2024届高考数学专项练习压轴题型06 三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题（解析版）.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司 压轴题型压轴题型 06 三角函数三角函数的取值范围及解三角形中的范围与最值问题的取值范围及解三角形中的范围与最值问题 命题预测 三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度 高频考法（1）取值与范围问题取值与范围问题（2）面积与周长的最值与范围问题面积与周长的最值与范围问题（3）长度的范围与最值问题长度的范围与最值问题01 取值与范围问题取值与范围问题1、()sin()f xAx=+在()sin()f xAx=+区间()ab，内没有零点2Tbakakkbk+2Tbakakb+

2、同理，()sin()f xAx=+在区间ab，内没有零点 2Tbakakkbk+2Tbakakb+2、()sin()f xAx=+在区间()ab，内有3个零点2024届高考数学专项练习 学科网（北京）股份有限公司 234TbaTkakkbk+(1)(3)(24)kkaTbkbaTk+同理()sin()f xAx=+在区间ab，内有2个零点 32223TTbakakkbk+2(2)(23)3kkaTTkbakb+3、()sin()f xAx=+在区间()ab，内有n个零点(2)(+1)1)(1)2nTnTbakkaknknb+同理()sin()f xAx=+在区间ab，内有n个零点(1)(1+)

3、22)(1)kkaknknTnTbanb+4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为214nT+，则21(21)42nnTba+=5、已知单调区间(,)a b，则2Tab.【典例【典例 1-1】（2024江苏南通二模）已知函数3sincosyxx=+（0）在区间 2,43上单调递增，则的最大值为（）A14 B12 C1211 D83【答案】B 学科网（北京）股份有限公司【解析】因为3sincos2sin()6yxxx=+=+，又0，由2 2,Z262kxkk+，得到22 2 33,Zkkxk+，所以函数3sincosyxx=+的单调增区间为22 2 33,(Z)kkk+

4、，依题有 2,4322 2 33,(Z)kkk+，则233234，得到102，故选：B.【典例【典例 1-2】（2024四川泸州三模）已知函数()2sin3f xx=（0）在0,有且仅有三个零点，则的取值范围是（）A8 11,3 3 B8 11,3 3 C5 8,3 3 D5 8,3 3【答案】B【解析】因为0 x，所以222333x，因为函数()2sin3f xx=（0）在0,有且仅有三个零点，结合正弦函数的图象可知2233，解得81133，故选：B.【变式【变式 1-1】（2024四川德阳二模）已知函数()()sin(0,)f xx=+R在区间75,126上单调，且满足712f=34f给出

5、下列结论，其中正确结论的个数是（）203f=；若()56fxf x=，则函数()f x的最小正周期为；关于x的方程()1f x=在区间)0,2上最多有 3 个不相等的实数解；学科网（北京）股份有限公司 若函数()f x在区间213,36上恰有 5 个零点，则的取值范围为8 10,33 A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】因为74123ff=且73212423+=，所以203f=.正确.因为5()6fxf x=所以()f x的对称轴为556212x=,254=2314TT=.正确.在一个周期内()1f x=只有一个实数解，函数()f x在区间75,126上单调且203f=，5226343T=

6、.当23T=时，()sin3fxx=，()1f x=在区间)0,2上 实数解最多为53,662共 3 个.正确.函数()f x在区间213,36上恰有5个零点，222132513252632632TT，解得81033；又因为函数()f x在区间75,126上单调且203f=，5226343T=，即2233，所以8,33.错误 故选：C【变式【变式 1-2】（2024江苏泰州模拟预测）设函数()()2sin106f xx=在,2上至少有两个不同零点，则实数的取值范围是（）A3,2+B3 75,2 32+C1319,3,66+D1,2+【答案】A【解析】令2sin106x=得1sin62x=，因为

7、0，所以66x，令1sin2z=，解得2,Z6zkk=+或1152,Z6zkk=+，学科网（北京）股份有限公司 从小到大将1sin2z=的正根写出如下：6，56，136，176，256，296，因为,2x，所以,2 666x，当0,66，即1 1,6 3时，52 66，解得12，此时无解，当 5,666，即,113时，132 66，解得76，此时无解，当5 13,666，即71,3时，172 66，解得32，故7332,，当13 17,666，即7,33时，252 66，解得136，故7,33，当3时，2 636=，此时()f x在,2上至少有两个不同零点，综上，的取值范围是3,2+.故选：A

8、 02 面积与周长的最值与范围问题面积与周长的最值与范围问题 正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值【典例【典例 2-1】（2024青海模拟预测）已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且22 cos2 coscosaBbABc+=(1)求 B；(2)若4b=，ABC的面积为 S周长为 L，求SL的最大值【解析】（1）由正弦定理可得，22sincos2sincoscossinABBABC+=，所以22sincos2sincos

9、cossincoscossinABBABABAB+=+,所以sincos(2cos1)cossin(2cos1)0ABBABB+=，学科网（北京）股份有限公司 即(2cos1)sin()0BAB+=，由0AB+，可知sin()0AB+，所以2cos10B=，即1cos2B=，由0B，知3B=.（2）由余弦定理，得2222cosbacacB=+，即2216acac=+，所以()2163acac=+，即()21163acac=+，因为13sin24SacBac=，Labc=+，所以()()()2316344124acSacLacac+=+，所以()3412SacL=+，又()24acac+（当且仅

10、当ac=时取等号），所以()()221634acacac+=+（当且仅当4ac=时取等号），所以8ac+（当且仅当4ac=时取等号），所以()()33348412123SacL=+=（当且仅当4ac=时取等号），即SL的最大值为33.【典例【典例 2-2】（2024陕西汉中二模）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分）记ABC的面积为 S，且32AB ACS=；已知sincos()6aBbA=(1)求角 A 的大小；(2)若ABC为锐角三角形，且6a=，求ABC周长的取值范围【解析】（1）选条件

11、，由32AB ACS=，得13cos2sin2bcAbcA=，整理得tan3A=，而0A，所以3A=.选条件，由sincos()6aBbA=及正弦定理，得sinsinsincos()6ABBA=，学科网（北京）股份有限公司 而sin0B，则31sincos()cossin622AAAA=+，整理得tan3A=，而0A，所以3A=.（2）由（1）知3A=，由正弦定理得62 2sinsinsinsin3bcaBCA=，因此2 2sin2 2sin2 2sinsin()3bcBCBB+=+=+332 2(sincos)2 6sin()226BBB=+=+由ABC为锐角三角形，得022032BB，解得

12、62B，因此2363B+，则3sin()126B+，于是3 22 6bc+，3 263 6abc+，所以ABC周长的取值范围是(3 26,3 6+.【变式【变式 2-1】（2024宁夏银川二模）已知平面四边形ABCD中，180,3ACBC+=.(1)若6,3,4ABADCD=，求BD；(2)若120,ABCABC=的面积为9 32，求四边形ABCD周长的取值范围.【解析】（1）在ABD中，由余弦定理得22236cos23 6BDA+=，在BCD中，由余弦定理得22234cos234BDC+=，因为180AC+=，所以coscos0AC+=，即2222223634023 6234BDBD+=，解

13、得33BD=.（2）由已知139 33222ABCSAB=，得6AB=，在ABC中，120ABC=，由余弦定理得 222362 3 6 cos12063AC=+=，则3 7AC=，学科网（北京）股份有限公司 设,(,0,0)ADx CDy xy=，在ACD中，由余弦定理得()()22223 72cos603xyxyxyxy=+=+，则()226336332xyxyxy+=+，得()2634xy+，所以6 7xy+，当且仅当3 7xy=时取等号，又3 7xyAC+=，所以四边形ABCD周长的取值范围为(3 79,6 79+.【变式【变式 2-2】（2024四川德阳二模）ABC的内角,A B C的

14、对边分别为,a b c，已知2sin2 3cos2ACB+=.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且1c=，求ABC面积的取值范围.【解析】（1）因为ABC中，2sin2 3cos2ACB+=，即222sincos2 3cos2 3sin2222BBBB=，而0sin0,2BB，故cos3sin22BB=，故3tan23B=，又2,002BB，则,263BB=；（2）由（1）以及题设可得13sin24=ABCSacBa；由正弦定理得222sinsincoscossinsin333sinsinsincCcCCcAaCCC=31cossin3122sin2tan2CCCC+=+，因为ABC为锐

15、角三角形，02A，02C，则20,3262CC，则31tan,033tanCC，则131222tan2+C，学科网（北京）股份有限公司 即122a，则3382ABCS，即ABC面积的取值范围为33,82.03 长度的范围与最值问题长度的范围与最值问题 对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围【典例【典例 3-1】（2024贵州遵义一模）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3sin3 cosbaCaC=(1)求 A；(2)若

16、ABC为锐角三角形，2c=，求 b 的取值范围【解析】（1）在ABC中，由3sin3 cosbaCaC=及正弦定理，得3sinsinsin3sincosBACAC=，则3sincossinsin3sin()3sincos3cossinACACACACAC+=+=+，即sinsin3cossinACAC=，而sin0C，于是tan3A=，又0A，所以3A=.（2）由（1）知，3A=，由正弦定理得22sin()sin3cossin331sinsinsintanCcBCCbCCCC+=+，由ABC为锐角三角形，得022032CC，解得62C，则1tan3C，13tanC,则14b，所以 b 的取值范

17、围是14b.【典例【典例 3-2】（2024宁夏固原一模）在锐角ABC中，内角,A B C的对边分别是,a b c，且2sin sincos21 cos2cos2BCCAB+=+(1)求证：2BCA+=；学科网（北京）股份有限公司(2)求cba的取值范围【解析】（1）因为2sin sincos21 cos2cos2BCCAB+=+，所以2222sin sin1 2sin1 1 2sin12sinBCCAB+=+，则222sin sinsinsinsinBCCAB=+，由正弦定理可得222bccab=+，即222bcbca=+，所以2221cos222bcabcAbcbc+=，又0,2A，故3A

18、=，由ABC+=，故223BCAA+=；（2）由（1）得31sin,cos22AA=，因为()31sinsinsincoscossincossin22BACACACCC=+=+=+，所以由正弦定理得sinsin231sincossinsin223cbCBCCCaA=2132sincossin22333CCC=，又锐角ABC中，有02032CB，解得62C，所以636C，则11sin232C，所以323sin3333C，即323sin3333C，故cba的取值范围为33,33.【变式【变式 3-1】（2024河北衡水一模）在ABC中，内角,A B C所对的边分别是,a b c，三角形面积为S，若

19、D为AC边上一点，满足,2ABBD BD=，且22 3cos3aSabC=+.(1)求角B；(2)求21ADCD+的取值范围.学科网（北京）股份有限公司【解析】（1）22 3cos3aSabC=+，23sincos3aabCabC=+，即3sincos3abCbC=+，由正弦定理得，3sinsinsinsincos3ABCBC=+，()3sinsinsinsincos3BCBCBC+=+，3cossinsinsin3BCBC=，sin0C，tan3B=，由0B，得23B=.（2）由（1）知，23B=，因为ABBD，所以2ABD=，6DBC=，在BCD中，由正弦定理得sinsinDCBDDBCC

20、=，即2sin16sinsinDCCC=，在RtABD中，2sinsinADABDA=，sinsin21sinsi22n11ACCCAADD+=+=，23ABC=，3AC+=,21sinsinsinsinsincoscossinsinsin3333ACCCCCCCADCD+=+=+=+=+，03C，2,333C+，3sin,132C+，所以21ADCD+的取值范围为3,12.【变式【变式 3-2】（2024陕西安康模拟预测）已知锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，学科网（北京）股份有限公司 其中8a=，222sinsin1sinaACcB=+，且ac(1)求证：2BC=；(2)

21、已知点M在线段AC上，且ABMCBM=，求BM的取值范围【解析】（1）因为222sinsin1sinaACcB=+，即222sinsinsinacACcB=，由正弦定理可得()()2222acacacaccbb+=，又ac，即0ac，所以21accb+=，整理得22bcac=+，由余弦定理得2222cosbacacB=+，整理得2 coscacB=，由正弦定理得sinsin2sin cosCACB=，故()sinsin2sin cosCBCCB=+，即sinsincossincos2sin cosCBCCBCB=+，整理得()sinsinCBC=，又因为ABC为锐角三角形，则0,0,22CB，

22、可得,2 2BC，所以CBC=，即2BC=.（2）因为点M在线段AC上，且ABMCBM=，即BM平分ABC，又2BC=，所以CCBM=，则2BMCCCBMC=，在MCB中，由正弦定理得sinsinBCBMBMCC=，所以sin8sin8sin4sinsin22sincoscosBCCCCBMBMCCCCC=，因为ABC为锐角三角形，且2BC=，所以02022032CCC，解得64C.故23cos22C，所以8 34 23BM.因此线段BM长度的取值范围8 3,4 23.学科网（北京）股份有限公司 1在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a=，60A=，则b的取值范围是（）A(

23、)0,6 B()0,2 3 C()3,2 3 D()3,6【答案】C【解析】由正弦定理得sinsinabAB=，即sin3sin2 3sinsinsin60aBBbBA=，又ABC为锐角三角形，180120CABB=，又0,90B C，则912000B，解得3090B，而当3090 x时，sinyx=单调递增，故1sin,12B，所以()2 3sin3,2 3bB=.故选：C 2已知函数()sin()(0)f xx=+，现有如下说法：若3=，函数()f x在,6 3上有最小值，无最大值，且63ff=，则5=；若直线4x=为函数()f x图象的一条对称轴，5,03为函数()f x图象的一个对称中

24、心，且()f x在 546,上单调递减，则的最大值为1817；若1()2f x=在 3,44x上至少有 2 个解，至多有 3 个解，则164,3；则正确的个数为（）A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】对于，因为6324x+=时，()f x有最小值，所以sin143+=，学科网（北京）股份有限公司 所以()32 43Z2kk+=+，得到()1483kk=+Z，因为()f x在区间,6 3上有最小值，无最大值，所以34，即12，令0k=，得143=，故错误；对于，根据题意，有()()11222 Z425 Z35726412kkkkT+=+=，得出121212(2)6,Z171207kkk k+

25、=，即126,Z171207kk+=，得到617=或18 17，故正确；对于，令()Z2 6xkk+=或()Z52 6xkk+=，则()Z2 6kxk+=或()Z2 56kxk+=，故需要上述相邻三个根的距离不超过2，相邻四个根（距离较小的四个）的距离超过2，即2,28,32，解得164,3，故正确，故选：C 3设函数()()22sincos2 3sincos0f xxxxx=+，当0,2x时，方程()2f x=有且只有两个不相等的实数解，则的取值范围是（）A7 13,33 B7 13,3 3 C8 14,3 3 D8 14,3 3【答案】C【解析】由已知易知()3sin2cos22sin 2

26、6f xxxx=，当0,2x时2,666x，所以要满足题意有598 14,2623 3.故选：C 学科网（北京）股份有限公司 4将函数()sincos(0)f xxx=的图象向左平移4个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数()g x的图象若点,02是()g x图象的一个对称中心，则的最小值是（）A45 B12 C15 D56【答案】C【解析】由题意可得()222sincos2sin224f xxxx=，所以将()f x的图象向左平移4个单位长度后，得到函数()2sin2sin4444h xxx=+=+的图象，再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数()2sin 244g

27、xx=+的图象，因为点,02是()g x图象的一个对称中心，所以,Z44kk+=，解得41,55kk=+Z，又0，所以的最小值为15 故选：C 5已知函数()sin()(0)6f xx=+，若将()f x的图象向左平移3个单位后所得的函数图象与曲线()yf x=关于3x=对称，则的最小值为（）A23 B13 C1 D12【答案】A【解析】函数()sin()6f xx=+，()f x的图象向左平移3个单位后所得函数()sin()sin()3636g xxx=+=+，函数()yg x=的图象与()yf x=的图象关于直线3x=对称，则2()()3f xgx=，于是2s n(i)()s336in6x

28、x=+对任意实数x恒成立，即()sin()sin()sin()55sin6666xxxx+=+=对任意实数x恒成立，因此52,Z66kk+=+，解得22,Z3kk=+，而0，则Z,0kk，学科网（北京）股份有限公司 所以当0k=时，取得最小值23.故选：A 6（多选题）（多选题）ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，且2a=，2 3AB ACS=，下列选项正确的是（）A6A=B若2b=，则ABC只有一解 C若ABC为锐角三角形，则b取值范围是(2 3,4 D若D为BC边上的中点，则AD的最大值为23+【答案】ABD【解析】对于 A，因为2 3AB ACS=，所以1c

29、os2 3sin2bcAbcA=，则3tan3A=，因为()0,A，所以6A=，故 A 正确；对于 B，因为2ba=，则6BA=，23C=，故ABC只有一解，故 B 正确；对于 C，若ABC为锐角三角形，则0,2B，0,2C，则02062BB，则32B，即3sin,12B，由正弦定理可知：()sin4sin2 3,4sinaBbBA=，故 C 错误；对于 D，若 D为BC边上的中点，则()12ADABAC=+，所以()()22222112344ADABAB ACACbcbc=+=+由余弦定理知222222cos34abcbcAbcbc=+=+=，得2234bcbc+=+，又22342bcbcb

30、c+=+，所以44 3823bc=+，当且仅当26bc=+时取得等号，所以()()()222111342 342 34 3874 3444ADbcbcbc=+=+=+，即74 323AD+=+，故 D 正确.学科网（北京）股份有限公司 故选：ABD.7已知函数()()213sincoscos02f xxxx=+，若()f x的图象在0,上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 【答案】5 4,6 3【解析】因为()21313sincoscossin2cos2sin 22226f xxxxxxx=+=，因为()f x的图象在0,上有且仅有两条对称轴，所以352 262，解得5463，所以的取值范围是

31、5 4,6 3 故答案为：5 4,6 3.8已知函数()()sin0f xx=，若12,3x x，()11f x=，()21f x=，则实数的取值范围是 .【答案】32=或52【解析】设x=，,3x，则,3，所以问题转化为siny=在,3上存在最大值和最小值，由正弦函数图象可得，322kk+，解得33322kk+，所以,Z0kk，当0k=时，3322，32=；当1k=时，5922k，当2k=时，71522，当3k=时，92122，当kn=，*Nn时，33322nn+，当1kn=+时，59322nn+，学科网（北京）股份有限公司 而53321022nnn+=+，即53322nn+，所以*Nk 时

32、，所有情况的范围的并集为52；综上，实数的取值范围是32=或52.故答案为：32=或52.9已知函数()()()sin0f xx=+满足()12f xf，且()f x在区间,3 3上恰有两个最值，则实数的取值范围为 【答案】12,45【解析】因为()12f xf，所以sin11212f=+=，所以32 122k+=+，k Z，即32 122k=+，k Z，所以()3sin2 cos12212f xxkx=+=当33x时，()5012124x 因为()f x在区间,3 3上恰有两个最值，且5124，所以0521204 ，解得1245 故答案为：12,45 10已知函数()sin(0)4f xx=

33、在区间,3上单调递减，则的取值范围是 .【答案】30,4【解析】当,3x时，3444x，又sinyx=的单调递减区间为2,2(Z)22kkk+，所以2243+224kk()k Z，学科网（北京）股份有限公司 解得3362(Z)44kkk+，且2k+336(Z)44kk，解得38k，又0，所以k=0，所以的取值范围为30,4.故答案为：30,4 11若函数()()cos06f xx=在区间 2,33内单调递减，则的最大值为 【答案】74【解析】由题得：1203233T，令 2,63636txt=，则cosyt=在 2,3636t单调递减，故2 1736632242 36kkkk+，由03，故1

34、7,2 4，所以的最大值为74，故答案为：74.12已知函数()4sin,()4cos()(0)3f xx g xxb=+，且1212,|()()|8x xf xg xR，将()4sinf xx=的图象向右平移3个单位长度后，与函数()g x的图象相邻的三个交点依次为 A，B，C，且0BA BC，则的取值范围是 【答案】2(0,)8【解析】依题意，函数()f x的值域为 4,4，()g x的值域为4,4bb+，由1212,()()8x xf xg xR，得|(4)4|8b，且|(4)(4)|8b+，解得0b=，()4cos()4sin()36g xxx=+，将()4sinf xx=的图象向右平

35、移3个单位长度后，得)4sin()3()4sin(3h xxx=，在同一坐标系内作出函数,()()yg xyh x=的图象，学科网（北京）股份有限公司 观察图象知，2|AC=，取AC中点D，连接BD，由对称性知|ABBC=，BDAC，由0BA BC，得2ABC，即4ABD，|ADBD，由()()h xg x=，得sin()sin()36xx=+，则2,Z36xxkk+=，解得7,Z12xkk=+，于是74sin()2 2123yk=+=，则|4 2BD=，因此4 2，解得208，所以的取值范围是2(0,)8.故答案为：2(0,)8 13在ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，23A

36、BC=，ABC的平分线交 AC 于点 D，且2BD=，则4ac+的最小值为 【答案】18【解析】如图所示，则ABC的面积为3111sin2sii2n33n2s222acac=+，则22acac=+，所以1112ac+=，显然,0a c，故11444(4)2252 5218cac aacacacacac+=+=+=，当且仅当41112caacac=+=，即63ac=时取等号.所以4ac+的最小值为18.故答案为：18.14在锐角ABC中，角、ABC所对边的边长分别为abc、，且2 sin30bAa=.学科网（北京）股份有限公司(1)求角B；(2)求sinsinAC+的取值范围.【解析】（1）2

37、sin30bAa=，2sin sin3sin0ABA=，又0,sin02AA，3sin,0,22BB=，3B=.（2）由（1）可知，3B=，且ABC为锐角三角形，所以022032ACA=，A(,)6 2，则2sinsinsinsin()3ACAA+=+33sincos22AA=+3sin()6A=+，因为2363A+，sinsinAC+3(,32.15在锐角ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且2 sin30bAa=(1)求角B的大小；(2)求coscosAC+的取值范围【解析】（1）因为2 sin30bAa=，由正弦定理边化角得：2sinsin3sin0BAA=，所以()2si

38、n3 sin0BA=，由于在ABC中，sin0A，所以2sin30B=，即3sin2B=，又02B，所以3B=.（2）由（1）可知3B=，所以23AC+=，所以222coscoscoscoscoscoscossinsin333ACAAAAA+=+=+1313coscossincossinsin22226AAAAAA=+=+=+学科网（北京）股份有限公司 由于在锐角ABC中，203202AA，所以62A，所以2363A+，所以sinsinsin362A+，所以3sin126A+，所以coscosAC+的取值范围为3,12.16已知锐角ABC的三内角ABC，的对边分别是abc，且222(cosco

39、s)bcbCcBbc+=，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围【解析】（1）()222coscosbcbCcBbc+=，由余弦定理可得22222222222abcacbbcbcbcabac+=，化简整理得222bcabc+=，又2222cosbcabcA+=，1cos2A=，又02A，所以3A=.（2）因为三角形外接圆半径为3R=，所以2 3sinbB=，2 3sincC=，12sinsinbcBC=，由（1）得23BC+=，所以23112sinsin12sinsin12sincossin322bcBCBBBBB=+()26 3sincos6sin3 3si

40、n23 1 cos2BBBBB=+=+316sin2cos2322BB=+6sin 236B=+，因为ABC是锐角三角形，且23BC+=，所以62B，52666B，1sin 2126B，66sin 2396B+，即69bc.学科网（北京）股份有限公司 所以bc的取值范围为(6,9.17在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，221cossin2BB=(1)求角B，并计算sin6B+的值；(2)若3b=，且ABC是锐角三角形，求2ac+的最大值【解析】（1）由2222cossin11cossin2BBBB+=，得21cos4B=，则cos21B=，又0B，所以3B=或23.当3B=时，s

41、in()sin162B+=；当23B=时，51sin()sin662B+=.（2）若ABC为锐角三角形，则3B=，有022032CAC=，解得62C.由正弦定理，得32sinsinsin32acbACB=，则2sin,2sinaA cC=，所以23122sin4sin2sin()4sin2(cossin)4sin322acACCCCCC+=+=+=+5sin3cos2 7sin()CCC=+=+，其中3tan5=，又33tantan536=，所以06，则233C+，故当2C+=时，sin()C+取到最大值 1，所以2ac+的最大值为2 7.18在ABC中，D为BC边上一点，1DCCA=，且AC

42、D面积是ABD面积的 2 倍(1)若2ABAD=，求AB的长；(2)求sinsinADBB的取值范围【解析】（1）设BC边上的高为AE，垂足为E，因为ACD面积是ABD面积的 2 倍，学科网（北京）股份有限公司 所以有113221222ACDABDCD AESBDBCSBD AE=，设222ABADxADx=，由余弦定理可知：222222229111 142cos3222 1 12 12xxACBCABACDCADCAC BCAC DC+=，解得1x=或=1x舍去，即1AB=；（2）由（1）可知13,22BDBC=，设ADC=，由2DCCADACADCC=且0,2，由余弦定理可得：()2211

43、2 1 1 cos 222cos2AD=+=+()222 2cos12cos=+=，()22331312 1cos 23cos2224AB=+=+()221313 2cos16cos44=+=+，在ABD中，因为0,2，所以由正弦定理可知：216cossin4sinsinsin2cosABADADBABADBBBAD+=222124cos111244cos4cos+=+，因为0,2，所以()()2222111cos0,1cos0,112425245coscoscos+，于是有sin5sin4ADBB，因此sinsinADBB的取值范围为5,4+.学科网（北京）股份有限公司.19记锐角ABC的内

44、角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin sincos21 cos2cos2BCCAB+=+.(1)证明：2BCA+=；(2)求cb的取值范围.【解析】（1）证明：由2sin sincos21 cos2cos2BCCAB+=+，得2222sin sin1 2sin1 1 2sin12sinBCCAB+=+，即222sin sinsinsinsinBCCAB=+，由正弦定理可得222bccab=+，即222abcbc=+，由余弦定理可得2222cosabcbcA=+，故1cos2A=，又0,2A，故3A=，由ABC+=，故223BCAA+=；（2）由正弦定理可得：()13sinsinco

45、ssin sin13322sinsinsinsin22tanBBBABcCbBBBBB+=+，又锐角ABC中，有02B，032B，解得62B，即3tan,3B+，即()10,3tan B，故131,222tan2cbB=+.20记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若()()3abcabc+=，且ABC的面积为3 34.(1)求角C；(2)若2ADDB=，求CD的最小值.【解析】（1）()()3abcabc+=，222223()2abcabcab=+=+结合余弦定理得()32cos221 cosabCababC=+=+，()32 1 cosabC=+，13 3Ssin24ABCa

46、bC=，sin31 cosCC=+，学科网（北京）股份有限公司 即23co2sasincos2222t nCCCC=，又0,22C，23C=，故23C=；（2）由（1）知：()23,332 1 cosCabC=+，2ADDB=，1233CDCACB=+，22222212144142cos33999993CDCACBbaabCba=+=+=+，又222214214222222993993333baba+=，当且仅当26ba=时，CD长取最小值，此时2633CD=，CD长的最小值为63.21已知函数()()213sinsin2022f xxx=+的最小正周期为4.(1)求()f x在0,上的单调递

47、增区间；(2)在锐角三角形ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c且()2coscos,acBbC=求()fA的取值范围.【解析】（1）()213sinsin222f xxx=+11 cos23sin2222xx=+31sin2cos2sin 2226xxx=+=+.因为24,2T=所以1,4=故()1sin26f xx=+.由12 2,2262kxkk+Z 解得424 4,33kxkk+Z 当0k=时42,33x又0,x 学科网（北京）股份有限公司 所以()f x在0,上的单调递增区间为20,3.（2）由()2coscos,acBbC=得（2sinsin)cossin cos,AC

48、BBC=所以()2sin cossin coscos sinsinsin=+=+=ABBCBCBCA.因为sin0,A 所以1cos,2B=又()0,B所以,3B=又三角形为锐角三角形，则022032AA，则62A，所以542612A+，又()26sinAfA=+，526sinsinsincoscossin124646464+=+=+=，则226sin2264A+，所以()fA的取值范围为226,24+.22已知在ABC中，1 cossin02AA=，(1)求 A；(2)若点 D是边 BC 上一点，2BDDC=，ABC 的面积为3，求 AD的最小值.【解析】（1）因为1 cossin02AA=

49、，所以2sinsin2AA=，因为022A，sin02A，则sin2sincos222AAA=，故1cos22A=，所以23A=，23A=，（2）因为2BDDC=，则2BDDC=，所以()2ADABACAD=，故1233ADABAC=+，因为ABC的面积为3，所以1sin32bcA=，所以4bc=222212144|33999ADABACcbAB AC=+=+学科网（北京）股份有限公司 22142428999999cbbcbcbc=+=上式当且仅当2cb=，即2 2c=，2b=时取得“=”号，所以 AD的最小值是2 23.23在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足()2s

50、incossin cossin cosACACAAC+=(1)求角A；(2)若点D在线段BC上，且满足3,3BDDC AD=，求ABC面积的最大值【解析】（1）由题意得2sin cossin cossin cosBACAAC=，即2sin cossin cossin cossinBAACCAB=+=，sin0B，2cos1A=，1cos2A=，又0,3AA=；（2）解法一：令DCt=，则3BDt=，coscosADCADB=，22222222ADDCACADBDABAD DCAD BD+=，即2222999618tbtctt+=，22212363tbc=+，又222116cos22bctBAC