2024年高一下学期备战期末——三角恒等变换大题综合（解析版）.pdf

《2024年高一下学期备战期末——三角恒等变换大题综合（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高一下学期备战期末——三角恒等变换大题综合（解析版）.pdf（34页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、期末专题03 三角恒等变换大题综合期末专题03 三角恒等变换大题综合1(2022(2022秋 江苏常州 高一校考期末)已知、为锐角，tan=43，cos(+)=-55.(1)求sin的值；(2)求tan-的值.2(2021(2021春 江苏盐城 高一统考期末)已知函数 f x=cos2x+3sinxcosx.(1)求 f x的最小正周期；(2)若 f x在区间上 0,m的值域为 1,32，求m的取值范围.3(2022(2022秋 江苏无锡 高一江苏省天一中学校考期末)已知的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点P-3,a.(1)若a=4，求sin 2+4的值；(2)若a=3 且

2、 0,2，求 f x=12cos2x-sin2x+的单调增区间.12024年高一下学期备战期末年高一下学期备战期末三角恒等变换大题综合（解析版）三角恒等变换大题综合（解析版）4(20222022春 江苏镇江 高一统考期末)已知sin+cossin-cos=3，0,2(1)求cos2的值；(2)若sin-=1010，且 0,2，求角5(20222022春 江苏苏州 高一校联考期末)已知角的终边与单位圆交点的横坐标为-35，cos+=-33且,2,，求下列式子的值：(1)cos2+sin 2-2sin2；(2)cos.6(20222022秋 江苏宿迁 高一泗阳县实验高级中学校考期末)已知函数 f(

3、x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1(xR).(1)求函数 f x在区间 0,2上的最大值和最小值；(2)若 f x0=65，x04,2，求cos2x0的值.27(20222022秋 江苏常州 高一校考期末)已知函数 f(x)=2 3sin x+4cos x+4+sin2x+a的最大值为1.(1)求实数a的值；(2)若将 f x的图象向右平移6个单位，得到函数g x的图象，求函数g x在区间 0，2上的最大值和最小值.8(20212021秋 江苏无锡 高一江苏省锡山高级中学校考期末)已知函数 f x=2sinxsin3-x+2cos2x-12.(1)求函数 f x的单调增区间；(2)

4、当x-6,4时，函数g x=f2x-2mf x+m2-116有四个零点，求实数m的取值范围.9(20222022秋 江苏常州 高一校考期末)计算：(1)求值4 sin67cos27-sin23cos27-tan40；(2)已知sin6+sin3-=-14，3,2，求sin2的值310(20212021秋 江苏南通 高一海门市第一中学校考期末)已知02,322,tan=13,sin=-2 55.(1)求cos(-)的值；(2)求+的值.11(20212021春 江苏南京 高一南京市第二十九中学校考期末)已知函数 f x=sinxcosx-3sin2x+32.(1)若x-3,6，求函数 f x的值

5、域；(2)设2,，若 f2-12=45，求cos的值.12(20212021春 江苏南京 高一南京市中华中学校考期末)(1)已知cos+4=12，0,2，求cos；(2)已知tan-=12，tan=-17，求tan 2-的值.413(20212021春 江苏泰州 高一统考期末)在斜三角形ABC中，已知tanBtanC=16，tanB+tanC=56.(1)求A；(2)设0 x2，若sin x+Bsin x+Ccos2x=sinA，求tanx的值.14(20212021春 江苏徐州 高一统考期末)已知tan=13,cos=55且02，322.(1)求tan2的值；(2)求+的值15(202120

6、21春 江苏盐城 高一统考期末)已知函数 f x=x2-2ax+1 aR.(1)若对任意的x 0,+，不等式 f x0恒成立，求实数a的取值范围；(2)记g x=f sinx+f cosx-2，存在x1，x2R，使得等式g x1g x2=-1成立，求实数a的取值范围.516(20222022秋 江苏苏州 高一统考期末)已知，为锐角，tan=12，cos+=-210(1)求cos2的值；(2)求-的值17(20222022秋 江苏常州 高一校考期末)已知函数 f(x)=cos2x-sin2x,xR.(1)求函数 f(x)的最大值，及取得最大值时对应所有自变量的值(用集合表示)；(2)若函数y=f

7、(x)-k在x 0,78内恰有两个零点，求实数k的取值范围.18(20222022秋 江苏无锡 高一统考期末)如图，有一条宽为60m的笔直的河道(假设河道足够长)，规划在河道内围出一块直角三角形区域(图中ABC)养殖观赏鱼，ABAC，顶点A到河两岸的距离AE=h1,AD=h2,C,B两点分别在两岸l1,l2上，设ABD=.(1)若=30，求养殖区域面积的最大值；(2)现拟沿着养殖区域ABC三边搭建观赏长廊(宽度忽略不计)，若h1=30m，求观赏长廊总长 f()的最小值.619(20222022秋 江苏无锡 高一统考期末)如图，在平面直角坐标系中，角,的始边均为x轴非负半轴，终边分别与单位圆O交

8、于A,B两点，712,1312,=12.(1)若点A的纵坐标为55，求tan(+3)的值；(2)若sinAOB=45，求cos2的值.20(20222022秋 江苏无锡 高一江苏省天一中学校考期末)如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=2，AD=1，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG，其底边EFAB，点E在半圆上，点G在线段AD上，三角形木块选EFG的面积记为S.(1)设点G到底边EF的距离为x，将S表示为x的函数S=f x；设EOC=，将S表示为的函数S=g；(2)从(1)中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点E在何处时，三角形木块EFG的面

9、积S最大？并求出该最大值.721(20222022秋 江苏无锡 高一江苏省天一中学校考期末)已知函数 f x=2cos x-3cosx+1.(1)设x-6,3，求 f x的单调递减区间；(2)若 f+12=116，12,3，求sin2的值.22(20212021春 江苏苏州 高一统考期末)如图，已知正方形ABCD的边长为2，F为AD的中点.(1)若E为AB的中点，求tanCEF的值；(2)若E为线段AB(不含端点)上的一个动点，请探究：当AE长为多少时，可使得CEF最大？823(20222022秋 江苏南京 高一统考期末)如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的

10、下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上记梯形ABCD的周长为y(1)设CAB=，将y表示成的函数；(2)求梯形ABCD周长的最大值24(20222022春 江苏镇江 高一扬中市第二高级中学校考期末)已知02，cos+4=13(1)求sin的值；(2)若-20，cos2-4=33，求-的值25(20222022春 江苏南京 高一统考期末)已知,为锐角，tan=2,sin(-)=1010(1)求cos2的值；(2)求的值926(20222022春 江苏南京 高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知，为锐角，sin-3=3 314，cos+=-1114(1)求cos的值；(2)求角27(2022

11、2022春 江苏徐州 高一统考期末)已知cos-4=13，sin+=45，其中02.(1)求sin的值；(2)求cos+4的值.28(20222022秋 江苏常州 高一校考期末)已知函数 f(x)=32asin2x+12acos2x+1.(1)当a=2时，求函数y=f(x)的图像的对称轴方程和对称中心的坐标；求函数 f(x)在 0,2上的最值；(2)若当-712x0，f(x)的最大值为2，求a的值.1029(20222022春 江苏南通 高一统考期末)由两角和差公式我们得到倍角公式cos2=2cos2-1，实际上cos3也可以表示为cos的三次多项式(1)试用cos表示cos3;(2)求sin

12、18的值;(3)已知方程4x3-3x-12=0在-1，1上有三个根，记为x1，x2，x3，求证：4x31+4x32+4x33=3230(20212021秋 江苏无锡 高一江苏省锡山高级中学校考期末)在tan=4 3，7sin2=8 3costan2=32中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.已知02，cos-=1314.(1)求sin+4的值；(2)求.11期末专题期末专题0303 三角恒等变换大题综合三角恒等变换大题综合1(20222022秋 江苏常州 高一校考期末)已知、为锐角，tan=43，cos(+)=-55.(1)求sin的值；(2)求tan-的值.【答案】(1)2 55(2

13、)-211【分析】(1)根据已知条件求出cos、sin和sin(+)，再根据sin=sin(+-)并利用两角差的正弦公式可求出结果；(2)根据(1)中的sin求出tan，再根据两角差的正切公式可求出结果.【详解】(1)因为、为锐角，所以+(0,)，因为tan=43，cos(+)=-55，所以cos=cos2=cos2sin2+cos2=1tan2+1=1169+1=35，sin=costan=3543=45，sin(+)=1-cos2(+)=1-552=2 55，所以sin=sin(+-)=sin(+)cos-cos(+)sin=2 5535-5545=2 55.(2)由(1)可知，sin=2

14、 55，又为锐角，所以cos=1-sin2=1-2 552=55，所以tan=sincos=2 5555=2，所以tan(-)=tan-tan1+tantan=43-21+432=-211.2(20212021春 江苏盐城 高一统考期末)已知函数 f x=cos2x+3sinxcosx.(1)求 f x的最小正周期；(2)若 f x在区间上 0,m的值域为 1,32，求m的取值范围.【答案】(1)；(2)6,3.【分析】(1)利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得 f x=12+sin 2x+6，从而可求得函数的最小正周期；(2)由0 xm，得62x+62m+6，由于函数的值域为 1,32，

15、结合正弦函数的性质可得22m+656，从而可求出m的取值范围【详解】(1)f x=cos2x+3sinxcosx=1+cos2x2+32sin2x，1则 f x=12+sin 2x+6，所以 f x的最小正周期为.(2)因为0 xm，62x+62m+6，所以要使得值域为 1,32，则只需要22m+656，解得6m3所以m的取值范围为6,3.3(20222022秋 江苏无锡 高一江苏省天一中学校考期末)已知的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点P-3,a.(1)若a=4，求sin 2+4的值；(2)若a=3 且 0,2，求 f x=12cos2x-sin2x+的单调增区间.【答

16、案】(1)-31 250；(2)k-512,k+12kZ.【分析】(1)根据三角函数的定义即可求sin和cos的值，再根据正弦的和角公式和二倍角公式即可求值；(2)利用三角恒等变换化简 f(x)解析式，再根据正弦型函数单调性求解即可.(1)当a=4时，sin=4-32+42=45，cos=-3-32+42=-35，sin2=2sincos=-2425，cos2=cos2-sin2=-725，sin 2+4=22sin2+cos2=-31 250；(2)tan=-33，P-3,3在第二象限，且 0,2，故=56，f x=12cos2x-56-sin2x+56=1+cos 2x-534-1-cos

17、 2x+532=14cos2xcos53+sin2xsin53+12cos2xcos53-sin2xsin53-14=38sin2x+38cos2x-14=34sin 2x+3-14，令2k-22x+32k+2k-512xk+12，kZ Z，单调递增区间为 k-512,k+12kZ.4(20222022春 江苏镇江 高一统考期末)已知sin+cossin-cos=3，0,2(1)求cos2的值；2(2)若sin-=1010，且 0,2，求角【答案】(1)-35;(2)4.【分析】(1)根据条件由同角三角函数的基本关系求出tan，再由二倍角的余弦公式转化为正切化简求值；(2)利用角的变换=-(-

18、)及两角差的正弦公式求解即可.【详解】(1)由sin+cossin-cos=3可得sin+cos=3sin-3cos，即tan=2，cos2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-41+4=-35.(2)0,2,0,2,-2-2，又sin-=1010，cos(-)=3 1010，由(1)知tan=2，0,2，sin=25=2 55,cos=15=55，sin=sin-(-)=sincos(-)-cossin(-)=2 553 1010-551010=22，又 0,2，=4.5(20222022春 江苏苏州 高一校联考期末)已知角的终边与单位圆交点的横坐标为-35，

19、cos+=-33且,2,，求下列式子的值：(1)cos2+sin 2-2sin2；(2)cos.【答案】(1)-23；(2)3 3-4 615【分析】(1)由三角函数定义得cos=-35，再由平方关系求得sin=45，利用诱导公式及倍角公式化简，代入求值即可；(2)先求出+角的范围，再由平方关系求得sin+=-63，最后由cos=cos+-结合余弦差角公式求解即可.(1)由题意知，cos=-35，又2,，则sin=1-352=45，则cos2+sin 2-2sin2=cos2-cos2sin2=sin22sincos=sin2cos=-23；(2)3易得+,2，又cos+=-33，则sin+=

20、-1-332=-63，则cos=cos+-=cos+cos+sin+sin=-33-35+-6345=3 3-4 615.6(20222022秋 江苏宿迁 高一泗阳县实验高级中学校考期末)已知函数 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1(xR).(1)求函数 f x在区间 0,2上的最大值和最小值；(2)若 f x0=65，x04,2，求cos2x0的值.【答案】(1)最大值为2，最小值为-1.(2)3-4 310【分析】(1)由二倍角公式、两角和的正弦展开式得 f x=2sin 2x+6，再利用正弦函数的单调性与范围可得答案；(2)由 f x0=65得sin 2x0+6=35，利

21、用平方关系得到cos 2x0+6，再利用cos2x0=cos2x0+6-6展开可得答案.【详解】(1)由 f x=2 3sinxcosx+2cos2x-1 xR得 f x=3sin2x+cos2x=2sin 2x+6，因为x 0,2，则2x+66,76，故当2x+6=2时，f x取最大值2；当2x+6=76时，f x取最小值-1；所以函数 f x在区间 0,2上的最大值为2，最小值为-1.(2)由(1)可知 f x0=2sin 2x0+6，又因为 f x0=65，所以sin 2x0+6=35，由x4,2，得2x0+623,76，从而cos 2x0+6=-1-sin22x0+6=-45，所以co

22、s2x0=cos2x0+6-6=cos 2x0+6cos6+sin 2x0+6sin6=3-4 310.7(20222022秋 江苏常州 高一校考期末)已知函数 f(x)=2 3sin x+4cos x+4+sin2x+a的最大值为1.(1)求实数a的值；(2)若将 f x的图象向右平移6个单位，得到函数g x的图象，求函数g x在区间 0，2上的最大值4和最小值.【答案】(1)a=-1(2)最大值1，最小值-1【分析】(1)对 f(x)化简，根据最大值得a的值；(2)由平移变换得g(x)的解析式，求在 0,2上的最值.【详解】(1)f x=2 3sin x+4cos x+4+sin2x+a=

23、3sin 2x+2+sin2x+a=3cos2x+sin2x+a=2sin 2x+3+a，因为函数 f x的最大值为1，所以 f xmax=2+a=1，解得a=-1.(2)由题意得g x=2sin 2 x-6+3-1=2sin2x-1，因为x 0，2，所以2x 0，所以当2x=2时，g x取最大值1，当2x=0或时，g x取最小值-1.8(20212021秋 江苏无锡 高一江苏省锡山高级中学校考期末)已知函数 f x=2sinxsin3-x+2cos2x-12.(1)求函数 f x的单调增区间；(2)当x-6,4时，函数g x=f2x-2mf x+m2-116有四个零点，求实数m的取值范围.【

24、答案】(1)k-512,k+12，kZ(2)2 3+14m032m0h30，即32m03-2 3m+m2-160，解得32m3m2 3-14或m2 3+14m4 3-14或m4 3+14，解得2 3+14m4 3-14，所以实数m的取值范围是2 3+14m4 3-14.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.9(

25、20222022秋 江苏常州 高一校考期末)计算：(1)求值4 sin67cos27-sin23cos27-tan40；(2)已知sin6+sin3-=-14，3,2，求sin2的值【答案】(1)3(2)12【分析】(1)利用两角和的余弦、正弦、诱导公式化简计算可得出所求代数式的值；(2)利用诱导公式、二倍角的正弦公式可求得sin 2+3的值，结合角的取值范围可求得2的值，再利用诱导公式可求得sin2的值.【详解】(1)解：原式=4 cos23cos27-sin23sin27-tan40=4cos 23+27-tan40=4cos 90-40-tan40=4sin40-tan40=4sin40

26、cos40-sin40cos40=2sin80-sin 10+30cos40=2sin 90-10-sin 10+30cos40=2cos10-12cos10-32sin10cos40=32cos10-32sin10cos40=332cos10-12sin10cos40=3 cos30cos10-sin30sin10cos406=3cos 30+10cos40=3.(2)解：原式=sin6+sin2-6+=sin6+cos6+=12sin 2+3=-14，即sin 2+3=-12，因为32，则2+343，所以，2+3=76，则2=56，因此，sin2=sin56=sin-6=sin6=12.1

27、0(20212021秋 江苏南通 高一海门市第一中学校考期末)已知02,322,tan=13,sin=-2 55.(1)求cos(-)的值；(2)求+的值.【答案】(1)210；(2)74.【分析】(1)由tan求得sin,cos，由sin求得cos，然后由两角差的余弦公式计算；(2)由两角和的正弦公式求得sin(+)后，由32+52可得+【详解】因为tan=13，所以sincos=13，又因为sin2+cos2=1，02，所以sin=1010，cos=3 1010，因为sin=-2 55，322，所以cos=1-sin2=1-2 552=55.(1)cos(-)=coscos+sinsin=

28、3 101055+1010-2 55=210.(2)因为sin(+)=sincos+cossin=101055+3 1010-2 55=-22.因为02，322，所以32+52，所以+=74【点睛】方法点睛：本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查同角间的三角函数关系，求角求值解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，以便选用恰当的公式求值在求角，一般先确定出这个角的范围，在这个范围内选三角函数值是一对一的函数求得这个三角函数值，然后得角，如果不能直接得出一对一的函数，常常需要由已知或已求出的三角函数值缩小角的范围，从而得出角11(20212021春 江苏南京 高一南京市第二十九中学校考期末

29、)已知函数 f x=sinxcosx-3sin2x+32.(1)若x-3,6，求函数 f x的值域；(2)设2,，若 f2-12=45，求cos的值.【答案】(1)-32,1 ；(2)cos=4-3 310.【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为 f x=sin 2x+3，由x-3,6可求得2x+73的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数 f x的值域；(2)由已知条件求得sin+6=45，利用同角三角函数的基本关系求得cos+6的值，再利用两角差的余弦公式可求得cos的值.【详解】(1)f x=sinxcosx-3sin2x+32=12sin2x-321-cos2x+32=1

30、2sin2x+32cos2x=sin 2x+3，x-3,6，-32x+323，则-32sin 2x+31，所以函数 f x在-3,6上的值域为-32,1 ；(2)f2-12=sin 22-12+3=sin+6=45，2,，则23+676，所以，cos+6=-1-sin2+6=-35，因此，cos=cos+6-6=32cos+6+12sin+6=4-3 310.12(20212021春 江苏南京 高一南京市中华中学校考期末)(1)已知cos+4=12，0,2，求cos；(2)已知tan-=12，tan=-17，求tan 2-的值.【答案】(1)2+64；(2)1.【分析】(1)利用角的变换cos

31、=cos+4-4，再利用两角差的余弦公式求解；(2)先求tan 2-2，再利用角的变换tan 2-=tan 2-2+求解.【详解】(1)cos+4=12，0,2，+44,34，sin+4=32，cos=cos+4-4=1222+3222=2+64(2)tan 2-2=2121-122=43，tan 2-=tan 2-2+=43-171+4317=1.13(20212021春 江苏泰州 高一统考期末)在斜三角形ABC中，已知tanBtanC=16，tanB+tanC=56.(1)求A；(2)设0 x2，若sin x+Bsin x+Ccos2x=sinA，求tanx的值.8【答案】(1)A=34；

32、(2)tanx=12.【分析】(1)由于tanA=tan-B-C=-tan B+C=-tanB+tanC1-tanBtanC，求出其值，从而可求出角A；(2)由sin x+Bsin x+Ccos2x=sinA化简得cosBcosCtan2x+sin B+Ctanx+sinBsinC=sinA，由A=34，tanBtanC=16，tanB+tanC=56可求得cosBcosC=3 25，sinBsinC=210，代入化简得6tan2x+5tanx-4=0，从而可求得结果【详解】解：(1)在斜三角形ABC中，A+B+C=，tanA=tan-B-C=-tan B+C=-tanB+tanC1-tanB

33、tanC=-1.又0A，所以A=34.(2)由sin x+Bsin x+Ccos2x=sinA，得sinxcosB+cosxsinBsinxcosC+cosxsinCcos2x=sinA，即cosBcosCtan2x+sin B+Ctanx+sinBsinC=sinA().由(1)知A=34，所以sin B+C=sin4=22.由tanB+tanC=56，得sinBcosC+cosBsinCcosBcosC=56，即sin B+C=56cosBcosC，所以cosBcosC=3 25.由cos B+C=cos4，得cosBcosC-sinBsinC=22，所以sinBsinC=210.所以式可

34、化为6tan2x+5tanx-4=0，解得tanx=-43或tanx=12.因为0 x2，所以tanx=12.14(20212021春 江苏徐州 高一统考期末)已知tan=13,cos=55且02，322.(1)求tan2的值；(2)求+的值【答案】(1)34；(2)+=74【分析】(1)由代入正切函数的二倍角公式即可求解；(2)求出tan，利用两角和的正切函数公式可得答案.【详解】(1)因为tan=13，所以tan2=2tan1-tan2=2131-132=34(2)因为cos=55,322，9所以sin=-1-cos2=-1-552=-2 55，所以tan=sincos=-2 5555=-

35、2，所以tan+=tan+tan1-tantan=13-21-13-2=-1，因为02,322，所以32+52，所以+=7415(20212021春 江苏盐城 高一统考期末)已知函数 f x=x2-2ax+1 aR.(1)若对任意的x 0,+，不等式 f x0恒成立，求实数a的取值范围；(2)记g x=f sinx+f cosx-2，存在x1，x2R，使得等式g x1g x2=-1成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)-,1；(2)-,-1212,+.【分析】(1)依题意，可得x2+1x2a恒成立，再结合基本不等式即可得解；(2)先化简g(x)=1-2 2asin x+4，然后分类讨论即可得

36、出结论【详解】(1)对于任意的正实数x，不等式恒成立，x2+12ax即x2+1x2a恒成立，又由基本不等式x2+1x=x+1x2x1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时取等号，所以a1，即a的取值范围是-,1.(2)由已知g x=f sinx+f cosx-2，且 f x=x2-2ax+1所以g x=sin2x-2asinx+1+cos2x-2acosx+1-2所以g x=1-2a sinx+cosx=1-2 2asin x+4，若a=0，则g x=1恒成立，故g x1g x2=-1与条件矛盾；若a0，则g x 1-2 2 a,1+2 2 a，故存在x1，x2，使得g x1g x2=-1，则有

37、 1-2 2 a 1+2 2 a-1，即1-8a2-1所以a214，解得a12或a-12所以a的取值范围是-,-1212,+.16(20222022秋 江苏苏州 高一统考期末)已知，为锐角，tan=12，cos+=-210(1)求cos2的值；(2)求-的值【答案】(1)cos2=35；(2)-=-4.10【分析】(1)由于cos2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2，所以代值求解即可；(2)由cos+=-210求出sin+的值，从而可求出tan+的值，而tan-=tan 2-+=tan2-tan+1+tan2tan+，进而可求得结果【详解】(1)cos2=cos2

38、-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-141+14=35(2)因为，为锐角，所以+0，-2，2，又cos+=-210，所以sin+=1-cos2+=1-2102=7 210，tan+=sin+cos+=7 210-210=-7，又tan2=2tan1-tan2=43，所以tan-=tan 2-+=tan2-tan+1+tan2tan+=43+71-437=-1因为-2，2，所以-=-4.17(20222022秋 江苏常州 高一校考期末)已知函数 f(x)=cos2x-sin2x,xR.(1)求函数 f(x)的最大值，及取得最大值时对应所有自变量的值(用集合表示)；(2)若

39、函数y=f(x)-k在x 0,78内恰有两个零点，求实数k的取值范围.【答案】(1)2，xx=-8+k,kZ (2)-2,1【分析】(1)先利用辅助角公式化简 f x，再结合余弦函数的性质求解即可；(2)先结合余弦函数的性质分析 f x的图像，再将问题转化为 f x与y=k的交点问题，结合图像即可得解.【详解】(1)因为 f x=cos2x-sin2x=2cos 2x+4，且xR R，所以 f x的最大值为2，此时2x+4=2k,kZ，即x=-8+k,kZ，故 f x取得最大值时x的取值集合为 xx=-8+k,kZ .(2)因为x 0,78，所以2x+44,2，所以当2x+4=2，即x=78时

40、，f x取得最大值2，当2x+4=，即x=38时，f x取得最小值-2，11且 f 0=2cos4=1，所以结合余弦函数的性质易得 f x在 0,38上单调递减，在38,78上单调递增，因为函数y=f x-k在x 0,78内恰有两个零点，所以 f x与y=k在 0,78上的图像恰有两个交点，作出 f x与y=k的图像如图，.所以k-2,1.18(20222022秋 江苏无锡 高一统考期末)如图，有一条宽为60m的笔直的河道(假设河道足够长)，规划在河道内围出一块直角三角形区域(图中ABC)养殖观赏鱼，ABAC，顶点A到河两岸的距离AE=h1,AD=h2,C,B两点分别在两岸l1,l2上，设AB

41、D=.(1)若=30，求养殖区域面积的最大值；(2)现拟沿着养殖区域ABC三边搭建观赏长廊(宽度忽略不计)，若h1=30m，求观赏长廊总长 f()的最小值.【答案】(1)600 3m2；(2)60(2+1)m.【分析】(1)由题可得SABC=23h1h2，再利用基本不等式即得；(2)由题可知 f()=30sin+cos+1sincos，利用同角关系式可转化为y=60t-1，然后利用函数的单调性即求.【详解】(1)当=30时，AB=h2sin=2h2,AC=h1cos=23h1，所以SABC=12ABAC=23h1h2，又因为h1+h2=602 h1h2(当且仅当h1=h2=30时等号成立)，所

42、以h1h2900，12于是SABC=23h1h2600 3，因此，养殖区域面积的最大值为600 3m2.(2)由题意，AB=30sin,AC=30cos，所以BC=30sin2+30cos2=301sin2+1cos2=30sincos，所以ABC的周长 f()=301sin+1cos+1sincos=30sin+cos+1sincos，其中 0,2.设t=sin+cos，则t=sin+cos=2sin+4(1,2，所以sincos=t2-12.所以y=30t+1t2-12=60t-1，t(1,2于是当t=2 时，ymin=602-1=60(2+1)，即 f()min=60(2+1)，因此，观

43、赏长廊总长的最小值为60(2+1)m.19(20222022秋 江苏无锡 高一统考期末)如图，在平面直角坐标系中，角,的始边均为x轴非负半轴，终边分别与单位圆O交于A,B两点，712,1312,=12.(1)若点A的纵坐标为55，求tan(+3)的值；(2)若sinAOB=45，求cos2的值.【答案】(1)13(2)24-7 350【分析】(1)根据三角函数的定义求得sin，然后求得cos,tan，进而求得tan(+3).(2)求得sin-,cos-，进而求得sin 2-6,cos 2-6，进而求得cos2.(1)由三角函数定义可知sin=55，13又712,1312，所以cos=-1-si

44、n2=-2 55，所以tan=sincos=-12，所以tan(+3)=tan+4=-12+11-121=13.(2)因为sinAOB=sin(-)=45，由712,1312得-122,，所以cos-12=-1-sin2-12=-35，所以sin 2-6=2sin-12cos-12=-2425，cos 2-6=2cos2-12-1=-725，所以cos2=cos2-6+6=cos 2-6cos6-sin 2-6sin6=24-7 350.20(20222022秋 江苏无锡 高一江苏省天一中学校考期末)如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=2，AD=

45、1，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG，其底边EFAB，点E在半圆上，点G在线段AD上，三角形木块选EFG的面积记为S.(1)设点G到底边EF的距离为x，将S表示为x的函数S=f x；设EOC=，将S表示为的函数S=g；(2)从(1)中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点E在何处时，三角形木块EFG的面积S最大？并求出该最大值.【答案】(1)S=f x=2x-x2+1x2，(0 x2)；S=g=121+sincos+sin+cos，(0).(2)E位于半圆上，且COE=4时，三角形木块EFG的面积S=3+2 24最大.【详解】(1)14设CDEF=Q，则 DQ=x(0 x2)，所以 OQ=

46、x-1,EQ=1-x-12,EF=EQ+1=1-x-12+1,所以S=f x=12 EF DQ=2x-x2+1x2，(0 x2).即S=f x=2x-x2+1x2，(0 x2).设CDEF=Q，设EOC=，(0)，所以 OQ=cos,EQ=sin,EF=EQ+1=sin+1,DQ=OQ+1=cos+1所以S=12 EF DQ=121+sin1+cos，(0).所以S=g=121+sincos+sin+cos，(0).(2)选择函数：S=g=121+sincos+sin+cos.令t=sin+cos=2 sin+4-1,2，则S=121+t+t2-12=t+124，在-1,2上单调递增，所以当t

47、=2，即=4时，S=3+2 24最大.此时E位于半圆上，且COE=4.21(20222022秋 江苏无锡 高一江苏省天一中学校考期末)已知函数 f x=2cos x-3cosx+1.(1)设x-6,3，求 f x的单调递减区间；(2)若 f+12=116，12,3，求sin2的值.【答案】(1)6,3(2)1+2 66【分析】(1)利用两角和、差的余弦公式和正弦公式将 f x=2cos x-3cosx+1化为只含有一个三角函数的形式，根据正弦函数的性质求得答案；(2)根据 f+12=116求得sin 2+3=13，结合12,3，求得cos 2+3=-2 23，再利用拆角的方法求得答案.(1)f

48、 x=2cos x-3cosx+1=cos2x+3sinxcosx+1=32sin2x+12cos2x+32=sin 2x+6+32;当x-6,3时，2x+6-6,56，当 2x+62,56即x6,3时，f x单调递减，15故 f x的单调递减区间为6,3；(2)f+12=116，即sin 2+3=13，12,3,2+32,，故cos 2+3=-2 23，所以sin2=sin2+3-3=1312+2 2332=1+2 66.22(20212021春 江苏苏州 高一统考期末)如图，已知正方形ABCD的边长为2，F为AD的中点.(1)若E为AB的中点，求tanCEF的值；(2)若E为线段AB(不含

49、端点)上的一个动点，请探究：当AE长为多少时，可使得CEF最大？【答案】(1)3；(2)AE=10-2.【分析】(1)设AEF=,BEC=，依题意可得=4，tan=2，利用两角和的正切公式即可得到tan(+)，则tanCEF=tan-(+)，利用诱导公式计算可得；(2)设AE=x，则tan=1x，tan=22-x，即可表示tanCEF，令t=x+2，则tanCEF=1t+10t-6，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：设AEF=,BEC=,0,2.(1)因为正方形ABCD的边长为2，且E，F分别是AB,AD的中点所以AE=AF=BE=1，所以=4，所以tan=1.又因为BC=2，所以tan=

50、2.所以tan(+)=tan+tan1-tantan=1+21-12=-3.所以tanCEF=tan-(+)=-tan(+)=3.(2)设AE=x，其中0 x2，则在直角三角形AEF中，tan=AFAE=1x；在直角三角形BEC中，tan=BCBE=22-x.所以tanCEF=tan-(+)=-tan(+)=-tan+tan1-tantan16=-1x+22-x1-2x(2-x)=x+2x2-2x+2，其中0 x2.令t=x+2，则x=t-2，其中2t4，所以tanCEF=tt2-6t+10=1t+10t-6.因为2t4,t+10t-62 10-6.(当且仅当t=10 时，即x=10-2时，等