2024年高考数学专项复习马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）（解析版）.pdf

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1、1/13 马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）如果要评选出 2023 年各地模拟题中最“成功”的题目，我想非“马尔科夫链”莫属了，尽管 2023 年新高考 I 卷出乎了很多“命题专家”的意料，但第 21 题考察了马尔科夫链，可谓为广大“专家”“名卷”“押题卷”挽回了一些颜面。2023 年新高考 I 卷第 21 题的投篮问题是马尔可夫链；再往前的热点模考卷中，2023 年杭州二模第 21 题的赌徒输光问题是马尔可夫链，2023 年茂名二模的摸球问题是马尔可夫链；再往更前的 2019 年全国 I 卷药物试验也是马尔可夫链，在新人教 A 版选择性必修三 P91

2、 页 拓展探索中的第 10 题是传球问题，是马尔科夫链的典型模型，可以看出自从新教材引入全概率公式（新人教 A 版选择性必修三 P49 页），可想而知，未来会有越来越多的递推型概率难题出现模考试题中！因此，在复习备考中全概率等系列内容需要格外关注马尔科夫链作为一种命题模型出现了，马尔科夫链在题中的体现可以简单的概括为全概率公式+数列递推，对于高中生而言，马尔科夫链其实也不难理解。本文主要介绍了马尔科夫链和一维随机游走模型在高考中的几种具体的应用情形，希望对各位接下来的复习和备考有一些帮助。基本原理基本原理虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们既可以构

3、造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻0=t时，位于点)(+=Niix，下一个时刻，它将以概率或者（1),1,0(=+）向左或者向右平移一个单位.若记状态itX=表示：在时刻t该点位于位置)(+=Niix，那么由全概率公式可得：)|()()|()()(1111111+=+=+=+=itititititititXXPXPXXPXPXP 另一方面，由于=+=+=+)|(,)|(1111ititititXXPXXP，代入上式可得：11+=iiiPPP.进一步，我们假设在0=x与),0(+=Nmmmx处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁

4、时被吸收，不再游走.于是，1,00=mPP.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a，原地不动，其概率为b，向右平移一个单位，其概率为c，那么根据全概率公式可得：2024年高考数学专项复习马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）（解析版）2024年高考数学专项复习马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）（解析版）2/13 11+=iiiicPbPaPP 2023新高考卷新高考卷 T21 1乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮

5、的命中率均为 0.8由抽签确定第 1次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5（1）求第 2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随 机变量iX服从 两点分布，且()()110,1,2,iiiP XP Xq in=，则11nniiiiEXq=记前n次（即从第 1 次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求()E Y 3/13 2019全国卷全国卷 2为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，

6、再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为 X.（1）求 X 的分布列.（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，)0,1,2,8(ip i=表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p=，81p=，11()127

7、iiiipapbpcpi=+，其中)1(aP X=，(0)bP X=(1)cP X=.假设0.5=，0.8=.证明：1)0,1,2,7(iippi=为等比数列；求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性.4/13 课本原题：课本原题：人教人教 A 版版数学数学选择性必修三选择性必修三P91 3甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人求n次传球后球在甲手中的概率 1（2024 届武汉高三开学考）有编号为 1，2，3，.，18，19，20 的 20 个箱子，第一个箱子有 2 个黄球1 个绿球，其余箱子均为 2 个黄球 2 个绿球

8、，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱子中取出一个球放入第三个箱子，以此类推，最后从第 19 个箱子取出一个球放入第 20 个箱子，记ip为从第i个箱子中取出黄球的概率.(1)求23,pp；(2)求20p.重点题型 归类精讲重点题型 归类精讲 5/13 2024 届山东省实验中学高三第一次诊断届山东省实验中学高三第一次诊断 2某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为27；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品,则这次抽中的概率为13 记该顾客第 n

9、次摸球抽中奖品的概率为nP (1)求2P的值，并探究数列 nP的通项公式；(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程 3从甲乙丙等 5 人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第 1 次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为,1,2,3,np n=，直接写出123ppp，的值；求1np+与np的关系式*()nN，并求np*()nN.6/13 2023 届惠州一模届

10、惠州一模 4为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，如此往复.（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为nP（）证明：25nP为等比数列；（）证明：当2n 时，512nP.7/13 2023 届佛山二模届佛山二模16 5有n个编号分别为1,2,3,n的盒子，第 1 个盒子中有 2 个白球 1 个黑

11、球，其余盒子均为 1 个白球 1 个黑球，现从第 1 个盒中任取一球放入第 2 个盒子，再从第 2 个盒子中任取一球放入第 3 个盒子，以此类推，则从第 2 个盒子中取到白球的概率是 ，从第n个盒子中取到白球的概率是 .2023唐山调研唐山调研 6甲、乙、丙三人玩传球游戏，第 1 次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第k次传球后球在甲手中的概率为*Nkpk，则下列结论正确的有（）A.10p=B.213p=C.121kkpp+=D.202313p 2024 届武汉高三九月调研届武汉高三九月调研 T16 7甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体

12、骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于 3，则甲将球传给乙，若点数不大于 3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于 4，则乙将球传给甲，若点数不大于 4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于 3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙 初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则 ；2024 届届湖北湖北荆荆恩荆荆恩高三高三 9 月起点联考月起点联考21 8甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的 2 个黑球和 1 个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰

13、有 2 个黑球的概率为，恰有 3 个黑球的概率为.(1)求；(2)设，证明：；(3)求的数学期望的值.*nNnp3p=np=()*n nNnXnpnq11,p q2nnncpq=+11233nncc+=+nX()nE X 8/13 92022 年 2 月 6 日，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有12的可能性扑不到球不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数 X的分布列和期望；(2)好成绩

14、的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁 4 名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外 3 人中的 1 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外 3 人中的 1 人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住 记第 n次传球之前球在甲脚下的概率为np，易知121,0=pp 试证明14np为等比数列；设第 n次传球之前球在乙脚下的概率为nq，比较10p与10q的大小 9/13 2023济南开学考济南开学考 10甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流地掷一枚质均匀的骰子.规定：先掷出点数 6 的获胜，游戏结束.（1）记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛

15、结束时，X 的分布列和期望；（2）已知甲先掷，求甲恰好抛掷 n 次骰子并获得胜利的概率.10/13 2023 届届杭州二模杭州二模 11马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用其数学定义为：假设我们的序列状态是，2tX，1tX，tX，1tX+，那么1tX+时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态tX，即()()t 1t 2t 1tt 1t,XXXXXXPP+=.现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为 50%，且每局赌赢可以赢得 1

16、元，每一局赌徒赌输的概率为 50%，且赌输就要输掉 1 元赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为 0 元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的 B 元，赌徒停止赌博记赌徒的本金为*(,)A ANAB=Nmmmx处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，1,00=mPP.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a，原地不动，其概率为b，向右平移一个单位，其概率为c，那么根据全概率公式可得：2/21 11+=iiiicPbPaPP 2023新高考卷新高考卷 T21 1乙两人投篮，每次由其中一人

17、投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8由抽签确定第 1次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5（1）求第 2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随 机变量iX服从 两点分布，且()()110,1,2,iiiP XP Xq in=，则11nniiiiEXq=记前n次（即从第 1 次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求()E Y【解析】（1）记“第i次投篮的人是甲”为事件iA，“第i次投篮的人是乙”为事件iB，所以，()()()()()()(

18、)21212121121|P BP ABP B BP A P BAP B P BB=+=+()0.51 0.60.5 0.80.6=+=.（2）设()iiP Ap=，依题可知，()1iiP Bp=，则()()()()()()()11111|iiiiiiiiiiiP AP A AP B AP A P AAP B P AB+=+=+，即()()10.61 0.810.40.2iiiipppp+=+=+，构造等比数列ip+，设()125iipp+=+，解得13=，则1121353iipp+=，又11111,236pp=，所以13ip是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653

19、iiiipp=+（3）因为1121653iip=+，1,2,in=，所以当*Nn时，()122115251263185315nnnnnE Yppp=+=+=+，3/21 故52()11853nnE Y=+2019全国卷全国卷 2为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠

20、治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为 X.（1）求 X 的分布列.（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，)0,1,2,8(ip i=表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p=，81p=，11()127iiiipapbpcpi=+，其中)1(aP X=，(0)bP X=(1)cP X=.假设0.5=，0.8=.证明：1)0,1,2,7(iippi=为等比数列；求4p，

21、并根据4p的值解释这种试验方案的合理性.【解析】（1）X 的所有可能取值为1，0，1.11()()P X=，()()()011P X=+=，()1(1)P X=，所以 X 的分布列为 X 1 0 1 P(1)1(1)+()1（2）证明 由（1）得0.4a=，0.5b=，0.1c=.因此110.40.50.1iiiipppp+=+，故()()110.10.4iiiipppp=，则()114iiiipppp=.又因为1010ppp=，所以1)0,1,2,7(iippi=为公比为 4，首项为1p的等比数列.由得()()()88877610087761001413pppppppppppppppp=+=

22、+=.由于81p=，故18341p=，所以()()()()4443322110014113257ppppppppppp=+=.4p表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认 4/21 为甲药更有效的概率为410.0039257p=，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.课本原题：课本原题：人教人教 A 版版数学数学选择性必修三选择性必修三P91 3甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人求n次传球后球在甲手中的概率【解析】记第n次传球后球在甲手中的概率为n

23、P，则第1n次传球后球在甲手中的概率为1nP，开始时球在甲手中，则01P=若第n次传球后球在甲手中，则第1n次传球后球不在甲手中，即第1n次传球后球在乙或丙手中，所以第1n次传球后球不在甲手中的概率为11nP，又乙或丙在第n次把球传到甲手上的概率为12，于是有()1112nnPP=，即1111323nnPP=，1n，于是数列13nP是首项为0213P =，公比为12得等比数列，所以121332nnP=，所以()*211323nnPn=+N.5/21 1（2024 届武汉高三开学考）有编号为 1，2，3，.，18，19，20 的 20 个箱子，第一个箱子有 2 个黄球1 个绿球，其余箱子均为 2

24、 个黄球 2 个绿球，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱子中取出一个球放入第三个箱子，以此类推，最后从第 19 个箱子取出一个球放入第 20 个箱子，记ip为从第i个箱子中取出黄球的概率.(1)求23,pp；(2)求20p.【答案】(1)2815P=，33875P=；(2)2019116 52P=+【分析】（1）分第一次取出黄球和绿球两种情况，再由互斥事件概率加法公式计算可得答案；（2）由题意可得()132155+=+iiiPPP，可得答案.【详解】（1）从第二个箱子取出黄球的概率22 31 283 53 515P=+=，从第三个箱子取出黄球的概率3838238115 51

25、5575P=+=；（2）由题意可知，()1321215555iiiiPPPP+=+=+，即1111252iiPP+=，又123P=，1111111111,262656 52iiiiPPP=+2019116 52P=+.2024 届山东省实验中学高三第一次诊断届山东省实验中学高三第一次诊断 2某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为27；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13记该顾客第 n 次摸球抽中奖品的概率为nP(1)求2P的值，并探究数列

26、 nP的通项公式；(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程 重点题型 归类精讲重点题型 归类精讲 6/21 【答案】(1)1942，1311776nnP=(2)第二次，证明见解析 【分析】（1）根据全概率公式即可求解2P，利用抽奖规则，结合全概率公式即可由等比数列的定义求解，（2）根据1311776nnP=，即可对n分奇偶性求解.【详解】（1）记该顾客第()*Ni i次摸球抽中奖品为事件 A，依题意，127P=，()()()()()22121121212119|1737242PP AP A P AAP A P AA=+=+=因为()11|3nnP AA=，()11|2nnP

27、AA=，()nnPP A=，所以()()()()()1111|nnnnnnnP AP AP AAP AP AA=+，所以()111111113262nnnnPPPP=+=+，所以1313767nnPP=，又因为127P=，则131077P=，所以数列37nP是首项为17，公比为16的等比数列，故1311776nnP=（2）证明：当 n 为奇数时，13131977 6742nnP=，当 n为偶数时，13177 6nnP=+，则nP随着 n 的增大而减小，所以，21942nPP=，综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.3从甲乙丙等 5 人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次

28、将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第 1 次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为,1,2,3,np n=，直接写出123ppp，的值；7/21 求1np+与np的关系式*()nN，并求np*()nN.【答案】(1)分布列见解析(2)10p=，212p=，314p=；111,1,2,322nnppn+=+=；11(1)132nn+【分析】（1）由离散型随机变量的分布列可解；（2）记nA表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”，由全概

29、率公式可求 111,22nnpp+=+再由数列知识，由递推公式求得通项公式.【详解】（1）X可能取值为1,2,3，()1232353110C Cp XC=；()213235325C Cp XC=；()3032351310C Cp XC=所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 310 35 110（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且n次传球后球在甲手中的概率为,1,2,3,np n=，则有10,p=2221,22p=3321,24p=记nA表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”，111nnnnnAAAAA+=+所以()()()11111nnnnnnnnnpP AAAAP AAP

30、AA+=+=+()()()()()()111110122nnnnnnnnnP AP AAP AP AAppp+=+=+=即111,1,2,322nnppn+=+=，所以1111323nnpp+=，且11133p=所以数列13np表示以13为首项，12为公比的等比数列，所以1111332nnp=所以1111111132332nnnp=+=即n次传球后球在甲手中的概率是11(1)132nn+.2023 届惠州一模届惠州一模 4为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套

31、餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天 8/21 继续选择面食套餐的概率为12，如此往复.（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为nP（）证明：25nP为等比数列；（）证明：当2n 时，512nP.【解析】（1）设1A=“第 1 天选择米饭套餐”，2A=“第 2 天选择米饭套餐”，则1A=“第 1 天不选择米饭套餐”，于是，()123P A=，()113P A=，()2114|P AA=，()2111122|P AA=，由全概率公式()()()()()21211212111134323|P A

32、P A P AAP A P AA=+=+=；（2）（）设nA=“第n天选择米饭套餐”，则()nnPP A=，()1nnP AP=，()14|1nnP AA+=，()11|1122nnP AA+=，()()()()()()111111111424|2|nnnnnnnnnnnPP AP AP AAP AP APPPA+=+=+=+，所以1212545nnPP+=，25nP是以124515P=为首项，14为公比的等比数列。（）12415154nnP=+，当n为大于 1 的奇数时，122412415515 4515 412nnP=+=；当n为正偶数时，124125515 4512nnP=【答案】1p表

33、示第1次传球后球在甲手中的概率，所以10p=，A 选项正确.2p表示第2次传球后球在甲手中的概率，则212p=，B 选项错误.()11012kkkppp+=+，即121kkpp+=，C 选项正确.11122kkpp+=+，1111111322323kkkppp+=+=，所以数列13kp是首项为13，公比为12的等比数列，所以所以11111111,332332kkkkpp=，20222023202211111113323323p=，D 选项错误.2024 届武汉高三九月调研届武汉高三九月调研 T16 7甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若

34、骰子点数大于 3，则甲将球传给乙，若点数不大于 3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于 4，则乙将球传给甲，若点数不大于 4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于 3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙 初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则 ；*nNnp3p=np=10/21 【答案】，【分析】结合相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，结合题意，利用列举法和分类讨论，即可求解.【详解】由题意，当投掷 3 次骰子后，球在甲手中，共有 4 中情况：甲甲甲甲，其概率为 ：甲甲乙甲，其概率为：甲乙甲甲，其概率为：甲乙丙甲，其

35、概率为 所以投掷 3 次后，球在甲手中的概率为.记当投掷次骰子后，球在甲手中的概率为，再三次投掷后，即投掷次，球仍在甲手中的概率为，则，即，即 又因为，当时，；当时，；当时，所以.2024 届届湖北湖北荆荆恩荆荆恩高三高三 9 月起点联考月起点联考21 8甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的 2 个黑球和 1 个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取112411,3,N24111,31,N224511,32,N1224kknknk kpnkknkk=+=+11112228=111122312=111123212=12112326=311111181212624p=+=3n3npnnp3333

36、33333111121111111()226223281212624nnnnnnnnnppppppppp=+=+=31124nnpp=31124nnpp=2012311115111,(),22231224pppp=+=3,Nnk k=11()24nnp=31,Nnkk=+111()224knp=32,Nnkk=+511()1224knp=11,3,N24111,31,N224511,32,N1224kknknk kpnkknkk=+=+11/21 一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有 2 个黑球的概率为，恰有 3 个黑球的概率为.(1)求；(2)设

37、，证明：；(3)求的数学期望的值.【答案】(1)，(2)证明见解析，(3)2【分析】（1）交换后甲盒有黑球，说明两个盒子相互交换 个白球或者交换 个黑球，若交换后甲盒有 黑球，说明甲给乙白球，乙给甲黑球；（2）根据全概率公式进行求解；（3）根据（2）的结论和期望公式进行求解即可.【详解】（1）由题可知：，（2）次操作后，甲盒有一个黑球的概率，由全概率公式知：，即 （3），又，即 92022 年 2 月 6 日，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足()*n nNnXnpnq11,p q2nnncpq=+11233nncc+=+nX()nE X159p=129q=211312 21 153

38、33 39p=+=11 223 39q=n(1)1nnnP Xpq=()()()()()1112121222nnnnnnnP XP XP XXP XP XX+=+=()()1323nnnP XP XX+=12521(1)1393nnnnnppqpq+=+12139nnpp+=()()()()()1113232333nnnnnnnP XP XP XXP XP XX+=+=11 2113 33nnnqpq+=+12193nnnqpq+=+11212122(2)33333nnnnnnpqpqpq+=+=+11233nncc+=+11233nncc+=+11113nncc+=（）1115222199c

39、pq=+=+=1110nncc=21nnncpq=+=()1(1)23122nnnnnnnE Xpqpqpq=+=+=12/21 (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有12的可能性扑不到球不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数 X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁 4 名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外 3 人中的 1 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外

40、3 人中的 1 人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住 记第 n次传球之前球在甲脚下的概率为np，易知121,0=pp 试证明14np为等比数列；设第 n次传球之前球在乙脚下的概率为nq，比较10p与10q的大小【答案】(1)分布列见解析，1()2E X=；(2)证明见解析；1010pq【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；（2）递推求解，记第 n 次传球之前球在甲脚下的概率为np，则当2n 时，第n1次传球之前球在甲脚下的概率为1np，满足()11111101333nnnnpppp=+=+.【详解】（1）解析 1：分布列与期望 依题意可得，门将

41、每次可以扑出点球的概率为111133326p=，门将在前三次扑出点球的个数 X可能的取值为 0，1，2，3，030315125(0)66216P XC=，12131525(1)6672P XC=，2123155(2)6672P XC=，3033151(3)66216P XC=，X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 125216 2572 572 1216 期望12525511()012321672722162E X=+=（1）解析 2：二项分布 依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为111133326p=，门将在前三次扑出点球的个数 X 可能的取值为 0，1，2，3，易知13,6XB，33

42、15()66kkkP XkC=，0,1,2,3k=X的分布列为：X 0 1 2 3 13/21 P 125216 2572 572 1216 期望11()362E X=（2）解析：递推求解 第 n 次传球之前球在甲脚下的概率为np，则当2n 时，第n1次传球之前球在甲脚下的概率为1np，第n1次传球之前球不在甲脚下的概率为11np，则()11111101333nnnnpppp=+=+，从而1111434nnpp=，又11344p=，14np是以34为首项公比为13的等比数列 由可知1311434nnp=+，91031114344p=+，故1010pq 2023济南开学考济南开学考 10甲、乙两

43、人进行抛掷骰子游戏，两人轮流地掷一枚质均匀的骰子.规定：先掷出点数 6 的获胜，游戏结束.（1）记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X 的分布列和期望；（2）已知甲先掷，求甲恰好抛掷 n 次骰子并获得胜利的概率.【解析】（1）依题意，抛掷骰子一次获胜的概率16p=，X的可能值为 1，2，3，4，1(1)6P X=，115(2)16636P X=，21125(3)166216P X=，31125(4)16216P X=所以X的分布列为：X 1 2 3 4 P 16 536 25216 125216 期望1525125671()1234636216216216E X=

44、+=；（2）设甲抛掷第n次骰子且不获胜的事件的概率为()*Nnan，156a=，当2n 时，1155256636nnnaaa=，因此数列 na是以56为首项，2536为公比的等比数列，1525636nna=，当2n 时，甲抛掷第n次骰子 14/21 且获胜的事件的概率为21151525511256663666636nnnnPa=，显然当1n=时，116P=满足上式，所以甲恰好抛n次骰子并获得胜利的概率为1125636nnP=，*Nn.2023 届届杭州二模杭州二模 11马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极

45、其广泛的应用其数学定义为：假设我们的序列状态是，2tX，1tX，tX，1tX+，那么1tX+时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态tX，即()()t 1t 2t 1tt 1t,XXXXXXPP+=.现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为 50%，且每局赌赢可以赢得 1元，每一局赌徒赌输的概率为 50%，且赌输就要输掉 1 元赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为 0 元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的 B 元，赌徒停止赌博记赌徒的本金为*(,)A ANAB，192031114344P=+，

46、故第 19 次触球者是甲的概率大.2023 届河北省衡水中学三调届河北省衡水中学三调 13学校篮球队 30 名同学按照 1，2，30 号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由 1 号传出，训练规则要求：第()128,mmmN号同学得到球后传给1m+号同学的概率为23，传给2m+号同学的概率为13，直到传到第 29 号（投篮练习）或第 30 号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知 29 号同学投篮命中的概率为13，30 号同学投篮命中的概率为67，设传球传到第()230,nnnN号的概率为nP (1)求4P的值；(2)证明：()1228nnPPn+是等比数列；(3)比较 29 号和 30 号投篮命

47、中的概率大小【详解】（1）解：依题意，篮球传到 4 号有以下三种途径：1 号传 2 号传 3 号传 4 号其概率为222833327=；16/21 1 号传 2 号传 4 号其概率为212339=；1 号传 3 号传 4 号其概率为122339=，因此482220279927P=+=（2）解：依题意篮球传到第2n号，再传给n号其概率为213nP；篮球传到第1n 号，再传给n号其概率为123nP，因此有122133nnnPPP=+，可得()11213nnnnPPPP=，且321222133339PP=+=，所以1nnPP+是首先为19，公比为13的等比数列（3）解：223P=，379P=，211

48、193nnnPP+=，()3111293nnnPPn=，431193PP=，3219PP=，由累加法，可得123211111119939393nnPP=+211121311313944313nn=+=+，所以2829311443P=+，27302811 31133 443PP=+，所以29号投篮命中的概率为2831114433+30号投篮命中的概率为2727311163111443374433+，所以 29 号投篮命中概率大于 30 号投篮命中概率 2023 届茂名一模届茂名一模 14马尔可夫链是因俄国数学家安德烈马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第1n+次状态的概率分布只跟第n次的

49、状态有关，与第1,2,3,nnn次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的 2 个红球和 1 个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行()*Nn n次操作后，记甲盒子中黑球个数为nX，甲盒中恰有 1 个黑球的概率为na，恰有 2 个黑球的概率为nb.17/21 (1)求1X的分布列；(2)求数列 na的通项公式；(3)求nX的期望.【答案】(1)答案见解析；(2)321559nna=+；(3)1 【分析】（1）由题意分析1X的可能取值为 0，1，2.分别求出概率，写出分布列；（2）由全概率公式得到11293nnaa+=+，判断出数列35na为以132

50、545a=为首项，以19为公比的等比数列即可求解；（3）利用全概率公式求出12193nnnbab+=+求出111559nnb=，进而求出()nE X.【详解】（1）（1）由题可知，1X的可能取值为 0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：()11220339P X=;()111225133339P X=+=;()12122339P X=，故1X的分布列如下表：1X 0 1 2 P 29 59 29（2）由全概率公式可知：()11nP X+=()()()()11111212nnnnnnP XP XXP XP XX+=+=()()1010nnnP XP XX+=()()()1122221121