新定义新情景压轴解答题-2024年高考数学压轴题专项训练含答案.pdf

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1、1压轴题型 新定义新情景压轴解答题压轴题型 新定义新情景压轴解答题命题预测创新意识与创新应用是新时代的主旋律，也是高中数学教学与学习中需要不断渗透与培养的一种基本精神与能力！借助“新定义”，可以巧妙进行数学知识中的概念类比、公式设置、性质应用、知识拓展与创新应用等的交汇与融合，很好地融入创新意识与创新应用.所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。2024年九省联考之后，第19题将考查新定义问题。现在也有部分地区考试采用该结构考试，比如安徽合肥一中省十联考等

2、。预测2024年新高考试卷第19题结构考查新定义问题，压轴题，难度比较大高频考法(1)集合与数列新定义(2)函数与导数新定义(3)立体几何与解析几何新定义(4)概率与统计新定义(5)高等数学背景下新定义01集合与数列新定义01集合与数列新定义解答新定义型创新题的基本思路是：(1)正确理解新定义；(2)根据新定义建立关系式；(3)结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；(4)运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果新定义新情景压轴解答题新定义新情景压轴解答题-2024年高考数学压轴题专项训练年高考数学压轴题专项训练21(2024(2024北京北京模拟预测模拟预测)对给定的正整

3、数n，令n=a=a1,a2,anai 0,1,i=1,2,n，对任意的x=x1,x2,xn，y=y1,y2,ynn，定义x与y的距离d x,y=x1-y1+x2-y2+xn-yn设A是n的含有至少两个元素的子集，集合D=d x,yxy,x,yA 中的最小值称为A的特征，记作 A(1)当n=3时，直接写出下述集合的特征：A=0,0,0,1,1,1,B=0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,0,C=0,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1；(2)当n=2020时，设A2020且 A=2，求A中元素个数的最大值；(3)当n=2020时，设A2020且 A=3，求证：A中的元素个数小于22

4、02020212(2024(2024重庆重庆模拟预测模拟预测)在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组 x,y表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组 x,y,z表示，一般地在n n2,nN维空间中点A的坐标可用n个有序数组 a a1 1,a a2 2,a an n表示，并定义n维空间中两点A a1,a2,an，B b1,b2,bn间的“距离”d AB=ni=1ai-bi(1)若A 1,12,13,1n，B12,13,1n+1，求d AB；(2)设集合U7=a1,a2,a7ai 0,1,i=1,2,7元素个数为2的集合M为U7的子集，且满足对于任意AU7，都存在唯一的BM使得d AB3，则

5、称M为“U7的优集”证明：“U7的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是733(2024(2024江西上饶江西上饶二模二模)对于数列A:a1,a2,a3aiN,i=1,2,3，定义“F变换”：F将数列A变换成数列B:b1,b2,b3，其中bi=ai-ai+1i=1,2，且b3=a3-a1这种“F变换”记作B=F A，继续对数列B进行“F变换”，得到数列C:c1,c2,c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束(1)写出数列A:2,5,3，经过6次“F变换”后得到的数列；(2)若a1,a2,a3不全相等，判断数列A:a1,a2,a3经过不断的“F变换”是否会结束，并说明理由；(3)设数列

6、A:185,3,188经过k次“F变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值4(2024(2024山西山西模拟预测模拟预测)对于数列 an，若存在M0，使得对任意nN N*，总有nk=1ak+1-ak0，证明：xnyn 是有界变差数列40202函数与导数新定义函数与导数新定义函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸5(2024(2024广西广西二模二模)定义：若函数 f x图象上恰好存在相异的

7、两点P,Q满足曲线y=f x在P和Q处的切线重合，则称P,Q为曲线y=f x的“双重切点”，直线PQ为曲线y=f x的“双重切线”.(1)直线y=x-52是否为曲线 f x=12x2-2x+2lnx的“双重切线”，请说明理由；(2)已知函数g x=ex+1,x0,6-4x,x0,求曲线y=g x的“双重切线”的方程；(3)已知函数h x=cosx，直线PQ为曲线y=h x的“双重切线”，记直线PQ的斜率所有可能的取值为k1,k2,kn，若k1k2kii=3,4,5,n，证明：k1k20，f x=0.05x2+0.1x+aln x+1，且y=f x为L-1函数，g x=fx，对任意x,y0,1，

8、恒有 g x-g yM，记M的最小值为M a，求a的取值范围及M a关于a的表达式.70303立体几何与解析几何新定义立体几何与解析几何新定义空间立体几何与解析几何新定义试题呈现的结构通常为“给出图形的新定义-探索图形的新性质-运用图形的新性质解决问题”，设问的层次通常为从简单到复杂、从特殊到一般理解概念重要的不仅是概念如何定义，而且是概念能够引出哪些性质(具有哪些表征)；研究图形重要的不仅是发现了什么结论，而且是采用了怎样的思想方法这正是数学课程性质中的抽象结构思想和数学课程目标中的核心素养导向的体现8(2024(2024全国全国模拟预测模拟预测)人类对地球形状的认识经历了漫长的历程古人认为

9、宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面:x2a2+y2b2+z2c2=1 a0,b0,c0，这说明椭球完全包含在由平面x=a,y=b,z=c所围成的长方体内，其中a,b,c按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴某椭球面与坐标面z=0的截痕是椭圆E:x22+y2=1.(1)已知椭圆x2a

10、2+y2b2=1 ab0在其上一点Q x0,y0处的切线方程为xx0a2+yy0b2=1过椭圆E的左焦点F1作直线l与椭圆E相交于A,B两点，过点A,B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求ABM面积的最小值(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等当b=c时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积89(2024(2024高三高三河北河北阶段练习阶段练习)已知

11、a=x1,y1,z1，b=x2,y2,z2，c=x3,y3,z3，定义一种运算：abc=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1,1,0，AD=0,2,2，AA1=1,-1,1.(1)证明：平行六面体ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱；(2)计算AB AD AA1，并求该平行六面体的体积，说明AB AD AA1 的值与平行六面体ABCD-A1B1C1D1体积的关系.910(2024(2024辽宁沈阳辽宁沈阳二模二模)蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱

12、锥H-ABC，J-CDE，K-EFA，再分别以AC，CE，EA为轴将ACH，CEJ，EAK分别向上翻转180，使H，J，K三点重合为点S所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示).例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3，所以正四面体在各顶点的曲率为2-33=.(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设BH=x(i)用x表示蜂房(图2右侧多面体)的表面积S

13、(x)；(ii)当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.1011(2024(2024高三高三浙江丽水浙江丽水开学考试开学考试)数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转集合H H=d+ai+bj+cka,b,c,dR R中的元素=d+ai+bj+ck称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为的实部，ai+bj+ck称为的虚部两个四元数之间的加法定义为 d1+a1i+b1j+c1k+d2+a2i+b2j+c2k=d1+d2+a1+a2i+b1+b2j+c1+c2k两个四元数的乘法定义为：ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=

14、-ik=j,i2=j2=k2=-1,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律对于四元数，若存在四元数使得=1，称是的逆，记为=-1实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W(1)设a,b,c,dR R,四元数=d+ai+bj+ck记*=d-ai-bj-ck表示的共轭四元数(i)计算*；(ii)若0，求-1；(iii)若0,W，证明：-1W；(2)在空间直角坐标系中，把空间向量=(a,b,c)与纯四元数=ai+bj+ck看作同一个数学对象设,W,=12(-)(i)证明：W;(ii)若,是平面X内的两个不共线向量，证明：是X的一个法向量110404概率与统计新定义概率与统计新定义解概

15、率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题12(2024(2024吉林长春吉林长春三模三模)入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”南方游客纷纷北上，体验东北最美的冬天某景区为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，并在购票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下表是该景区在购票平台10天销售优惠券情况日期t12345678910销售量y(千张)1.91.982.22.362.432.592.682

16、.762.70.4经计算可得：y=11010i=1yi=2.2，10i=1tiyi=118.73，10i=1t2i=385(1)由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程(精确到0.01)，并估计第10天的正常销量；(2)假设每位顾客选择A套餐的概率为25，选择B套餐的概率为35，其中A套餐包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为Pn，求Pn；(3)记(2)中所得概率Pn的值构成数列 PnnN N*求数列 Pn的最值；数列收敛的定义：已知数列 an，若对于

17、任意给定的正数，总存在正整数N0，使得当nN0时，an-aN0时，an-a0，则称pij=P X=xiY=yj=pijpj(i=1,2,n)为给定Y=yj条件下的X条件分布列离散随机变量的条件分布的数学期望(若存在)定义如下：E XY=y=i=1nxiP X=xiY=y(1)设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为YX123pi10.10.30.20.620.050.20.150.4pj0.150.50.351求给定X=1条件下的Y条件分布列；(2)设(X,Y)为二维离散随机变量，且E(X)存在，证明：E(X)=j=1mE XY=yjp.j；(3)某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开

18、迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫；第二个门通一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫150505高等数学背景下新定义高等数学背景下新定义1、泰勒公式有如下特殊形式：当f x在x=0处的n nN N*阶导数都存在时，f x=f 0+f0 x+f02!x2+f303!x3+fn0n!xn+注：fx表示f x的2阶导数，即为fx的导数，fnxn3表示f x的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式2、【极值点第二充分条件】【极值点第二充分条件】已知函数f(x)在x=x0处二阶可导，且

19、fx0=0,fx00(1)若fx00，则f(x)在x0处取得极小值；(2)若fx00，则f(x)在x0处取得极大值.3、帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的m,n阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+amxm1+b1x+bnxn，且满足：f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)(注：f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，f(4)(x)=f(x)，f(5)(x)=f(4)(x)，；f(n)(x)为f(n-1)(x)的导数).4、拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如

20、果函数f x在a,b上连续，且在a,b上可导，则必有 a,b，使得fb-a=f b-f a.5、罗尔定理描述如下：如果R上的函数f(x)满足以下条件：在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，f(a)=f(b)，则至少存在一个(a,b)，使得f=06、微积分微积分知识卡片1：一般地，如果函数f x在区间a,b上连续，用分点a=x0 x1xi-1xi0，k是大于1的正整数，若函数 f x满足：对任意x 0,a，均有 f x fxk成立，且limx0f x=0，则称函数 f x为区间 0,a上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断 f x=x3-3x是否为区间 0,

21、3上的2阶无穷递降函数；(2)计算：limx0(1+x)1x；(3)证明：sinxx-32an-1an19(2024(2024贵州贵阳贵州贵阳一模一模)英国数学家泰勒发现了如下公式：ex=1+x+x22!+x33!+xnn!+其中n!=1234n,e为自然对数的底数，e=2.71828.以上公式称为泰勒公式.设f x=ex-e-x2,g x=ex+e-x2，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.(1)证明：ex1+x；(2)设x 0,+，证明：f xxg x；(3)设F x=g x-a 1+x22，若x=0是F x的极小值点，求实数a的取值范围.1820给出以下三个材料：若函数

22、 f x可导，我们通常把导函数 fx的导数叫做 f x的二阶导数，记作 fx.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作 fx，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，n-1阶导数的导数叫做n阶导数，记作 fnx=fn-1x,n4.若nN，定义n!=n n-1 n-2321.若函数 f x在包含x0的某个开区间 a,b上具有n阶的导数，那么对于任一x a,b有g x=f x0+fx01!x-x0+fx02!x-x02+fx03!x-x03+fnx0n!x-x0n，我们将g x称为函数 f x在点x=x0处的n阶泰勒展开式.例如，y=ex在点x=0处的n阶泰勒展开式为1+x+12x2+1n!xn.根据以

23、上三段材料，完成下面的题目：(1)求出 f1x=sinx在点x=0处的3阶泰勒展开式g1x，并直接写出 f2x=cosx在点x=0处的3阶泰勒展开式g2x；(2)比较(1)中 f1x与g1x的大小.(3)证明：ex+sinx+cosx2+2x.1921已知各项均不为0的数列 an满足an+2an=an+1an+a2n+1(n是正整数)，a1=a2=1，定义函数y=fn(x)=1+nk=11k!xk(x0)，e是自然对数的底数.(1)求证：数列an+1an 是等差数列，并求数列 an的通项公式；(2)记函数y=gn(x)，其中gn(x)=1-e-xfn(x).(i)证明：对任意x0，0g3(x)

24、f4(x)-f3(x)；(ii)数列 bn满足bn=2n-1an，设Tn为数列 bn的前n项和.数列 Tn的极限的严格定义为：若存在一个常数T，使得对任意给定的正实数u(不论它多么小)，总存在正整数m满足：当nm时，恒有 Tn-Tu成立，则称T为数列Tn的极限.试根据以上定义求出数列Tn的极限T.22已知数列 an为有穷数列，且anN*，若数列 an满足如下两个性质，则称数列 an为m的k增数列：a1+a2+a3+an=m；对于1i jn，使得aiaj的正整数对 i,j有k个.(1)写出所有4的1增数列；(2)当n=5时，若存在m的6增数列，求m的最小值.2023已知数列A:a1,a2,aN(

25、N3)的各项均为正整数，设集合T=xx=aj-ai，1i jN，记T的元素个数为P(T).(1)若数列A:1，3，5，7，求集合T，并写出P(T)的值;(2)若A是递减数列，求证:“P(T)=N-1”的充要条件是“A为等差数列”;(3)已知数列A:2,22,2N，求证:P(T)=N(N-1)2.24对正整数m3,n6，设数列A:a1,a2,an,ai 0,1i=1,2,n.B是m行n列的数阵，bij表示B中第i行第 j列的数，bij 0,1i=1,2,m;j=1,2,n，且B同时满足下列三个条件：每行恰有三个1；每列至少有一个1；任意两行不相同记集合 ia1bi1+a2bi2+anbin=0

26、或3,i=1,2,m中元素的个数为K(1)若A:1,1,1,0,0,0,B=111000101100000111，求K的值；(2)若对任意p,q 1,2,n(pb0)的离心率为63，直线l与相切，与圆O：x2+y2=3a2相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，|AB|=2 6.(1)求的方程；(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d(M,N).()若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当PAB的面积最大时，求d(M,N)；()若d(M,N)，d(N,M)均存在，记两者中的较大者为H(M,N).已知H(X,Y

27、)，H(Y,Z)，H(X,Z)均存在，证明：H(X,Z)+H(Y,Z)H(X,Y).2329直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=ty+1表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆C1:x2+y2=1是直线族mx+ny=1(m,nR R)的包络曲线，求m,n满足的关系式；(2)若点P x0,y0不在直线族：:(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(aR R)的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族的包络曲线E；(3)在(2)的条件下，过曲线E上A,B两点作曲线E的切线l

28、1,l2，其交点为P.已知点C 0,1，若A,B,C三点不共线，探究PCA=PCB是否成立？请说明理由.30在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A x1,y1,B x2,y2之间的“距离”为 AB=x2-x1+y2-y1，我们把到两定点F1-c,0,F2c,0c0的“距离”之和为常数2a ac的点的轨迹叫“椭圆”(1)求“椭圆”的方程；(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；(3)设c=1,a=2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A，过F2作直线交C于M,N两点，AMN的外心为Q，求证：直线OQ与MN的斜率之积为定值2431阅读材料：在平

29、面直角坐标系中，若点M x,y与定点F c,0(或F-c,0的距离和它到定直线l:x=a2c(或l:x=-a2c)的距离之比是常数ca(0c0)，则得到方程x2a2+y2b2=1(ab0)，所以点M的轨迹是一个椭圆，这是从另一个角度给出了椭圆的定义.这里定点F c,0是椭圆的一个焦点，直线l:x=a2c称为相应于焦点F的准线；定点F-c,0是椭圆的另一个焦点，直线l:x=-a2c称为相应于焦点F的准线.根据椭圆的这个定义，我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离.若点M x,y在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上，F c,0是椭圆的右焦点，椭圆的离心率e=ca，则点M x,y到准线l:x=

30、a2c的距离为a2c-x，所以 MF=caa2c-x=a-cax=a-ex，我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式.结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F，点P是该椭圆上第一象限的点，且PFx轴，若直线l:x=9是椭圆右准线方程，点P到直线l的距离为8.(1)求点P的坐标；(2)若点M,N也在椭圆C上且MNP的重心为F，判断 FM,FP,FN是否能构成等差数列？如果能，求出该等差数列的公差，如果不能，说明理由.2532定义：若椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上的两个点A x1,y1,B x2,y2满足x1x2a2+y1y2b2=0，则称A,B为

31、该椭圆的一个“共轭点对”，记作 A,B.已知椭圆C的一个焦点坐标为F1-2 2,0，且椭圆C过点A 3,1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求“共轭点对”A,B中点B所在直线l的方程；(3)设O为坐标原点，点P,Q在椭圆C上，且PQOA，(2)中的直线l与椭圆C交于两点B1,B2，且B1点的纵坐标大于0，设四点B1,P,B2,Q在椭圆C上逆时针排列.证明：四边形B1PB2Q的面积小于8 3.33定义：若椭圆x2a2+y2b2=1 ab0上的两个点A x1,y1，B x2,y2满足x1x2a2+y1y2b2=0，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 A,B已知椭圆C：x212+y24=1上

32、一点A 3,1(1)求“共轭点对”A,B中点B所在直线l的方程(2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且PQOA，(1)中的直线l与椭圆C交于两点B1,B2求点B1，B2的坐标；设四点B1，P，B2，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形B1PB2Q的面积小于8 32634定义：一般地，当0且1时，我们把方程x2a2+y2b2=ab0表示的椭圆C称为椭圆x2a2+y2b2=1 ab0的相似椭圆已知椭圆C:x24+y2=1，椭圆C(0且1)是椭圆C的相似椭圆，点P为椭圆C上异于其左、右顶点M,N的任意一点(1)当=2时，若与椭圆C有且只有一个公共点的直线l1，l2恰好相交于点P，直线l1，l2的

33、斜率分别为k1,k2，求k1k2的值；(2)当=e2(e为椭圆C的离心率)时，设直线PM与椭圆C交于点A,B，直线PN与椭圆C交于点D,E，求 AB+DE的值35在计算机科学中，n维数组X=x1,x2,xn,xi 0,1,iN+是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用对于n维数组A=a1,a2,an，B=b1,b2,bn，定义A与B的差为A-B=a1-b1,a2-b2,an-bn,A与B之间的距离为d(A,B)=ni=1ai-bi(1)若n维数组O=0,0,0，证明：d A,O+d B,Od A,B；(2)证明：对任意的数组A，B，C，有d(A-C,B-C)=d(A,B)；(3

34、)设集合P中有m m2个n维数组，记P中所有两元素间的距离的平均值为d(P)，证明：dPmn2 m-12736信息熵是信息论之父香农(Shannon)定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文 通信的数学理论 中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量X所有可能的取值为1,2,n nN N*，且P(X=i)=pi0(i=1,2,n),ni=1pi=1，定义X的信息熵H(X)=-ni=1pilog2pi.(1)当n=1时，计算H X；(2)若pi=1ni=1,2,n，判断并证明当n增大时，H X的变化趋势；(3)若n

35、=2m mN N*，随机变量Y所有可能的取值为1,2,m，且P Y=j=pj+p2m+1-jj=1,2,m，证明：H XH Y.37正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为F(x)=P(Xx)已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立(1)已知电源电压X(单位：V)服从正态分布N(40,4)，且X的累积分布函数为F(x)，求F(44)-F(38)；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间已知随机变量T

36、(单位：天)表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为G t=0,tt20，证明：P(Tt1|Tt2)=P(Tt1-t2)；()若第n天元件A发生故障，求第n+1天系统正常运行的概率附：若随机变量Y服从正态分布N(,2)，则P(|Y-|)=0.6827，P(|Y-|2)=0.9545，P(|Y-|+，则认为指标I偏高；若I+0,-xi+.-1,xi-()简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由A=f x1+f x2+f x50；B=f x1f x1+1+f x2f x2+1+f x50f x50+12；()为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在()中的统计量中选择一

37、个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策2939在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵信源熵平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件样本或特征.(熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大)来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息(熵)定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值(即期望)就是这个分布产生的信息量的平均值(即熵).熵的单位通常为比

38、特，但也用Sh、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1Sh的信息，而掷m次就为m位.更一般地，你需要用log2n位来表示一个可以取n个值的变量.在1948年，克劳德艾尔伍德香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为1,2,n，定义的信息熵H()=-ni=1Pilog2Pi，ni=1Pi=1，i=1,2,n.(1)若n=2，试探索的信息熵关于P1的解析式，并

39、求其最大值；(2)若P1=P2=12n-1，Pk+1=2Pk(k=2,3,n)，求此时的信息熵.3040在平面直角坐标系中，两点P x1,y1,Q x2,y2的“曼哈顿距离”定义为 x1-x2+y1-y2，记为PQ，如点P 1,-2,Q-2,-4的“曼哈顿距离”为5，记为PQ=5.(1)若点P 0,2,M是满足PQ2的动点Q的集合，求点集M所占区域的面积；(2)若动点P在直线y=x-2上，动点Q在函数y=ex的图象上，求PQ的最小值；(3)设点P a,b，动点Q在函数y=2x2x-2,2的图象上，PQ的最大值记为M a,b，求M a,b的最小值.41已知集合Sn=X X=x1,x2,xn,xi

40、 0,1,i=1,2,nn2，对于A=a1,a2,an，B=b1,b2,bnSn，定义A与B之间的距离为d A,B=ni=1ai-bi(1)已知A=1,1,1,0S4，写出所有的BS4，使得d A,B=1；(2)已知I=1,1,1Sn，若A,BSn，并且d I,A=d I,B=pn，求d A,B的最大值；(3)设集合PSn，P中有m m2个元素，若P中任意两个元素间的距离的最小值为t，求证：m2n-t+13142已知集合A=mi=12ai0a1a2am,aiN N ，定义：当m=t时，把集合A中所有的数从小到大排列成数列 b(t)n，数列 b(t)n的前n项和为S(t)n.例如：t=2时，b(

41、2)1=20+21=3,b(2)2=20+22=5,b(2)3=21+22=6,b(2)4=20+23=9,，S(2)4=b(2)1+b(2)2+b(2)3+b(2)4=23.(1)写出b(2)5,b(2)6，并求S(2)10；(2)判断88是否为数列 b(3)n中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；(3)若2024是数列 b(t)n中的某一项b t0n0，求t0,n0及S t0n0的值.3243对称变换在对称数学中具有重要的研究意义若一个平面图形K在m(旋转变换或反射变换)的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换例如，正三角形R在m1(绕中心O作120的

42、旋转)的作用下仍然与R重合(如图1图2所示)，所以m1是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记m1=123312；又如，R在l1(关于对称轴r1所在直线的反射)的作用下仍然与R重合(如图1图3所示)，所以l1也是R的一个对称变换，类似地，记l1=123132记正三角形R的所有对称变换构成集合S一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：Ia,bG，abG；IIa,b,cG，abc=a bc；eG，aG，ae=ea=a；aG，a-1G，aa-1=a-1a=e对于一个群G，称中的e为群G的单位元，称中的a-1为a在群G中的逆元一个群G的一个非空子集H叫做G

43、的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群(1)直接写出集合S(用符号语言表示S中的元素)；(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如m1=123312=132321=213132=231123=312231=321213对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：a1a2a3b1b2b3*b1b2b3c1c2c3=a1a2a3c1c2c3，a1,a2,a3=b1,b2,b3=c1,c2,c3=1,2,3证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；已知H是群G的一个子群，e，e分别是G，H的单位元，aH，a-1，a分别是a在群G，群H中的逆元猜想e，e之间的关系以及a-1，a

44、之间的关系，并给出证明；写出群S的所有子群1压轴题型 新定义新情景压轴解答题压轴题型 新定义新情景压轴解答题命题预测创新意识与创新应用是新时代的主旋律，也是高中数学教学与学习中需要不断渗透与培养的一种基本精神与能力！借助“新定义”，可以巧妙进行数学知识中的概念类比、公式设置、性质应用、知识拓展与创新应用等的交汇与融合，很好地融入创新意识与创新应用.所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。2024年九省联考之后，第19题将考查新定义问题。现在也有部分地区考试

45、采用该结构考试，比如安徽合肥一中省十联考等。预测2024年新高考试卷第19题结构考查新定义问题，压轴题，难度比较大高频考法(1)集合与数列新定义(2)函数与导数新定义(3)立体几何与解析几何新定义(4)概率与统计新定义(5)高等数学背景下新定义0101集合与数列新定义集合与数列新定义解答新定义型创新题的基本思路是：(1)正确理解新定义；(2)根据新定义建立关系式；(3)结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；(4)运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果1(2024(2024北京北京模拟预测模拟预测)对给定的正整数n，令n=a=a1,a2,anai 0,1,i=1,2,n，

46、对任意的x=x1,x2,xn，y=y1,y2,ynn，定义x与y的距离d x,y=x1-y1+x2-y2+xn-yn设A是n的含有至少两个元素的子集，集合D=d x,yxy,x,yA 中的最小值称为A的特征，记作 A(1)当n=3时，直接写出下述集合的特征：A=0,0,0,1,1,1,B=0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,0,C=0,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1；(2)当n=2020时，设A2020且 A=2，求A中元素个数的最大值；2(3)当n=2020时，设A2020且 A=3，求证：A中的元素个数小于220202021【解析】(1)依题意可得 A=3，B=2，C=

47、1(2)(a)一方面：对任意的a=a1,a2,a3,a2019,a2020A，令 f a=a1,a2,a3,a2019,a2020，则d a,f a=1-2a2020=10，所以d(x,y)2，注意到 0,0,0,0,0,0，1,1,0,0,0,0A且它们的距离为2，故此时A满足题意，综上，A中元素个数的最大值为22019(3)当n=2020时，设A2020且 A=3，设A=x1,x2,xm，则对任意的xiA，定义x的邻域N(xi)=a2020|d(a,xi)1，(a)一方面：对任意的1im，N(xi)中恰有2021个元素，事实上，若d(a,xi)=0，则a=xi，恰有一种可能；，若d(a,x

48、i)=1，则a与xi，恰有一个分量不同，共2020种可能；综上，N(xi)中恰有2021个元素，(b)对任意的1i jm，N(xi)N(xj)=，事实上，若N(xi)N(xj)，不妨设aN(xi)N(xj)，xi=x1,x2,x2020,xj=x1,x2,x2020，则d(xi,xj)=k=12020 xk-xk k=12020 xk-a+a-xk=k=12020 xk-a+k=12020a-xk2，这与 A=3矛盾，由(a)和(b)可得N(x1)N(x2)N(xm)中共有2021m个元素，但2020中共有22020个元素，所以2021m22020，即m220202021，注意到m是正整数，但

49、220202021不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合A中的元素个数m小于2202020212(2024(2024重庆重庆模拟预测模拟预测)在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组 x,y表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组 x,y,z表示，一般地在n n2,nN维空间中点A的坐标可用n个有序数组 a a1 1,a a2 2,a an n表示，并定义n维空间中两点A a1,a2,an，B b1,b2,bn间的“距离”d AB=3ni=1ai-bi(1)若A 1,12,13,1n，B12,13,1n+1，求d AB；(2)设集合U7=a1,a2,a7ai 0,1,i=1,2,7元素个

50、数为2的集合M为U7的子集，且满足对于任意AU7，都存在唯一的BM使得d AB3，则称M为“U7的优集”证明：“U7的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7【解析】(1)因为ai=1i，bi=1i+1，ai-bi=1i i+10，则 ai-bi=ai-bi=1i-1i+1，所以d AB=ni=1ai-bi=ni=11i-1i+1=1-1n+1=nn+1.(2)证明：定义：对任意B=b1,b2,b7U7，规定B=1-b1,1-b2,1-b7，对任意A a1,a2,a7U7，B=b1,b2,b7U7，由于ai，bi 0,1，i=1,2,7，容易得 ai-bi+1-ai-bi=1，所以d AB+