复变函数试卷库.pdf

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1、复变函数论复变函数论试题库试题库复变函数复变函数考试试题（一）考试试题（一）一、判断题（20 分）：1.若 f(z)在 z0的某个邻域内可导，则函数 f(z)在 z0解析.()2.有界整函数必在整个复平面为常数.()3.若收敛，则与都收敛.()nz Renz Imnz4.若 f(z)在区域 D 内解析，且，则（常数）.()0)(zfCzf)(5.若函数 f(z)在 z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.若 z0是的 m 阶零点，则 z0是 1/的 m 阶极点.()(zf)(zf7.若存在且有限，则 z0是函数 f(z)的可去奇点.()(lim0zfzz8.若函数 f(z)

2、在是区域 D 内的单叶函数，则.()(0)(Dzzf9.若 f(z)在区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C.0)(Cdzzf()10.若函数 f(z)在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数.（）二.填空题（20 分）1、_.（为自然数）1|00)(zznzzdzn2._.zz22cossin3.函数的周期为_.zsin4.设，则的孤立奇点有_.11)(2zzf)(zf5.幂级数的收敛半径为_.0nnnz6.若函数 f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_.7.若，则_.nnzlimnzzznn.lim218._，其中 n 为自然数.)0,(Renz

3、zesQQ3742892369.的孤立奇点为_.zzsin10.若是的极点，则.0z)(zf_)(lim0zfzz三.计算题（40 分）：1.设，求在内的罗朗展式.)2)(1(1)(zzzf)(zf1|0:zzD2.cos11|zdzz3.设，其中，试求Cdzzf173)(23|:|zzC).1(if4.求复数的实部与虚部.11zzw四.证明题.(20 分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内)(zfD|)(|zfDD为常数.2.试证:在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,()(1)f zzz0Re1zz并求出支割线上岸取正值的那支在的值.0Re1z1z 复变函数复变函数

4、考试试题（二）考试试题（二）一.判断题.（20 分）1.若函数在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续.),(),()(yxivyxuzf()2.cos z 与 sin z 在复平面内有界.()3.若函数 f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0连续.()4.有界整函数必为常数.()5.如 z0是函数 f(z)的本性奇点，则一定不存在.()(lim0zfzz6.若函数 f(z)在 z0可导，则 f(z)在 z0解析.()7.若 f(z)在区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C.0)(Cdzzf()8.若数列收敛，则与都收敛.()nzRenzImnzQQ374

5、2892369.若 f(z)在区域 D 内解析，则|f(z)|也在 D 内解析.()10.存在一个在零点解析的函数 f(z)使且.()0)11(nf,.2,1,21)21(nnnf二.填空题.(20 分)1.设，则iz_,arg_,|zzz2.设，则_.Ciyxzyxixyxzf),sin(1()2()(222)(lim1zfiz3._.（为自然数）1|00)(zznzzdzn4.幂级数的收敛半径为_.0nnnz5.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m0，则 z0是的_零点.)(zf6.函数 ez的周期为_.7.方程在单位圆内的零点个数为_.083235zzz8.设，则的孤立奇点有_.21

6、1)(zzf)(zf9.函数的不解析点之集为_.|)(zzf10._)1,1(Res4zz三.计算题.(40 分)1.求函数的幂级数展开式.)2sin(3z2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的z点及右沿的点处的值.iz 3.计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）iizzId|1|z的右半圆.4.求 dzzzz22)2(sin.QQ374289236四.证明题.(20 分)1.设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是在)(zfD 内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数复变函

7、数考试试题（三）考试试题（三）一.判断题.(20 分).1.cos z与 sin z的周期均为.()k22.若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,则f(z)在z0解析.()3.若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续.()4.若数列收敛，则与都收敛.()nzRenzImnz5.若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数.()6.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.()7.如果函数f(z)在上解析,且,则1|:|zzD)1|(|1|)(|zzf.（)1|(|1|)(|zzf）8.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个

8、邻域内可以展开为幂级数.()9.若z0是的m阶零点,则z0是 1/的m阶极点.()(zf)(zf10.若是的可去奇点，则.()0z)(zf0),(Res0zzf二.填空题.(20 分)1.设，则f(z)的定义域为_.11)(2zzf2.函数ez的周期为_.3.若，则_.nnninnz)11(12nznlim4._.zz22cossin5._.（为自然数）1|00)(zznzzdzn6.幂级数的收敛半径为_.0nnnxQQ3742892367.设，则f(z)的孤立奇点有_.11)(2zzf8.设，则.1ze_z9.若是的极点，则.0z)(zf_)(lim0zfzz10._)0,(Resnzze三

9、.计算题.(40 分)1.将函数在圆环域内展为 Laurent 级数.12()zf zz e0z 2.试求幂级数的收敛半径.nnnznn!3.算下列积分：，其中是.Czzzze)9(d22C1|z4.求在|z|1 内根的个数.0282269zzzz四.证明题.(20 分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么)(zfD|)(|zfD它在内为常数.D2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及)(zfM，使得当时Rz|，nzMzf|)(|证明是一个至多n次的多项式或一常数。)(zf复变函数复变函数考试试题（四）考试试题（四）一.判断题.(20 分)1.若 f(z)在

10、z0解析，则 f(z)在 z0处满足柯西-黎曼条件.（）2.若函数 f(z)在 z0可导，则 f(z)在 z0解析.（）3.函数与在整个复平面内有界.（）zsinzcosQQ3742892364.若 f(z)在区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有.0)(Cdzzf（）5.若存在且有限，则 z0是函数的可去奇点.（）)(lim0zfzz6.若函数 f(z)在区域 D 内解析且，则 f(z)在 D 内恒为常数.（）0)(zf7.如果 z0是 f(z)的本性奇点，则一定不存在.（）)(lim0zfzz8.若，则为的 n 阶零点.（0)(,0)(0)(0zfzfn0z)(zf）9.若

11、与在内解析，且在内一小弧段上相等，则)(zf)(zgDD.（Dzzgzf),()(）10.若在内解析，则)(zf|0z.（),(Res)0),(Reszfzf）二.填空题.(20 分)1.设，则.iz11_Im_,Rezz2.若，则_.nnzlimnzzznn.lim213.函数 ez的周期为_.4.函数的幂级数展开式为_211)(zzf5.若函数 f(z)在复平面上处处解析，则称它是_.6.若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的_.7.设，则.1|:|zC_)1(Cdzz8.的孤立奇点为_.zzsinQQ3742892369.若是的极点，则.0z)(zf

12、_)(lim0zfzz10._.)0,(Resnzze三.计算题.(40 分)1.解方程013z.2.设，求1)(2zezfz).),(Rezfs3.)(9(2|2zdzizzz4.函数zez111有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）()f z.四.证明题.(20 分)1.证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析.)(zf)(zf2.证明方程在内仅有 3 个根.0364 zz2|1 z复变函数复变函数考试试题（五）考试试题（五）一.判断题.（20 分）1.若函数 f(z)是单连通区域 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导数.（）2.若函数 f(z)在区域 D 内的解析

13、，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域 D内恒等于常数.（）3.若 f(z)在区域 D 内解析，则|f(z)|也在 D 内解析.（）4.若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.（）5.若函数 f(z)在 z0处满足 Cauchy-Riemann 条件，则 f(z)在 z0解析.（）6.若存在且有限，则 z0是 f(z)的可去奇点.（)(lim0zfzz）7.若函数 f(z)在 z0可导，则它在该点解析.（）QQ3742892368.设函数在复平面上解析，若它有界，则必为常数.（)(zf)(zf）9.若是的一级极点，则0z)(zf.（)()(lim),(Res000zfzzzzf

14、zz）10.若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则)(zf)(zgDD.（Dzzgzf),()(）二.填空题.（20 分）1.设，则.iz31_,arg_,|zzz2.当时，为实数._zze3.设，则.1ze_z4.的周期为_.ze5.设，则.1|:|zC_)1(Cdzz6._)0,1(Reszez7.若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的_。8.函数的幂级数展开式为_.211)(zzf9.的孤立奇点为_.zzsin10.设 C 是以为 a 心，r 为半径的圆周，则.（为自_)(1Cndzazn然数）三.计算题.(40 分)QQ3742892361.求复数

15、的实部与虚部.11zz2.计算积分：，zzILdRe在这里 L 表示连接原点到的直线段.1 i3.求积分：，其中 0a1.I 202cos21aad4.应用儒歇定理求方程，在|z|1 内根的个数，在这里在)(zz)(z上解析，并且.1|z1|)(|z四.证明题.(20 分)1.证明函数除去在外，处处不可微.2|)(zzf0z2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n，以及两个数 R 及)(zfM，使得当时Rz|，nzMzf|)(|证明:是一个至多 n 次的多项式或一常数.)(zf复变函数复变函数考试试题（六）考试试题（六）一、判断题（30 分）：1.若函数在解析，则在连续.（）()f z0

16、z()f z0z2.若函数在处满足 Caychy-Riemann 条件，则在解析.（）()f z0z()f z0z3.若函数在解析，则在处满足 Caychy-Riemann 条件.（）()f z0z()f z0z4.若函数在是区域内的单叶函数，则.（）()f zD()0()fzzD 5.若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（()f zDDC()0Cf z dz）6.若在区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（）()f zDDC()0Cf z dz 7.若，则函数在是内的单叶函数.（）()0()fzzD()f zDQQ3742892368.若是的阶零点，则是的阶极点.（）0z()f

17、zm0z1()f zm9.如果函数在上解析，且,则.（()f z:1Dzz()1(1)f zz()1(1)f zz）10.（）sin1()zzC 二、填空题（20 分）1.若，则_.21(1)1nnnzinnlimnz 2.设，则的定义域为_.21()1f zz()f z3.函数的周期为_.sin z4._.22sincoszz5.幂级数的收敛半径为_.0nnnz6.若是的阶零点且，则是的_零点.0z()f zm1m 0z()fz7.若函数在整个复平面处处解析，则称它是_.()f z8.函数的不解析点之集为_.()f zz9.方程在单位圆内的零点个数为_.532380zzz10.公式称为_.c

18、ossinixexix三、计算题（30 分）1、.2lim6nni2、设，其中，试求.2371()Cf zdz:3Czz(1)fi3、设，求.2()1zef zzRe(),)s f z i4、求函数在内的罗朗展式.36sin zz0z 5、求复数的实部与虚部.11zwzQQ3742892366、求的值.3ie四、证明题（20 分）1、方程在单位圆内的根的个数为 6.7639610zzz 2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒()(,)(,)f zu x yiv x yD(,)v x y()f zD等于常数.3、若是的阶零点，则是的阶极点.0z()f zm0z1()f zm复变函数复变函数考试

19、试题（七）考试试题（七）一、判断题（24 分）1.若函数在解析，则在的某个领域内可导.（）()f z0z()f z0z2.若函数在处解析，则在满足 Cauchy-Riemann 条件.（）()f z0z()f z0z3.如果是的可去奇点，则一定存在且等于零.（）0z()f z0lim()zzf z4.若函数是区域内的单叶函数，则.（）()f zD()0()fzzD 5.若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（）()f zDD6.若函数在区域内的解析，且在内某个圆内恒为常数，则在区域内恒等于()f zDDD常数.（）7.若是的阶零点，则是的阶极点.（）0z()f zm0z1()f zm

20、二、填空题（20 分）1.若，则_.11sin(1)1nnzinnlimnz 2.设，则的定义域为_.2()1zf zz()f z3.函数的周期为_.ze4._.22sincoszz5.幂级数的收敛半径为_.220nnn z6.若是的阶零点且，则是的_零点.0z()f zm1m 0z()fzQQ3742892367.若函数在整个复平面处处解析，则称它是_.()f z8.函数的不解析点之集为_.()f zz9.方程在单位圆内的零点个数为_.833380zzz10._.Re(,0)znesz三、计算题（30 分）1、求.221122ii2、设，其中，试求.2371()Cf zdz:3Czz(1)f

21、i3、设，求.2()zef zzRe(),0)s f z4、求函数在内的罗朗展式.(1)(1)zzz12z5、求复数的实部与虚部.11zwz6、利用留数定理计算积分：，.20cosdxax(1)a 四、证明题（20 分）1、方程在单位圆内的根的个数为 7.7633249610zzzz 2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等()(,)(,)f zu x yiv x yD()f z()f zD于常数.3、若是的阶零点，则是的阶极点.0z()f zm0z1()f zm五、计算题（10 分）求一个单叶函数，去将平面上的上半单位圆盘保形映射为平面的z:1,Im0zzzw单位圆盘:1w w 复变函数复

22、变函数考试试题（八）考试试题（八）一、判断题（20 分）1、若函数在解析，则在连续.（）()f z0z()f z0zQQ3742892362、若函数在满足 Cauchy-Riemann 条件，则在处解析.（）()f z0z()f z0z3、如果是的本性奇点，则一定不存在.（）0z()f z0lim()zzf z4、若函数是区域内解析，并且，则是区域的单叶函数.()f zD()0()fzzD()f zD（）5、若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（）()f zDD6、若函数是单连通区域内的每一点均可导，则它在内有任意阶导数.（）()f zDD7、若函数在区域内解析且，则在内恒为常数.

23、（）()f zD()0fz()f zD8.存在一个在零点解析的函数使且.（）()f z1()01fn11(),1,2,22fnnn9.如果函数在上解析，且，则.()f z:1Dzz()1(1)f zz()1(1)f zz（）10.是一个有界函数.（）sin z二、填空题（20 分）1、若，则_.21(1)1nnnzinnlimnz 2、设，则的定义域为_.()lnf zz()f z3、函数的周期为_.sin z4、若，则_.limnnz12limnnzzzn5、幂级数的收敛半径为_.50nnnz6、函数的幂级数展开式为_.21()1f zz7、若是单位圆周，是自然数，则_.Cn01()nCdz

24、zz8、函数的不解析点之集为_.()f zz9、方程在单位圆内的零点个数为_.53215480zzz10、若，则的孤立奇点有_.21()1f zz()f z三、计算题（30 分）1、求1131sin2(1)(4)zzzdzezdzizzQQ3742892362、设，其中，试求.2371()Cf zdz:3Czz(1)fi3、设，求.2()1zef zzRe(),)s f z 4、求函数在内的罗朗展式.210(1)(2)zzz2z 5、求复数的实部与虚部.11zwz四、证明题（20 分）1、方程在单位圆内的根的个数为 7.763155610zzz 2、若函数在区域内连续，则二元函数与都在()(,

25、)(,)f zu x yiv x yD(,)u x y(,)v x y内连续.D4、若是的阶零点，则是的阶极点.0z()f zm0z1()f zm五、计算题（10 分）求一个单叶函数，去将平面上的区域保形映射为平面的单位圆盘z4:0arg5zzw.:1w w 复变函数复变函数考试试题（九）考试试题（九）一、判断题（20 分）1、若函数在可导，则在解析.（）()f z0z()f z0z2、若函数在满足 Cauchy-Riemann 条件，则在处解析.（）()f z0z()f z0z3、如果是的极点，则一定存在且等于无穷大.（）0z()f z0lim()zzf z4、若函数在单连通区域内解析，则对

26、内任一简单闭曲线都有.()f zDDC()0Cf z dz（）5、若函数在处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.（）()f z0z6、若函数在区域内的解析，且在内某一条曲线上恒为常数，则在区域()f zDD()f z内恒为常数.（）DQQ3742892367、若是的阶零点，则是的阶极点.（）0z()f zm0z1()f zm8、如果函数在上解析，且，则.（()f z:1Dzz()1(1)f zz()1(1)f zz）9、.（）limzze 10、如果函数在内解析，则（）()f z1z 11max()max().zzf zf z二、填空题（20 分）1、若，则_.12sin(1)1nn

27、zinnlimnz 2、设，则的定义域为_.1()sinf zz()f z3、函数的周期为_.sin z4、_.22sincoszz5、幂级数的收敛半径为_.0nnnz6、若是的阶零点且，则是的_零点.0z()f zm1m 0z()fz7、若函数在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是_.()f z8、函数的不解析点之集为_.()f zz9、方程在单位圆内的零点个数为_.832011350zzz10、_.2Re(,1)1zesz三、计算题（30 分）1、2lim6nni2、设，其中，试求.2371()Cf zdz:3Czz(1)fi3、设，求.2()1zef zzRe(),)s f z

28、i4、求函数在内的罗朗展式.(1)(2)zzz12zQQ3742892365、求复数的实部与虚部.11zwz6、利用留数定理计算积分.2422109xxdxxx四、证明题（20 分）1、方程在单位圆内的根的个数为 6.7639610zzz 2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒()(,)(,)f zu x yiv x yD(,)u x y()f zD等于常数.7、若是的阶零点，则是的阶极点.0z()f zm0z1()f zm五、计算题（10 分）求一个单叶函数，去将平面上的带开区域保形映射为平面的单位z:Im2zzw圆盘.:1w w 复变函数复变函数考试试题（十）考试试题（十）一、判断题（4

29、0 分）：1、若函数在解析，则在的某个邻域内可导.（）()f z0z()f z0z2、如果是的本性奇点，则一定不存在.（）0z()f z0lim()zzf z3、若函数在内连续，则与都在内连续.（()(,)(,)f zu x yiv x yD(,)u x y(,)v x yD）4、与在复平面内有界.（）coszsin z5、若是的阶零点，则是的阶极点.（）0z()f zm0z1/()f zm6、若在处满足柯西-黎曼条件，则在解析.（）()f z0z()f z0z7、若存在且有限，则是函数的可去奇点.（）0lim()zzf z0z8、若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（()f zD

30、DC()0Cf x dz）9、若函数是单连通区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（）()f zDD10、若函数在区域内解析，且在内某个圆内恒为常数，则在区域内恒等于常()f zDDDQQ374289236数.（）二、填空题（20 分）：1、函数的周期为_.ze2、幂级数的和函数为_.0nnnz3、设，则的定义域为_.21()1f zz()f z4、的收敛半径为_.0nnnz5、=_.Re(,0)znesz三、计算题（40 分）：1、2.(9)()zzdzzzi2、求2Re(,).1izesiz3、11.22nnii4、设 求，使得为解析函数，且满22(,)ln().u x yxy(,)v

31、x y()(,)(,)f zu x yiv x y足。其中（为复平面内的区域）.(1)ln2fizDD5、求，在内根的个数4510zz 1z.复变函数复变函数考试试题（十一）考试试题（十一）一、判断题.（正确者在括号内打，错误者在括号内打，每题 2 分）1当复数时，其模为零，辐角也为零.（）0z 2若是多项式的根，则也是的根.（0z110()nnnnP za zaza(0)na 0z()P z）3如果函数为整函数，且存在实数，使得，则为一常数.（()f zMRe()f zM()f z）4设函数与在区域内解析，且在内的一小段弧上相等，则对任意的1()f z2()fzDD，有.（）zD1()f z

32、2()fzQQ3742892365若是函数的可去奇点，则.（）z ()f zRe()0zs f z二、填空题.（每题 2 分）1 _.23456iiiii2设，且，当时，0zxiyarg,arctan22yzx0,0 xy_.argarctanyx3函数将平面上的曲线变成平面上的曲线_.1wzz22(1)1xyw4方程的不同的根为_.440(0)zaa5_.(1)ii6级数的收敛半径为_.202(1)nnz 7在（为正整数）内零点的个数为_.cosnzznn8函数的零点的阶数为_.336()6sin(6)f zzzz0z 9设为函数的一阶极点，且，则a()()()zf zz()0,()0,()

33、0aaa_.()Re()z afzsf z10设为函数的阶极点，则_.a()f zm()Re()z afzsf z三、计算题（50 分）1设。求，使得为解析函数，且221(,)ln()2u x yxy(,)v x y()(,)(,)f zu x yiv x y满足.其中（为复平面内的区域）.（15 分）1(1)ln22fizDD2求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）.（10 分）（1）；（5 分）（2）.（5 分）2tan z111zzee3计算下列积分.（15 分）（1）（8 分），1924434(1)(2)zzdzzzQQ374289236 （2）（7 分）.201 c

34、osd4叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数.（10 分）742520zzz1z 四、证明题（20 分）1设是上半复平面内的解析函数，证明是下半复平面内的()(,)(,)f zu x yiv x y()f z解析函数.（10 分）2设函数在内解析，令。证明：在区()f zzR()max(),(0)zrM rf zrR()M r间上是一个上升函数，且若存在及（），使，则0,)R1r2r120rrR12()()M rM r常数.（10 分）()f z 复变函数复变函数考试试题（十二）考试试题（十二）二、判断题。（正确者在括号内打，错误者在括号内打，每题 2 分）1设复数及，若或，则称与是相等的复数。

35、111zxiy222zxiy12xx12yy1z2z（）2函数在复平面上处处可微。（）()Ref zz3且。（）22sincos1zzsin1,cos1zz4设函数是有界区域内的非常数的解析函数，且在闭域上连续，则()f zDDDD存在，使得对任意的，有。（）0M zD()f zM5若函数是非常的整函数，则必是有界函数。（）()f z()f z二、填空题。（每题 2 分）1 _。23456iiiii2设，且，当时，0zxiyarg,arctan22yzx0,0 xy_。argarctanyx3若已知，则其关于变量的表达式为222211()(1)(1)f zxiyxyxyz_。4以_为支点。nz

36、z QQ3742892365若，则_。ln2ziz 6_。1zdzz7级数的收敛半径为_。2461zzz8在（为正整数）内零点的个数为_。cosnzznn9若为函数的一个本质奇点，且在点的充分小的邻域内不为零，则是za()f zaza的_奇点。1()f z10设为函数的阶极点，则_。a()f zn()Re()z afzsf z三、计算题（50 分）1设区域是沿正实轴割开的平面，求函数在内满足条件的单值Dz5wzD511 连续解析分支在处之值。（10 分）1zi 2求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分）（1）的各解析分支在各有怎样的孤立奇点，并求这些点

37、的留数（102n()1Lzf zz1z 分）（2）求。（5 分）10Reznzesz3计算下列积分。（15 分）（1）（8 分），72322(1)(2)zzdzzz （2）（7 分）。2222(0)()x dxaxa4叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数。（10 分）66100zz1z 四、证明题（20 分）1讨论函数在复平面上的解析性。（10 分）()zf ze2证明：。21()2!nznnCz edzinn 此处是围绕原点的一条简单曲线。（10 分）CQQ374289236复变函数复变函数考试试题（十三）考试试题（十三）一、填空题（每题分）设，则_(cossin)zri1z设函数，则的充()

38、(,)(,)f zu x yiv x y00Auiv000zxiy0lim()zzf zA要条件是_设函数在单连通区域内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线的积()f zD()f zDC分_()Cf z dz 设为的极点，则_za()f zlim()zaf z设，则是的_阶零点()sinf zzz0z()f z设，则在的邻域内的泰勒展式为_21()1f zz()f z0z 设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是_zazab,a bz设，则的三角表示为_sincos66zi z_40coszzdz设，则在处的留数为_2()zef zz()f z0z 二、计算题计算下列各题（分）(1)；(2);(3)co

39、siln(23)i 33i2求解方程（分）380z 设，验证是调和函数，并求解析函数，使之22uxyxyu()f zuiv（分）()1f ii 计算积分（10 分）(1)，其中是沿由原点到点的曲线2()Cxiy dzC2yx1zi(2)，积分路径为自原点沿虚线轴到，再由 沿水平方向向右120()ixyix dzii到1 iQQ374289236试将函数分别在圆环域和内展开为洛朗级1()(1)(2)f zzz01z12z数（分）计算下列积分（分）(1)；(2)2252(1)zzdzz z 224sin(1)zzdzzz 计算积分（分）241xdxx求下列幂级数的收敛半径（分）(1)；(2)11n

40、nnz1(1)!nnnzn讨论的可导性和解析性（分）2()f zz三、证明题设函数在区域内解析，为常数，证明必为常数（分）()f zD()f z()f z试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数（分）0azazbab复变函数复变函数考试试题（十四）考试试题（十四）一、填空题（每题分）设，则_(cossin)zrinz 设函数，则的充()(,)(,)f zu x yiv x y00Auiv000zxiy0lim()zzf zA要条件_设函数在单连通区域内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线的积()f zD()f zDC分_()Cf z dz 设为的可去奇点，_za()f zlim()zaf z设

41、，则是的_阶零点22()(1)zf zze0z()f z设，则在的邻域内的泰勒展式为_21()1f zz()f z0z 设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是_zazab,a bz设，则的三角表示为_sincoszizQQ374289236_10izze dz设，则在处的留数为_21()sinf zzz()f z0z 二、计算题计算下列各题（分）(1)；(2);(3)(34)Lni 16ie 1(1)ii2求解方程（分）320z 设，验证是调和函数，并求解析函数，使2(1)uxyu()f zuiv之（分）(2)fi 计算积分，其中路径为（）自原点到点的直线段；120()ixyix dz1 i(2)

42、自原点沿虚轴到，再由 沿水平方向向右到（10 分）ii1 i试将函数在的邻域内的泰勒展开式（分）1()(2)f zz1z 计算下列积分（分）(1)；(2)22sin()2zzdzz 2242(3)zzdzzz 计算积分（分）2053cosd求下列幂级数的收敛半径（分）(1)；(2)1(1)nnniz21(!)nnnnzn设为复平面上的解析函数，试确定，的3232()()f zmynx yi xlxylmn值（分）三、证明题设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数（分）()f zD()f zD()f z试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数（分）0azazbabQQ37428923

43、6试卷一至十四参考答案试卷一至十四参考答案复变函数复变函数考试试题（一）参考答案考试试题（一）参考答案一判断题12 610二填空题1.；2.1；3.，；4.；5.12101inn2k()kzzi 6.整函数；7.；8.；9.0；10.1(1)!n三计算题.1.解 因为 所以01,z01zQQ374289236 .111()(1)(2)12(1)2f zzzzz001()22nnnnzz2.解 因为,22212Re()limlim1cossinzzzzs f zzz.22212Re()limlim1cossinzzzzs f zzz所以.22212(Re()Re()0coszzzdzis f z

44、s f zz3.解 令,则它在平面解析,由柯西公式有在内,2()371 z3z .()()2()cf zdzizz 所以.1(1)2()2(136)2(6 13)zifiiziii 4.解 令,则zabi .222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)zabiabwzzababab 故,.2212(1)Re()11(1)zazab 2212Im()1(1)zbzab四.证明题.1.证明 设在内.D()f zC 令.2222(),()f zuivf zuvc则 两边分别对求偏导数,得 ,x y0(1)0(2)xxyyuuvvuuvv因为函数在内解析,所以.代入(2)则上述方程组

45、变为D,xyyxuv uv.消去得,.00 xxxxuuvvvuuvxu22()0 xuv v1)若,则 为常数.220uv()0f z QQ3742892362)若,由方程(1)(2)及 方程有,.0 xv.CR0,xu 0yu 0yv 所以.(为常数).12,uc vc12,c c所以为常数.12()f zcic2.证明的支点为.于是割去线段的平面内变点就()(1)f zzz0,1z 0Re1zz不可能单绕 0 或 1 转一周,故能分出两个单值解析分支.由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时,只有的幅角增加.所以z0,1z z的幅角共增加.由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该

46、分()(1)f zzz2支在上岸之幅角为 0,因而此分支在的幅角为,故.1z 22(1)22ifei复变函数复变函数考试试题（二）参考答案考试试题（二）参考答案一.判断题.1 6 10.二.填空题1.1，；2.；3.；4.1；5.2i3(1 sin2)i2101inn1m6.，.7.0；8.；9.；10.0.2k i()kziR三.计算题1.解.3 212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!nnnnnnnzzznn2.解 令.izre 则.22(),(0,1)kif zzrek 又因为在正实轴去正实值，所以.0k 所以.4()if ie3.单位圆的右半圆周为,.iz

47、e22 所以.22222iiiizdzdeei4.解QQ374289236dzzzz22)2(sin2)(sin2zzi2cos2zzi=0.四.证明题.1.证明(必要性)令,则.(为实常数).12()f zcic12()f zcic12,c c 令.则.12(,),(,)u x yc v x yc 0 xyyxuvuv 即满足,且连续,故在内解析.,u v.CR,xyyxu v uv()f zD(充分性)令,则,()f zuiv()f zuiv 因为与在内解析,所以()f z()f zD,且.,xyyxuvuv(),()xyyyxxuvvuvv 比较等式两边得.从而在内均为常数,故在内为常数

48、.0 xyyxuvuvD,u v()f zD2.即要证“任一 次方程 有且只有 个n101100(0)nnnna za zazaan根”.证明 令,取,当1011()0nnnnf za za zaza10max,1naaRa在上时,有 z:CzR.111110()()nnnnnnza RaRaaaRa R .()f z由儒歇定理知在圆 内,方程 与 有相zR10110nnnna za zaza00na z 同个数的根.而 在 内有一个 重根.因此次方程在 00na z zRn0z nzR内有 个根.n复变函数复变函数考试试题（三）参考答案考试试题（三）参考答案一.判断题1 6 10.二.填空题

49、.1.;2.;3.;4.1;5.;,z zizC 且2()k ikz1 ei 2101inn6.1;7.;8.;9.;10.i(21)zki1(1)!n三.计算题.1.解 .12222011(1)2!nznzz ezzzn 2.解 .11!(1)11limlimlim()lim(1)(1)!nnnnnnnnnncnnnecnnnn 所以收敛半径为.e3.解 令,则.22()(9)zef zzz2001Re()99zzzes f zz 故原式.022Re()9ziis f z QQ3742892364.解 令,.962()22f zzzz()8zz 则在 上均解析,且,故由儒歇定理有:C1z()

50、()f zz与()6()8f zz .即在 内,方程只有一个根.(,)(,)1N fCN fC1z 四.证明题.1.证明 证明 设在内.D()f zC 令.2222(),()f zuivf zuvc则 两边分别对求偏导数,得 ,x y0(1)0(2)xxyyuuvvuuvv因为函数在内解析,所以.代入(2)则上述方程组变为D,xyyxuv uv.消去得,.00 xxxxuuvvvuuvxu22()0 xuv v1),则 为常数.220uv()0f z 2)若,由方程(1)(2)及 方程有,.0 xv.CR0,xu 0yu 0yv 所以.(为常数).12,uc vc12,c c所以为常数.12(