2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题（解析版）.pdf

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1、圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题一、一、考情分析圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点,探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直线或结果是否为定值,求解时一般是先假设结论存在,再进行推导,有时也会出现探索曲线位置关系的试题,结构不良问题时,兼顾开放性与公平性,形式不固化,问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多种评价解决方法的标准等特征,选择不同的条件,解题的难度是有所不同的,能较好地考查学生分析问题解决问题的能力.二、二、解题秘籍(一)解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法(一)解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方

2、法1.1.解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法2.2.存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法

3、也是求解存在性问题常用的方法3.3.结构不良问题的主要特征有：问题条件或数据部分缺失或冗余；问题目标界定不明确；具有多种解决方法、途径；具有多种评价解决方法的标准；所涉及的概念、规则和原理等不确定1 1(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1经过点 2,-3,两条渐近线的夹角为60,直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线C的方程.(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2,是否存在x轴上的定点M m,0,使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在,求实数m的值；若不

4、存在,请说明理由.12024年高考数学专项复习圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题（解析版）2 2(20232023届云南省师范大学附属中学高三上学期月考届云南省师范大学附属中学高三上学期月考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(ba0)的右焦点为F c,0,从虚轴长为2 3；离心率为2；双曲线C的两条渐近线夹角为60中选取两个作为条件,求解下面的问题.(1)求C的方程；(2)过点F的直线l与双曲线C的左 右两支分别交于A,B两点,O为坐标原点,记AOB,FOB面积分别为S1,S2,若S1S2=3+1,求直线l的方程.(注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.)(二二)是否存在型探

5、索性问题是否存在型探索性问题求解此类问题一般是先假设存在,再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.3 3(20222022届天津市南开中学届天津市南开中学2 2高三上学期检测高三上学期检测)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,且F2也是抛物线E：y2=4x的焦点,P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点,且 PF2=53(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=k x-1与椭圆C交于R,S两点,问是否在x轴上存在一点T,使得当k变动时,总有OTS=OTR？说明理由2(三三)探索直线是否过定点探索直线是否过定点求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程y=kx+t,然后

6、根据已知条件确定k,t的关系式,再判断直线是否过定点.4 4(20222022届北京市房山区高三上学期期末届北京市房山区高三上学期期末)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,A,B分别为椭圆E的上、下顶点,且 AB=2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线l与椭圆E交于M,N(不与点A,B重合)两点,若直线AM与直线AN的斜率之和为2,判断直线l是否经过定点？若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由.(四四)探索结果是否为定值探索结果是否为定值此类问题一般是把所给式子用点的坐标或其他参数表示,再结合韦达定理或已知条件进行化简,判断化简的结果是否为定值.5 5(202220

7、22 届云南省三校高三联考届云南省三校高三联考)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)过点Aa3,a3,B2,32(1)求椭圆E的方程；(2)点Q x0,y0是单位圆x2+y2=1上的任意一点,设P,M,N是椭圆E上异于顶点的三点且满足OP=x0OM+y0ON 探讨OM 2+ON 2是否为定值？若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由36 6(20222022届天津市耀华中学高三上学期月考届天津市耀华中学高三上学期月考)已知O为坐标原点,双曲线C1:y2a21-x2b21=1 a10,b10和椭圆C2:x2a22+y2b22=1 a2b20均过点 T

8、1,2 33且以C1的两个顶点和 C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形(1)求C1,C2的方程；(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA+OB|=|AB|？证明你的结论；(3)椭圆C2的右顶点为Q,过椭圆C2右焦点的直线l1与C2交于M、N两点,M关于x轴的对称点为S,直线SN与x轴交于点P,MOQ,MPQ的面积分别为S1,S2,问S1S2是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由4(六六)探索直线与圆锥曲线的位置关系探索直线与圆锥曲线的位置关系探索直线与圆的位置关系一般根据圆心到直线距离与圆的半径的大小进行判断,探索直线与椭圆、双曲线、

9、抛物线的位置关系一般根据判别式.7 7已知定理：如果二次曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0与直线mx+ny+q=0(q0)有两个公共点P、Q,O是坐标原点,则OPOQ的充要条件是(A+C)q2-(mD+nE)q+(m2+n2)F=0.(1)试根据上述定理,写出直线l:x+2y-3=0与圆C:x2+y2+x-6y+c=0相交于P,Q,坐标原点为O,且OPOQ的充要条件,并求c的值；(2)若椭圆x2a2+y2b2=1与直线mx+ny+q=0相交两点P、Q,而且OPQQ,试判断直线PQ与圆x2+y2=11a2+1b2的位置关系,并说明理由.5(七七)探索类比问题探索类比问题此类问题多是椭圆与双曲

10、线的类比8 8设F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a0,b0)的左、右两个焦点(1)若椭圆C上的点A 1,32到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程；(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值试对双曲线x2a2-y2b2=1写出具有类似特性的性质,并加以证明6(八八)不良结构问题不良结构问题近年不良结构问题,通常是要求学生从备选条件中选择部分条件解题,选择不同的

11、条件,所用知识可能不同,难易程度也可能不同.9 9在 PF=x0+1,y0=2x0=2,PF x 轴时,PF=2 这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答问题：已知抛物线C:y2=2px p0的焦点为F,点P x0,y0在抛物线C上,且(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l:x-y-2=0与抛物线C交于A,B两点,求ABF的面积7三、三、跟踪检测1(20232023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测)已知动圆C经过点F 1,0,且与直线x=-1相切,记动圆C圆心的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)已知P 4,y0y00是曲线E上一点

12、,A,B是曲线E上异于点P的两个动点,设直线PAPB的倾斜角分别为,且+=34,请问：直线AB是否经过定点？若是,请求出该定点,若不是,请说明理由.2(20232023届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中)已知圆O：x2+y2=16,点A(6,0),点B为圆O上的动点,线段AB的中点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)设T(2,0),过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点(i)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点,求四边形EGFH面积的最大值；(ii)设曲线C与x轴交于P、Q两点,直线PE与直线QF相交于点N,试讨论点N是否在定直线

13、上,若是,求出该直线方程；若不是,说明理由83(20232023届上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中届上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中)己知双曲线C:x2-y2=1,过点T(t,0)作直线l和曲线C交于A,B两点.(1)求双曲线C的焦点和它的渐近线；(2)若t=0,点A在第一象限,AHx轴,垂足为H,连结BH,求直线BH斜率的取值范围；(3)过点T作另一条直线m,m和曲线C交于E,F两点.问是否存在实数t,使得AB EF=0和 AB=EF 同时成立.如果存在,求出满足条件的实数t的取值集合；如果不存在,请说明理由.4(20232023届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟

14、学校高三上学期期中联考届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中联考)设点P为圆C:x2+y2=4上的动点,过点P作x轴垂线,垂足为点Q,动点M满足2MQ=3PQ(点P、Q不重合)(1)求动点M的轨迹方程E；(2)若过点T 4,0的动直线与轨迹E交于A、B两点,定点N为 1,32,直线NA的斜率为k1,直线NB的斜率为k2,试判断k1+k2是否为定值若是,求出该定值；若不是,请说明理由95(20232023届湖南省郴州市高三上学期教学质量监测届湖南省郴州市高三上学期教学质量监测)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为22,过坐标原点O的直线交椭圆E于P,A两点,

15、其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC.当C为椭圆的右焦点时,PAC的面积为2.(1)求椭圆E的方程；(2)若B为AC的延长线与椭圆E的交点,试问：APB是否为定值,若是,求出这个定值；若不是,说明理由.6(20232023届云南省部分重点中学高三上学期届云南省部分重点中学高三上学期1010月份月考月份月考)已知抛物线C：y2=2px p0的焦点为F,点D x0,2在抛物线C上,且 DF=2(1)求抛物线C的标准方程(2)直线l：x=my+t与抛物线C交于A,B两点,点P-4,0,若APO=BPO(O为坐标原点),直线l是否恒过点M？若是,求出定点M的坐标；若不是,请说明理由1

16、07(20232023届上海市高桥中学高三上学期届上海市高桥中学高三上学期9 9月月考月月考)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,动点G到F1-3,0,F23,0的两点的距离之和为4(1)试判断动点G的轨迹是什么曲线,并求其轨迹方程C(2)已知直线y=k x-3k0与圆F2:x-32+y2=14交于M、N两点,与曲线C交于P、Q两点,其中M、P在第一象限,d为原点O到直线l的距离,是否存在实数k,使得T=NQ-MP2d2取得最大值,若存在,求出k和最大值；若不存在,说明理由8(20222022届广东省潮州市高三上学期期末届广东省潮州市高三上学期期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的

17、离心率为63,以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x-2y+6=0相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A,B为动直线y=k(x-2)(k0)与椭圆C的两个交点,问：在x轴上是否存在定点E,使得EA2+EA AB 为定值？若存在,试求出点E的坐标和定值；若不存在,请说明理由119(20222022届河北省深州市高三上学期期末届河北省深州市高三上学期期末)已知抛物线C:y2=4x,点F为C的焦点,过F的直线l交C于A,B两点(1)设A,B在C的准线上的射影分别为P,Q,线段PQ的中点为R,证明：ARFQ；(2)在x轴上是否存在一点T,使得直线AT,BT的斜率之和为定值？若存在,

18、求出点T的坐标；若不存在,请说明理由10已知椭圆E:y2a2+x2=1 a1的离心率为32,圆A:x2+y-a2=r2r0与椭圆E相交于B,C两点.(1)求AB AC 的最小值；(2)若F1,F2分别是椭圆E的上、下焦点,经过点F1的直线l与椭圆E交于M,N两点,O为坐标原点,则OF2N与OF2M的面积之和是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及此时直线l的方程；若不存在,请说明理由.1211(20222022届北京一六一中学高三届北京一六一中学高三1212月测试月测试)已知椭圆C:x2m+y22=1(m2)上一点与椭圆C的两个焦点构成的三角形周长为4 2+2 6(1)求椭圆C的方程；(2)过

19、点P(2,1)作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上),点A关于l的对称点为A,直线AP与C交于另一点B设O为原点,判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由12(20232023届海交通大学附属中学届海交通大学附属中学20232023届高三上学期届高三上学期1010月月考月月考)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0的右焦点为F 2,0,渐近线方程为y=3x,过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.(1)求C的方程；(2)若直线AB的斜率为1,求线段AB的中点坐标；(3)点P x1,y1、Q x2,y2在C上,且x1x20,y10.过P且斜率为

20、-3 的直线与过Q且斜率为3 的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.M在AB上；PQAB；|MA|=|MB|.1313已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为12,点 1,32在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的两条切线交于点M(4,t),其中tR,切点分别是A、B,试利用结论：在椭圆x2a2+y2b2=1上的点 x0,y0处的椭圆切线方程是x0 xa2+y0yb2=1,证明直线AB恒过椭圆的右焦点F2；(3)试探究1AF2+1BF2的值是否恒为常数,若是,求出此常数；若不是,请说明理由14(20232023届四川省成都市高三上学期月考届四川省成都

21、市高三上学期月考)如图所示,已知A,B两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线AP,BP 的交点为P,且它们的斜率之积-14(1)求点P的轨迹E的方程;(2)设点C为x轴上(不同于A,B)一定点,若过点P的动直线与E的交点为Q,直线PQ与 直线x=-2和直线x=2分别交于M,N两点,当ACM=ACN时,请比较ACP与ACQ大小并说明理由1415(20232023届广东省佛山市南海区三水区高三上学期届广东省佛山市南海区三水区高三上学期8 8月摸底月摸底)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线:x2=2py(p0)的焦点为F,抛物线上不同两点M,N同时满足下列三个条件中的两个：|FM|+|

22、FN|=|MN|；|OM|=|ON|=|MN|=8 6；直线MN的方程为y=6p(1)请分析说明两点M,N满足的是哪两个条件？并求抛物线的标准方程；(2)过抛物线的焦点F的两条倾斜角互补的直线AB和CD交抛物线于A,B,C,D,且A,C两点在直线BD的下方,求证：直线AD,BC的倾斜角互补并求直线AD,BC的交点坐标15圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题一、一、考情分析圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点,探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直线或结果是否为定值,求解时一般是先假设结论存在,再进行推导,有时也会出现探索曲线位置关系的试题,

23、结构不良问题时,兼顾开放性与公平性,形式不固化,问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多种评价解决方法的标准等特征,选择不同的条件,解题的难度是有所不同的,能较好地考查学生分析问题解决问题的能力.二、二、解题秘籍(一一)解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法1.1.解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取

24、另外合适的方法2.2.存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法3.3.结构不良问题的主要特征有：问题条件或数据部分缺失或冗余；问题目标界定不明确；具有多种解决方法、途径；具有多种评价解决方法的标准；所涉及的概念、规则和原理等不确定1 1(20232023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期届江西省赣州厚德

25、外国语学校、丰城中学高三上学期1010月联考月联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1经过点 2,-3,两条渐近线的夹角为60,直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线C的方程.(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2,是否存在x轴上的定点M m,0,使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在,求实数m的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)两条渐近线的夹角为60,渐近线的斜率ba=3 或33,即b=3a或b=33a；当b=3a时,由4a2-9b2=1得：a2=1,b2=3,双曲线C的方程为：x2-y23=1；当b=33a时,方程4a2-9b2=1无解；综上所述：双曲线C的方程为：x2-y2

26、3=1.(2)由题意得：F22,0,假设存在定点M m,0满足题意,则MA MB=0恒成立；1方法一：当直线l斜率存在时,设l:y=k x-2,A x1,y1,B x2,y2,由y=k x-2x2-y23=1 得：3-k2x2+4k2x-4k2+3=0,3-k20=36 1+k20,x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3,MA MB=x1-mx2-m+y1y2=x1x2-m x1+x2+m2+k2x1x2-2 x1+x2+4=1+k2x1x2-2k2+mx1+x2+m2+4k2=4k2+31+k2k2-3-4k22k2+mk2-3+m2+4k2=0,4k2+31+k2-4k2

27、2k2+m+m2+4k2k2-3=0,整理可得：k2m2-4m-5+3-3m2=0,由m2-4m-5=03-3m2=0 得：m=-1；当m=-1时,MA MB=0恒成立；当直线l斜率不存在时,l:x=2,则A 2,3,B 2,-3,当M-1,0时,MA=3,3,MB=3,-3,MA MB=0成立；综上所述：存在M-1,0,使得以线段AB为直径的圆恒过M点.方法二：当直线l斜率为0时,l:y=0,则A-1,0,B 1,0,M m,0,MA=-1-m,0,MB=1-m,0,MA MB=m2-1=0,解得：m=1；当直线l斜率不为0时,设l:x=ty+2,A x1,y1,B x2,y2,由x=ty+

28、2x2-y23=1 得：3t2-1y2+12ty+9=0,3t2-10=12 3t2+30,y1+y2=-12t3t2-1,y1y2=93t2-1,MA MB=x1-mx2-m+y1y2=x1x2-m x1+x2+m2+y1y2=ty1+2ty2+2-m ty1+2+ty2+2+m2+y1y2=t2+1y1y2+2t-mty1+y2+4-4m+m2=9 t2+13t2-1-12t 2t-mt3t2-1+4-4m+m2=12m-15t2+93t2-1+2-m2=0；当12m-153=9-1,即m=-1时,MA MB=0成立；综上所述：存在M-1,0,使得以线段AB为直径的圆恒过M点.2 2(20

29、232023届云南省师范大学附属中学高三上学期月考届云南省师范大学附属中学高三上学期月考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(ba0)的右焦点为F c,0,从虚轴长为2 3；离心率为2；双曲线C的两条渐近线夹角为60中选取两个作为条件,求解下面的问题.(1)求C的方程；(2)过点F的直线l与双曲线C的左 右两支分别交于A,B两点,O为坐标原点,记AOB,FOB面积分别为S1,S2,若S1S2=3+1,求直线l的方程.(注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.)2【解析】(1)若选,可知c2=a2+b2，ca=2，2b=2 3，解得a=1，b=3，c=2，C的方程为x2-y23=1.

30、若选,因为ba,ba=3，2b=2 3，a=1，b=3，C的方程为x2-y23=1.若选,设递增的渐近线的倾斜角为,可知ca=2，=60，a2+b2=c2则ca=2，ba=tan=tan60，a2+b2=c2此时无法确定a,b,c(2)F(2，0),由题意知,直线l斜率不为0,设直线l：x=ty+2.由x=ty+2，x2-y23=1，得(3t2-1)y2+12ty+9=0,设A(x1，y1)，B(x2，y2),|y1|y2|,则可知3t2-10且0恒成立,y1+y2=-12t3t2-1，y1y2=93t2-1,y1y20,t33.SAOBSBOF=SAOF-SBOFSBOF=SAOFSBOF-

31、1=|y1|y2|-1=3+1,y1y2=2+3.由(y1+y2)2-2y1y2y1y2=10t2+23t2-1,得y1y2+y2y1=10t2+23t2-1,10t2+23t2-1=4,t=3,满足t33.直线l的方程为y=33x-2 33或y=-33x+2 33.(二二)是否存在型探索性问题是否存在型探索性问题求解此类问题一般是先假设存在,再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.3 3(20222022届天津市南开中学届天津市南开中学2 2高三上学期检测高三上学期检测)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,且F2也是抛物线E：y2=4x的焦点,P为椭圆C

32、与抛物线E在第一象限的交点,且 PF2=53(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=k x-1与椭圆C交于R,S两点,问是否在x轴上存在一点T,使得当k变动时,总有OTS=OTR？说明理由【解析】(1)F2也是抛物线E：y2=4x的焦点,F21，0,c=1,且抛物线的准线方程为x=-1,设点P x0，y0,PF2=53,x0+1=53,x0=23,y0=2 23=2 63,49a2+83b2=1,3a2-b2=c2=1,解得a2=4,b2=3,椭圆方程为x24+y23=1；(2)假设存在T t，0满足OTS=OTR.设R x1，y1,S x2，y2,联立y=k x-13x2+4y2=12,消y整

33、理得 3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0,由韦达定理有x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,其中0恒成立,由OTS=OTR(显然TS,TR的斜率存在),故kTS+kTR=0,即y1x1-t+y2x2-t=0,由R,S两点在直线y=k x-1上,故y1=k x1-1,y2=k x2-1,代入整理有2x1x2-t+1x1+x2+2t=0,将代入即有：6t-243+4k2=0,要使得与k的取值无关,当且仅当“t=4“时成立,综上所述存在T 4，0,使得当k变化时,总有OTS=OTR(三三)探索直线是否过定点探索直线是否过定点求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程y=

34、kx+t,然后根据已知条件确定k,t的关系式,再判断直线是否过定点.4 4(20222022届北京市房山区高三上学期期末届北京市房山区高三上学期期末)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,A,B分别为椭圆E的上、下顶点,且 AB=2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线l与椭圆E交于M,N(不与点A,B重合)两点,若直线AM与直线AN的斜率之和为2,判断直线l是否经过定点？若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由.【解析】(1)由离心率为32,可得ca=32因为A,B为椭圆的上、下顶点,且 AB=2,所以2b=2即b=1,又a2=b2+c2解得：a=2所以椭圆E的标准方程

35、为x24+y2=1(2)直线l经过定点-1,-1,证明如下：当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+t,(t1),由y=kx+tx24+y2=1,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,则=(8kt)2-4(1+4k2)(4t2-4)0得：t24k2+1设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=-8kt1+4k2,x1x2=4t2-41+4k2,则kAM+kAN=y1-1x1+y2-1x2=2kx1x2+(t-1)(x1+x2)x1x2=8k(t-1)4(t+1)(t-1)=24所以t=k-1,经检验,可满足t2 b 0)过点Aa3,a3,B2,32(1)求椭圆E的方程；(2)点

36、Q x0,y0是单位圆x2+y2=1上的任意一点,设P,M,N是椭圆E上异于顶点的三点且满足OP=x0OM+y0ON 探讨OM 2+ON 2是否为定值？若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由【解析】(1)因为点Aa3,a3,B2,32在椭圆上,所以2a2+34b2=1a29a2+a29b2=1,解得b2=1,a2=8,所以椭圆方程为x28+y2=1(2)令M x1,y1,N x2,y2,则P x0 x1+y0 x2,x0y1+y0y2,所以x0 x1+y0 x228+x0y1+y0y22=1,即x218+y21x20+x228+y22y20+2x0y0 x1x28+2x0y0y1y2=1

37、又x218+y21=1,x228+y22=1,x20+y20=1,所以2x0y0 x1x28+2x0y0y1y2=0,即y1y2x1x2=-18,所以 y1y22=-18x1x22=18x2118x22=1-y211-y22=1-y21+y22+y21y22,即y21+y22=1,又x218+y21=1,x228+y22=1,所以x12+x22=8,所以OM 2+ON 2=x21+x22+y21+y22=9,故OM 2+ON 2为定值96 6(20222022届天津市耀华中学高三上学期月考届天津市耀华中学高三上学期月考)已知O为坐标原点,双曲线C1:y2a21-x2b21=1 a10,b10和

38、椭圆C2:x2a22+y2b22=1 a2b20均过点 T 1,2 33且以C1的两个顶点和 C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形5(1)求C1,C2的方程；(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA+OB|=|AB|？证明你的结论；(3)椭圆C2的右顶点为Q,过椭圆C2右焦点的直线l1与C2交于M、N两点,M关于x轴的对称点为S,直线SN与x轴交于点P,MOQ,MPQ的面积分别为S1,S2,问S1S2是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由【解析】(1)根据题意：43a21-1b21=1,1a22+43b22=1,以C1的两个顶点和C2

39、的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形,边长为2故a1=1,c2=1,故a22=b22+1,代入计算得到b1=3,a2=3,b2=2,故C1:y2-x23=1,C2:x23+y22=1.(2)假设存在直线方程满足条件,当直线斜率不存在时,x=3 或x=-3,代入计算得到y=2,验证不成立；当直线斜率存在时,设直线方程为y=kx+b,则y=kx+bx23+y22=1,即 2+3k2x2+6kbx+3b2-6=0,=36k2b2-4 3b2-62+3k2=0,化简得到b2=3k2+2.设A x1,y1,B x2,y2,y=kx+by2-x23=1,故 3k2-1x2+6kbx+3b2-3=0,

40、故x1+x2=-6kb3k2-1x1x2=3b2-33k2-1,OA+OB=AB=-OA+OB,故OA OB,即x1x2+y1y2=x1x2+kx1+bkx2+b=0,即 k2+1x1x2+kb x1+x2+b2=0,即 k2+13b2-33k2-1-6k2b23k2-1+b2=0,化简得到2b2=3k2+3,b2=3k2+22b2=3k2+3 方程组无解,假设不成立.故不存在直线满足条件.(3)焦点坐标为 1,0,易知直线方程斜率不为零,设直线方程为x=my+1,M x1,y1,N x2,y2,则S x2,-y2,x=my+1x23+y22=1,化简得到 2m2+3y2+4my-4=0,y1

41、+y2=-4m2m2+3y1y2=-42m2+3,直线NS方程为：y=y1+y2x1-x2x-x1+y1,取y=0得到x=x1y2+x2y1y1+y2=my1+1y2+my2+1y1y1+y2=2my1y2y1+y2+1=-2m42m2+3-4m2m2+3+1=3,S1S2=OQPQ=33-3=3+12,故S1S2是定值为3+12.(六六)探索直线与圆锥曲线的位置关系探索直线与圆锥曲线的位置关系6探索直线与圆的位置关系一般根据圆心到直线距离与圆的半径的大小进行判断,探索直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系一般根据判别式.7 7已知定理：如果二次曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0与直线mx+

42、ny+q=0(q0)有两个公共点P、Q,O是坐标原点,则OPOQ的充要条件是(A+C)q2-(mD+nE)q+(m2+n2)F=0.(1)试根据上述定理,写出直线l:x+2y-3=0与圆C:x2+y2+x-6y+c=0相交于P,Q,坐标原点为O,且OPOQ的充要条件,并求c的值；(2)若椭圆x2a2+y2b2=1与直线mx+ny+q=0相交两点P、Q,而且OPQQ,试判断直线PQ与圆x2+y2=11a2+1b2的位置关系,并说明理由.【解析】(1)由定理可知OPOQ的充要条件为：2(-3)2-(1-12)(-3)+(1+4)c=0,即18-33+5c=0,c=3.(2)椭圆x2a2+y2b2=

43、1与直线mx+ny+q=0相交两点P、Q,1a2+1b2q2-(m2+n2)=0,即1a2+1b2=m2+n2q2.圆x2+y2=11a2+1b2的半径为r=11a2+1b2=q2m2+n2=|q|m2+n2,又圆心(0,0)到直线PQ的距离为d=|q|m2+n2,d=r,直线PQ与圆x2+y2=11a2+1b2相切.(七七)探索类比问题探索类比问题此类问题多是椭圆与双曲线的类比8 8设F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a0,b0)的左、右两个焦点(1)若椭圆C上的点A 1,32到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程；(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K

44、的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值试对双曲线x2a2-y2b2=1写出具有类似特性的性质,并加以证明【解析】(1)点A 1,32在椭圆C上,且到F1、F2两点的距离之和等于4,则12a2+322b2=1,2a=4,解得a=2,b2=3,椭圆C的方程为x24+y23=1；(2)c=a2-b2=1,则有F1-1,0,设K m,n,线段F1K的中点为 x,y,则有x=m-12y=n2 7m=2x+1n=2y,又K是椭圆上的动点,则有m

45、24+n23=1,即2x+124+2y23=1,即 x+122+4y23=1.故线段F1K的中点的轨迹方程为 x+122+4y23=1(3)类似特性的性质为：若M、N是双曲线x2a2-y2b2=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值证明：设P x0,y0,M s,t,N-s,-t,则s2a2-t2b2=1,kPM=y0-tx0-s,kPN=y0+tx0+s,kPMkPN=y0-tx0-sy0+tx0+s=y02-t2x02-s2,又y2=b2a2x2-b2,则kPMkPN=b2a2x0

46、2-b2-b2a2s2-b2x02-s2=b2a2x02-s2x02-s2=b2a2(八八)不良结构问题不良结构问题近年不良结构问题,通常是要求学生从备选条件中选择部分条件解题,选择不同的条件,所用知识可能不同,难易程度也可能不同.9 9在 PF=x0+1,y0=2x0=2,PF x 轴时,PF=2 这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答问题：已知抛物线C:y2=2px p0的焦点为F,点P x0,y0在抛物线C上,且(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l:x-y-2=0与抛物线C交于A,B两点,求ABF的面积【解析】(1)解：选择条件,由抛物线的定义可得PF=x0+p2,因为P

47、F=x0+1,所以x0+p2=x0+1,解得p=2,故抛物线C的标准方程为y2=4x选择条件,因为y0=2x0=2,所以y0=2,x0=1,因为点P(x0,y0)在抛物线C上,所以y20=2px0,即2p=4,解得p=2,所以抛物线C的标准方程为y2=4x选择条件当PFx轴时,PF=p2+p2=2,所以p=2故抛物线C的标准方程为y2=4x(2)解：设A x1,y1,B x2,y2,由(1)知F 1,0由x-y-2=0y2=4x,得y2-4y-8=0,则y1+y2=4,y1y2=-8,8所以 y1-y2=y1+y22-4y1y2=16+32=4 3,故AB=1+112y1-y2=2 4 3=4

48、 6因为点F到直线l的距离d=1-21+1=22,所以ABF的面积为12ABd=124 6 22=2 3三、三、跟踪检测1(20232023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测)已知动圆C经过点F 1,0,且与直线x=-1相切,记动圆C圆心的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)已知P 4,y0y00是曲线E上一点,A,B是曲线E上异于点P的两个动点,设直线PAPB的倾斜角分别为,且+=34,请问：直线AB是否经过定点？若是,请求出该定点,若不是,请说明理由.【解析】(1)设动圆圆心M x,y,动圆C经过点F 1,0,且与直线x=-1相切,点M的轨迹

49、是以 1,0为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,故其方程为y2=4x,动圆圆心C的轨迹方程是y2=4x；(2)由(1)可得P 4,4,当直线PAPB中其中一条的斜率不存在,不妨设=2,=4,易得A 4,-4,直线PB的直线为y=x,与y2=4x联立可得B 0,0,故直线AB的方程为x+y=0；当直线PAPB的斜率都存在时,故设直线PAPB的斜率k1,k2,设Ay124,y1,By224,y2所以k1=y1-414y21-4=4y1+4,同理可得k2=4y2+4,因为+=34,所以tan(+)=-1,所以tan+tan1-tantan=-1,即k1+k21-k1k2=-1,所以k1+k2-k1k

50、2+1=0,所以4y1+4+4y2+4-4y1+44y2+4+1=0,即8 y1+y2+y1y2+32=0,由题意可设AB方程为x=ty+n,联立y2=4xx=ty+n,消x整理得y2-4ty-4n=0,所以=16t2+16n0,y1+y2=4t,y1y2=-4n,所以32t-4n+32=0即n=8t+8,所以x=ty+n=ty+8t+8=t(y+8)+8,令y+8=0得y=-8,x=8,此时有定点 8,-8,综上所述,直线AB经过定点 8,-82(20232023届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中)已知圆O：x2+y2=16,点A(6,0),点B为圆O上的动