2024年高考数学专项三角换元——三角学的智慧之果（解析版）.pdf

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1、三角换元-三角学的智慧之果三角换元-三角学的智慧之果变量代换是借助于引人新变量来实现问题转化的一种【分析】，新变量的引人没有固定的形式，它依赖问题本身的结构和特点，许多代数题目都可以根据题目的特点，应用三角函数进行适当的代换，结合三角恒等式，将代数问题转化为三角问题，使问题得以简捷地获解，当然，用三角函数或三角函数式代换代数式中的变量时应由旧变量的取值范围确定新元的取值范围推而广之，将某一个系统中的问题对应地转化到另一个系统中去解决，这是变量代换最本质的作用三角换元主要用来解决如下结构的数学问题：三角换元主要用来解决如下结构的数学问题：(1)f2(x)+g2(x)=R2型：可设 f(x)=Rc

2、os，g(x)=Rsin去求解对的取值范围作相应限定，下同(2)a2-x2与|x|a型：可设x=acos或x=asin去解(3)f2(x)-g2(x)=R2型：可设 f(x)=Rsec，g(x)=Rtan去解(4)R2+f2(x)型：可设 f(x)=Rtan去解(5)x2-R2或|x|R型：可设x=Rsec或x=Rcsc去解(6)2x1x2、1-x21+x2型：可设x=tan2，运用万能置换公式去解(7)xy1xy型：可设x=tan，y=tan，运用两角和或差的正切公式去解由函数式隐含的几何意义，通过三角换元转化为运用数形结合法去解，如有些问题可在三角换元后转化为直线与二次曲线的关系问题典型例

3、题典型例题1 1(1)求函数y=x-4+15-3x 的最大值和最小值；(2)求函数y=x-31+x2的值域；(3)求函数y=x+2x2-4x+6 的值域；(4)已知1x2+y22，求z=x2-xy+y2的最值12024年高考数学专项三角换元年高考数学专项三角换元三角学的智慧之果（解析版）三角学的智慧之果（解析版）2 2(1)已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是；(2)对于c0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0，且使|2a+b|最大时，3a-4b+5c的最小值为3 3(1)给定数列 an，且an+1=an(2-3)1-an(2-3)，求a2

4、020-a1460；(2)数列 an，bn(nN N)满足：a0=22，an+1=221-1-a2n，b0=1，bn+1=1+b2n-1bn求证：对任意的nN N恒有2n+2an0，b0且a+2b=1，求证：1a+1b3+2 2；(2)a，b，x，y均为正数，且ax+by=1，求证：x+y(a+b)2；(3)求证：-3x+3-2x-x22 2-1(4)设a，b，c是正实数，且abc+a+c=b，求证：2a2+1-2b2+1+2c2+1523三角换元三角换元-三角学的智慧之果三角学的智慧之果变量代换是借助于引人新变量来实现问题转化的一种【分析】，新变量的引人没有固定的形式，它依赖问题本身的结构和

5、特点，许多代数题目都可以根据题目的特点，应用三角函数进行适当的代换，结合三角恒等式，将代数问题转化为三角问题，使问题得以简捷地获解，当然，用三角函数或三角函数式代换代数式中的变量时应由旧变量的取值范围确定新元的取值范围推而广之，将某一个系统中的问题对应地转化到另一个系统中去解决，这是变量代换最本质的作用三角换元主要用来解决如下结构的数学问题：三角换元主要用来解决如下结构的数学问题：(1)f2(x)+g2(x)=R2型：可设 f(x)=Rcos，g(x)=Rsin去求解对的取值范围作相应限定，下同(2)a2-x2与|x|a型：可设x=acos或x=asin去解(3)f2(x)-g2(x)=R2型

6、：可设 f(x)=Rsec，g(x)=Rtan去解(4)R2+f2(x)型：可设 f(x)=Rtan去解(5)x2-R2或|x|R型：可设x=Rsec或x=Rcsc去解(6)2x1x2、1-x21+x2型：可设x=tan2，运用万能置换公式去解(7)xy1xy型：可设x=tan，y=tan，运用两角和或差的正切公式去解由函数式隐含的几何意义，通过三角换元转化为运用数形结合法去解，如有些问题可在三角换元后转化为直线与二次曲线的关系问题典型例题典型例题1 1(1)求函数y=x-4+15-3x 的最大值和最小值；(2)求函数y=x-31+x2的值域；(3)求函数y=x+2x2-4x+6 的值域；(4

7、)已知1x2+y22，求z=x2-xy+y2的最值【分析】无理函数的最值或值域的求法是一个难点，难在如何才能去掉根号使之成为有理函数，而三角换元借助于三角公式能实现这一转化，问题在于所给出的函数解析式常常并非一目了然地能找到三角换元的途径，需要对解析式中的被开方式实施变形，找准方向，实现三角换元对于第(1)问中含有两个无理式，则必须找到两个无理式中被开方式的关联，一步到位实现化无理为有理、化一般代数式为三角式的目标，第(4)问是二元函数，关键在于如何由条件1x2+y22，实施三角换元，且要总体考虑，当然三角换元必须由条件对角的范围进行限定在这一限定下运用三角知识，求解三角换元可使较复杂的问题简

8、1单化【解析】(1)由于4x5，故可令x=4+sin2 02则原式变为y=sin+3cos=2sin+3当=6，即x=414时，y取得最大值2；当=2，即x=5时，y取得最小值1(2)函数的定义域为R R，令x=tan，-2,2则y=tan-3sec=sin-3cos=2sin-3由于-22，-56-36而当-56-3-2时，y为减函数，此时-2y-1，当-2-36时，y为增函数，此时-2y1故函数的值域为-2,1)(3)【解法一】2x2-4x+6=2(x-1)2+4，可设x-1=2tan|2则y=2tan+1+2sec=2(2+sin)cos+1设u=2+sincos|0，从而ucos-si

9、n=2(u2+1cos(+)=2(其中cos=uu2+1，sin=1u2+1)cos(+)=2u2+11，u2+1 2u2+12，u21且u0，u1，y2+1故函数的值域为 2+1,+)【解法二】由解法一得u=2+sincos|2，则u为P(cos,sin)|0，当直线与半圆x2+y2=1(0 x1，-1y0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0，且使|2a+b|最大时，3a-4b+5c的最小值为【分析】第(1)问，由于条件是三元等式，如何实现三角换元需要精心构思，可以有多种三角换元的方法；第(2)问，若将4a2-2ab+4b2-c=0变形为 2a-b22+154b2=c(c0)

10、联想到三角公式sin2+cos2=1，可令52b=ccos2a-b2=csin，从而求|2a+b|的最大值转化为三角函数求最大值从而说明了数学是灵动的，通过思维完成构想，一旦成功何等快意，正如欧阳修的诗句：“一阅声长听不尽，轻舟短楫去如飞【解析】(1)【解法一】将c=-(a+b)代入a2+b2+c2=1得a2+b2+ab=12整理得a2+b2+34a2=12，令a2+b=22cos32a=22sin 则a=63sin63a的最大值为63【解法二】将c=-(a+b)代入a2+b2+c2=1得a2+b2+ab=12令a=x+y，b=x-y，代入上式得6x2+2y2=1由椭圆的参数方程x=66cos

11、y=22sin a=x+y=66cos+22sin=63sin+663a的最大值为63【解法三】由a2+b2+c2=1得b2+c2=1-a2令b=1-a2sinc=1-a2cos 代入a+b+c=0得a+1-a2sin+1-a2cos=0当1-a20时，得2sin+4=-a1-a2即2sin+4=-a1-a22，解得a223即-63a633a的最大值为63(2)由4a2-2ab+4b2-c=0得 2a-b22+154b2=c令152b=ccos2a-b2=csin，则b=2 1515ccos2a=1515ccos+csin 当cos=64sin=104 时，b+2a=2 10c5，此时3a-4

12、b+5c=5c-2 10c=5c-22-2-23a-4b+5c的最小值为-23 3(1)给定数列 an，且an+1=an(2-3)1-an(2-3)，求a2020-a1460；(2)数列 an，bn(nN N)满足：a0=22，an+1=221-1-a2n，b0=1，bn+1=1+b2n-1bn求证：对任意的nN N恒有2n+2an2n+2bn用三角换元的方法求解或证明第(1)问，由递推式的结构特点，可构造两角和的正切公式求解第(2)问，涉及两个递推数列且所给递推式又都是无理式，若能通过巧妙的三角换元并借助当x 0,2时，有sinxxtanx可得到极其简捷的证法三角换元的妙用常常可以达到神奇的

13、解题效果【解析】(1)由递推式的结构特点，可构造三角公式求解tan15=2-3令an=tann则an+1=tann+tan151-tanntan15=tan n+15an+2=tan n+15+15，an+12=tan n+180=tann=an，而2020=1460+5012，a2020-a1460=0(2)证明仔细观察数列 an，bn的递推关系式可以发现：0an0由此令an=sinn，bn=tannnn 0,2则有0=0=4，从而构造三角函数得到sinn+1=an+1=221-1-sin2n=sinn2n+1=n2数列 n是首项为0=4，公比为12的等比数列n=2n+2an=sin2n+2

14、，同理可得bn=tan2n+2利用熟悉的不等式：x 0,2，则sinxxtanx此处x=2n+2，则有sin2n+22n+2tan2n+2an2n+2bn2n+2an0，b0且a+2b=1，求证：1a+1b3+2 2；(2)a，b，x，y均为正数，且ax+by=1，求证：x+y(a+b)2；(3)求证：-3x+3-2x-x22 2-1(4)设a，b，c是正实数，且abc+a+c=b，求证：2a2+1-2b2+1+2c2+152【分析】代数问题三角化，可以充分利用三角函数的特有性质，使较为复杂的不等式的证明问题得以简化，但要注意角的范围和三角函数的有界性第(1)问，通过三角换元，弦化切，运用基本

15、不等式证明；第(2)问，即使是三角换元也可以有多种证法，可以通过这些方法错炼发散思维能力，力求对突破难点有所禆益；第(3)问，所证不等式即为求函数y=x+3-2x-x2的值域是否为y-3,2 2-1，但是在运用三角换元时由于形式上不是很明朗，故必须先对被开方式进行适当变形，找到如何实施三角换元化无理为有理的途径；第(4)问，由abc+a+c=b得b=a+c1-ac，其特征与两角和的正切公式tan(+)=tan+tan1-tantan相似，证明思路顿时凸现！【解析】(1)证明由a0，b0，a+2b=1，设a=cos2，b=12sin2 00,+0,2.2a2+1-2b2+1+2c2+1=21+tan2-21+tan2(+)+21+tan2=2sec2-2sec2(+)+2sec2=2 cos2+cos2-cos2(+)=cos2+cos2-2cos2(+)+2=2cos(+)cos(-)-2cos2(+)+22cos(+)-2cos2(+)+2=-2 cos(+)-122+52526