2024年中考数学冲刺：观察、归纳型问题--巩固练习（基础） .doc

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1、2024年中考数学冲刺：观察、归纳型问题巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 用边长为1的正方形覆盖33的正方形网格，最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是( ) A2 B4 C5 D62求12222322 012的值，可令S12222322 012，则2S222232422 013，因此，2SS22 0131.仿照以上推理，计算出15525352 012的值为()A52 0121 B52 0131 C. D. 3.（2016冷水江市三模）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动

2、，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时，点P的坐标是（）A（2016，0） B（2017，1） C（2017，1） D（2018，0）二、填空题4（2015盘锦四模）已知，如图，OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，OBC=90，且OB=1，BC=，将OBC绕原点O逆时针旋转60再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，得到OB1C1，将OB1C1绕原点O逆时针旋转60再将其各边扩大为原来的2倍，使OB2=OC1，得到OB2C2，如此继续下去，得到OB2015C2015，则点C2015的坐标是 5（2016天门）如图，在平面直角坐标系中，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，A7

3、A8A9，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1（3，0），A3（1，0），A5（4，0），A7（0，0），A9（5，0），依据图形所反映的规律，则A100的坐标为 6. 如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，BnBn+1的中点，B1C1M1的面积为S1，B2C2M2的面积为S2，BnCnMn的面积为Sn，则Sn=_.（用含n的式子表示） 三、解答题7观察下列等式：请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5_；(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an_(n为正整数)；(3)求a1a

4、2a3a4a100的值8. 如下表所示，是按一定规律排列的方程组和它的解的对应关系，若方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、方程组n（1）将方程组1的解填入表中（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入表中； 9. 如图所示，是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层将图倒置后与原图拼成图的形状，这样我们可以算出图中所有圆圈的个数为如果图中的圆圈共有12层，(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按图的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，则最底层最左边的这个圆圈中的数是_；(2)我们自上往下，

5、在每个圆圈中都按图的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和10.（余杭区期中）如图，将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去 （1）填表次数12345个数47（2）如果剪了n次，共剪出多少个小正方形？（3）能否经过若干次分割后共得到2014片纸片？若能，请直接写出相应的次数，若不能，请说明理由（4）若将所给的正方形纸片剪成若干个小正方形（其大小可以不一样），那么你认为可以将它剪成六个小正方形吗？八个小正方形呢？如果可以，请在下图中画出剪

6、割线的示意图；如果不可以，请简单说明理由【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】6个，把边长为1的小正方形的对角线与3乘3网格中的中间正方形任意边重合（其中小正方形的对角线中点与3乘3网格中的中间正方形边上的中点重合），因为对角线的长为1，所以这时有6个正方形网格被覆盖. 2.【答案】C；【解析】设S15525352 012，则5S552535452 013.因此，5SS52 0131，S.3.【答案】B；【解析】以时间为点P的下标观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，1），P4（4，0），P5（5，1），P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1）

7、，P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，1）2017=5044+1，第2017秒时，点P的坐标为（2017，1）二、填空题4.【答案】（22016，0）【解析】OBC=90，OB=1，BC=，将OBC绕原点O逆时针旋转60再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，OC1=2OC=22=4=22，OC2=2OC1=24=8=23，OC3=2OC2=28=16=24，OCn=2n+1，OC2015=22016，20156=3355，点C2015与点C5在同一射线上，在x轴正半轴，坐标为（22016，0）故答案为：（22016，0）5.【答案】45【解析】观察，发现规律：A2（2，），

8、A4（，），A6（2，2），A8（，），A4n+2（2，n+），A4n+4（，）（n为自然数），100=424+4，A100的坐标为（，）故答案为：（，）6.【答案】【解析】n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，BnBn+1的中点，S1=B1C1B1M1=1=，SB1C1M2=B1C1B1M2=1=，SB1C1M3=B1C1B1M3=1=，SB1C1M4=B1C1B1M4=1=，SB1C1Mn=B1C1B1Mn=1 =，BnCnB1C1，BnCnMnB1C1Mn，SBnCnMn：SB1C1Mn=（）2=（）2，即Sn： =，

9、Sn=故答案为：三、解答题7【答案与解析】解：根据观察知，答案分别为：8【答案与解析】显然该方程组不符合（2）中的规律9【答案与解析】 解：(1)67 (2)图中所有圆圈中共有1+2+3+12个数，其中23个负数，1个0，54个正数，图中所有圆圈中各数的绝对值之和|-23|+|-22|+|-1|+0+1+2+54(1+2+3+23)+(1+2+3+54)276+1485176110【答案与解析】解：（1）答案如下：次数12345个数47101316（2）如果剪了n次，共剪出4+3（n1）=3n+1个小正方形；（3）3n+1=2014解得n=671，经过671次分割后共得到2014片纸片；（4）

10、可以将它剪成六个小正方形，八个小正方形，如图中考冲刺：观察、归纳型问题巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1（2015秋扬州校级月考）如图，数轴上有一个质点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，质点落在表示数3的点上（允许重复过此点），则质点的不同运动方案共有（）A2种B3种C4种D5种2. 在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（）A B C D 3. 边

11、长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）A B C D 二、填空题4如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到AME当AB=1时，AME的面积记为S1；当AB=2时，AME的面积记为S2；当AB=3时，AME的面积记为S3；当AB=n时

12、，AME的面积记为Sn当n2时，Sn-Sn-1= 5如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45，2）的是点 6.（2016春固始县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A（1，2），A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，

13、0）（1）观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律再将三角形将OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是 ，B4的坐标是 （2）若按第（1）题找到的规律将三角形OAB进行n次变换，得到三角形OAnBn，推测An的坐标是 ，Bn的坐标是 .三、解答题7在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长1357n（奇数）蓝色小正方形个数正方形边长2468n（偶数）蓝色小正方形个数（2）在边长为n（n1）的正方形中，设蓝色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由8. 定义

14、：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把DEF（图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）依次规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为Sn.若DEF的面积为10000，当n为何值时，2Sn3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）当n1时，请写出一个反映Sn

15、1，Sn，Sn1之间关系的等式（不必证明）.9. （2016台州）定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形（1）三等角四边形ABCD中，A=B=C，求A的取值范围；（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH求证：四边形ABCD是三等角四边形（3）三等角四边形ABCD中，A=B=C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长10. 据我国古代周髀算经记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为

16、“勾三、股四、弦五”.观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.计算（91）、（91）与（251）、（251），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；根据的规律，用n（n为奇数且n3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m4）的代数式来表示他们的股和弦.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】数

17、轴上有一个质点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，质点落在表示数3的点上（允许重复过此点），质点的不同运动方案为：方案一：010123；方案二：010123；方案三：012123；方案四：012323；方案五：012343故选项A错误，选项B错误，选项C错误，选项D正确故选D2.【答案】D；【解析】点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），OA=1，OD=2，设正方形的面积分别为S1，S2S2012，根据题意，得：ADBCC1A2C2B2，BAA1=B1A1A2=B2A2x，ABA1=A1B1A2=90，BAA1B1A1A2，在直角ADO中，根据勾股定理

18、，得：AD=，AB=AD=BC=，S1=5，DAO+ADO=90，DAO+BAA1=90，ADO=BAA1，tanBAA1=，A1B=，A1B=A1C=BC+A1B=，S2=5=5（）2，=，A2B1=，A2C1=B1C1+A2B1=+=（）2，S3=5=5（）4，由此可得：Sn=5（）2n-2，S2012=5（）22012-2=5（）4022故选D3.【答案】A；【解析】连接AD、DF、DB，六边形ABCDEF是正六边形，ABC=BAF=AFE，AB=AF，E=C=120，EF=DE=BC=CD，EFD=EDF=CBD=BDC=30，AFE=ABC=120，AFD=ABD=90，在RtABD

19、和RtAFD中RtABDRtAFD，BAD=FAD=120=60，FAD+AFE=60+120=180，ADEF，G、I分别为AF、DE中点，GIEFAD，FGI=FAD=60，六边形ABCDEF是正六边形，QKM是等边三角形，EDM=60=M，ED=EM，同理AF=QF，即AF=QF=EF=EM，等边三角形QKM的边长是a，第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，过F作FZGI于Z，过E作ENGI于N，则FZEN，EFGI，四边形FZNE是平行四边形，EF=ZN=a，GF=AF=a=a，FGI=60（已证），GFZ=30，GZ=GF=a，同理IN=a，GI=a+a+

20、a=a，即第一个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是a；同理第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是a；同理第三个等边三角形的边长是a，第四个正六边形的边长是a；第四个等边三角形的边长是a，第五个正六边形的边长是a；第五个等边三角形的边长是a，第六个正六边形的边长是a，即第六个正六边形的边长是a，故选A 二、填空题4.【答案】.【解析】连接BE， 在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，BEAM，AME与AMB同底等高，AME的面积=AMB的面积，当AB=n时，AME的

21、面积记为Sn=n2，Sn-1=（n-1）2=n2-n+，当n2时，Sn-Sn-1=，故答案为：. 5.【答案】B；【解析】如图所示： 当滚动一个单位长度时E、F、A的对应点分别是E、F、A，连接AD，点F，E作FGAD，EHAD，六边形ABCD是正六边形，AFG=30，AG=AF=，同理可得HD=，AD=2，D（2，0）A（2，2），OD=2，正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，从点（2，2）开始到点（45，2）正好滚动43个单位长度，=71，恰好滚动7周多一个，会过点（45，2）的是点B故答案为：B6.【答案】（1）A4（16，2），B4（32，0）；（2）（2n，2），（2n+1，0）

22、【解析】（1）根据题意，A4的横坐标是16，纵坐标是3，B4的横坐标是32，纵坐标是0所以A4（16，2），B4（32，0），（2）由上题规律可知An的纵坐标总为2，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1所以An（2n，2），Bn（2n+1，0）三、解答题7【答案与解析】（1）1，5，9，13，奇数2n1；4，8，12，16，偶数2n（2）由（1）可知，当n为偶数时P1=2n，P2=n22n（用总个数n2减去蓝色小正方形的个数2n），根据题意得n22n=52n，即n212n=0，解得n=0（不合题意，舍去），n=12存在偶数n=12，使得P2=5P1.8【答案与解析】 解：DEF经

23、n阶分割所得的小三角形的个数为，Sn当n5时，S59.77；当n6时，S62.44；当n7时，S70.61；当n6时，2S63；SSS； 9【答案与解析】解：（1）A=B=C，3A+ADC=360，ADC=3603A0ADC180，03603A180，60A120；（2）证明：四边形DEBF为平行四边形，E=F，且E+EBF=180DE=DA，DF=DC，E=DAE=F=DCF，DAE+DAB=180，DCF+DCB=180，E+EBF=180，DAB=DCB=ABC，四边形ABCD是三等角四边形.（3）当60A90时，如图1，过点D作DFAB，DEBC，四边形BEDF是平行四边形，DFC=B

24、=DEA，EB=DF，DE=FB，A=B=C，DFC=B=DEA，DAEDCF，AD=DE，DC=DF=4，设AD=x，AB=y，AE=y4，CF=4x，DAEDCF，y=x2+x+4=（x2）2+5，当x=2时，y的最大值是5，即：当AD=2时，AB的最大值为5，当A=90时，三等角四边形是正方形，AD=AB=CD=4，当90A120时，D为锐角，如图2，AE=4AB0，AB4，综上所述，当AD=2时，AB的长最大，最大值是5；此时，AE=1，如图3，过点C作CMAB于M，DNAB于N，DA=DE，DNAB，AN=AE=，DAN=CBM，DNA=CMB=90，DANCBM，BM=1，AM=4

25、，CM=，AC=10【答案与解析】 解：（91）4，（91）5；（251）12，（251）13；7，24，25的股的算式为：（491）（721）弦的算式为：（491）（721）；当n为奇数且n3，勾、股、弦的代数式分别为：n，（n21），（n21）.例如关系式：弦股1；关系式：勾2股2弦2；证明关系式：弦股（n21）（n21）（n21）（n21）1；或证明关系式：勾2股2n2（n21）2n4n2（n21）2弦2；猜想得证.例如探索得，当m为偶数且m4时，股、弦的代数式分别为：（）21，（）21.中考冲刺：观察、归纳型问题知识讲解（基础）【中考展望】主要通过观察、实验、归纳、类比等活动，探索事物

26、的内在规律，考查学生的逻辑推理能力，一般以解答题为主归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重.这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，以此体现出猜想的实际意义.【方法点拨】观察、归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊一般特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程.相对而

27、言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到. 考查知识分为两类：是数字或字母规律探索型问题；是几何图形中规律探索型问题1数式归纳题型特点：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后观察猜想其中蕴含的规律，归纳出用某一字母表示的能揭示其规律的代数式或按某些规律写出后面某一项的数或式子解题策略：一般是先写出数或式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式2图形变化归纳题型特点：观察给定

28、图形的摆放特点或变化规律，归纳出下一个图形的摆放特点或变化规律，或者能用某一字母的代数式揭示出图形变化的个数、面积、周长等规律特点解题策略：多方面、多角度进行观察比较得出图形个数、面积、周长等的通项，再分别取n1，2，3代入验证，都符合时即为正确结论【典型例题】类型一、数式归纳1试观察下列各式的规律，然后填空：；则_【思路点拨】根据前几个等式的规律，不难得出【答案与解析】答案：.【总结升华】此题归纳方法很多，注意每行数字的变化规律和符号规律举一反三：【变式1】观察下列各式：(x1)(x1)x21；(x1)(x2x1)x31；(x1)(x3x2x1)x41； (1)根据规律填空 (x1)(xnx

29、n1x1)_ _(2)根据规律计算 2100299298+297+22+2 +1 .【答案】(1) xn11；(2) 21011.【高清课堂：观察、归纳型问题 例1】【变式2】按一定规律排列的一列数依次为： 按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n个数是 【答案】类型二、图形变化归纳2（招远市期末）如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2012次闪烁呈现出来的图形是（）ABCD【思路点拨】从所给四个图形中可以得出每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置的规律即可算出2012次之后的图形【答案与解析】解：易得每旋转一次，旋转角为90，即每4次旋转一周，20124=503，即

30、第2012次与第4次的图案相同故选B【总结升华】找到图形的变化规律是解题的关键.举一反三：【变式】如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（） A B C D【答案】A.3（2015海宁市模拟）操作：将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形不断重复这样的过程，就能得到雪花曲线问题：（1）从图

31、形的对称性观察，图4是 图形（轴对称或中心对称图形）（2）图2的周长为 ；（3）试猜想第n次分形后所得图形的周长为 【思路点拨】（1）根据图形变化规律，图4仍然关于原三角形的对称轴成轴对称，关于对称中心成中心对称；（2）分形后，三角形的边长增加，变为原来的，再乘以3就是周长；（3）每一次分形后，边长都变为原来的，第n次分形后边长就变为原来的（）n倍，再乘以3就是周长【答案与解析】解：（1）图4是中心对称图形又是轴对称图形（2）根据题意，边长为4=，周长为3=4；（3）n次分形，边长变为原来的（）n倍，周长为3（）n1=3（）n故答案为：中心对称图形又是轴对称图形，4，3（）n【总结升华】此题考

32、查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题 类型三、数值、数量结果归纳4在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记AOB内部（不包括边界）的整点个数为m当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示）【思路点拨】根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案【答案与解析】解：如图：当点B在（3，0）点或（4，0）点时，AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1）（1，2）（2，1），共三个点，所以当m=3时，

33、点B的横坐标的所有可能值是3或4；因为AOB内部（不包括边界）的整点个数=（点B的横坐标-1）（点A的纵坐标-1）-32，所以当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=（4n-1）（4-1）-32=6n-3；故答案为：3或4，6n-3【总结升华】此题考查了点的坐标，关键是根据题意画出图形，找出点B的横坐标与AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系，考查数形结合的数学思想方法【高清课堂：观察、归纳型问题 例2】【变式】（2016秋宝应县期中）我们常常用火柴棒搭几何图形探究其中的数学规律，如图是用火柴棒搭几何图形的学习实践活动，请根据几何图形思考并完成下列问题：（1）填表：图形编号123火柴棒根

34、数（2）搭第n个这样的图形需要 根火柴棒；（3）如果小红现有123根火柴棒，用它可搭出 个图1大小的梯形【答案】（1）图1有5根火柴棒，图2有9根火柴棒，图3有13根火柴棒；（2）搭第n个这样的图形需要5n（n1）=1+4n根火柴棒，故答案为：1+4n；（3）设小红现有123根火柴棒可搭出n个图1大小的梯形，则1+4n=123，解得：n=30，即小红现有123根火柴棒可搭出30个图1大小的梯形，故答案为：30类型四、数形归纳5在一平直河岸同侧有A，B两个村庄，A，B到的距离分别是3 km和2 km，ABa km(a1)现计划在河岸上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水 方案设计某班数学兴趣小组

35、设计了两种铺设管道方案：如图所示是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1 (km)，且(km)(其中BPl于点P)；如图所示是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且(km)(其中点A与点A关于对称，AB与交于点P) 观察计算 (1)在方案一中，d1_km(用含a的式子表示)； (2)在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2_km(用含a的式子表示) 探索归纳(1)当a4时，比较大小：d1_d2(填“”、“”或“”)；当a6时，比较大小：d1_d2(填“”、“”或“”)；(2)请你参考方框中的方法指导，就a(当a1时)的所有取值情况进行分

36、析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二?【思路点拨】观察计算：（1）由题意可以得知管道长度为d1=PB+BA（km），根据BP于点P得出PB=2，故可以得出d1的值为a+2（2）由条件根据勾股定理可以求出KB的值，由轴对称可以求出K的值，在RtKBA由勾股定理可以求出AB的值就是管道长度探索归纳：（1）把a=4代入d1=a+2和d2=就可以比较其大小；把a=6代入d1=a+2和d2=就可以比较其大小；（2）分类进行讨论当d1d2，d1=d2，d1d2时就可以分别求出a的范围，从而确定选择方案【答案与解析】解：观察计算 (1)a+2；(2)探索归纳(1)；(2)当4a-200，即a5

37、时，；当4a-200，即a5时，d1d2；当，即a5时，综上可知：当a5时，选方案二；当a5时，选方案一或方案二；当la5时，选方案一【总结升华】本题根据课本中所熟知的背景，打破原有的条条框框，开展探究性学习，最后通过科学的计算，推导出新的结论，即当1a5时选方案一，体现了平时教学中，学生开展课题学习，培养质疑精神的可贵中考冲刺：观察、归纳型问题知识讲解（提高）【中考展望】主要通过观察、实验、归纳、类比等活动，探索事物的内在规律，考查学生的逻辑推理能力，一般以解答题为主归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重.这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋

38、势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，以此体现出猜想的实际意义.【方法点拨】观察、归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊一般特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程.相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到. 考查知识分为

39、两类：是数字或字母规律探索型问题；是几何图形中规律探索型问题1数式归纳题型特点：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后观察猜想其中蕴含的规律，归纳出用某一字母表示的能揭示其规律的代数式或按某些规律写出后面某一项的数或式子解题策略：一般是先写出数或式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式2图形变化归纳题型特点：观察给定图形的摆放特点或变化规律，归纳出下一个图形的摆放特点或变化规律，或者能用某一字母的代数式揭示出图形变化的个数、面积、周长等规律特点解题策略：多方面、多角度进行观察比较得出图形个数

40、、面积、周长等的通项，再分别取n1，2，3代入验证，都符合时即为正确结论由于猜想归纳本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点.【典型例题】类型一、数式归纳1“数学王子”高斯从小就善于观察和思考在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令 S=1+2+3+98+99+100 S=100+99+98+3+2+1 +：有2S=（1+100）100 解得：S=5050请类比以上做法，回答下列问题：若n为正整数，3+5+7+（2n+1）=168，则n= 【思路点拨】根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可【答案与解析】解：设S=3+5+7+（2n+1）=168，则S=（2n+1）+7+5+3=168，+得，2S=n（2n+1+3）=2168，整理得，n2+2n-168=0，解得n1=12，n2=-14（舍去）故答案为：12【总结升华】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目提供的信息，表示出这列数据的和并列出方程是解题