2023新高考1卷数学详细解析.pdf

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1、公众号中学数学星空出品 编辑：戴刚锋 QQ471055561 数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空 ，这里是热点数学问题交流的空间 1/17 2023年6月新高考1卷数学解析 浙江上虞浙江上虞 戴刚锋戴刚锋 本试题卷分选择题和非选择题两部分全卷共本试题卷分选择题和非选择题两部分全卷共 4 4 页，选择题部分页，选择题部分 1 1 至至 2 2 页；页；非选择题部分非选择题部分 2 2 至至 4 4 页满分页满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟 选择题部分（共选择题部分（共 6060 分）分）一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 8 小

2、题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的 1 1：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 1：已知集合已知集合2,1,0,1,2M=，2|60Nx xx=，则，则MN=（）A.2,1,0,1 B.0,1,2 C.2 D.2 方法提供与解析：方法提供与解析：（浙江温州郑寿好浙江温州郑寿好）（浙江绍兴杨铸）（浙江绍兴杨铸）解析解析：(),23,N=+，所以，所以MN=2；故选；故选C 2 2：（：

3、（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 2 2 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 2：已知已知1i22iz=+，则，则zz=（）A.i B.i C.0 D.1 方法提供与解析：方法提供与解析：（浙浙江江温州郑寿好温州郑寿好）（浙江绍兴杨铸）（浙江绍兴杨铸）解析解析：1i1i22i2z=+，所以，所以zz=i；故选；故选A 3 3：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 3 3 题）题）公众公众号中号中学数学星空学数学星空 3：已知向量已知向量()1,1a=，()1,1b=若若()()ab

4、ab+，则则（）A.1+=B.1+=C.1=D.1=方法提供与解析：方法提供与解析：（浙江温州郑寿好浙江温州郑寿好）解析解析：()()()()()222 10ababaa bb+=+=+=，所以，所以1=；故选；故选D 4 4：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 4 4 题）题）公公众众号中学数学星空号中学数学星空 4：设函数设函数()()2x x afx=在区间在区间()0,1单调递减，则单调递减，则a的取值范围是的取值范围是（）A.(,2 B.)2,0 C.(0,2 D.)2,+方法提供与解析：方法提供与解析：（浙江温州郑寿好浙江温州郑

5、寿好）公众号中学数学星空出品 编辑：戴刚锋 QQ471055561 数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空 ，这里是热点数学问题交流的空间 2/17 解析解析：易得易得，12a，所以，所以a的取值范围是的取值范围是)2,+；故选；故选D 5 5：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 5 5 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 5：设椭圆设椭圆()2212:11xCyaa+=，222:14xCy+=的离心率分别为的离心率分别为1e，2e若若213ee=，则，则a=（）A.2 33 B.2 C.3 D.6 方法提供与解析：方法

6、提供与解析：（浙江温州郑寿好浙江温州郑寿好）解析解析：易得，易得，211aea=，232e=，得，得2112aa=，解得，解得a=2 33；故选；故选A 6 6：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 6 6 题题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 6：过点过点(0,2)与圆与圆2241 0 xyx+=相切的两条直线的夹角为相切的两条直线的夹角为.则则sin=A.1 B.154 C.104 D.64 方法提供与解析：方法提供与解析：（浙江江山柴晨涛）（浙江江山柴晨涛）解析：解析：22(2)5xy+=,故圆心故圆心(2,0)B,记记(0,2)

7、A,设切点为设切点为,M N.2 2,5ABBM=,故故353,sinsin,cos222 22 2AMAMMBAAB=15sin2sincos224=,故故选选 B 方法提供与解析：方法提供与解析：（浙江嘉兴陈浙江嘉兴陈超群超群）解析：解析：（直线与圆相交问题直线与圆相交问题）因为因为()2225xy+=，设圆心，设圆心()2,0C，5r=设点设点()0,2P，则，则2 2PC=设 过 点设 过 点P的 两 条 切 线的 两 条 切 线,PA PB 则则APB=则则510sin242 2=，36cos242 2=故故10615sin2sincos222444=故选故选 B 7 7：（：（20

8、232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 7 7 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 7：记记nS为数列为数列 na的前的前n项和项和,设甲设甲:na为等差数列为等差数列:乙乙:nSn为等差数列为等差数列,则则 BAMN公众号中学数学星空出品 编辑：戴刚锋 QQ471055561 数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空 ，这里是热点数学问题交流的空间 3/17 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件甲是乙的充要条件 D.甲既

9、不是乙的充分条件也不是乙的必要条件甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 方法提供与解析：方法提供与解析：（浙江江山柴晨涛）（浙江江山柴晨涛）解析解析 1：na为等差数列为等差数列,设其首项为设其首项为1a,公差为公差为d,则则111(1)1,2222nnSn nnddSnadadnan=+=+=+，112nnSSdnn+=+,故故nSn为等差数列为等差数列,则甲则甲是乙的充分条件是乙的充分条件 反之反之,nSn为等差数列为等差数列,即即111(1)1(1)(1)nnnnnnSSnSnSnaSnnn nn n+=+为常数为常数,设为设为t 即即1(1)nnnaStn n+=+,故故1(1)nn

10、Snat n n+=+故故1(1)(1),2nnSnat n nn=两式相减有两式相减有:11(1)22nnnnnananatnaat+=,对对1n=也成立也成立,故故 na为等差数列为等差数列 则甲是乙的必要条件则甲是乙的必要条件 故甲是乙的充要条件故甲是乙的充要条件,故故选选C 解析解析 2 2：（数列与充要条件）（数列与充要条件）因为甲：因为甲：na为等差数列，设数列为等差数列，设数列 na的首项的首项1a，公差为，公差为d即即()112nn nSnad=+，则则()111222nnSddadnan=+=+，故，故nSn为等差数列，即甲是乙的充分条件为等差数列，即甲是乙的充分条件 反之，

11、反之，乙：乙：nSn为等差数列为等差数列即即11nnSSDnn+=+，()11nSSnDn=+即即()11nSnSn nD=+()()()11112nSnSnnD=+当当2n时，上两式相减得：时，上两式相减得：()1121nnSSSnd=+当当1n=时，上式成立时，上式成立 所以所以()121naanD=+又又()()1122212nnaaanDanDD+=+=为常数为常数所以所以 na为等差数列为等差数列故故选选 C 8 8：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 8 8 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 8：已知已知11sin(

12、),cossin36=,则则cos(22)+=A.79 B.19 C.19 D.79 方法提供与解析：方法提供与解析：（浙江江山柴晨涛）（浙江江山柴晨涛）方法提供与解析：方法提供与解析：（浙江嘉兴陈超群浙江嘉兴陈超群）公众号中学数学星空出品 编辑：戴刚锋 QQ471055561 数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空 ，这里是热点数学问题交流的空间 4/17 解析：解析：（两角和两角和差的三差的三角函数角函数）因为因为()1sinsincoscossin3=，1cossin6=，则，则1sincos2=故故()112sinsincoscossin263+=+=+=即即()()2221

13、cos 2212sin1239+=+=故选故选 B 二二、多项选择题：本大题共、多项选择题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，分，共共 2020 分在每分在每小题给出小题给出的四个选项中，有多项符合题的四个选项中，有多项符合题目要求目要求全部选对得全部选对得 5 5 分分，部部分选对的得分选对的得 2 2 分分，有选错的得，有选错的得 0 0 分分 9 9：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 9 9 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 9：一组样本数据一组样本数据126,x xx,，其中，其中1x是最小值，是

14、最小值，6x是最大值，则是最大值，则 A2345,x x x x的平均数等于的平均数等于126,x xx,的平均数的平均数 B2345,x x x x的中位数等于的中位数等于126,x xx,的中位数的中位数 C2345,x x x x的标准差不小于的标准差不小于126,x xx,的标准差的标准差 D2345,x x x x的极差不大于的极差不大于126,x xx,的极差的极差 方法提供与解析：方法提供与解析：（绍兴陈潮江绍兴陈潮江）解析解析：23451234562345162()04612xxxxxxxxxxxxxxxx+=，所以所以 A A 错误；因为错误；因为1x是最小值，是最小值，6x

15、是最大值，所以是最大值，所以2345,x x x x的中位数的位置与的中位数的位置与126,x xx,的中位数的位的中位数的位置相同，所以置相同，所以 B B 正确；正确；因为因为1x是最小值，是最小值，6x是最大值，距离数据是最大值，距离数据126,x xx,的平均值大，即波动性大，所的平均值大，即波动性大，所以以标准差大，所以标准差大，所以 C C 错误；设错误；设2345,x x x x的最小值的最小值2x，最大值，最大值5x，则，则1256,xx xx，6152xxxx，所以所以 D D 正确正确 故选故选 BDBD 1 10 0：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考

16、 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 1 10 0 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 1 10 0：噪声污染问题越来越受到重视噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lgppLp=，其中常数，其中常数00(0)p p 是听觉下限阈值，是听觉下限阈值，p是实际声压是实际声压.下表为不同声源的声压级：下表为不同声源的声压级：公众号中学数学星空出品 编辑：戴刚锋 QQ471055561 数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空 ，这里是热点数学问题交流的空间 5/17 xyf(x)=x2ln|x|O 已知在距离燃油汽

17、车、混合动力汽车、电动汽车已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10m 处测得实际声压分别为处测得实际声压分别为123,p p p，则，则 A12pp B2310pp C30100pp=D12100pp 方法提供与解析：方法提供与解析：（绍兴陈潮江绍兴陈潮江）解析解析：1211200220lg20lg20lg0pppLLppp=，121pp，12pp，所以，所以 A 正确；正确；223320lg10pLLp=，231lg2pp，1223pep，所以，所以 B 错误；错误；33020lg40pLp=，30100pp=，所，所以以 C 正确；正确；112220lg905040pLLp=，12

18、lg2pp，12100pp，所以，所以 D 正确正确.故选故选 ACD 1 11 1：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 1 11 1 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 11：已知函数已知函数()f x的定义域为的定义域为R，()()()22f xyy f xx fy=+,则则（）A.()00f=B.()10f=C.()f x是偶函数是偶函数 D.0 x=为为()f x的极小值点的极小值点 方法提供与解析：方法提供与解析：（浙江宁波（浙江宁波+王如意）王如意）解析：（解析：（抽象函数抽象函数）令令0 xy=，则则()00f=，故

19、故 A 正确正确；令令1xy=，则则()()()111fff=+，即，即()10f=，故，故 B 正确正确；令令1xy=，则则()()()111fff=+，因为因为()10f=，所以所以()10f=；令令1y=，则则()()fxf x=()21x f+()f x=，故故()f x是是偶函数，故偶函数，故 C 正确正确；令令()20,0ln,0 xf xxx x=满足题意，满足题意，则则当当0 x时时，()2lnf xxx=，()()212 ln2ln10fxxxxxxx=+=+，12xe；令；令()0fx，120 xe，故故()f x在在120,e单调递减单调递减，12,e+单调递增单调递增，

20、且且()000231lnlimlimlim112xxxxxf xxx+=20lim02xx+=，又，又()f x是是偶函数，偶函数，故故()f x图象图象如图所示，所以如图所示，所以0 x=为为()f x的的极大值点极大值点，故故 D 错误错误；故选：故选：ABC.方法提供与解析：方法提供与解析：（江苏苏州陈建圣江苏苏州陈建圣）解析：解析：公众号中学数学星空出品 编辑：戴刚锋 QQ471055561 数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空 ，这里是热点数学问题交流的空间 6/17 选项选项 A，令，令0 xy=，则，则()()()00000fff=+，则，则()00f=，故，故 A

21、正确正确；选项选项 B，令，令1xy=，则，则()()()11111fff=+，则，则()10f=，故，故 B 正确正确；选项选项 C，令，令1xy=，则，则()()()()()2211111fff=+，则，则()10f=，再令再令1y=，则，则()22()1()(1)fxf xx f=+，即，即()()fxf x=，故，故 C 正确；正确；选项选项 D，对式子两边同时除以，对式子两边同时除以220 x y，得到，得到2222()()()f xyyf xfxyyx=+，故可以设，故可以设()2()ln,0fxxxx=，故可以得到故可以得到()2ln,00,0 xx xf xx=，故，故 D 选

22、项不正确；选项不正确；故选择故选择 ABC.1 12 2：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 1 12 2 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 1 12 2：下列物体中下列物体中,能够被整体放入棱长为能够被整体放入棱长为 1(单位单位:m)的正方体容器（容器壁厚度忽略不计的正方体容器（容器壁厚度忽略不计)内的有内的有 A.直径为直径为0.99m的球体的球体 B.所有棱所有棱长均为长均为1.4m的四面体的四面体 C.底面直径为底面直径为0.01m,高为高为1.8m的圆柱体的圆柱体 D.底面直径为底面直径为1.2m,高为高为0.01m

23、的圆柱体的圆柱体 方法提供与解析：方法提供与解析：（江苏苏州陈建圣江苏苏州陈建圣）解析：解析：选项选项 A，球直径为，球直径为0.99 1，故球体可以放入正方体容器内，故，故球体可以放入正方体容器内，故 A 正确；正确；选项选项 B，选择，选择连接正方体的连接正方体的面对角线，可以得到一个正四面体，其棱长为面对角线，可以得到一个正四面体，其棱长为21.4，故，故 B 正确；正确；选项选项 C，底面直径，底面直径0.01m，可以忽略不计，但，可以忽略不计，但高为高为1.83，3为正为正方体方体的体对角线的长，故的体对角线的长，故 C 不正确；不正确；选项选项 D，底面直径为底面直径为1.23,高

24、为高为0.01m的圆柱体的圆柱体，其高度可以忽略不计，故，其高度可以忽略不计，故 D 正确正确.故选择故选择 ABD.非非选择题部分（共选择题部分（共 9090 分）分）三、填空题三、填空题：本大题共：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 1 13 3：（：（20232023 年年 6 6 月新高月新高考考 1 1 卷数卷数学解析学解析第第 1 13 3 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 13：某学校开设了某学校开设了 4 门体育类选修课和门体育类选修课和 4 门艺术类选修课门艺术类选修课,学生需从这学生需从这 8 门课中选修门课中选修

25、2 门或门或 3 门课门课,并并且每类选修课至少选修且每类选修课至少选修 1 门门,则不同的选课方案共有则不同的选课方案共有 种种(用数字作答用数字作答).方法提供与解析：方法提供与解析：（浙江（浙江宁波宁波+王如意王如意）解析：解析：当当从这从这 8 门课中选修门课中选修 2 门门课课时，共有时，共有114416C C=；当；当从这从这 8 门门课中选修课中选修 3 门门课课时，共有时，共有公众号中学数学星空出品 编辑：戴刚锋 QQ471055561 数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空 ，这里是热点数学问题交流的空间 7/17 O1OC1B1A1D1SCDAB122144444

26、8C CCC+=；综上；综上，共有，共有64种种.故填：故填：64.1 14 4：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 1 14 4 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 14：在正四棱台在正四棱台1111ABCDABCD中，中，2AB=，111AB=，12AA=,则该棱台的体积则该棱台的体积为为 .方法提供与解析：方法提供与解析：（浙江（浙江宁波宁波+王如意王如意）解析：解析：如图如图，将，将正四棱台正四棱台1111ABCDABCD补成补成正四棱锥，则正四棱锥，则2AO=,2 2SA=，162OO=，故，故()121213VSSS

27、Sh=+,()2222167 62121326V=+=.故填：故填：7 66.1 15 5：（：（20232023 年年 6 6 月新高月新高考考 1 1 卷数卷数学解析学解析第第 1 15 5 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 15：已知函数已知函数()()cos10f xx=在在区区间间0,2有且仅有有且仅有 3 个零点，则个零点，则的取值范围是的取值范围是_ .方法提供与解析：方法提供与解析：（浙江（浙江宁波宁波+王如意王如意）解析：解析：（三角函数及其性质）（三角函数及其性质）令令()cos1 0f xx=，得，得cos1x=，又，又0,2x，则则0,2x，所以所以426，

28、即即23.故填：故填：2,3).1 16 6：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 1 16 6 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 16：已知双曲线已知双曲线()2222:10,0 xyCabab=的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为12,F F.点点A在在C上上,点点B在在y轴轴上上,21122,3F AFB F AF B=,则则C的离心率为的离心率为 .方法提供与解析：方法提供与解析：（江苏苏州陈建圣江苏苏州陈建圣）解析解析 1：（坐标法）（坐标法）建立如图所示坐标系，依题意可以设建立如图所示坐标系，依题意可以设()()()1

29、2,0,0,0,ccBnFF，OxyABF1F2 公众号中学数学星空出品 编辑：戴刚锋 QQ471055561 数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空 ，这里是热点数学问题交流的空间 8/17 由由2223F AF B=，可得，可得52,33Acn，又又11,F AFB且且()1182,33F AcnFBc n=，则，则()22118282,=03333F A FBcnc ncn=即即224nc=，又又点点A在在C上上，则，则2222125499cnab=，整理可得，整理可得2222124995cnab=，代，代入入224nc=，可得可得222292516ccab=，即，即22225

30、9161eee=，解之得，解之得295e=或或15（舍去），（舍去），故故355e=.解析解析 2：（解三（解三角形）角形）OxyABF1F2由由2223F AF B=，得，得2223F AF B=，设，设222,3F Ax F Bx=由 对 称由 对 称 性 可 得性 可 得13F Bx=，由，由 定 义 可 得，定 义 可 得，122,5AFxa ABx=+=，设，设11F AF=，则，则33422sincos,5555xxaxx+=，解得，解得xa=，所以所以1222,2AFxa AFa=+=在在12AF F中，则余弦定理可得中，则余弦定理可得222216444cos165aaca+=，

31、即即2259ca=可得可得355e=四四、解答题、解答题：本大题共：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1 17 7：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 1 17 7 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 17：已已知知ABC中，中，3ABC+=，()2sinsinA CB=（1）求）求sinA；（2）设）设5AB=，求，求AB边上的高边上的高 方法提供与解析：方法提供与解析：（浙浙江江嘉兴陈超群嘉兴陈超群）方法提供与解析：方法提供与解析：（

32、浙江金华郭扬文浙江金华郭扬文）解析解析：（解三角形解三角形）公众号中学数学星空出品 编辑：戴刚锋 QQ471055561 数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空 ，这里是热点数学问题交流的空间 9/17 （1）因为）因为ABC+=，3ABC+=，所以，所以4C=即即34BC+=34BC=故故32sinsin44AA=即即332 sincoscossinsincoscossin4444AAAA=得得sin3cosAA=又又22sincos1AA+=，()0,A得得3 10sin10A=（1）解析：（解析：（恒等变形恒等变形）因为因为3A BC+=，所以，所以()3ABAB+=，所以，所

33、以34AB+=，所以，所以4C=另外，另外，由题意得：由题意得：()2sin()sinA CA C=+即即2sin cos2cos sinsin coscos sinACACACAC=+所以所以sincos3cos sinACAC=，所以，所以tan3tan3AC=所以所以3 10sin10A=（2）方法一方法一：（：（正弦定理正弦定理+面积法面积法）因为因为tan30A=，所以，所以42A，所以所以10cos10A=所以所以()3 1021022 5sinsin1021025BAC=+=+=，由由sinsinACABBC=解得解得2 10AC=所所以以13 105 2 1015210ABCS

34、=设设AB边上边上的高的高为为h，则，则1152AB h=，解得，解得6h=综上，综上，AB边上的高边上的高为为6 方法方法二二：（：（正弦定理正弦定理+解三角形解三角形）由正弦定理得：由正弦定理得：sinsinacAC=3 105sin103 5sin22cAaC=因为因为sinsinAC即即AC 由由（1）得）得sin3cosAA=，则，则A是锐角是锐角，10cos10A=，()sinsinsincoscos sinBA CACAC=+=+3 1021022 51021025=+=由正弦定理得：由正弦定理得：sinsinbcBC=得得2 55sin52 10sin22cBbC=故故AB边上

35、边上的高为的高为3 10sin2 10610bA=公众号中学数学星空出品 编辑：戴刚锋 QQ471055561 数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空 ，这里是热点数学问题交流的空间 10/17 1 18 8：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 1 18 8 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 18：如图，在如图，在正正四棱柱四棱柱1 1 11ABCDABC D中中,2=AB,14=AA.点点2222,A B C D分别是棱分别是棱1111,AA BB CC DD上上,22221,2,3=AABBDDCC.(1)(1)证

36、明证明:2222B CA D;（2）点点P在棱在棱1BB上上,当二面角当二面角222PACD为为150时时,求求2B P.方法方法提供与解提供与解析：析：（浙江金华代云龙）（浙江金华代云龙）（浙江丽水廖忠龙浙江丽水廖忠龙）证明证明：（1）：方法一方法一：如图，连接：如图，连接22A B，在直角梯形在直角梯形1122C DD C中，易计算中，易计算222=C D，同理得，同理得2222222,2,2=C BA BA D，所以，所以2222C B A D为平行四边形，为平行四边形，所以所以2222B CA D.证明证明：（1）：方法方法二二：易得易得222222225A BB CC DA D=，所

37、以四边形，所以四边形2222A B C D是菱形，所以是菱形，所以2222/B CA D 证明证明：（1）：方法方法三三：222111122B CB BBCC CDDAD=+=+2222222/A AA DB CA D=解析解析：（2）：方法一方法一（向量法向量法）如图，以如图，以C为原点，分别以为原点，分别以1,CD CB CC为为,x y z轴建系，则轴建系，则()()()()2222,2,1,0,0,3,2,0,2,0,2,ACDPt，则则()()()222222,2,2,0,2,1,2,0,1=A CA DA Pt，设，设()()11112222,=nx y znxyz分别为平分别为平

38、面面22222,AC D AC P的法向量，则的法向量，则11111222020+=+=xyzyz，则，则()11,1,2=n，同同理理()21,3,2=ntt，则则()()2223643026134=+=+tttt，则，则1=t或或3=t，则，则221=B Pt.注：第一注：第一问也问也可直接建系可直接建系 C1B1A1DABCD1C2D2A2PB2C1B1A1DABCD1C2D2A2PB2 公众号中学数学星空出品 编辑：戴刚锋 QQ471055561 数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空 ，这里是热点数学问题交流的空间 11/17 解析解析：（2）：方法方法二二（几何几何法法）

39、（如上图（如上图 3）显然显然2222A B C D为正方形为正方形,设设22A C与与22B D相相交于点交于点E，因为二面角因为二面角222PA CD为为150,所以直线所以直线2B E与平面与平面22PA C 所成的角为所成的角为30 易知易知22B E=,所以点所以点2B到平面到平面22PA C的距离为的距离为122sin302dB E=由由12121222 2ABADAEB D=,由由 12121223ACA AAEA C=所以所以1A E 平面平面222A B C,因为二面角因为二面角 222PA CD 为为 150 所以所以1AE与平面与平面22PA C所成的角为所成的角为60,

40、易知易知 16A E=所以点所以点1A 到平面到平面22PA C 的距离为的距离为213 2sin602dAE=,所以所以 122222213APA CBPA CVdVd=又由于又由于2C到平面到平面12PA A和平面和平面22PA B的距离都为的距离都为 2 这里这里,平面平面12PA A和平面和平面22PA B重重合合 所以所以12223PA APA BSS=,所以所以1222331A AB PB P=也即也即P为为2B B的中点的中点1P或者或者21B B的中点的中点2P 1 19 9：（：（20232023 年年 6 6 月月新高新高考考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 1 19 9

41、 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 19：已知函数已知函数()()xf xa eax=+.（1）讨论讨论()f x的单调性的单调性；（2）证明：当证明：当0a时，求证：时，求证：()32ln2f xa+.方法提供与解析：方法提供与解析：（浙江浙江宁波宁波+王如意王如意）方法提供与解析：方法提供与解析：（绍兴绍兴+陈波陈波）方法提供与方法提供与解解析：析：（杭州陶勇胜）杭州陶勇胜）（1）解析：（解析：（函数单调性函数单调性）由题知由题知定义域为定义域为R，且，且()1xfxae=当当0a时，时，()0fx，故故()f x在在R上单调递减；上单调递减；当当0a时，时，()0fx，则，则

42、lnxa；()0fx，则，则lnxa；故故()f x在在(),lna 单单调调递减，在递减，在()ln,a+单调递增，单调递增，综上：当综上：当0a时，时，()f x在在R单调递减；单调递减；当当0a时，时，()f x在在(),lna 单调递减，在单调递减，在()ln,a+单调递增单调递增.（2）解析）解析 1：（：（函数最值函数最值）公众号中学数学星空出品 编辑：戴刚锋 QQ471055561 数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空 ，这里是热点数学问题交流的空间 12/17 证明证明 1：由（由（1）知：当）知：当0a时，时，()()()ln2minlnln1lnaf xfaa

43、eaaaa=+=+令令()22311ln2lnln22g aaaaaa=+=，则，则()21212agaaaa=，当当()0g a，得，得22a；当；当()0g a，得，得202a，故，故()g a在在20,2单调递减，在单调递减，在2,2+单调递单调递增，故增，故()2121ln02222g ag=，所以，所以()32ln2f xa+，证毕证毕.（2）解析）解析 2：（：（切线放缩切线放缩）证明证明 2：因为：因为()()ln222ln1ln1xxaf xa eaxeaxxaaxaa+=+=+=+（1xex+）令令()22311ln2lnln22g aaaaaa=+=，则，则()21212a

44、gaaaa=，当当()0g a，得，得22a；当；当()0g a，得，得202a，故，故()g a在在20,2单调递减，在单调递减，在2,2+单调递单调递增，故增，故()2121ln02222g ag=，所以，所以()32ln2f xa+，证毕证毕.（2）解析）解析 3：（：（逆逆推分析推分析）当当0a时时，由（由（1）得）得2min()(ln)1lnf xfaaa=+，要证：要证：3()2ln2f xa+，只需证：，只需证：231ln2ln2aaa+，21ln2aa，易证易证ln1aa，即证：即证：22111022aaaa+，成立成立 因为因为221110224aaa+=+，故故3()2ln

45、2f xa+成立，得证！成立，得证！（2）解析）解析 4：（：（同构同构+切线放缩切线放缩）证明证明 3：当当0a时时，要证：要证：()32ln2f xa+，即证即证：()32ln2xa eaxa+只需证：只需证：()()ln22211ln1ln1022xaexaaaa+，又因为又因为1xex+，故故()lnln10 xaexa+；又又ln1xx，故故()221ln102aa，且且2102a 故故()()ln22211ln1ln1022xaexaaaa+显然显然成立，成立，公众号中学数学星空出品 编辑：戴刚锋 QQ471055561 数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空 ，这里是热

46、点数学问题交流的空间 13/17 所以所以()32ln2f xa+，证毕证毕.2 20 0：（：（20232023 年年 6 6 月新高考月新高考 1 1 卷数学解析卷数学解析第第 2020 题）题）公众号中学数学星空公众号中学数学星空 20：设等差数列设等差数列 na的的公差为公差为d，且且1d.令令2nnnnba+=，记记nS，nT分别分别为数列为数列 na，nb的的前前n项项和和.（1）若若21333aaa=+，3321ST+=，求求 na的的通项公式通项公式；（2）若若 nb为为等差数列，且等差数列，且999999ST=，求求d.方法提供与解析：方法提供与解析：（浙江浙江宁波宁波+王如

47、意王如意）方法提供与解析：方法提供与解析：（金华方磊金华方磊）（1）解析：（解析：（求求通项通项）因为因为21333aaa=+，故故3132daad=+，即即1ad=，故故nand=，所以所以21nnnnbndd+=，()12nn ndS+=，()32nn nTd+=，又又3321ST+=，即即3 43 62122dd+=，即即22730dd+=，故故3d=或或12d=（舍），（舍），故故 na的的通项公式通项公式为为：3nan=.（2）解析）解析 1：（：（基本量法基本量法）若若 nb为为等差数列，等差数列，则则2132bbb=+，即即1112 31 23 422adaad=+，即，即221

48、1320aadd+=，所以所以1ad=或或12ad=；当当1ad=时时，nand=，1nnbd+=，故，故()12nn ndS+=，()32nn nTd+=，又又999999ST=，即即99 10099 1029922dd=，即即250510dd=，所以所以5150d=或或1d=（舍）；（舍）；当当12ad=时时，()1nand=+，nnbd=，故故()32nn ndS+=，()12nn nTd+=，又，又999999ST=，即即99 10299 1009922dd=，即即251500dd=，所以所以5051d=（舍）或（舍）或1d=（舍）；（舍）；综上综上：5150d=.（2）解析）解析 2

49、：（：（方程思想方程思想）若若 nb为为等差数列等差数列，则则()11nn nbAnBadnd+=+（一次型）（一次型），所以，所以10ad=或或1dad=，即，即1ad=或或12ad=，下同下同解析解析 1.（2）解析）解析 3：（基本量法基本量法）易知易知()211+=+nnnband，所以，所以112=ba，216=+bad，31122=+bad，公众号中学数学星空出品 编辑：戴刚锋 QQ471055561 数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空 ，这里是热点数学问题交流的空间 14/17 因为因为 nb是等差数列，所以是等差数列，所以2132=+bbb，所以，所以111121

50、222=+adada，整理得整理得()()1120=adad.所以所以12=ad或或1=ad.经检验，经检验，1=ad时满足题设，而时满足题设，而12=ad不满足题设，舍去不满足题设，舍去.故故=nand，11=ad.于是于是1+=nnbd，()()13,22+=nnn nn nSd Td，而而999999=ST，所以，所以51501=dd，解得，解得5150=d或或1=d（舍去）（舍去）.故故d的值为的值为5150.（1）解析：）解析：因为因为 na是等差数列，所以是等差数列，所以21333aaa=+，可转换为可转换为313adad=，则，则nadn=，所以，所以()2211nnnnnnbn