解析几何中计算方法与技巧.pdf

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1、解析几何中计算方法与技巧 高考中解析几何综合题要求具有较强的计算能力,常规的解题方法必须熟练掌握,在此基础上积累计算经验，掌握计算技巧，则解析几何定可得到高分。一、巧用韦达定理简化运算1、过二次曲线 C 上一点 P（x0，y0）作直线 l，求 l 与 C 另一交点。例 1：求直线 y=kx+k 与椭圆+y2=1 的交点坐标。2222x2、合二为一的整体运算例 2：过点 P（-1，2）作圆 C：（x-1）2+y2=1 的两条切线，求两条切线的斜率和。例 3：过点 P（x0，-）作抛物线 y=x2的两条切线，求证：切点弦过定点。41例 4：抛物线 y2=2x 上动点 P，过点 P 作C：（x-1）

2、2+y2=1 的切线 PM，PN 分别交y轴于 M，N 两点，求PMN 面积的最小值。例 5：过抛物线 x2=2y 的焦点作斜率分别为 k1、k2的两条直线 l1和 l2，若 l1交抛物线于 A、B 两点，l2交抛物线于 C、D 两点。以线段 AB 为直径作圆 C1，以 CD 为直径作圆 C2。若 k1+k2=2，求两圆 C1与 C2的公共弦所在直线方程。二、利用计算的对称性避免重复运算引例：过原点O 作抛物线y2=2px 的两条互相垂直的弦OA 与OB，求证：AB 直线过定点。例 1：设椭圆 E：+y2=1 上一点 A（1，），过 A 作两条关于平行 y 轴的直线22x22对称的两条直线 A

3、C，AD 交椭圆 E 于另两点 C 和 D。求证：CD 直线的方向确定。例 2：设曲线 C1：+y2=1 与曲线 C2：y=x2-1。C2的顶点为 M，过原点 O 的直线 l42x与C2相交于 A、B 两点，直线 MA、MB 分别与 C1相交于 D、E。（1）证明：MDME；（2）若MAB，MDE 的面积分别为 S1、S2，问是否存在直线 l 使得QQ374289236=？21SS3217例 3：设椭圆+=1 的左焦点 F，点 A、B 是椭圆上的两点，满足，42x42yFBAF2求 A、B 两点距离。例 4：一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为的双曲线 E：-=1（a0,b0）322ax22

4、by交于 P、Q 两点，直线 l 与 y 轴交于 R，且=-3，=3OPOQPRRQ（1）求双曲线方程；（2）若 F 是双曲线的右焦点，M 与 N 是 E 上的两点，且=，求实数MFFN 的取值范围。例 5：设 A、B 是椭圆+=1（a b 0）上两点，O 为原点，且 OAOB，22ax22by求AOB 面积的最大值与最小值。例 6：若椭圆+=1（a b 0）上任两点 A、B，O 为原点，求 AOB 面积 S22ax22by的最大值。QQ374289236三、活用图形的几何性质，则计算变得更为轻巧 我们知道解析几何的基本任务之一是用代数的方法讨论图形的几何性质，也就是说曲线的几何性质不明显时必

5、须用计算的办法加以讨论，反之几何性质明显时可大大简化计算。引例 1：若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆+=1 总有公共点，求 m 范围。52xmy2引例 2：双曲线-=1（a0，b0）的两焦点为 E、F，MEF 为等边三角形。22ax22by若线段 ME 的中点 N 在双曲线上，求双曲线的离心率。例 1：设圆 C 与两圆(x+)2+y2=4，(x-)2+y2=4 中的一个内切，另一个外切55（1）求圆心 C 的轨迹 L 的方程；（2）已知点 M（，），F（，0），若点 P 是 L 上的动点，求5535545|MP|-|FP|的最大值及此 P 点坐标。例 2：设椭圆+=1（a b0）

6、的右顶点为A，若椭圆上存在一点P 使22ax22byOPA=90（O 为原点），求椭圆离心率的取值范围。例 3：抛物线 y2=4x 与圆(x-a)2+y2=a2有唯一公共点，求 a 的取值范围。QQ374289236例 4：已知抛物线 C：y2=4x 的焦点 F，过点 K（-1，0）的直线 l 与 C 相交于 A、B两点，若点 A 关于 x 轴的对称点为 D（1）证明：点 F 在直线 BD 上；（2）设=，求BDK 的内切圆方程。FAFB98例 5：设 F1、F2分别是椭圆 E：+=1（a b 0）的左、右焦点，过 F1斜率22ax22by为 1 的直线 l 交 E 于 A、B 两点，且|AF

7、2|，|AB|，|BF2|成等差数列（1）求 E 的离心率；（2）设 P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求 E 的方程。例 6：曲线 C1上的点均在圆 C2：(x-5)2+y2=9 外，且对 C1上任一点 M，M 到直线 x=-2的距离等于该点与圆 C2上点距离的最小值。（1）求曲线 C1的方程；（2）设 P（x0，y0）（y03）为 C2外任一点，过 P 点作 C2的两条切线，分别与 C1相交于 A、B 和 C、D，当 P 在直线 x=-4 上运动时，求证：四点A、B、C、D 的纵坐标之积为定值。例 7：长为 2 的木棍的两端在抛物线 y2=X 的上滑动，设棍子的中点为 P（1）求 P 点轨迹方程；（2）求棍子的中点 P 到 y 轴距离的最小值。QQ374289236QQ374289236