一中校考模拟预测昆明一中校考模拟预测)ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为7ABC的内心，记OBC，OAC,OAB的面积分

19、别为S1，S2，S3，已知S21+S23-S1S3=S22，AB=2(1)若ABC为锐角三角形，求AC的取值范围；(2)在4sinBsinA+cos2A=1；1-2cosAsinA+1-2cosBsinB=0；acosC+ccosA=1中选一个作为条件，判断ABC是否存在，若存在，求出ABC的面积，若不存在，说明理由(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】(1)(3,2 3)(2)答案见解析【分析】(1)由题意，根据ABC的内切圆的性质可得a2+c2-b2=ac，利用正、余弦定理可得AC=ABsinBsinC=3sinC，结合角C的取值范围即可求解；(2)选择，根据正弦定理可

20、得a=2b，由(1)得3b2-4b+4=0，方程无解即ABC不存在选择，根据三角恒等变换可得a+b=2c=4，由(1)得a2+4-b2=2a，解得a=b=2，结合三角形的面积公式计算即可.选择，由(1)，根据余弦定理可得a2+4-1=2a，方程无解即ABC不存在【详解】(1)设ABC的内切圆半径为r，因为S21+S23-S1S3=S22，所以12ar2+12cr2-12ar12cr=12br2，化简得：a2+c2-b2=ac，所以cosB=a2+c2-b22ac=12，因为B 0,，所以B=3，所以A+C=23，因为ACsinB=ABsinC，所以AC=ABsinBsinC=3sinC，因为A

21、BC为锐角三角形，所以0C2，023-C2，解得：6C2，所以12sinC1，所以AC的取值范围为(3,2 3)(2)选择，因为4sinBsinA+cos2A=1，所以4sinBsinA=1-cos2A=2sin2A，因为sinA0，所以sinA-2sinB=0，所以a=2b，由(1)知a2+c2-b2=ac，c=2，所以4b2+4-b2=4b，整理得3b2-4b+4=0，方程无实数解，所以ABC不存在选择，由1-2cosAsinA+1-2cosBsinB=0得：sinA+sinB-2(sinAcosB+cosAsinB)=0，所以sinA+sinB=2sin(A+B)，即sinA+sinB=

22、2sinC，所以a+b=2c=4，由(1)知a2+c2-b2=ac，c=2，所以a2+4-b2=2a，所以a2+4-(4-a)2=2a，解得a=b=2，所以ABC存在且唯一，ABC的面积S=12acsinB=12432=3选择，因为acosC+ccosA=1，所以aa2+b2-c22ab+cb2+c2-a22bc=b=1，由(1)知a2+c2-b2=ac，c=2，所以a2+4-1=2a，整理得a2-2a+3=0，方程无实数解，所以ABC不存在8(20232023 四川成都四川成都 四川省成都列五中学校考模拟预测四川省成都列五中学校考模拟预测)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，

23、且a-ccosB=33bsinC.(1)求角C的大小；8(2)若c=2 3，且，求ABC的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答.sinAsinB=112；ABC的面积为33；CA BC=-23.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.【答案】(1)C=3(2)4+2 3【分析】(1)根据条件，利用sinA=sin B+C和正弦的和角公式，化简即可得出结果；(2)选，利用正弦定理和条件得出ab=43，选，利用条件和三角形面积公式得出ab=43，选，利用条件和数量积的定义得出ab=43，再利用余弦定即可得到结果.【详解】(1)由正弦定理：sinA-s

24、inCcosB=33sinBsinC，因为sinA=sin B+C，所以sinBcosC+cosBsinC-sinCcosB=33sinBsinC，所以sinBcosC=33sinBsinC，因为sinB0，所以cosC=33sinC，得到tanC=3，又C 0,，所以C=3.(2)若选，根据正弦定理和(1)可知，asinA=bsinB=csinC=2 3sin3=4，所以a=4sinA,b=4sinB，所以sinAsinB=ab16=112，得到ab=43，若选，由题知12absinC=12ab32=33，得到ab=43，若选，即CA BC=-23，由数量积定义得abcos-C=-12ab=

25、-23，得到ab=43，故三个条件任选一个条件，都可以得到ab=43，由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos3，整理得(a+b)2-2ab-2abcos3=12，即(a+b)2=16，则a+b=4或a+b=-4(舍去)，所以ABC的周长为a+b+c=4+2 3.9(20232023 河北河北 统考模拟预测统考模拟预测)在ABC中，内角A，B，C对应的边为a，b，c，ABC的面积为S，若acosB+bcosA=2a.(1)当B=3时，求A；(2)若角B为ABC的最大内角.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立，a2+c2+ac=b2；b=7；S=32.注：若选择不同的组合分别解答，则按

26、第一个解答计分.【答案】(1)A=6；(2)答案见详解.【分析】(1)由题意，根据正弦定理、特殊角的三角函数值和辅助角公式化简计算可得3sin A-6=0，即可求解；(2)分别以中选取2个作为条件，根据正、余弦定理和三角形的面积公式计算，可证得第3个条件成9立.【详解】(1)acosB+bcosA=2a，由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinA，当B=3时，12sinA+32cosA=2sinA，得32sinA-32cosA=0，即3sin A-6=0，又0A，所以A-6=0，得A=6；(2)若选为条件.a2+c2+ac=b2a2+c2-b2=-ac，由余弦定理得cosB=a

27、2+c2-b22ac=-ac2ac=-12，又0B0，又sin2A+cos2A=1，解得sinA=32 7,cosA=52 7.又sinAcosB+sinBcosA=2sinA，得sin(A+B)=sinC=2sinA=37，由正弦定理得asinA=bsinB=csinC，即a32 7=732=c37，解得a=1,c=2，所以S=12acsinB=121232=32，即成立；若选为条件.a2+c2+ac=b2a2+c2-b2=-ac，由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=-ac2ac=-12，又0B12，则B3，与B为ABC的最大内角矛盾，故cosB=-12，又由余弦定理得b2=a2+

28、c2-2ac-12，即b2=a2+c2+ac，即成立.1010(20232023 云南曲靖云南曲靖 统考模拟预测统考模拟预测)在asin A+C=bcos A-6；1+2cosCcosB=cos C-B-cos C+B；2tanBtanA+tanB=bc这三个条件中选择一个补充在下面问题中的横线上，然后求解.问题：在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b+c=2 3,a=6，.(说明：只需选择一个条件填入求解，如果三个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分)(1)求角A的大小；(2)求ABC内切圆的半径.【答案】(1)条件选择见解析，A=3(2)2-22【分析】(1)选，利用正

29、弦定理化边为角，再根据两角差的正弦公式化简即可得解；选，根据两角差的余弦公式结合三角形内角和定理化简即可；选，利用正弦定理化边为角，再结合商数关系化简即可；(2)先利用余弦定理求出bc，再根据三角形的面积公式求出面积，再根据等面积法即可得解.【详解】(1)选，由正弦定理得sinAsinB=sinBcos A-6，因为0B，所以sinB0，所以sinA=cos A-6，化简得sinA=32cosA+12sinA，所以tanA=3，因为0A，所以A=3；选，因为1+2cosCcosB=cos C-B-cos C+B，所以1+2cosCcosB-cos C-B+cos C+B=1+2cos C+B=

30、1-2cosA=0，所以cosA=12，又因为0A，所以A=3；选，因为2tanBtanA+tanB=bc，由正弦定理得2tanBtanA+tanB=sinBsinC，而2sinBcosBsinAcosA+sinBcosB=sinBsinC，2sinBcosBsinAcosB+sinBcosAcosAcosB=2sinBcosBsinCcosAcosB=2sinBcosAsinC=sinBsinC，因为sinB0,sinC0，所以cosA=12，又因为0A，所以A=3；(2)由(1)知，a2=b2+c2-2bccos3=(b+c)2-3bc,a=6,b+c=2 3，所以bc=2，所以SABC=

31、12bcsinA=122sin3=32，设ABC内切圆的半径为r,ABC周长为L，因为SABC=12rL，故12r 2 3+6=32，11所以r=2-22，即ABC内切圆的半径为2-22.11(20232023 宁夏中卫宁夏中卫 统考二模统考二模)在tanA+tanB+3=3tanAtanB；(c+a-b)(sinC-sinA+sinB)=asinB；3csinB=b(cosC+1)；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答问题：在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求角C；(2)若ABC的内切圆半径为32,b=4，求a-c【答案】(1)3(2)-1【分析】(1

32、)选择根据两角和的正切公式化简可得角，选择由正弦定理统一为边，再由余弦定理求解，选择根据正弦定理统一为角，由辅助角公式求解；(2)由余弦定理及三角形面积公式联立求解即可.【详解】(1)选择：由已知得tanA+tanB=3(tanAtanB-1)，所以tanC=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanAtanB=3，在ABC中，C(0,)，所以C=3选择：由已知及正弦定理得(c+a-b)(c-a+b)=ab，所以a2+b2-c2=ab，所以cosC=a2+b2-c22ab=12，因为0C0，则3sinC-cosC=1，则2sin C-6=1，故sin C-6=12又因为-6C-656，

33、所以C-6=6，解得C=3(2)由余弦定理得c2=a2+b2-ab=16+a2-4a，由等面积公式得12(a+b+c)r=12absinC即12(a+b+c)32=124a32整理得3a=4+c，联立，解得a=52,c=72，所以a-c=-112(20232023 重庆重庆 统考模拟预测统考模拟预测)如图所示，已知圆O是ABC的外接圆，圆O的直径BD=2.设BC=a，AC=b，AB=c，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，tanC b-3csinA+3ccosA=0；2cosC+cosA=2sinC-sinAtanA；ABC的面积为34a2+c2-b2.选择条件.12(1)求b的值；(2

34、)求ACD的周长的取值范围.【答案】(1)3(2)2 3,3+2【分析】(1)若选利用正弦定理将边化角，再结合两角和的余弦公式及诱导公式求出tanB，在利用正弦定理计算可得；若选，根据同角三角函数的基本关系、和差角公式及诱导公式求出cosB，在利用正弦定理计算可得；若选，利用面积公式及余弦定理求出tanB，在利用正弦定理计算可得；(2)由题知ADC=23，设CAD=，00，所以sinB-3sinCsinA+3cosCcosA=0，即sinB+3cos C+A=0，所以sinB-3cosB=0，所以tanB=3，又B 0,，所以B=3，因为ABC外接圆的半径R=1，所以b=2RsinB=3.若选

35、，因为2cosC+cosA=2sinC-sinAtanA，所以2cosC+cosA=2sinC-sinAsinAcosA，即2cosCcosA+cos2A=2sinCsinA-sin2A，所以2cosCcosA-2sinCsinA=-sin2A-cos2A，所以2cos C+A=-1，所以cosB=12，又B 0,，所以B=3，因为ABC外接圆的半径R=1，所以b=2RsinB=3.若选，ABC的面积为34a2+c2-b2，则S=12acsinB=34a2+c2-b2，由余弦定理可得a2+c2-b2=2accosB，所以12acsinB=32accosB，所以tanB=3，又B 0,，所以B=

36、3，因为ABC外接圆的半径R=1，所以b=2RsinB=3.(2)由题知ADC=23，设CAD=，03，由正弦定理ACsinADC=ADsinACD=CDsinCAD=3sin23=2，所以CD=2sin，AD=2sin3-，所以CACD=3+2sin+2sin3-13=3+2sin+2sin3cos-2cos3sin=3+sin+3cos=3+2sin+3，因为03，所以3+323，所以320，所以cosA2=sinA，即cosA2=2sinA2cosA2，因为0A20，所以sinA2=12，所以A2=6，即A=3；选择asinC1-cosA=3c，则asinC=3c-3ccosA，由正弦定

37、理得sinAsinC=3sinC-3sinCcosA，因为C(0,),sinC0，所以sinA=3-3cosA，即sin A+3=32，因为0A，所以3A+343，所以A+3=23，即A=3；选择：由SABC=34b2+c2-a2=12bcsinA，可得3 b2+c2-a22bc=sinA，即3cosA=sinA，所以tanA=3，由于0A，故A=3.(2)方法一：sinBsinC=sinBsin B+3=sinB12sinB+32cosB14=12sin2B+32sinBcosB=14-14cos2B+34sin2B=14+12sin 2B-6因为0B23，所以-62B-676，所以-12s

38、in 2B-61，所以00，sinC0，所以00，所以cosB=12，因为B(0,)，所以B=3.选：因为bsinA=acos B-6，由正弦定理得sinBsinA=sinA32cosB+12sinB，又因为A(0,)，可得sinA0，则sinB=32cosB+12sinB，即12sinB=32cosB，可得tanB=3，因为B(0,)，所以B=3.选：因为 a+ba-b=a-cc，可得a2+c2-b2=ac，由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12，又因为B(0,)，所以B=3.(2)解：因为B=3，且b=2，由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB，即4=a2+c

39、2-2accos3，可得a2+c2-ac=4，又由a2+c2-ac2ac-ac=ac，当且仅当a=c时，等号成立，所以ac4，所以ABC的面积SABC=12acsinB124sin3=3，即ABC的面积的最大值为3.15(20232023 山西吕梁山西吕梁 统考三模统考三模)在3absinC=4AB AC；a 3sinB+4cosB=4c，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求sinA的值；(2)若ABC的面积为2，a=4，求ABC的周长.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)sinA=45(2)

40、4+4 2【分析】(1)根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求sinA的值；(2)由面积公式求得bc=5，再利用余弦定理求得b+c，可得ABC的周长.【详解】(1)若选，由已知得3absinC=4bccosA，所以3asinC=4ccosA，由正弦定理得3sinAsinC=4sinCcosA，又C 0,，所以sinC0，所以3sinA=4cosA，又sin2A+cos2A=1，由A 0,，sinA0，解得sinA=45.若选，由已知及正弦定理得3sinAsinB+4sinAcosB=4sinC，所以3sinAsinB+4sinAcosB=4sin A+B，所以3sin

41、AsinB+4sinAcosB=4sinAcosB+4cosAsinB，16所以3sinAsinB=4cosAsinB，又B 0,，所以sinB0，所以3sinA=4cosA，又sin2A+cos2A=1，由A 0,，sinA0，解得sinA=45.(2)由ABC的面积为2，得12bcsinA=25bc=2，所以bc=5，由(1)可得cosA=1-sin2A=35，由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-1610=35，所以b2+c2=22，所以b+c=b2+2bc+c2=4 2，所以ABC的周长为a+b+c=4+4 2.16(20232023 全国全国 模拟预测模拟预测)从

42、2sinB=2sinAcosC+sinC，4SsinA=absinCtanA(S为ABC的面积)，bcosA+acosB+2acosC=2b这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(1)求角A的大小；(2)若4sinB=bsinA，求b+c的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)A=3(2)4,8【分析】(1)选条件：利用正弦定理结合余弦定理可得出b2+c2-a2=bc，求出cosA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；选条件：利用三角形的面积公式结合切化弦可求得cosA的值，结合角A的取值范围可求得

43、角A的值；选条件：利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出cosA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；(2)利用余弦定理可得出16=b2+c2-bc，利用基本不等式结合三角形三边关系可求得b+c的取值范围.【详解】(1)解：选条件：因为2sinB=2sinAcosC+sinC，所以由正弦定理得2b=2acosC+c，由余弦定理得2b=2aa2+b2-c22ab+c，整理得b2+c2-a2=bc，由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12，因为A 0,，所以A=3；选条件：因为4SsinA=absinCtanA，由三角形的面积公式可得2absinCsinA=absinCsinAcosA

44、，因为A、C 0,，则sinA0，sinC0，所以，cosA=12，因为A 0,，所以A=3；选条件：因为bcosA+acosB+2acosC=2b，由正弦定理可得sinBcosA+cosBsinA+2sinAcosC=2sinB，所以，sin A+B+2sinAcosC=2sin A+C=2sinAcosC+2cosAsinC，所以，sinC=2cosAsinC因为A、C 0,，则sinC0，所以cosA=12，故A=3.(2)解：由4sinB=bsinA及正弦定理得4b=ab，所以a=417又由(1)知A=3，所以由余弦定理得16=a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc，由基本

45、不等式可得16=b+c2-3bc b+c2-3 b+c24=b+c24，即b+c8，当且仅当b=c时取等号，又b+ca=4，所以4b+c8，所以b+c的取值范围为 4,817(20232023 河北邯郸河北邯郸 统考二模统考二模)已知条件：2a=b+2ccosB；2asinAcosB+bsin2A=2 3acosC；3sinC=3-2cos2C2.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：.(1)求角C的大小；(2)若c=2 3，ABC与BAC的平分线交于点I，求ABI周长的最大值.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答

46、计分【答案】(1)条件选择见解析，C=3；(2)4+2 3.【分析】(1)选，利用余弦定理求解作答；选，利用二倍角正弦、正弦定理边化角求解作答；选，利用二倍角的余弦公式计算作答.(2)根据给定条件，结合(1)的结论求出AIB，再利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答.【详解】(1)选择条件，2a=b+2ccosB，在ABC中，由余弦定理得2a=b+2ca2+c2-b22ac=b+a2+c2-b2a，整理得a2+b2-c2=ab，则cosC=a2+b2-c22ab=12，又C 0,，所以C=3.选择条件，2asinAcosB+bsin2A=2 3acosC，于是asinAcosB+bsinAcos

47、A=3acosC，在ABC中，由正弦定理得，sin2AcosB+sinAsinBcosA=3sinAcosC，因为sinA0，则sinAcosB+sinBcosA=3cosC，即sin A+B=3cosC，因为A+B+C=，因此sinC=3cosC，即tanC=3，又C 0,，所以C=3.选择条件，3sinC=3-2cos2C2，在ABC中，因为3sinC=2-2cos2C2-1=2-cosC，即3sinC+cosC=2，则sin C+6=1，又C 0,，即有C+66,76，则C+6=2，所以C=3.(2)由(1)知，C=3，有ABC+BAC=23，而BAC与ABC的平分线交于点I，即有ABI

48、+BAI=3，于是AIB=23，18设ABI=，则BAI=3-，且03，在ABI中，由正弦定理得，BIsin3-=AIsin=ABsinAIB=2 3sin23=4，所以BI=4sin3-，AI=4sin，所以ABI的周长为2 3+4sin3-+4sin=2 3+432cos-12sin+4sin=2 3+2 3cos+2sin=4sin+3+2 3，由03，得3+323，则当+3=2，即=6时，ABI的周长取得最大值4+2 3，所以ABI周长的最大值为4+2 3.18(20232023 海南海南 海口市琼山华侨中学校联考模拟预测海口市琼山华侨中学校联考模拟预测)在8cosxcos x+3；-

49、4sin2x-4 3sinxcosx+4；8cos2x-4sin 2x+6-2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答问题：已知函数 f(x)=(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为ABC的面积若 f(x)在x=A处有最小值-a，求ABC面积的最大值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)最小正周期，单调递减区间为 k-6,k+3(kZ Z)(2)3【分析】(1)三个条件中任选一个，利用三角恒等变换化简 f(x)，根据三角函数的性质求解；(2)根据 f(x)的解析式及三角函数的性质求得A=3，a=

50、2由余弦定理结合基本不等式可得bc4，从而可得ABC面积的最大值【详解】(1)选择条件：f(x)=8cosxcos x+3=8cosx12cosx-32sinx=4cos2x-4 3sinxcosx=-2 3sin2x+2cos2x+2=-4sin 2x-6+2所以函数 f(x)的最小正周期T=22=令2k-22x-62k+2(kZ Z)，解得k-6xk+3(kZ Z)，所以函数 f(x)的单调递减区间为 k-6,k+3(kZ Z)选择条件：19f(x)=-4sin2x-4 3sinxcosx+4=-2 3sin2x+2cos2x+2=-4sin 2x-6+2，所以函数 f(x)的最小正周期T