2024年中考数学总复习：多边形与平行四边形-- 巩固练习（基础）.doc

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1、2024年中考数学总复习：多边形与平行四边形-巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.任意三角形两边中点的连线与第三边上的中线 ( )A互相平分 B互相垂直 C相等 D互相垂直平分2.（2015春平顶山期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：AE=CF；DE=BF；ADE=CBF；ABE=CDF其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A0个B1个C2个D3个3.若一个多边形的对角线的条数恰好为边数的3倍，则这个多边形的边数为()A6B7C8D94.如图，平行四边形ABCD中，ABC60，E、F分别在CD、BC的延长线

2、上，AEBD，EFBC，DF2，则EF的长为() A2 B C4 D5.下列说法正确的是（ ）A平行四边形的对角线相等B一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C平行四边形的对角线交点到一组对边的距离相等D沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能够重合6.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）（A）AE=CF （B）DE= BF （C）ADE=CBF （D）AED=CFB 二、填空题7. 已知：A、B、C、D四点在同一平面内，从ABCD AB=CD BCAD BC=AD这

3、四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法共有_种8.平行四边形两邻边上的高分别是和，高的夹角是60，则这个平行四边形的周长为_，面积为_9如图，已知直线mn，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点，（1）请写出图中面积相等的三角形_（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论点P移动到什么位置，总有_与ABC的面积相等，理由是_10.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是_. 11.（2012茂名）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n

4、的值是_12. （2014春深圳期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作PFBC于点F，交AD于点E，交BA的延长线于点P若PE=EO=2，PA=3，则OBC的面积等于 三、解答题13. 如图，已知ABC，以BC为边在点A的同侧作正DBC，以AC、AB为边在ABC的外部作正EAC和正FAB.求证：四边形AEDF是平行四边形14.（2015枣庄）如图，ABCD中，BDAD，A=45，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O（1）求证：BO=DO；（2）若EFAB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长15.（2011泸州）如图，已

5、知D是ABC的边AB上一点，CEAB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明16（2011贵阳）阅读在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为(，)运用（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为_ （2）在直角坐标系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标【答案与解析】一选择题1.【答案】A2【答案】B【解析】由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的

6、对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，不能证明对角线互相平分，只有可以，故选B3【答案】D【解析】设边数为n，则，n9.4【答案】B.【解析】在ABCD中，ABCD且ABCD.又AEBD，四边形ABDE为平行四边形，DEAB.EFBC，DF2，CE2DF4.ECFABC60，EFCEsinECF42.5【答案】C6【答案】B.二填空题7【答案】4.8【答案】20；.9【答案】（1）ABC与ABP;ACP与BCP;AOC与BOP；（2）ABP ；同底等高.10【答案】n2+2n【解析】第1个图形是23-3，第2个图形是34-4，第3个图形是45-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要

7、黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n11.【答案】8.【解析】设多边形有n条边，则n-2=6，解得n=812【答案】4.【解析】四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AO=CO，BO=DO，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），EO=FO，AE=FC，PE=EO=2，FO=2，AEBF，PFBC，PAEPBF，PEA=90，=，AE=，=，解得：BF=3，则BC=4，故OBC的面积为：FOBC=24=4故答案为：4三.综合题13【解析】证明：ABF为正三角形， AB=FB,1+2=60 EAC和BCD是正三角形，AE=AC,BC=BD,3+2=60， 1=3在BD

8、F和BCA中， BDFBCA (SAS)， FD=AC又AE=AC， FD=AE，同理可证CABCED，可得AB=ED=AF，四边形AEDF是平行四边形14【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，DC=AB，DCAB，ODF=OBE，在ODF与OBE中ODFOBE（AAS）BO=DO；（2）解：BDAD，ADB=90，A=45，DBA=A=45，EFAB，G=A=45，ODG是等腰直角三角形，ABCD，EFAB，DFOG，OF=FG，DFG是等腰直角三角形，ODFOBE（AAS）OE=OF，GF=OF=OE，即2FG=EF，DFG是等腰直角三角形，DF=FG=1，DG=DO，在等腰RT

9、ADB 中，DB=2DO=2=ADAD=2，15【解析】解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等证明：CEAB，DAO=ECO，OA=OC，ADOECO，AD=CE，四边形ADCE是平行四边形，CD平行且等于AE16. 【解析】解：（1）M（，），即M（2，1.5）（2）根据平行四边形的对角线互相平分可得： 设D点的坐标为（x，y）， ABCD是平行四边形，当AB为对角线时， A（-1，2），B（3，1），C（1，4）， BC=， AD=， -1+3-1=1，2+1-4=-1， D点坐标为（1，-1），当BC为对角线时， A（-1，2），B（3，1），C（1，4）， AC=

10、2，BD=2， D点坐标为（5，3）当AC为对角线时， A（-1，2），B（3，1），C（1，4）， AB=，CD=， D点坐标为：（-3，5）， 综上所述，符合要求的点有：（1，-1），（-3，5），（5，3）中考总复习：多边形与平行四边形-巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1如图，四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，ABED的面积是，则四边形ABCD的周长为（ ）A49cm B43cm C41cm D46cm2如图，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=4，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是：( ) A.； B

11、.2； C.3； D.43. 已知点A(2，0)、点B(，0)、点C(0，1)，以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4.(2011安徽)如图，在四边形ABCD中，BADADC90，ABAD2，CD，点P在四边形ABCD的边上，若P到BD的距离为，则点P的个数为()A1 B2 C3 D45.如图，分别以RtABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边ABD和ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若BAC=30，下列结论：EFAC；四边形ADFE为平行四边形；AD=4AG；DBFEFA其中正确结论的是（ ）A B C D

12、 6 .（2014杭州模拟）如图，在ABC中，ACB=90，D是BC的中点，DEBC，CEAD，若AC=2，ADC=30，四边形ACED是平行四边形；BCE是等腰三角形；四边形ACEB的周长是10+2；四边形ACEB的面积是16则以上结论正确的是（）ABCD二、填空题7. 如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若FDE的周长为8，FCB的周长为22，则FC的长为_.8.（2015春淅川县期末）若工人师傅用正三角形、正十边形与正n边形这三种正多边形能够铺成平整的地面，则n的值为9. 如图，平行四边形ABCD中，ABC=60，AB=4，AD=

13、8，点E、F分别是边BC、AD边的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是_10.（2011梅州）凸n边形的对角线的条数记作an（n4），例如：a4=2，那么：a5=_；a6-a5=_；an+1-an=_（n4，用n含的代数式表示）11.如图（1）,四边形ABCD中，ABE1F1CD，ADBC，则图中共有_个平行四边形；如图（2），四边形ABCD中，ABE1F1E2F2CD，ADBC，则图中共有_个平行四边形；如图（3），四边形ABCD中，ABE1F1E2F2E3F3CD，ADBC，则图中共有_个平行四边形；一般地，若四边形ABCD中，E1，E2，E3，都

14、是AD上的点，F1，F2，F3，都是BC上的点，且ABE1F1E2F2E3F3CD，ADBC，则图中共有_平行四边形.12.如图所示，中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，中多边形是由正方形“扩展”而来的，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为_.三、解答题13.问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面如图中，

15、用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周

16、角根据题意，可得方程：90x+y=360，整理得：2x+3y=8，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由验证2：_；结论2：_上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个

17、同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程猜想3：_；验证3：_；结论3：_14. 如图，在四边形ABCD中，A=90，ABC与ADC互补（1）求C的度数；（2）若BCCD且AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；（3）若CD=6，BC=8，S四边形ABCD=49，求AB的值 15. （2015春苏州校级期末）如图，正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF、CF（1）如图，当点P在CB延

18、长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形（2）如图，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由16（2012广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（6090）（1）当=60时，求CE的长；（2）当6090时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由连接CF，当CE2-CF2取最大值时，求tanDCF的值【答案与解析】一选择题1.【答案】D.2【答案】A.3.【答案】C4【答案】B.【解析】如图所示，作AEBD于E，CFBD于F，由题意得AEBDAB2，在边AB和AD上各存

19、在一个点P到BD的距离为.ABAD，BAD90，ADB45.又ADC90，CDF45.CFCD1，在边BC和CD上不存在符合题意的点P.综上所述.5【答案】A.【解析】先证 ADFABC,可得DF=AC=AE.DFAE 且DF=AE四边形ADFE为平行四边形，即是正确的.6【答案】D .【解析】ACB=90，DEBC，ACD=CDE=90，ACDE，CEAD，四边形ACED是平行四边形，故正确；D是BC的中点，DEBC，EC=EB，BCE是等腰三角形，故正确；AC=2，ADC=30，AD=4，CD=2，四边形ACED是平行四边形，CE=AD=4，CE=EB，EB=4，DB=2，CB=4，AB=

20、2，四边形ACEB的周长是10+2故正确；四边形ACEB的面积：24+42=8，故错误，故选：A二填空题7【答案】7.【解析】由题意知x+y+z=8,a+(y+a)+(z+x)=22，所以a=7.8【答案】十五.【解析】正三边形和正十边形内角分别为60、144，正n边形的内角应为36060144=156，所以正n边形为正十五边形故答案为：十五9【答案】4+4 10【答案】5；4；n-1【解析】五边形有5条对角线；六边形有9条对角线，9-5=4；n边形有条对角线，n+1边形有条对角线，an+1-an=-=n-1 11.【答案】3 ;6 ;10，.12【答案】n（n+1）【解析】正三边形“扩展”而

21、来的多边形的边数是12=34，正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=45，正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=56，正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=67，正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）三.综合题13【解析】用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据题意，可得方程：60a+120b=360整理得：a+2b=6，可以找到两组适合方程的正整数解为和结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边

22、形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：60m+90n+120c=360，整理得：2m+3n+4c=12，可以找到惟一一组适合方程的正整数解为结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌（说明：本题答案不惟一，符合要求即可）14【解析

23、】（1）ABC与ADC互补，ABC+ADC=180A=90，C=360-90-180=90；（2）过点A作AEBC，垂足为E则线段AE把四边形ABCD分成ABE和四边形AECD两部分，把ABE以A点为旋转中心，逆时针旋转90，则被分成的两部分重新拼成一个正方形过点A作AFBC交CD的延长线于F，ABC+ADC=180，又ADF+ADC=180， ABC=ADFAD=AB，AEC=AFD=90，ABEADFAE=AF四边形AECF是正方形；（3）解法1：连接BD，C=90，CD=6，BC=8，RtBCD中，BD=10又S四边形ABCD=49，SABD=49-24=25过点A作AMBD垂足为M，S

24、ABD=BDAM=25AM=5又BAD=90，ABMDAM=设BM=x，则MD=10-x，=解得x=5AB=5解法2：连接BD，A=90设AB=x，AD=y，则x2+y2=102，xy=25，xy=50由，得：（x-y）2=0x=y2x2=100x=515【解析】（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=PBA=90在PBA和FBC中，PBAFBC（SAS），PA=FC，PAB=FCB PA=PE，PE=FC PAB+APB=90，FCB+APB=90 EPA=90，APB+EPA+FCP=180，即EPC+PCF=180，EPFC，四边形EPCF是平行四边形；（2）解：结论：四

25、边形EPCF是平行四边形，理由是：四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=CBF=90 在PBA和FBC中，PBAFBC（SAS），PA=FC，PAB=FCB PA=PE，PE=FC FCB+BFC=90，EPB+APB=90，BPE=FCB，EPFC，四边形EPCF是平行四边形16. 【解析】（1）=60，BC=10，sin=，即sin60=，解得CE=5；（2）存在k=3，使得EFD=kAEF理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，F为AD的中点，AF=FD，在平行四边形ABCD中，ABCD， G=DCF，在AFG和CFD中，AFGDFC（AAS），CF=GF，AG=CD，CEA

26、B，EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），AEF=G，AB=5，BC=10，点F是AD的中点，AG=5，AF=AD=BC=5，AG=AF，AFG=G，在EFG中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG（对顶角相等），CFD=AEF，EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在正整数k=3，使得EFD=3AEF；设BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5-x+5=10-x，在RtBCE中，CE2=BC2-BE2=100-x2，在RtCEG中，CG2=EG2+CE2=（10-x）2+100-x2=200-20x，CF=GF（中已证），CF2=（C

27、G）2=CG2=（200-20x）=50-5x，CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-（x-）2+50+，当x=，即点E是AB的中点时，CE2-CF2取最大值，此时，EG=10-x=10-=，CE=，所以，tanDCF=tanG=中考总复习：多边形与平行四边形-知识讲解（基础）【考纲要求】【高清课堂：多边形与平行四边形 考纲要求】1. 多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题； 能用正三角形、正

28、方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形(2)平行四边形A：会识别平行四边形B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题C：会运用平行四边形的知识解决有关问题【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1. 多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n2)个三角形3多边形的角：n边形的内角和是(n2)180，外角和是360.【要点诠释】（1）多

29、边形包括三角形、四边形、五边形，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌2平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边

30、形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对

31、称中心3判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形4两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离性质：夹在两条平行线间的平行线段相等【要点诠释】1.平行四边形的面积=底高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1（2015葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，A+B+E=300，DP、CP分别平分EDC、BCD，则P的度数是（）A

32、60B65C55D50【思路点拨】根据五边形的内角和等于540，由A+B+E=300，可求BCD+CDE的度数，再根据角平分线的定义可得PDC与PCD的角度和，进一步求得P的度数【答案】A【解析】解：五边形的内角和等于540，A+B+E=300，BCD+CDE=540300=240，BCD、CDE的平分线在五边形内相交于点O，PDC+PCD=（BCD+CDE）=120，P=180120=60故选：A【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键注意整体思想的运用举一反三： 【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为，再走12米，如此重复，

33、小林共走了108米回到点P，则=_.【答案】40.2 (2011十堰)现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是()A正方形和正六边形 B正三角形和正方形C正三角形和正六边形 D正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90和120，要镶嵌则需要满足90m120n360，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360,并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正

34、方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有()A2种 B3种 C4种 D5种【答案】B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用3（2014春章丘市校级月考）如图，已知在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AEBD，BMAC、DNAC，CFBD垂足分别是E、M、N、F，求证：ENMF【思路点拨】连接ME，FN，由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，利用AAS得到三角形AOE与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OE=OF，同理得到三角形BOM与三角形DON全等，得到OM=ON，进而确定出四边形MEFN为平行四边形，利用平行四

35、边形的对边平行即可得证【答案与解析】证明：连接ME，FN，四边形ABCD为平行四边形，OA=OC，OB=OD，AEBD，CFBD，在AOE和COF中，AOECOF（AAS），OE=OF，同理BOMDON，得到OM=ON，四边形EMFN为平行四边形，ENMF【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键4. 如图所示，ABC中，BAC=90，延长BA到D，使，点E、F分别为边BC、AC的中点.（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AGBC，交DF于G，求证：AG=DG.【思路点拨】（1）E、F分别为BC、AC中点，则EF为ABC的中位线，所以EFAB，

36、.而.则EF=AD.从而易证DAFEFC, 则DF=CE=BE.(2) AG与DG在同一个三角形中,只需证D=DAG即可.【答案与解析】（1）点E、F分别为BC、AC的中点， EF是ABC的中位线. EFAB，. 又， EF=AD. EFAB，EFC=BAC=90，BAC=90，DAF=90. 又 F是AC的中点，AF=CF，DAFEFC.DF=EC=BE. （2）由(1)知DAFEFC，D=FEC. 又 EFAB，B=FEC.又 AGBC，DAG=B， DAG=FECD=DAG.AG=DG.【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系可以证明两条直线平行；数量关系可以证明线段的相等或倍分.此

37、外应注意三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形.举一反三：【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（ ）A线段EF的长逐渐增大 B线段EF的长逐渐变小C线段EF的长不变 D无法确定【答案】C.5如图：六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FDBD已知FD=4cm，BD=3cm则六边形ABCDEF的面积是_cm2【思路点拨】连接AC交BD于G，AE交DF于H根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB

38、和AFDC易得AC=FD，EH=BG计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积【答案与解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，AE=BD，AC=FD，FDBD，GDH=90，四边形AHDG是矩形，AH=DGEH=AE-AH，BG=BD-DGEH=BG六边形ABCDEF的面积=平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FDBD=34=12cm2故答案为：12.【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根

39、据面积公式进行计算 6 .（2012厦门）已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PEAC，PFBD，垂足分别为E、F，PE=PF（1）如图，若PE=，EO=1，求EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+3-4，求BC的长【思路点拨】（1）连接PO，利用解直角三角形求出EPO=30，再利用“HL”证明PEO和PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得FPO=EPO，从而得解；（2）根据三角形中位线定理可得PFAO，且PF=AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得AOD=PFD=90，再根据同位角相等，两直线平行可得PEOD，所以PE也是AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解【答案与解析】（1）如图，连接PO，PEAC，PE= ，EO=1，tanEPO=，EPO=30，PEAC，PFBD，PEO=PFO=90，在RtPEO和RtPFO中，RtPEORtPFO（HL），FPO=EPO=30，EPF=FPO+EPO=30+30=60；（2）如图，点P是AD的中点，点F是DO的中点，PFAO，且PF=AO，P