考前知识点梳理.pdf

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1、 考 前 梳 理水木珞研考研数学 峰哥微信 qinghuafengge8 1 高等数学高等数学 1.若函数存在定积分，则若函数存在定积分，则 若()f x为奇函数，则()xaf t dt为偶函数 若()f x为偶函数，则()0 xf t dt为奇函数 2.若若()f x以以T为周期的周期函数且可积，则为周期的周期函数且可积，则()()0 x TTxf t dtf t dt+=，其中x为任意常数。()()0 xF xf t dt=是以T为周期的周期函数()00Tf x dx=3.0 x=处处不不常见常见泰勒公式（皮亚诺余项）泰勒公式（皮亚诺余项）()341tan3xxxo x=+()341arc

2、sin6xxxo x=+()341arccosarcsin226xxxxo x=+()()35212+2111arctan13521nnnxxxxxo xn+=+()()12221111128xxxxo x+=+=+4.反函数求导：反函数求导：()yf x=反函数为反函数为()xg y=，则则 用原函数表达式表达反函数的导数()()()()1d g ydxxg ygydydyfx=，()()()()()31dd gyfxfxdxgydydxdyfx=用反函数表达式表达原函数的导数()()()()1df xdyyf xfxdxdxgy=，水木珞研考研数学 峰哥微信 qinghuafengge8

3、2()()()()()31ddfxgygydyfxdxdydxgy=5.曲线的拐点曲线的拐点定义定义 如果连续曲线()yf x=在点()()00,xf x邻近两侧凹凸性相反，则称点()()00,xf x为曲线()yf x=的拐点.6.（数学一二）（数学一二）曲率：曲率：()322|1yky=+，曲率半径：曲率半径：1Rk=7.（数学一二）（数学一二）某点处某点处曲率圆曲率圆隐含条件隐含条件(1)曲率已知（圆半径倒数）.(2)该点切线和曲率圆在该点切线相同（一阶导数）.(3)根据前两点可计算出二阶导，并且该点处函数的凹凸性和圆在该点处的凹凸性一致.8.不定积分与原函数总结不定积分与原函数总结 描

4、述 可积性 原函数存在性 例子或反例 闭区间上的连续函数 显然 闭区间上的有界单调函数？跳跃间断 闭区间上有界且只有有限个间断点的函数？第一类间断 震荡有界：21sinxx在 0 点补 0后的导数 无界函数？震荡无界：221sinxx在 0 点补 0后的导数 无穷间断点：1x 闭区间上存在第一间断点的函数？不定积分已证明 闭区间上存在无穷间断点的函数 无穷间断点：1x 水木珞研考研数学 峰哥微信 qinghuafengge8 3 注 1：若()f x可积，则()xaf t dt必定存在且连续 注 2：若()f x在0 xx=为可去间断点，则()f x可积且()xaf t dt可导.9.基本积分

5、公式（必记）基本积分公式（必记）ln tanln|csccot|sin2dxxCxxCx=+=+ln tanln sectancos24dxxCxxCx=+=+10.面积面积公式公式：(1)极坐标曲线()=介于射线,=之间的曲边扇形的面积为：()21,2S d=(2)极坐标曲线()()()()()1212,=围成的曲边扇形的面积为：()()222112Sd=(3)（仅数学一、二）（旋转曲面的面积）曲线()yf x=及直线(),xa xb axb=围成的曲边梯形绕x轴旋转所得旋转体的侧面积为：()()2221bLaSy dsyfxdx=+11.（仅数学一、二）（仅数学一、二）曲线的弧长曲线的弧长

6、(1)直角坐标系曲线：()yy x=，axb的弧长为：()21baSyx dx=+(2)参数方程曲线()()xx tyy t=，t 的弧长为：()()22Sxtyt dt=+(3)极坐标系曲线()=，的弧长为：()()22S d=+水木珞研考研数学 峰哥微信 qinghuafengge8 4 12.旋转曲面的体积旋转曲面的体积(1)曲线()yf x=及直线(),xa xb axb=围成的曲边梯形绕x轴旋转产生的体积为：()2,bxaVfx dx ab=若绕y轴旋转：()2byaVx f x dx=（柱壳法）13.欧拉方程（仅数学一）欧拉方程（仅数学一）形如()()()()121212nnnnn

7、nnx ya xya xya yf x+=的方程被称为欧拉方程，令txe=（0 x），或txe=（0 x）则有 1,tdydy dtdydyedxdt dxdtx dt=2222222221,ttttd yddydtddyd ydyd ydyeeeedxdtdx dxdtdtdtdtxdtdt=将这些关系式回代，则原方程化为n阶常系数线性微分方程.以二阶欧拉方程为例，令txe=，则可将欧拉方程()2x ypxyqyf x+=化为二阶常系数线性微分方程：()()221td ydypqyfedtdt+=14.二元函数全微分二元函数全微分 若函数(),zf x y=在其定义域D内的点()00,xy处

8、的全增量z可以表示为()()()0000,zf xx yyf xyAxByo=+=+其中,A B为与x y,无关，仅与()00,xy有关的常数，()()22xy=+，则称(),f x y在()00,xy处可微，可用极限表示如下：()()()()()()()()0000000022220000,lim0lim0 xxyyf xx yyf xyA xyxB xyyzAxByxyxy+=+水木珞研考研数学 峰哥微信 qinghuafengge8 5 15.连续，偏导，可微关系：连续，偏导，可微关系：注意：两个偏导数均存在，且有一个一阶偏导数连续的情况下，就可以推可微.但一个函数可微，它的两个偏导数可

9、能都不连续。例子：()()()()()()22221sin,0,0,0,0,0 xyx yxyf x yx y+=16.常用级数例子常用级数例子（数学一三）（数学一三）(1)等比级数11,111nnaqqaqq=发散，(2)p级数11pnn=，1p 收敛，1p 发散，常用：1,1,22p=(3)交错p级数()111npnn=，01p条件收敛，1p 绝对收敛，常用：1,12p=(4)广义p级数()11lnpnnn=，1p 收敛，1p 发散，常用：1p=(5)()()12112nnnn=+，该级数是收敛但不符合莱布尼兹判别法的交错级数 17.傅里叶级数展开式及计算傅里叶级数展开式及计算（数学一）（

10、数学一）()01cossin2nnnan xn xf xabll=+()1cos,0,1,2,lnln xaf xdx nll=()1sin,1,2,3,lnln xbf xdx nll=水木珞研考研数学 峰哥微信 qinghuafengge8 6 注：()f x和01cossin2nnnan xn xabll=+不等，他们的关系由下文决定。18.狄利克雷收敛定理狄利克雷收敛定理（数学一）（数学一）当0 x为()f x的连续点或第一类间断点时，有()()000001limlimcossin22xxxxnnnf xf xan xn xabll+=+=水木珞研考研数学 峰哥微信 qinghuafe

11、ngge8 7 线性代数线性代数 1.范德蒙德行列式范德蒙德行列式()1222212111112111nnjiij nnnnnxxxxxxxxxxx =2.行列式行列式最容易忘的最容易忘的基本性质基本性质 行列式某行（列）为两个元素之和，行列式可拆为两个行列式之和.11121111211112111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabababaaabbbaaaaaaaaa+=+.3.副对角线分块矩阵求逆副对角线分块矩阵求逆 12sAAAA=.若()1,2,iisA=均可逆，则A可逆，且 111211sAAAA=.4.秩的相

12、关性质秩的相关性质(1)设m nA是m n矩阵，k mP为列满秩矩阵，n sQ为行满秩矩阵，则()()()()m nk mm nm nn sk mm nn srrrrAPAAQPAQ=注：若,P Q分别是m阶、n阶可逆矩阵，则有()()()()rrrrAPQP QAAA=.(2)若ABO=，则有()()rrnAB+和B的列向量是Ax=0的解 水木珞研考研数学 峰哥微信 qinghuafengge8 8(3)()()()()TTTrrrrAAAAA A=.(4)()()()()*1101nrnrrnrnAAAA=，其中A为n阶方阵.5.特征值特征向量重要结论特征值特征向量重要结论(1)()()f

13、f A A kA kA 1A 1AA A=k k 1 1A 注1：A的特征值为11,njiiijjAA=，此结论可以推广为0j=的情况，即A的特征值即为A的对应特征值之外其余特征值的乘积.注2：上 述 式 子 可 自 由 进 行 线 性 组 合，对 应 特 征 值 也 作 同 样 组 合，例 如21324AAAA+的特征值为211324A+(2)若()1r A=，则 I.A必然能被两个非零列向量表示，即T,A=00.II.()()()()1TTTTTTT1=nnnntrA AA=个个 III.由于()1r A=，则矩阵特征值至少有1n个0.若()0tr A，A的特征值为1n个0和一个()tr

14、A.若()0tr A=，则矩阵特征值全为0.6.相似对角化的条件相似对角化的条件(1)充要条件 I.矩阵A有n个线性无关的特征向量.II.矩阵A的任意一个特征值对应的线性无关的特征向量数等于其重根数.水木珞研考研数学 峰哥微信 qinghuafengge8 9(2)充分条件 I.A为实对称矩阵A II.A有n个不同特征值A III.2AA=A IV.2AE=A V.()1r A=且()0tr A A 7.二次型正定的二次型正定的充充要条件要条件(1)二次型的正惯性指数pn=.(2)A的所有特征值大于0.(3)A与E合同.(4)存在可逆矩阵D，使得TAD D=.(5)A的所有顺序主子式大于0.8

15、.二次型正定的必要条件二次型正定的必要条件(1)A对角线元素0iia.(2)A行列式大于0.水木珞研考研数学 峰哥微信 qinghuafengge8 10 概率论与数理统计概率论与数理统计 1.独立独立相关性质相关性质(1)A与B相互独立A与B相互独立A与B相互独立A与B相互独立.(2)对独立事件组不含相同事件作运算，得到的新事件组仍独立，如,A B C D相互独立，则AB与CD相互独立，A与BCD相互独立，但不可以有交叉.(3)若()0P A，则A与B相互独立()()|P B AP B=.(4)若()0P A=或()1P A=，则A与任意事件B相互独立.(5)若()()0,0P AP B，A

16、与B互斥或存在包容关系，则A与B一定不独立.2.一维一维分布函数的性质分布函数的性质(1)()F x是一个单调不减的右连续函数，即对于任意实数12xx，有()()12F xF x；(2)()()0,1FF=+=；3.一维分布律一维分布律/概率密度的性质概率密度的性质(1)离散型：0,1iiipp=，连续型：()()0,1f xf x dx+=；4.二维连续型随机变量的概率密度的性质二维连续型随机变量的概率密度的性质(1)(),0f x y (2)()()+-,1f x y dxdyF=+=(3)若(),f x y在点(),x y处连续，则有()()2,F x yf x yx y=5.不不常见分

17、布常见分布(1)泊松分布：如果随机变量X的概率分布为()()0,1,2,0!kPkekkX=且，称X服从参数为的泊松分布，简记为()P X.水木珞研考研数学 峰哥微信 qinghuafengge8 11(2)指数分布：若X的概率密度为()e,00,0 xxf xx=其中0，则称X服从参数为的指数分布，记为()E X，其分布函数为()1 e,00,0 xxF xx=(3)几何分布：若某随机变量的分布律为()()11,1,2,01iPipp ipX=，记为()G pX(4)二维正态分布 如果(),X Y的概率密度为()()2211222211221211,exp22 121xxyyf x y=+其

18、中1212,0,0,11RR，则称(),X Y服从参数为221212,的二维正态分布，记为()()221212,;,;N X Y【注】若()()22121212,;,;N XX，则()()22111222,N N XX 若()()22111222,N N XX且12,XX相互独立，则()()22121212,;,;0N XX()121122,NkkNXXXX+（对于任意的12,k k不全为 0）()121112221122,NaabbXXXXXYYX=+=+，且()1212120,aaNbbY Y()12,NXX，则12,XX相互独立12,XX不相关，相互独立的充要条件是=0 6.易忘易忘数学

19、期望和方差数学期望和方差(1)(),:P DEXXX=水木珞研考研数学 峰哥微信 qinghuafengge8 12(2)()2,:,212Ubaaba bEDXXX=+(3)()211:,EEDXXX=(4)()2,2:n DnnEXXX=7.相关系数相关系数()(),0,01P101P1011xyxyxyxyababab aab aaaYXYXYXYX=+=+=+=+=8.切比雪夫不等式切比雪夫不等式 设X为随机变量，且有有限方差，则对任意0，有()()2DPEXXX 或者：()()21DPEXXX 9.切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 设12,XX为两两不相关的随机变量序列，且它们的方差

20、均有限，并有公共上界，即存在常数C，使(),1,2,iDc iX=，则对任意的0，有：()1111lim1nniiniiPEnnXX=即 1111nnPiiiiEnnXX=10.伯努利大数定律伯努利大数定律 设nY表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，即(),nn pYB，其中()pP A=，则对任意的0，有 水木珞研考研数学 峰哥微信 qinghuafengge8 13 lim1nnPpnY=即 PnpnY 11.辛钦大数定律辛钦大数定律 设12,XX为独立同分布的随机变量序列，且数学期望()EiX=存在，则对任意0，有 11lim1niniPnX=即 11nPiinX=12.列维列维林德伯

21、格定理林德伯格定理 假设nX是独立同分布的随机变量序列，如果iEX=，20iDX=()1,2,i=存在，则nX服从中心极限定理，即对任意的实数x，有：()21121lim2nixtinnPxedt xnX=【注】（1）定理的三个条件“独立、同分布、期望与方差存在”缺一不可.（2）只要nX满足条件，那么当n很大时，独立同分布随机变量的和1niiX=近似服从正态分布()2,N n n，由此可知，当n很大时，有 1niibnanP abnnX=13.蒂莫夫蒂莫夫拉普拉斯定理拉普拉斯定理 水木珞研考研数学 峰哥微信 qinghuafengge8 14 假设随机变量()(),01,1nn ppnYB，则

22、对任意实数x，有()()221lim21exnnnpPxedt xnppY=14.2分布的性质：分布的性质：独立可加性独立可加性 15.t分布的性质：分布的性质：对称性对称性 16.F分布的性质分布的性质(1)若()12,FF n n，则()211,F n nF(2)()()112211,Fn nFn n=17.正态总体下的一些重要结论正态总体下的一些重要结论 设1X,2X是取自正态总体()2,N的一个样本，X,2S分别是样本的均值和方差，则(1)2,nX N，即()()0,1nnXXN=(2)()()22211niinX=(3)()()2222111niinnSXX=（未知，在“”中用X替代）(4)X与2S相互独立，()()1nt nSX（未知，在“（1）”中用S替代）.进一步有()()221,1nFnXS