2024年高考数学专项复习排列组合专题15 隔板法模型（解析版）.pdf

《2024年高考数学专项复习排列组合专题15 隔板法模型（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学专项复习排列组合专题15 隔板法模型（解析版）.pdf（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1专题专题 15 隔板法模型隔板法模型例 12020 年高考强基计划中，北京大学给了我校 10 个推荐名额，现准备将这 10 个推荐名额分配给高三理科的 6 个班级，这 6 个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（）A462B126C210D132例 2不定方程12xyz的非负整数解的个数为（）A55B60C91D540例 3有 30 个完全相同的苹果，分给 4 个不同的小朋友，每个小朋友至少分得 4 个苹果，问有多少种不同的分配方案？()A680B816C1360D1456例 4从A、B、C、D4 个班级中选 10 人组成卫生检查小组，每班至少选一人，每班人数的不同情况有多少种（

2、）A42B56C84D168例 5把 9 个完全相同的口罩分给 6 名同学，每人至少一个，不同的分法有（）种A41B56C156D252例 6方程123412xxxx的正整数解共有（）组A165B120C38D35例 7把 16 个相同的小球放到三个编号为 1，2，3 的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（）A18B28C36D42例 8把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）A96B240C280D480例 9（1）把 6 个不同的小球放入 4 个不同的箱子中，

3、每个箱子都不空，共有多少种放法？（2）把 6 个不同的小球放入 4 个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（3）把 6 个相同的小球放入 4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（4）把 6 个相同的小球放入 4 个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？2024年高考数学专项复习排列组合专题15 隔板法模型（解析版）2例 10（1）求方程12345xxxx的非负整数解的个数；（2）某火车站共设有 4 个“安检”入口，每个入口每次只能进 1 个旅客求个小组 4 人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.例 11现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.（1）若5本书

4、完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？例 12（1）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？（2）把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有几种？（3）四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？（注：最后结果需用数字作答）例 13将 6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有_种放法.（用数字作答）例 14方程10 x

5、yz的正整数解的个数_.例 15现有 15 个省三好学生名额分给 1、2、3、4 共四个班级，其中 1 班至少 2 个名额，2 班、4 班每班至少 3 个名额，3 班最多 2 个名额，则共有_种不同分配方案.例 16小红同学去超市买糖果，现有四种不同口味的糖果可供选择（可以有糖果不被选择），单价均为一元一颗，小红只有 7 元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有_种.例 1710 个相同的小球放在三个编号为 1，2，3 的盒中，每盒至少 1 个，有_种方分法.例 18将 3 个 1，11 个 0 排成一列，使得每两个 1 之间至少隔着两个 0，则共有_种不同的排法.例 1924 个志愿者名额分

6、给 3 个学校，则每个学校至少有 1 个名额且学校名额互不相同的分法有_种例 20在 5 月 6 日返校体检中，学号为i（1,2,3,4,5i）的五位同学的体重增加量()f i是集合1,1.5,2,2.5,3,3.5kgkgkgkgkgkg中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)(5)fffff，则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有_种1专题 15 隔板法模型例 12020 年高考强基计划中，北京大学给了我校 10 个推荐名额，现准备将这 10 个推荐名额分配给高三理科的 6 个班级，这 6 个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（）A462B126C210D132【解析】将

7、10 个名额分为 6 份，即从 9 个分段中选择 5 个段分开，且不分顺序，共有59126NC种方案.故选：B.例 2不定方程12xyz的非负整数解的个数为（）A55B60C91D540【解析】不定方程12xyz的非负整数解的个数将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12xyz的非负整数解的个数为21491C.故选：C.例 3有 30 个完全相同的苹果，分给 4 个不同的小朋友，每个小朋友至少分得 4 个苹果，

8、问有多少种不同的分配方案？()A680B816C1360D1456【解析】先给每个小朋友分三个苹果，剩余18个苹果利用“隔板法”，18个苹果有17个空，插入三个“板”，共有317C680 种方法.故选：A.例 4从A、B、C、D4 个班级中选 10 人组成卫生检查小组，每班至少选一人，每班人数的不同情况有多少种（）A42B56C84D1682【解析】将 10 个人排成一排，然后从中间形成的 9 个空中选 3 个，分别放入一个隔板，即可将 10 个人分为 4 个部分，且每部分至少 1 个人，由此可得每班人数的不同情况有399 8 7843 2 1C 种故选 C例 5把 9 个完全相同的口罩分给

9、6 名同学，每人至少一个，不同的分法有（）种A41B56C156D252【解析】问题可转化为将 9 个完全相同的口罩排成一列，再分成 6 堆，每堆至少一个，求其方法数事实上，只需在上述 9 个完全相同的口罩所产生的 8 个“空档”中选出 5 个“空档”插入档板，即产生符合要求的方法数故有5856C 种故选：B例 6方程123412xxxx的正整数解共有（）组A165B120C38D35【解析】如图，将 12 个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的 11 个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x、2x、3x、4x，显然满足123412xxxx，故1234,x

10、 xx x是方程123412xxxx的一组解，反之，方程123412xxxx的每一组解都对应着一种在 12 个球中插入隔板的方式，故方程123412xxxx的正整数解的数目为：31111 10 91653 2 1C，故选：A.例 7把 16 个相同的小球放到三个编号为 1，2，3 的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（）A18B28C36D42【解析】3根据题意，16个相同的小球放到三个编号为1 2 3，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的10个小球，放入3

11、个盒子，每个盒子至少放1个的问题，将剩下的10个球排成一排，有9个空位，在9个空位中任选2个，插入挡板，有298 9362C种不同的放法，即有36个不同的符合题意的放法；故选：C例 8把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）A96B240C280D480【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四个人，则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插 3 个板子，有3510C种，然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有4424A种，所以不同的分法种数为10 24240,

12、故选：B例 9（1）把 6 个不同的小球放入 4 个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（2）把 6 个不同的小球放入 4 个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（3）把 6 个相同的小球放入 4 个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（4）把 6 个相同的小球放入 4 个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？【解析】（1）6 个不同的小球放入 4 个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把 6 个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入 4 个不同的箱子，故不同的方法共有22113464216422221560C C C CCAA A（

13、种）（2）6 个不同的小球放入 4 个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把 6 个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入 4 个相同的箱子，故不同的方法共有2211364216222265C C C CCA A（种）4（3）6 个相同的小球放入 4 个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，则采用插板法，在5个空中插入3块板，则不同的方法共有3510C（种）（4）把 6 个相同的小球放入 4 个相同的箱子中，每个箱子至少一个小球，故可以首先每个箱子放入1个小球，还剩下2个小球，则这2个小球，只有两种结果，即两个在一个箱子中，或两个小球分别在一个箱子中，故只有2种放法.例 10

14、（1）求方程12345xxxx的非负整数解的个数；（2）某火车站共设有 4 个“安检”入口，每个入口每次只能进 1 个旅客求个小组 4 人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.【解析】（1）若定义12341234:,fx x x xy yyy，其中11,2,3,4iiyxi，则f是从方程12345xxxx的非负整数解集到方程12349yyyy的正整数解集的映射，利用隔板法得，方程12349yyyy正整数解得个数是38C56从而方程12345xxxx的非负整数解得个数也是 56；（2）这 4 名旅客通过安检口有 4 种情况：从 1 个安检口通过，从 2 个安检口通过，从 3 个安检口通过，从4

15、个安检口通过。从 1 个安检口通过共有：144496CA种方案；从 2 个安检口通过，可能有 1 个安检口通过 1 人，另一个安检口通过 3 人有：323443288CAA种方案；从 2 个安检口通过，可能每一个安检口都通过 2 人有：2222442222144CAAAA种方案；从 3 个安检口通过，可能有 2 个安检口各通过 1 人，有 1 个安检口通过 2 人有：232442288CAA种方案；从 4 个安检口通过共有：4424A 种方案，所以这 4 个旅客进站的不同方案有：96+288+144+288+24=840种.例 11现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.（1）若5本书完

16、全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？5【解析】（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有246C 种情况，即有6种不同的分法；（2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意 1 人，都有 3 种分法，则 5 本不同的书有53 3 3 3 33243 种；（3）根据题意，分 2 步进行分析：将5本书分成3组，若分成 1、1、3 的三组，有31522210C CA种分组方法，若分成 1、2、2 的三组，有1225

17、422215C C CA种分组方法，则有10 1525种分组方法；将分好的三组全排列，对应3名学生，有336A 种情况，则有25 6150种分法.例 12（1）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？（2）把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有几种？（3）四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？（注：最后结果需用数字作答）【解析】（1）按照最左端排谁分两类：排甲：其余 5 个人作全排列，有33120A 种，排乙：最右端不排甲有14A种，其余四

18、人作全排列有44A种，故共有144496A A 种，由分类计数原理共有12096216种；（2）分步完成：将 A，B 捆在一起当作一个元素与除 C 的 3 个元素一起作全排列，有2424A A种，6将 C 插入到已经排好的排列中，让 A，C 不相邻，有14A种，由分步计数原理可得共有241244192A A A 种；（3）四个不同的小球编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有 2 个小球，从 4 个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，有2344144C A 种不同的放法.例 13将 6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中，要求不出现空盒，

19、共有_种放法.（用数字作答）【解析】根据题意，将 6 个小球排成一排，排好后有 5 个可用的空位，在 5 个空位中任选 3 个，插入挡板，共有3510C 种情况，可以将 6 个小球分成 4 组，依次放入 4 个不同的盒子中即可，所以共有 10 中不同的放法例 14方程10 xyz的正整数解的个数_.【解析】问题中的x y z 看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内共有2936C 种故答案为：36例 15现有 15 个省三好学生名额分给 1

20、、2、3、4 共四个班级，其中 1 班至少 2 个名额，2 班、4 班每班至少 3 个名额，3 班最多 2 个名额，则共有_种不同分配方案.【解析】由 3 班最多 2 个名额，3 班有 2、或 1 个，或 0 个名额三种情况.（1）、当 3 班有 2 个名额时，先给 1 班 1 个名额，2 班、4 班各 2 个名额，然后将剩下的 8 个名额分给 1 班、2 班和 4 班，每个班至少一个名额.相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有2721C 种分法.（2）、当 3 班有 1 个名额时，先给 1 班 1 个名额，2 班、4 班各 2 个名额，然

21、后将剩下的 9 个名额分给 1 班、2 班和 4 班，每个班至少一个名额.7相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有2828C 种分法.（3）、当 3 班没有分得名额时，先给 1 班 1 个名额，2 班、4 班各 2 个名额，然后将剩下的 10 个名额分给 1班、2 班和 4 班，每个班至少一个名额.相当于将 10 个元素排成一排，在中间加入 2 个隔板将他们分成 3 组，1 班、2 班和 4 班分别得到一组，有2936C 种分法.所以一共有21+28+3685种不同的分配方案.故答案为：85.例 16小红同学去超市买糖果，现有四种不同口味的

22、糖果可供选择（可以有糖果不被选择），单价均为一元一颗，小红只有 7 元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有_种.【解析】把 7 元看作 7 个相同的小球，四种糖果看作是四个盒子，问题变为把 7 个小球放到 4 个盒子中，允许有空盒，因此补充 4 个小球，共 11 个小球，分到四个盒子中，用插隔板方法，共有方法数为311120C故答案为：120例 1710 个相同的小球放在三个编号为 1，2，3 的盒中，每盒至少 1 个，有_种方分法.【解析】依据题意，10 个相同的小球放在 3 个盒中，每盒至少 1 个，可转化为将 10 个相同小球分成三组，每组至少1 个；可将 10 个小球排成一列，进而在

23、排除两端的 9 个空位中，选取 2 个，插入隔板即可，由组合公式可得共有2936C 种分法.故答案为：36.例 18将 3 个 1，11 个 0 排成一列，使得每两个 1 之间至少隔着两个 0，则共有_种不同的排法.【解析】解：符合条件的排列中，3 个 1 将 11 个 0 分成四段，设每一段分别有1234,x x x x个 0，则10 x，22x，32x，40 x 且123411xxxx，8令222xx，332xx，则12347xxxx因此原问题等价于求方程12347xxxx的自然数解的组数，将 7 个 1 与 3 块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数，所以方程共有310120C

24、组自然数解，故共有 120 种不同的排法故答案为：120例 1924 个志愿者名额分给 3 个学校，则每个学校至少有 1 个名额且学校名额互不相同的分法有_种【解析】设分配给 3 个学校的名额数分别为 x1，x2，x3，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程 x1x2x324 的正整数解的组数，用隔板原理知有3-1224 123=CC253 种又在“每校至少有一个名额的分法”中要排除“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法：只有两校人数相同，设为(i，i，242i)，由题意有 i1，2，3，4，5，6，7，9，10，11 共 310 种情况；三校人数都相同的只有(8，8，8)这 1 种综上可知

25、，满足条件的分配方法共有 25331222 种故答案为：222例 20在 5 月 6 日返校体检中，学号为i（1,2,3,4,5i）的五位同学的体重增加量()f i是集合1,1.5,2,2.5,3,3.5kgkgkgkgkgkg中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)(5)fffff，则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有_种【解析】当五位同学的体重增加量是 1 个数字时，有166C 种情况；当五位同学的体重增加量是 2 个不同数字时，有124660C C 种情况（类似隔板法，把五个同学按照1,2,3,4,5的顺序排好，他们之间有 4 个空，从 4 个空里选 1 个空放隔板把他们分隔成两个部分，有14C种方法，再从96 个体重增加量的集合里选两个数给他们，有26C种方法，即此时有124660C C 种方法，下面操作方法都相同.）；当五位同学的体重增加量是 3 个不同数字时，有2346120C C 种情况；当五位同学的体重增加量是 4 个不同数字时，有324660C C 种情况；当五位同学的体重增加量是 5 个不同数字时，有566C 种情况.所以共有6+60+120+60+6=252种不同的方法.故答案为：252