广西2024届高三下学期新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）数学 含解析.pdf

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1、广西广西 2024 届高三下学期新教材新高考桂柳信息冲刺金卷届高三下学期新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四四）2024 学学年新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）年新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）数数 学学注意事项：注意事项：1.本卷共本卷共 150 分分，考试时间考试时间 120 分钟分钟答卷前答卷前，考生务必将自己的姓名考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上卡和试卷指定位置上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其

2、它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效卷上无效3.考试结束，将本试题和答题卡一并交回考试结束，将本试题和答题卡一并交回一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1为了得到函数1cos3yx的图象，只需将正弦函数sinyx图象上各点（）A横坐标向右平移123个单位长度，纵坐标不变B横坐标向左平移123个单位长度，纵坐标不变C横坐标向左平移6个单

3、位长度，纵坐标不变D横坐标向右平移6个单位长度，纵坐标不变2如图 1，分别取与 x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，若3a，6，则向量a的坐标为（）图 1A33,22B3 3,22C33,22D3 3,2 23 某高中科技课上，老师组织学生设计一个圆台状的器皿材料，其厚度忽略不计，该器皿下底面半径为 3cm，上底面半径为 10cm，容积为3556 cm，则该器皿的高为（）A5cmB12cmC15cmD20cm4抛物线2yax绕其顶点顺时针旋转90之后，得到的图象正好对应抛物线22yx，则a（）A14B14C12D125已知有限集 X，Y，定义集合|,XYx xXxY且，X

4、表示集合 X 中的元素个数若1,2,3,4X，3,4,5Y，则XYYX（）A3B4C5D66“6n”是“21nxx的二项展开式中存在常数项”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件7在某电路上有 C，D 两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换 C 元件的概率为 0.3，需要更换 D 元件的概率为 0.2，则在某次通电后 C，D 有且只有一个需要更换的条件下，C 需要更换的概率是（）A310B913C1219D348定义：设二元函数,zf x y在点00,xy的附近有定义，当 y 固定在0y而 x 在0 x处有改变量x时，相应的二元函数,zf x y有改变量000

5、0,zf xx yf xy，如果0limxzx 存在，那么称此极限为二元函数,zf x y在点00,xy处对 x 的偏导数，记作00,xfxy若,zf x y在区域 D 内每一个点,x y对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于 x，y 的二元函数，它就被称为二元函数,zf x y对自变量 x 的偏导函数，记作,xfx y已知22,F x yxyxy，若,1F x y，则,xyFx yFx y的取值范围为（）A,2B2,2C0,2D2,二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是分，在每小题给出的四

6、个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分分9根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（）A自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积B在 b 克盐水中含有 a 克盐（0ba），再加入 n 克盐，全部溶解，则盐水变咸了C 某工厂第一年的产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，则这两年的平均增长率等于2abD购买同一种物品，可以用两种不同的策略。第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格

7、的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定用第一种方式购买一定更实惠。10复数izxy（,x yR，i 为虚数单位）在复平面内内对应点,Z x y，则下列为真命题的是（）A若11zz，则点 Z 在圆上B若114zz，则点 Z 在椭圆上C若112zz，则点 Z 在双曲线上D若11xz，则点 Z 在抛物线上11 若数列 na nb满足12nnnaab，12nnnbba，且11a，10b，则下列结论中正确的是（）A414a B32nnnabC5158iibD若nnab为等比数列，则1 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分把答案填在答题卡的相应

8、位置分把答案填在答题卡的相应位置12已知函数 tanf xx，则曲线 yf x在x处的切线方程为_13 点 P 为圆22215xy上一点，点5 3,0A，0,5B，记 P 到 A，B 两点的距离分别为 l 与 m 则22lm的最大值为_14已知双曲线 C 的方程为221169xy，其左右焦点分别为1F，2F，已知点 P 坐标为4,2，双曲线 C上的点00,Q xy（00 x，00y）满足11211121QF PFF F PFQFF F ，设12QF F内切圆半径为 r，则r _，121 2F PQF PQPF FSSS_四、解答题（共四、解答题（共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步

9、骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分 13 分）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2sinsinsinsinsinBCABC（1）求 A；（2）若3a，BAC的角平分线交 BC 于点 D，求线段 AD 长度的最大值16（本小题满分 15 分）在长方体1111ABCDABC D中，点 E，F 分别在1BB，1DD上，且1AFAD，1AABD图 2（1）求证：平面1ACD 平面 AEF；（2）当3AD，4AB，求平面11D B BD与平面1ACD的夹角的余弦值17（本题满分 15 分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布 对于一个给

10、定的连续型随机变量 X，定义其累积分布函数为 F xP Xx已知某系统由一个电源和并联的 A，B，C 三个元件组成（如图 3），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立图 3（1）已知电源电压 X（单位：V）服从正态分布40,4N，且 X 的积累分布函数为 F x，求4236FF；（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间已知随机变量 T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为 0,011,04ttG tt设120tt，证明：1212|P Tt TtP Ttt；附：若随机变量 Y 服

11、从正态分布2,N，则0.6827P Y，20.9545P Y，30.9973P Y18（本小题满分 17 分）已知椭圆2222:1xyCab0ab的离心率为12，A，B，O 分别为椭圆 C 的左，右顶点和坐标原点，点D 为椭圆 C 上异于 A，B 的一动点，DAB面积的最大值为2 3图 4（1）求椭圆 C 的方程；（2）过右焦点 F 的直线交椭圆 C 于 M、N 两点，直线:4l x 交 x 轴于 P，过 M、N 分别作 l 的垂线，交 l于 S、T 两点，H 为 l 上除点 P 的任一点（）证明：24MPNMPSNPTSSS；（）设直线 HM、HN、HF 的斜率分别为1k、2k、3k，求12

12、3kkk的值19（本小题满分 17 分）英国数学家泰勒发现了如下公式：23e12!2!nxxxxxn 以上公式成为泰勒公式设 ee2xxf x，ee2xxg x，根据以上信息，并结合所学的数学知识，解决如下问题（1）证明：e1xx；（2）设0,x，证明：f xxg x；（3）设 212xF xg xa，若0 x 是 F x的极小值点，求实数 a 的取值范围2024 学年新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）学年新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）数学参考答案数学参考答案1B（把sincos2yxx上的所有点向左平移123个单位长度，得到函数1cos3yx的图象故应选 B）2A（由题意得，333cos

13、3sin,6622aij故应选 A）3B（由题意得，1(910030)5563h，解得12h 故应选 B）4D（抛物线22yx即212xy的开口向上，将其绕顶点逆时针方向旋转90，得到的抛物线开口向左，其方程为22xy ，所以2xxa，则12a ，故应选 D）5A（1,2,3,4X，3,4,5Y 1,2XY，5YX，1,2,5XYYX，3XYYX故应选 A）6A（21nxx展开式的通项为：22311CC(0,)rn rrrnrrnnTxxrn rxN；当6n 时，取4r，则4056C15Tx，故充分性成立；当230nr时，1nxx展开式中存在常数项，如128nr，故必要性不成立；所以“6n”是

14、“1nxx的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件故应选 A）7C（记事件 E：在某次通电后 C，D 有且只有一个需要更换，事件 F：C 需要更换，则()0.3(1 0.2)(1 0.3)0.20.38P E，()0.3(1 0.2)0.24P EF 由条件概率公式可得()0.2412|()0.3819P EFP F EP E故应选 C）8B（依题意，222200()()(,)limlimxxxzxxyxx yxyxyF x yxx 0lim(2)2xxyxxy 同理可求得(,)2yF x yyx，所以(,)(,)xyF x yF x yxy，设zxy，则yxz ，由22(,)1F x yx

15、yxy，得22()()10 xxzxxz ，223310 xzxz，此方程有解，所以22291213120zzz ，24z，22z 故应选 B）9AB 对于选项 A：设周长为0l，则圆的面积为2224llS圆，正方形的面积为22416llS正方形，因为11416，20l，可得22416ll，即SS圆正方形，故 A 正确；对于选项 B：原盐水的浓度为ab，加入0n 克盐，盐水的浓度为anbn，则()()anan babnbb bn，因为0ba，0n，可得0ba，0bn，所以()0()anan babnbb bn，即anabnb，故 B 正确；对于选项 C：设这两年的平均增长率为x，则2(1)(1

16、)(1)AabAx，可得(1)(1)1xab，因为(1)(1)1(1)(1)122ababxab，即2abx，当且仅当11ab，即ab时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于2ab，故C错误；对于选项 D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p元/kg，购 n kg，第二次购物时的价格为2p元/kg，购 n kg，两次购物的平均价格为121222p np nppn；若按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购1mpkg 物品，第二次仍花m元钱，能购2kgmp物品，两次购物的平均价格为12122211mmmpppp比较两次购的平均价格：22121212121212121212124220112

17、222ppp pppppppp ppppppppp，当且仅当12pp时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，故 D 错误；故应选 AB）10BD（22|1|(1)zxy表示点(,)x y与(1,0)之间的距离，22|1|(1)zxy表示点(,)x y与(1,0)之间的距离，记1(1,0)F，2(1,0)F，对于 A，|1|1|zz，表示点(,)Z x y到1F、2F距离相等，则点Z在线段12FF的中垂线上，故 A 错误；或由2222(1)(1)xyxy，整理得0 x，所以点Z在0 x，故 A 错误；对于 B，由|1|1|4zz得12122ZF

18、ZFFF，这符合椭圆定义，故 B 正确；对于 C，若|1|1|2zz，12122ZFZFFF，这不符合双曲线定义，故 C 错误；对于 D，若|1|1|xz，则222(1)(1)xxy，整理得24yx，为抛物线，故 D 正确 故应选 BD）11ACD（依题意，112,2nnnnnnaab bba，则113nnnnabab，而111ab，因此数列nnab是首项为 1，公比为 3 的等比数列，13nnnab，B 错误又11nnnnabab，因此111nnabab，于是1312nna，1312nnb，对于 A，3431142a，A 正确；对于 C，510 14 134058iib，C 正确；对于 D，

19、111ab，222ab，3354ab，由nnab为等比数列，得2(2)54，解得1或1，当1时，13nnnab，显然数列nnab是等比数列，当1 时，1nnab，显然数列nnab是等比数列，因此当数列nnab是等比数列时，1或1，D 正确故应选 ACD）12yx（由已知2sin1()coscosxfxxx，则21()1cosf，又()tan0f，即切点为(,0)，所以曲线()yf x在x处的切线方程为yx故答案为：yx）13850（(5 3,0)A，(0,5)B，设(15cos,15sin),P R，则222222(15cos5 3)(15sin)(15cos)(15sin5)lm225 2

20、100 150(3cossin)550300sin3，故最大值为 850）14218（设12QF F内切圆与三边的切点分别为 D，E，G，如图，则1122|,|,|QDQGFDFEF EF G，Q在双曲线右支上，由双曲线定义得1228QFQFa，则121212|QDDFQGGFDFGFEFEF2a，又122EFEFc，故1EFac，即E点横坐标为a，即12QF F内切圆的圆心横坐标为a，由11212111QF PFFF FF PFQF ，得11112112121coscosF FQFPFPFQPFPFFQFF F ，即112PFQPFF，即1PF为12QFF的角平分线，由于点P坐标为(4,2)

21、，12QF F内切圆的圆心横坐标为4a，则P即为12QF F内切圆的圆心，E为切点，则内切圆半径为|2PE；121 212121112(22)28 1018222F PQF PQPF FSSSr QFQFFFac ，故答案为：2；18）15（1）由题设及正弦边角关系可得：22()bcabc，则222bcabc，而2221cos22bcaAbc，且(0,)A，则23A（2）因为23,3aA，所以由余弦定理得2222cosabcbcA，即223bcbc，所以22323bcbcbcbcbc，即1bc（当且仅当1bc时，等号成立），因为ABCABDACDSSS，所以1211sinsinsin23232

22、3c bcADbAD ，解得bcADbc，因为2bcbc（当且仅当1bc时，等号成立），所以11222bcbcADbcbcbc（当且仅当1bc时，等号成立），所以 AD 长度的最大值为1216（1）证明：1111ABCDABC D为长方体CD平面11AAD DAF 平面11AAD DCDAF又1AFAD，且1CDADD1AFACD 平面AF 平面 AEF平面AEF 平面1ACD（2）依题意，建立以 D 为原点，以 DA，DC，1DD分别为 x，y，z 轴的空直角坐标系，15AABD则11(3,0,0),(3,4,0),(0,4,0),(3,0,5),(0,0,5)ABCAD，则111(0,0,

23、5),(3,4,0),(3,4,5),(3,0,5)DDDBACAD 设平面1ACD的法向量为n则1100n An ACD ，即3450350 xyzxz令5x，则3z (5,0,3)n设平面11D B BD的法向量为(,)mx y z，则134050m DBxym DDz ，令4x，则3,0yz，所以平面11D B BD的法向量为(4,3,0)m，设平面1ACD与平面11D B BD的夹角为，则202 34cos|cos,|17|345m nm nm n ，所以平面1ACD与平面11D B BD的夹角的余弦值为2 341717（1）由题设得(3842)0.6827,(3644)0.9545P

24、XPX，所以(42)(36)(42)(36)(4042)(3640)FFP XP XPXPX1(0.68270.9545)0.81862（2）由题设得：121111222221111PTtTtP TtP TtG tP TtTtP TtP TtP TtG t1121221111444111144tttttt21121212114ttP TttP TttG tt ，所以1212P TtTtP Ttt18（1）由题意知22212122 32abccaab，解得2a，3b，所以C的方程为22143xy；（2）解：易知点(4,0)P、(1,0)F，若直线 MN 与 x 轴重合，则 M、P、N 重合，则M

25、PN不存在，不合乎题意，设直线 MN 的方程为1xmy，设点11,M x y、22,N xy，联立2213412xmyxy可得2234690mymy，2223636 4314410mmm，由韦达定理可得122634myym，122934y ym，所以，2212112211143444222MPNMPSNPTSSSyyyxyx 21212121294334yyy yy ymymy22121212121294394yyy yy ym y ym yy222222229363693(6)9943434343434mmmmmmmmm 2222229 36362736 189034mmmmm解：设点(4,

26、)Ht，其中0t，则12121212312443333ytytkkxxytyttktmymy 12211233333ytmyytmytmymy1212212122(3)6339my ymtyyttm y ym yy2222222226 342(9)(6)(3)334343493493(6)343434tmmmmtmmmtmmmmmmm 2222222721318186241829183627361mmmm tttmtmmmm19（1）设()e1xh xx，则()e1xh x当0 x 时，()0h x；当0 x 时，()0h x，所以()h x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增因此，()

27、(0)0h xh，即e1xx（2）由泰勒公式知2345e12!3!4!5!nxxxxxxxn，于是2345e1(1)2!3!4!5!nxnxxxxxxn ，由得3521ee()23!5!(21)!xxnxxxf xxn，2422ee()122!4!(22)!xxnxxxg xn，所以2422()13!5!(21)!nf xxxxxn 24221()2!4!(22)!nxxxg xn 即()()f xxxg x（3）22ee()()11222xxxxF xg xaa，则ee()2xxF xax，设ee()2xxG xax，ee()2xxG xa由基本不等式知，ee12 ee122xxxx，当且仅

28、当0 x 时等号成立所以当1a 时，()10G xa，所以()F x在R上单调递增又因为()F x是奇函数，且(0)0F，所以当0 x 时，()0F x；当0 x 时，()0F x所以()F x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增因此，0 x 是()F x的极小值点下面证明：当1a 时，0 x 不是()F x的极小值点当1a 时，lnlnee111 1(ln)0222aaGaaaaaaa，又因为()G x是R上的偶函数，且()G x在(0,)上单调递增，所以当(ln,ln)xaa 时，()0G x因此，()F x在(ln,ln)aa上单调递减又因为()F x是奇函数，且(0)0F，所以当ln0ax时，()0F x；当0lnxa时，()0F x所以()F x在(ln,0)a上单调递增，在(0,ln)a上单调递减因此，0 x 是()F x的极大值点，不是()F x的极小值点综上，实数a的取值范围是(,1