2024届高考数学专项练习压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略（解析版）.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司 压轴题型压轴题型 11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略圆锥曲线压轴解答题的处理策略 命题预测 解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大令同学们畏惧通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开 高频考法（1）直线交点的轨迹问题（2）向量搭桥进行翻译（3）弦长、面积范围与最值问题（4）斜率之和差商积问题（

2、5）定点定值问题01 直线交点的轨迹问题直线交点的轨迹问题 交轨法解决.【典例【典例 1-1】（2024陕西安康模拟预测）已知双曲线22:13yC x=的左右顶点分别是12,A A，直线l与C交于,M N两点（不与2A重合），设直线22,A M A N l的斜率分别为12,k k k，且()126kkk+=.(1)判断直线l是否过x轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.(2)若,M N分别在第一和第四象限内，证明：直线1MA与2NA的交点P在定直线上.【解析】（1）由题意可知12(1,0),(1,0),0AAk，设直线l的方程为1122,(,),(,)ykxm M x yN xy=

3、+.2024届高考数学专项练习 学科网（北京）股份有限公司 由2213yxykxm=+消去y，可得222(3)230kxkmxm=，则23k，2212(3)0mk=+，即223km+，212122223,33kmmxxx xkk+=.因为()121212121212122()()211()1kxmkxmkx xmkxxmkkkkkxxx xxx+=+=+222222322()2336632133mkmkmkmkkkkmkmmkkk+=+，所以2mk=，故直线l的方程为(2)yk x=，恒过点(2,0).（2）由题可知，直线1MA的方程为11(1)1yyxx=+，直线2NA的方程为22(1)1y

4、yxx=，因为2121121212121212(1)(2)(1)2211(1)(2)(1)22y xxxx xxxxxy xxxx xxx+=+1212112121()322()2x xxxxx xxxx+=+21221269333233kxkkxk=+所以12x=，故点P在定直线12x=上.【典例【典例 1-2】（2024江苏苏州模拟预测）已知点(1,0)A，(0,1)B，(1,1)C和动点(,)P x y满足2y是PA PB，PA PC的等差中项(1)求P点的轨迹方程；学科网（北京）股份有限公司(2)设P点的轨迹为曲线1C按向量3 1,4 16a=平移后得到曲线2C，曲线2C上不同的两点

5、M，N 的连线交y轴于点(0,)Qb，如果MON（O为坐标原点）为锐角，求实数b的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b=时，曲线2C在点M和N处的切线的交点为R，求证：R在一条定直线上 【解析】（1）由题意可得(1,)PAxy=，(,1)PBxy=，(1,1)PCxy=，则22(1)()()(1)PA PBxxyyxyxy=+=+，22(1)(1)()(1)21PA PCxxyyxyxy=+=+，又2y是PA PB，PA PC的等差中项，()()22222212xyxyxyxyy+=，整理得点(,)P x y的轨迹方程为23122yxx=+（2）由（1）知2131:22Cyxx=+，又3

6、 1,4 16a=，平移公式为34116xxyy=+即34116xxyy=+=，代入曲线1C的方程得到曲线2C的方程为：213331164242yxx=+，即2yx 曲线2C的方程为2yx 如图由题意可设 M，N所在的直线方程为ykxb=+，由2yxykxb=+消去y得20 xkxb=，学科网（北京）股份有限公司 令()11,M x y，()()2212,N xyxx，则1212xxkx xb+=，()()21111,OMx yx x=，()()22222,ONxyx x=，又MON为锐角，cos0|OM ONMONOMON=，即221 2120|x xx xOMON+，2212120 x x

7、x x+，又12x xb=，2()0bb+，得0b 或1b （3）当2b=时，由（2）可得12122xxkx xb+=，对2yx求导可得2yx=，抛物线2C在点，()211,Mx x=，()222,N x x处的切线的斜率分别为12Mkx=，22Nkx=，在点 M，N处的切线方程分别为()2111:2Mlyxxxx=，()2222:2Nlyxxxx=，由()()()211112222222yxxxxxxyxxxx=，解得交点R的坐标(,)x y 满足12122xxxyxx+=即22kxy=，R点在定直线=2y上【变式【变式 1-1】（2024高三全国专题练习）已知椭圆C：22221xyab+=

8、（0ab）过点()2,3P，且离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)记椭圆C的上下顶点分别为,A B，过点()0,4斜率为k的直线与椭圆C交于,M N两点，证明：直线BM与AN的交点G在定直线上，并求出该定直线的方程.【解析】（1）由椭圆过点()2,3P，且离心率为22，所以2222223122abceaabc+=+，学科网（北京）股份有限公司 解得2284ab=，故所求的椭圆方程为22184xy+=（2）由题意得()0,2A，()0,2B，直线MN的方程4ykx=+，设()()1122,M x yN xy，联立224184ykxxy=+=，整理得()221216240kxkx+=，由()

9、2225696 120kk=+，即232k，所以1221612kxxk+=+，1222412x xk=+.由求根公式可知，不妨设21282 4612kkxk=+，22282 4612kkxk+=+，直线AN的方程为2222yyxx=，直线BM的方程为1122yyxx+=，联立22112222yyxxyyxx=+=，得()()()()2121121121212222222266yxkxxkx xxyyyxkxxkx xx+=+，代入12,x x，得2222222224164 46284 461121223244812 462412 461212kkkykkkkykkkkkkk+=+，解得1y=，

10、即直线BM与AN的交点G在定直线1y=上.【变式【变式 1-2】（2024全国模拟预测）已知双曲线 C 的中心为坐标原点 O，C 的一个焦点坐标为()10,3F，离心率为3(1)求 C 的方程；学科网（北京）股份有限公司(2)设 C 的上、下顶点分别为1A，2A，若直线 l 交 C 于()11,M x y，()22,N xy，且点 N 在第一象限，120y y，直线1AM与直线2A N的交点 P 在直线35y=上，证明：直线 MN 过定点【解析】（1）由题意得3c=，3ca=，则3a=，所以2226bca=，故 C 的方程为22136yx=；（2）证明：由已知条件得直线 MN的斜率存在，设直线

11、 MN：ykxt=+，联立2226ykxtyx=+=，消去 y 整理得，()222214260kxktxt+=，由题设条件得2210k ，()()2 222164 21260k tkt=，则12241 2ktxxk+=，21222621tx xk=由（1）得()10,3A，()20,3A，则直线1AM：1133yyxx=，直线2A N：2233yyxx+=，两式相除得11223333yyxyyx=+因为直线1AM与直线2A N的交点 P 在直线35y=上，所以112233353335yxyx=+因为2222136yx=，所以2222222233312yyyxxx+=，即()22223123yx

12、yx+=，所以()()11211212122233323333523335yyyxyyxxx xyx=+又()()()()()221212123333yyk x xk txxt=+，()()()2222222326433212121ttktkk ttkkk=+=，学科网（北京）股份有限公司 所以33353335tt=+，解得5t=，所以直线 MN 过定点()0,5 02 向量搭桥进行翻译向量搭桥进行翻译 将向量转化为韦达定理形式求解.【典例【典例 2-1】（2024上海普陀二模）设椭圆222:1(1)xyaa+=，的离心率是短轴长的24倍，直线l交于A、B两点，C是上异于A、B的一点，O是坐标

13、原点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l过的右焦点F，且COOB=，0CF AB=，求CBFS的值；(3)设直线l的方程为(,R)ykxm k m=+，且OAOBCO+=，求|AB的取值范围.【解析】（1）由的离心率是短轴的长的24倍，得 2122aa=，即22(1)aa=，又1a，则2a=，故椭圆的方程为2212xy+=.（2）设的左焦点为1F，连接1CF，因为COOB=，所以点B、C关于点O对称，又0CF AB=，则CFAB，由椭圆的对称性可得，1CFCF，且三角形1OCF与三角形OBF全等，则1112CBFCF FSSCFCF=，学科网（北京）股份有限公司 又1222112 24CFCF

14、CFCFFF+=+=，化简整理得，12CFCF=，则1CBFS=.（3）设11(,)A x y，11(,)B x y，00(,)C xy，又 OAOBCO+=，则012()xxx=+，012()yyy=+，由2212xyykxm+=+得，222(12)4220kxmkxm+=，222222168(12)(1)8(21)m kkmkm=+=+，由韦达定理得，122412mkxxk+=+，21222212mx xk=+，又121222()212myyk xxmk+=+=+，则02412mkxk=+，02212myk=+，因为点C在椭圆上，所以222242()2()21212mkmkk+=+，化简整

15、理得，22412mk=+，此时，22222218(21)8(21)6(21)04kkmkk+=+=+=+，则2222212121()()(1)()ABxxyykxx=+=+222224221()4()1 21 2mkmkkk=+2226(21)112kkk+=+22661 2kk+=+，令212tk=+，即1t，学科网（北京）股份有限公司 则(2266333=33,61 2ktktt+=+，则AB的取值范围是(3,6.【典例【典例 2-2】（2024贵州安顺一模）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的一条渐近线方程为3yx=，右焦点F到渐近线的距离为3(1)求双曲线C的标准方程；(

16、2)过点F的直线l与双曲线C交于,M N两点，()1,0A 求AM AN的值【解析】（1）由双曲线2222:1xyCab=的渐近线方程为3yx=，可得3ba=，又由焦点(c,0)F到渐近线的距离为3，可得2233(3)1cd=+，可得2c=，又因为222cab=+，可得1,3ab=，所以双曲线的方程为2213yx=.（2）由（1）知2c=，可得(2,0)F，当直线l的斜率不存在时，即:2l x=，将2x=代入2213yx=，可得13y=或23y=，不妨设(2,3),(2,3)MN，又由(1,0)A，可得(3,3),(3,3)AMAN=，所以3 33(3)0AM AN=+=；当直线l的斜率存在时

17、，即:(2)l yk x=，联立方程组22(2)13yk xyx=，整理得2222(3)4430kxk xk+=，设1122(,),(,)M x yN xy，则2222(4)4(3)(43)0kkk=+，且22121222443,33kkxxx xkk+=，则222212121212(2)(2)2()4y ykxxk x xkxxk=+，且1122(1,),(1,)AMxyANxy=+=+，则1212121212(1)(1)()1AM ANxxy yx xxxy y=+=+22212121212()12()4x xxxk x xkxxk=+学科网（北京）股份有限公司 2221212(12)(1

18、)()41kx xkxxk=+=2222222434(1 2)(1)4133kkkkkkk+=+242244222484343412303kkkkkkkkk+=，综上可得：0AM AN=.【变式【变式 2-1】（2024全国模拟预测）如图，已知抛物线()2:20E ypx p=，其焦点为F，其准线与x轴交于点C，以FC为直径的圆交抛物线于点B，连接BF并延长交抛物线于点A，且4AFBF=(1)求E的方程(2)过点F作x轴的垂线与抛物线E在第一象限交于点P，若抛物线E上存在点M，N，使得0MP NP=求证：直线MN过定点【解析】（1）根据抛物线的性质可知CFp=设直线AB的倾斜角为，则在RtCB

19、F中，cosBFp=由抛物线的定义知cosAFAFp=+，cosBFpBF=，所以1 cospAF=，cos1 cospBFp=+，所以2sincos=所以222sincosppABAFBF=+=由24AFBFABBF=，得221 cos2 cos224coscospppp=，解得2p=所以E的方程为24yx=（2）由（1）知()1,2P设直线MN的方程为xmyn=+，()11,M x y，()22,N xy 学科网（北京）股份有限公司 联立抛物线方程，得2,4.xmynyx=+=代入并整理，得2440ymyn=则124yym+=，124y yn=，且216160mn=+由0MP NP=，得(

20、)()11221,21,20 xyxy=，则()()()()()()()()12121212112211220 xxyymynmynyy+=+=，得()()()22121212250my ymnmyynn+=，所以()()()221424250mnmnmmnn+=整理得()()22341nm=+当()321nm=+，即21nm=+时，直线MN的方程为()21xm y=+，则直线MN恒过定点()1,2P，不符合题意 当()321nm=+，即25nm=+时，直线MN的方程为()25xm y=+，则直线MN恒过定点()5,2 【变式【变式 2-2】（2024山东聊城二模）已知椭圆2222:1(0)x

21、yCabab+=的短轴长为 2，离心率为63.(1)求C的方程；(2)直线:(0,0)l ykxm km=+与C交于,M N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B，且,AMBM ANBN=.（）当12=时，求k的值；（）当3+=时，求点()0,3到l的距离的最大值.【解析】（1）由题意得2222263bcabaa=，解得13ba=，所以C的方程为2213xy+=学科网（北京）股份有限公司（2）（）由题意得()0,0mAmBk，由12AMBM=，得2OMOAOB=，即,2mMmk，由2ANBN=，得2ONOBOA=，即2,mNmk，将,M N的坐标分别代入C的方程，得222413mmk+=和222

22、413mmk+=，解得213k=，又0k，所以33k=.（）由22,13ykxmxy=+=消去y，得()222316330kxkmxm+=，其中()()()2222223612 31112 310k mkmkm=+=+，设()()1122,M x yN xy，则2121222633,3131kmmxxx xkk+=+，由(),0,0mAMBM ANBN AmBk=，得1122,mmxxxxkk=+=+，所以121212112xxmmmmmkxxxxkkkk+=+=+，由3+=，得()221212230k x xmk xxm+=，即222222223312303131m kkm kmkk+=+，

23、所以222222223312930m kkm km km+=，因此22km=，又0,0km，所以km=.所以l的方程为()1yk x=+，即l过定点()1,0，所以点()0,3到l的最大距离为点()0,3与点()1,0的距离21(3)2d=+=，即点()0,3到l的距离的最大值为 2.学科网（北京）股份有限公司 03 弦长、面积范围与最值问题弦长、面积范围与最值问题 1、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围 2、建立目标函数，使用基本不等式求最值【典例【典例 3-1】（2024浙江台州二模）已知椭圆C：229881xy+=，直线l：=1x交椭圆于 M，N 两点，T为椭圆的右顶点，T

24、MN的内切圆为圆 Q.(1)求椭圆C的焦点坐标；(2)求圆 Q的方程；(3)设点()1,3P，过 P 作圆 Q的两条切线分别交椭圆 C 于点 A，B，求PAB的周长.【解析】（1）椭圆的标准方程为2218198xy+=，因为819988=，所以焦点坐标为3 20,4.（2）将=1x代入椭圆方程229881xy+=得3=y，由对称性不妨设()1,3M，()1,3N ，直线MT的方程为()331 3yx=，即3490 xy+=，设圆 Q方程为()222xtyr+=，由于内切圆 Q在TMN的内部，所以1t ，则 Q到直线MN和直线MT的距离相等，即2234 09134ttr+=+，解得12t=，32

25、r=，所以圆Q方程为221924xy+=.（3）显然直线PA和直线PB的斜率均存在，设过 P 作圆 Q的切线方程为()13yk x=+，其中 k 有两个不同的取值1k和2k分别为直线PA和PB的斜率.由圆 Q与直线相切得：21132321kk+=+，化简得：2812270kk+=，则121232278kkk k+=，学科网（北京）股份有限公司 由()122139881ykxxy=+=得()()222111119816384890kxkkxkk+=，可得21121848989APAkkxx xk=+，所以()221111112211848924182713138989AAkkkkykxkkk+=

26、+=+=+()()()111113 27 121827183327 12912 32kkkkk+=+.同理22222848989Bkkxk=+，32By=，所以直线AB的方程为32y=，所以AB与圆 Q相切，将32y=代入229881xy+=得7x=，所以2 7AB=，又点 P 到直线AB的距离为92，设PAB的周长为m，则PAB的面积13192 72222ABCSm=，解得6 7m=.所以PAB的周长为6 7.【典例【典例 3-2】（2024高三浙江金华阶段练习）设抛物线()2:20C ypx p=，直线=1x是抛物线 C 的准线，且与 x 轴交于点 B，过点 B 的直线 l与抛物线 C 交

27、于不同的两点 M，N，()1,An是不在直线 l上的一点，直线AM，AN分别与准线交于 P，Q两点(1)求抛物线 C 的方程；(2)证明：BPBQ=：(3)记AMN，APQ的面积分别为1S，2S，若122SS=，求直线 l 的方程【解析】（1）因为=1x为抛物线的准线，学科网（北京）股份有限公司 所以12p=，即24p=，故抛物线 C 的方程为24yx=（2）如图，设 l：1xty=，()()1122,M x yN xy，联立24yx=，消去 x 得2440yty+=，则()21610t=，且121244yyty y+=，又 AM：()1111ynynxx=，令=1x得()1121,1ynPn

28、x，同理可得()2221,1ynQnx，所以()()()()12121212222221122PQynynynynyynnnxxtyty+=+=+()()()()()()1221122222222yntyyntyntyty+=，()()()212122212124248882202444ty yntyynnntnnt y yt yyt+=+，故BPBQ=.（3）由（2）可得：()()1222122222221ntynynSPQtytyt=，222122111 41212221ntSMN dtttntt=+=+，学科网（北京）股份有限公司 由122SS=，得：212t =，解得3t=，所以直线

29、l 的方程为310 xy+=【变式【变式 3-1】（2024上海闵行二模）如图，已知椭圆221:14xCy+=和抛物线()22:20Cxpyp=，2C的焦点F是1C的上顶点，过F的直线交2C于M、N两点，连接NO、MO并延长之，分别交1C于A、B两点，连接AB，设OMN、OAB的面积分别为OMNS、OABS (1)求p的值；(2)求OM ON的值；(3)求OMNOABSS的取值范围.【解析】（1）椭圆221:14xCy+=的上顶点坐标为()0,1，则抛物线2C的焦点为()0,1F，故2p=.（2）若直线MN与y轴重合，则该直线与抛物线2C只有一个公共点，不符合题意，所以直线MN的斜率存在，设直

30、线MN的方程为1ykx=+，点()11,M x y、()22,N xy，联立214ykxxy=+=可得2440 xkx=，216160k=+恒成立，则124x x=，22121212124 134 4x xOM ONx xy yx x=+=+=+=.（3）设直线NO、MO的斜率分别为1k、2k，其中10k，20k，联立12244yk xxy=+=可得()221414kx+=，解得21241xk=+，点A在第三象限，则21241Axk=+，学科网（北京）股份有限公司 点B在第四象限，同理可得22241Bxk=+，且12121 2121164y yx xk kx x=12122212224141O

31、MNOABBAOMONxxxxSSOBOAxxkk=+()()22212121141 41424kkkk=+=+212112 4224kk+=，当且仅当112k=时，等号成立.OMNOABSS的取值范围为)2,+.【变式【变式 3-2】（2024辽宁二模）已知点 P 为双曲线22:14xEy=上任意一点，过点P的切线交双曲线E的渐近线于,A B两点(1)证明：P恰为AB的中点；(2)过点P分别作渐近线的平行线，与 OA、OB 分别交于 M、N 两点，判断PMON 的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；【解析】（1）由切线不可能平行于x轴，即切线的斜率不可能为 0，设切线方

32、程为:l xtym=+，联立方程组2214xtymxy=+=，整理得222(4)240tytmym+=+，所以()()22224(4)40tmtm=，可得2240tm+=，即224mt=，所以22220m ytmyt+=，即2()0myt=，所以tym=，则2txmm=+，所以点2(,)ttPmmm+，又由双曲线22:14xEy=的渐近线方程为12yx=，联立方程组12yxxtym=+，可得2,22mmxytt=，即2(,)22mmAtt，联立方程组12yxxtym=+，可得2,22mmxytt=+，即2(,)22mmBtt+，学科网（北京）股份有限公司 所以222222244422244mm

33、mtmmtmmmttttmm+=222224mmtmtmttttmm+=，所以AB的中点坐标为4(,)tm m 又因为2224ttmmmmm+=，所以4(,)tPm m，所以点P与AB的中点重合.（2）由2(,)22mmAtt，2(,)22mmBtt+，可得2222225()()22(2)mmmOAttt=+=，2222225()()22(2)mmmOBttt=+=+，所以44422222425252525(2)(2)(4)mmmOAOBtttm=+，即5OA OB=，又由22223322224mmmmmOA OBttttt=+=+，可得3cos5OA OBAOBOA OB=，所以24sin1

34、 cos5AOBAOB=，所以114sin52225AOBSOA OBAOB=，因为P为AB的中点，所以112122PMONAOBSS=，所以四边形PMON的面积为定值1.04 斜率之和差商积问题斜率之和差商积问题 1、已知00(,)P xy是椭圆22221xyab+=上的定点，直线l（不过P点）与椭圆交于A，B两点，且0PAPBkk+=，则直线l斜率为定值2020b xa y 2、已知00(,)P xy是双曲线22221xyab=上的定点，直线l（不过P点）与双曲线交于A，B两点，且 学科网（北京）股份有限公司 0PAPBkk+=，直线l斜率为定值2020b xa y 3、已知00(,)P

35、xy是抛物线22ypx=上的定点，直线l（不过P点）与抛物线交于M，N两点，若0PAPBkk+=，则直线l斜率为定值0py 4、00(,)P xy为椭圆222:xyab2+=1)0,0(ab上一定点，过点P作斜率为1k，2k的两条直线分别与椭圆交于,M N两点（1）若12(0)kk+=，则直线MN过定点20000222(,)yb xxya；（2）若2122()bkka=，则直线MN过定点2222002222(,)ababxyabab+5、设00(,)P xy是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P作两条直线AB，CD交椭圆222:xyab2+=1)0,0(ab于A、B、C、D，直线AB，CD的

36、斜率分别为1k，2k，弦AB，CD的中点记为M，N （1）若12(0)kk+=，则直线MN过定点20002(,)yb xxa；（2）若2122()bkka=，则直线MN过定点22002222(,)a xb yabab 6、过抛物线22(0)ypx p=上任一点00(,)P xy引两条弦PA，PB，直线PA，PB斜率存在，分别记为12,k k，即12(0)kk+=，则直线AB经过定点00022(,)ypxy【典例【典例 4-1】（2024上海徐汇二模）已知椭圆22:143xyC+=，12AA、分别为椭圆C的左、右顶点，12FF、分别为左、右焦点，直线l交椭圆C于MN、两点（l不过点2A）.(1)

37、若Q为椭圆C上（除12AA、外）任意一点，求直线1QA和2QA的斜率之积；(2)若112NFFM=，求直线l的方程；(3)若直线2MA与直线2NA的斜率分别是12kk、，且1294k k=，求证：直线l过定点.【解析】（1）在椭圆 22:143xyC+=中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)AA、，设点()000,(2)Q xyx ，则 122020002200003 14322444QAQAxyyykkxxxx=+.（2）设()()1122,M x yN xy，由已知可得1(1,0)F，122111(1,)(+1,)NFxyFMxy=，学科网（北京）股份有限公司 由112NFFM=得2

38、211(1,)2(+1,)=xyxy，化简得2121=322xxyy=代入2222143xy+=可得22114(32)(32)1+=xy，联立2211143xy+=解得117=43 5=8xy 由112NFFM=得直线l过点1(1,0)F，73(,5)48N，所以，所求直线方程为5=(1)2yx+.（3）设()()3344,M xyN xy，易知直线l的斜率不为0，设其方程为xmyt=+（2t），联立22143xmytxy=+=，可得()2223463120mymtyt+=，由2 222364(34)(312)0m tmt=+，得2234tm+.由韦达定理，得234342263123434，+

39、=+mttyyy ymm.1 294k k=，34349224=yyxx.可化为()()343449220y ymytmyt+=，整理即得()()223434499(2)9(2)0my ym tyyt+=，()222223126499(2)9(2)03434tmtmm ttmm+=+，由20t，进一步得2222(49)(2)183(2)03434mtm ttmm+=+，化简可得16160t=，解得1t=，直线MN的方程为1xmy=+，恒过定点(1,0).学科网（北京）股份有限公司 【典例【典例 4-2】（2024全国模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左、右顶点分别为()(

40、),2,2A B C abDab，直线AC的斜率为12，直线AC与椭圆E交于另一点G，且点G到x轴的距离为43(1)求椭圆E的方程(2)若点P是E上与点,A B不重合的任意一点，直线,PC PD与x轴分别交于点,M N 设直线,PM PN的斜率分别为12,k k，求211 2kkk k的取值范围 判断22|AMBN+是否为定值若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由【解析】（1）由题意知，(),0Aa 由直线AC的斜率为12，得()2012baa=，所以2ab=直线AC的方程为()12yxa=+设(),G s t，则0,0st 由点G到x轴的距离为43，得43t=由点G在直线AC上，得()4

41、132sa=+，所以83sa=由点G在椭圆E上，得2222843312aaa+=，解得2a=所以2b=所以椭圆E的方程为22142xy+=学科网（北京）股份有限公司（2）设()00,P xy（020y或002y）由（1）知，()()2,2,2,2CD，则00120022,22PCPDyykkkkxx=+，所以00211 21200002211442222xxkkk kkkyyyy+=由020y或002y，得02222y或02222y+，所以0442 222y或04242 22y+故2112kkk k的取值范围是)(42 2,22,42 2+由知2200142xy+=，即2220004xyy+=

42、设()()12,0,0M xN x 因为,P C M三点共线，所以00120222yxx=，得0001002422222xyxxyy+=+=因为,P D N三点共线，所以00220222yxx=+，得0002002422222xxyxyy=所以()()222222000012002222222222yxxyAMBNxxyy+=+=+=()220002008816822xyyyy+=()()()()()2000002200008 48 221616882222yyyyyyyyy+=+=()00008 21681622yyyy+=学科网（北京）股份有限公司 故22|AMBN+为定值 16【变式【变

43、式 4-1】（2024高三上海闵行期中）已知双曲线C：()222210,0 xyabab=的离心率为2，点()3,1在双曲线C上过C的左焦点 F 作直线l交C的左支于 A、B 两点(1)求双曲线 C 的方程；(2)若()2,0M，试问：是否存在直线l，使得点 M 在以AB为直径的圆上?请说明理由(3)点()4,2P，直线AP交直线2x=于点Q设直线QA、QB的斜率分别1k、2k，求证：12kk为定值【解析】（1）由双曲线2222y:1xCab=的离心率为2，且()3,1M在双曲线C上，可得222229112abceacab=+，解得228,8ab=，双曲线的方程为22188xy=（2）双曲线C

44、的左焦点为()4,0F，当直线l的斜率为 0 时，此时直线为0y=，与双曲线C左支只有一个交点，舍去；当直线l的斜率不为 0 时，设:4l xmy=，联立方程组2248xmyxy=，消x得()221880mymy+=，易得0，设()()1122,A x yB xy，则12122288,011myyy ymm+=，可得11m，()()11222,2,MAxyMBxy=+=+，则()()()()211212122222MA MBxxy ymymyy y=+=+()()()22212122281161244411mmmy ym yymm+=+=+=，即0MA MB，可得MA与MB不垂直，不存在直线l

45、，使得点M在以AB为直径的圆上（3）由直线()1:24AP ykx=+，得(12,22)Qk+，2121222222222ykykkxmy=+，又11111224PAyykkxmy=+，学科网（北京）股份有限公司()()()()12121121121212222222222ymymyykyykkkmymymy my=()2111112224222myymymk ymy my+=，1112ykmy=，1112k myy=，且1212yymy y+=，()()()1212121212122222m yyyykkmy myyyy=+，即12kk为定值 【变式【变式 4-2】（2024全国模拟预测）已

46、知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左、右焦点分别为12,F F，从下面3 个条件中选出 2 个作为已知条件，并回答下面的问题：点()3 2,1P 在双曲线C上；点Q在双曲线C上，1290QFF=，且113QF=；双曲线C的一条渐近线与直线33yx=垂直.(1)求双曲线C的方程；(2)设,A B分别为双曲线C的左、右顶点，过点()0,1的直线l与双曲线C交于,M N两点，若AMBNkak=，求直线l的斜率.【解析】（1）选，因为点()3 2,1P 在双曲线C上，所以221811ab=，由题意可设()1(,0),QFcQc y，因为点Q在双曲线C上，所以22221Qycab=，所以2

47、Qbya=，又113QF=，所以213ba=，联立222181113abba=，所以3,1ab=（负值舍去），学科网（北京）股份有限公司 故双曲线C的方程为2219xy=；选，由，得221811ab=，由，得31ba=，联立22181131abba=，解得3,1ab=（负值舍去），故双曲线C的方程为2219xy=，选，由题意可设()1(,0),QFcQc y，因为点Q在双曲线C上，所以22221Qycab=，所以2Qbya=，又113QF=，所以213ba=，又由，得31ba=，联立21331baba=，解得3,1ab=（负值舍去），故双曲线C的方程为2219xy=.（2）依题意可知()()3

48、,0,3,0AB，易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为1ykx=，()()1122,M x yN xy，联立22119ykxxy=，消去y并整理，得()221 918180kxkx+=，由()()()222(18)4 1 91836 290kkk=，且2190k，得229k 且219k，学科网（北京）股份有限公司 所以1212221818,1919kxxx xkk+=，又221119xy=，即221199xy=，则1111339yxxy=+，所以()()11121122122233339933AMBNyxxxkxyyyky yxx+=()()()()()1212121221212123939

49、91191x xxxx xxxkxkxk x xk xx+=+222222221818399611 91 93911818911 91 9kkkkkkkkkk+=+，整理得218310kk=，解得16k=或13k=（舍去），故直线l的斜率为16.05 定点定值问题定点定值问题 1、定值问题、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决证明过程可总结为“变量函数定值”，具体操作程序如下：（1）变量-选择适当的量为变量（2）函数-把要证明为定值的量表示成变量的函数（3）定值-化简得到的函数解析式，消去变量得到定值 2、求定值问题常见的方法有两种：、求定值问题常见的方法有两种：（1）

50、从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值 3、求解直线过定点问题常用方法如下：、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,xy，常利用直线的点斜式方程()00yyk xx=或截距式ykxb=+来证明 一般解题步骤：一般解题步骤：斜截式