概率论期末复习资料大全.pdf

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1、微信公众号:大学生学术墙大学生学术墙 QQ:3742892364、盒子里有 3 只红球，2 只白球，在其中不放回任取 2 次，每次任取 1 只。定义随机变量，第一次取得白球；，第一次取得红球，10X，第二次取得白球；，第二次取得红球，10Y，求（1）二维随机变量),(YX的联合分布律；（2）求YXP；（3）YX,是否相互独立。解：（1）10342530,0YXP，10343520,1YXP10342531,0YXP，10141521,1YXP（3 分）（2）4.01,10,0)(YXPYXPYXP（3 分）（3）因为003.00,0YPXPYXP，YX,不相互独立。（1 分）5、设随机变量 X

2、 和 Y 具有联合概率密度其它,0,6),(2xyxyxf,求边缘概率密度 fX(x)、fY(y)和条件概率密度|(|)X Yfx y.解：其它,010),(66),()(22xxXxxxdydyyxfxf（2 分）其它,010),(66),()(yyYyyydxdxyxfyf（2 分）对01y，2、设随机变量 X 具有概率密度0323420,(),.kxxxf xx=-其它10|,(,)()(|)(),X YYyxyf x yyyfx yfy-=，其它（3 分）QQ374289236微信公众号:大学生学术墙大学生学术墙 QQ:3742892363 3、设随机变量、设随机变量X X具有概率密度

3、具有概率密度其它,040,8)(xxxfX，求随机变量求随机变量 Y=2X+8Y=2X+8 的概率密度。的概率密度。解：解：28)()28()82()()(yXYdxxfyXPyXPyYPyF（3 分）分）.0168,32804280,21)28(81)28)(28()(其它，其它，yyyyyyfyfXY（4 分）分）1、二维随机变量),(YX的具有联合概率密度函数.,010,0,2),(其它xxyyxf求(),(),(),(,)E XD XE Y Cov X Y.解：322)(010 xdyxdxXE（2 分）1200412918()xD Xx dxdy=-=蝌（2 分）100123()xE

4、 Ydxydy=蝌（2 分）1、某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下的数据：元件厂次品率市场份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，试分析此次品出自何厂的概率最大。QQ374289236微信公众号:大学生学术墙大学生学术墙 QQ:374289236解：设A=“取到的一只元件是次品”，iB=“所取到的产品是由第 i 家工厂提供的”，i=1,2,3.则123120 150 800 050

5、02 0 01 ().,().,().,().,().,P BP BP BP A BP A B=30 03().P A B=（2 分）于是(1)由全概率公式得1122330 0125()()()()()()().P AP A B P BP A B P BP A B P B=+=（2 分）(2)由贝叶斯公式得1110 020 150 240 0125()().().,().P A B P BP B AP A=2220 64()()().,()P A B P BP B AP A=3330 12()()().()P A B P BP B AP A=故这只次品来自于第二家工厂的概率最大。（3 分）16

6、、设随机变量X的分布函数为011xF xxxeAxe,()ln,.=试求：(1)常数 A；（2）X 的概率密度f x()；（3）522032P XPXPX(),(),().解解：（1）()1F 得1A（2 分）（2）110 xxef x,(),.其他=（2 分）(3)(2)(2)(2)ln2P XP XF；(03)(3)(0)1PXFF555224(2)()(2)lnPXFF（3 分）18、设二维随机变量具有联合概率密度221,1,(,)0,.xyf x y其他求：（1）边缘概率密度()()XYfxfy、；（2）条件概率密度|(|)X yfx y；（3）XY、是否相互独立?解：（1）22121

7、211,11,()(,)0,.xxXdyxxfxf x y dy 其他（2 分）QQ374289236微信公众号:大学生学术墙大学生学术墙 QQ:374289236QQ374289236微信公众号:大学生学术墙大学生学术墙 QQ:37428923622121211,11,()(,)0,.yyYdxyyfyf x y dx 其他（2 分）（2）当11y 时，122222|1,11,(,)(|)12 1()0,.X YYyxyf x yfx yyyfy其他（2 分）（3）因为(,)()()XYf x yfx fy所以XY、不独立.（1 分20、某校大一新生中 90%的年龄不小于 18 岁。现从这些

8、新生中随机地抽查 300名，试利用极限定理近似计算其中至少有 30 名小于 18 岁的概率。（已知9987.0)3(,9772.0)5.2(,5000.0)0(，根据需要选用。）解：因为新生中 90%的年龄不小于 18 岁，所以任取一名学生其小于 18 岁的概率为 0.1，设X为 300 名新生中小于 18 岁的人数，则)1.0,300(bX，分布律为kkkkXP3009.01.0300，.300,1,0 k30)(XE，27)(XD，（3 分）用棣莫佛-拉普拉斯定理，5000.05000.01)0(12730302730130130XPXPXP（4 分）四、填表题（本大题共 1 小题，共 8

9、 分。）21、设随机变量XY、相互独立，下表列出了二维随机变量(,)X Y联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处，要求说明推导过程。YX1y2y3y()iiP Xxp1x812x81QQ374289236微信公众号:大学生学术墙大学生学术墙 QQ:374289236()jjP Yyp611解：解：YX1y2y3y()iiP Xxp1x1/24811/121/42x813/81/43/4()jjP Yyp611/21/31注：每填对一空给一分，共 8 分。22(1)、设总体的概率密度为1,01,(,)0,.xxf x其他0为未知参数，12,nXXX为来自总

10、体的一个样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计量.解：先求矩估计1110()1E Xxxdx（2 分）211()1故的矩估计量为2()1XX。（2 分）再求极大似然估计对120,1nx xx有1/21111()(;)()()nnnniiiiiiLf xxx21ln()ln(1)lnnniiLx（2 分）令ln()0ddL得的最大似然估计量为221(ln)niinX（2 分）选做 22(2)、设随机变量(,)X Y的概率密度为,01,01,(,)0,.xyxyf x y其他求ZXY的概率密度()Zfz。QQ374289236微信公众号:大学生学术墙大学生学术墙 QQ:374289236解：011(),01,()(,)(),120,.zZzxzx dxzfzf x zx dxxzx dxz其他（5 分）22,01,2,12,0,.zzzzz其他（3 分）注：利用分布函数法先求分布函数再求密度函数可对照给分，考生能给出分段区间即可给 3 分，其他方法可酌情给分。QQ374289236