高数复习大纲同济六版下册.pdf

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1、1、向量与空间几何、向量与空间几何 向量：向量表示(ab);向量的模向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量 a、的模分别记为|a|、aAB|a|AB单位向量单位向量 模等于 1 的向量叫做单位向量 零向量零向量 模等于 0 的向量叫做零向量 记作 0 或 零向量的起点与终点重合 0它的方向可以看作是任意的 向量的平行向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量 a 与 b 平行 记作 a/b 零向量认为是与任何向量都平行向量运算(向量积)；1向量的加法向量的加法2.向量的减法向量的减法3向量与数的乘法设 a(ax ay az)b(bx by bz)即 aaxiay

2、jazk bbxibyjbzk 则 ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k(axbx ayby azbz)ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k(axbx ayby azbz)a(axiayjazk)(ax)i(ay)j(az)k(ax ay az)向量模的坐标表示式向量模的坐标表示式 222|zyxr点 A 与点 B 间的距离为 212212212)()()(|zzyyxxABAB向量的方向：向量向量 a 与与 b 的夹角的夹角 当把两个非零向量 a 与 b 的起点放到同一点时 两个向量之间的不超过的夹角称为向量 a 与 b 的夹角 记作或 如),(ba),(ab果向量 a

3、与 b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在 0 与之间任意取值类似地 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角数量积数量积 对于两个向量 a 和 b它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量 a 和 b 的数量积记作 a b即ab|a|b|cos 数量积与投影数量积与投影 由于|b|cos|b|cos(a b)当 a0 时|b|cos(a b)是向量b 在向量 a 的方向上的投影于是 ab|a|Prj ab 同理当 b0 时ab|b|Prj ba 数量积的性质数量积的性质 (1)aa|a|2 (2)对于两个非零向量 a、b如果 ab 0则 ab反之如果 ab则 ab 0如果认

4、为零向量与任何向量都垂直则 ab ab 0QQ374289236两向量夹角的余弦的坐标表示两向量夹角的余弦的坐标表示 设(a b)则当 a0、b0 时有 222222|coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa向量积向量积 设向量 c 是由两个向量 a 与 b 按下列方式定出 c 的模|c|a|b|sin 其中 为 a 与 b 间的夹角 c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定那么向量 c 叫做向量 a 与 b 的向量积记作 ab即 c ab坐标表示坐标表示 aybziazbx jaxbykaybxkaxbz jazbyizyx

5、zyxbbbaaa kjiba (ay bz az by)i (az bx ax bz)j (ax by ay bx)k向量的方向余弦向量的方向余弦 设 r(x y z)则 x|r|cos y|r|cos z|r|cos cos、cos、cos 称为向量 r 的方向余弦 从而|cosrx|cosry|cosrzrerr|1)cos,cos,(cos向量的投影向量的投影向量在轴上的投影向量在轴上的投影 设点 O 及单位向量 e 确定 u 轴 任给向量 r 作 再过点 M 作与 u 轴垂直的平面交 u 轴于点 M(点 MrOM叫作点 M 在 u 轴上的投影)则向量称为向量 r 在 u 轴上的分向量

6、 设MO 则数称为向量 r 在 u 轴上的投影 记作 Prjur 或(r)u eMO 按此定义 向量 a 在直角坐标系 Oxyz 中的坐标 ax ay az就是 a 在三条坐标轴上的投影 即 axPrjxa ayPrjya azPrjza 投影的性质 性质 1(a)u|a|cos (即 Prjua|a|cos)其中为向量与 u 轴的夹角 性质 2(ab)u(a)u(b)u(即 Prju(ab)PrjuaPrjub)性质 3(a)u(a)u(即 Prju(a)Prjua)空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；(1)椭圆锥面椭圆锥面QQ374289236 由方程所表示的曲面称为椭圆锥面2222

7、2zbyax(2)椭球面椭球面由方程所表示的曲面称为椭球面1222222czbyax(3)单叶双曲面单叶双曲面由方程所表示的曲面称为单叶双曲面1222222czbyax(4)双叶双曲面双叶双曲面 由方程所表示的曲面称为双叶双曲面1222222czbyax(5)椭圆抛物面椭圆抛物面 由方程所表示的曲面称为椭圆抛物面zbyax2222(6)双曲抛物面双曲抛物面 由方程所表示的曲面称为双曲抛物面zbyax2222椭圆柱面椭圆柱面 12222byax双曲柱面双曲柱面12222byax抛物柱面抛物柱面 ayx 2直线方程直线方程(参数方程和投影方程)空间直线的一般方程空间直线的一般方程空间直线 L 可以

8、看作是两个平面1和2的交线 如果两个相交平面1和2的方程分别为 A1xB1yC1zD10 和A2xB2yC2zD20 那么直线 L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程 即应满足方程组0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线 这个向量就叫做这条直线的方向向量 容易知道 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量 确定直线的条件当直线 L 上一点 M 0(x0 y0 x0)和它的一方向向量 s(m n p)为已知时 直线 L 的位置就完全确定了 直线方程的确定已知直线 L 通过点 M0

9、(x0 y0 x0)且直线的方向向量为s(m n p)求直线 L 的方程 设 M(x y z)在直线 L 上的任一点 那么 (xx0 yy0 zz0)/s 从而有QQ374289236 pzznyymxx000这就是直线 L 的方程 叫做直线的对称式方程或点向式方程ptzzntyymtxx000直线直线 L1和和 L2的夹角的夹角 可由|),cos(|cos21ss222222212121212121|pnmpnmppnnmm直线与平面的夹角直线与平面的夹角设直线的方向向量 s(m n p)平面的法线向量为 n(A B C)直线与平面的夹角为 那么 因此 按两向量夹角余弦的坐标表示式|),(2

10、|ns|),cos(|sinns有222222|sinpnmCBACpBnAm平面方程平面方程：点法式(法向量)、一般式、任一平面都可以用三元一次方程来表示 AxByCzD0其中 x y z 的系数就是该平面的一个法线向量 n 的坐标 即 n(A B C)提示D0 平面过原点 n(0 B C)法线向量垂直于 x 轴 平面平行于 x 轴 n(A 0 C)法线向量垂直于 y 轴 平面平行于 y 轴n(A B 0)法线向量垂直于 z 轴 平面平行于 z 轴n(0 0 C)法线向量垂直于 x 轴和 y 轴 平面平行于 xOy 平面n(A 0 0)法线向量垂直于 y 轴和 z 轴 平面平行于 yOz 平

11、面n(0 B 0)法线向量垂直于 x 轴和 z 轴 平面平行于 zOx 平面截距式；平面夹角和距离 两平面的夹角两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角 设平面1和2的法线向量分别为 n1(A1 B1 C1)和 n2(A2 B2 C2)那么平面1和2的夹角 应是和两者中的锐角 因此),(21nn),(),(2121nnnn 按两向量夹角余弦的坐标表示式 平面1和2的夹角 可由|),cos(|cos21nnQQ374289236 22222221212121212121|),cos(|cosCBACBACCBBAAnn来确定 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结

12、论 平面1和2垂直相当于 A1 A2 B1B2 C1C20 平面 1和 2平行或重合相当于212121CCBBAA空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线 设F(x y z)0 和 G(x y z)0是两个曲面方程 它们的交线为 C 因为曲线 C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程 所以应满足方程组0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的参数方程（空间曲线的参数方程（33）空间曲线 C 的方程除了一般方程之外 也可以用参数形式表示 只要将 C 上动点的坐标 x、y、z 表示为参数 t 的函数 )()()(tzztyytxx当给定 tt1时 就得到 C 上的一个点(

13、x1 y1 z1)随着 t 的变动便得曲线 C 上的全部点 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程切平面和切线：切平面和切线：切线与法平面切线与法平面；设空间曲线 的参数方程为 ),(),(),(tztytx曲线在点处的切线方程为),(000zyxM =)(00txx.)()(0000tzztyy向量 就是曲线 在点处的一个切向量)(),(),(000tttTM法平面的方程法平面的方程为0)()()(000000zztyytxxt切平面与法线切平面与法线 隐式给出曲面方程QQ374289236 ()(,)0F x y z 法向量为：),(),(),(000000000zyxFzzyxFzyxFny

14、x切平面的方程是 )(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程是 .),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx在点),(yxz),(00yx如果用、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与轴的正向所成的角 是一锐角，则法向量的方向余弦为z ,1cos22yxxfff,1cos22yxyfff .11cos22yxff2、多元函数微分学 多元函数极限：简单复习讲解 偏微分全微分：如果三元函数可以微分，那么它的全微分就等于它的三个),(zyxu偏微分之和，=+duxudxyudy

15、zudz第二次课第二次课3、重积分、重积分 二重积分：利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分f x y dD(,)的计算问题。讨论中,我们假定 f x y(,)0；QQ374289236假定积分区域D可用不等式 axbxyx12()()表示,其中1()x,2()x在,a b上连续。据二重积分的几何意义可知,f x y dD(,)的值等于以D为底,以曲面zf x y(,)为顶的曲顶柱体曲顶柱体的体积。在区间,a b上任意取定一个点x0,作平行于yoz面的平面xx0,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间(),()1020 xx为底,曲线zf xy(,)0为曲边

16、的曲边梯形,其面积为A xfxy dyxx()(,)()()001020QQ374289236一般地,过区间,a b上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为A xf x y dyxx()(,)()()12利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为VA xadxf x y dy dxbxxab()(,)()()12从而有dxdyyxfdyxfbaxxD)(2)(1),(),(1)上述积分叫做先对先对 Y,Y,后对后对 X X 的二次积分的二次积分,即先把x看作常数,),(yxf只看作y的函数,对),(yxf计算从)(

17、1x到)(2x的定积分,然后把所得的结果(它是x的函数)再对x从a到b计算定积分。这个先对y,后对x的二次积分也常记作f x y ddxf x y dyDabxx(,)(,)()()12重积分化二次积分时应注意的问题重积分化二次积分时应注意的问题1 1、积分区域的形状、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于 I I 型(或 IIII 型)区域,用平行于y轴(x轴)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为 I I 型(或 IIII 型)区域的并集。QQ3742892362 2、积分限的确定、积分限的确定二重

18、积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法-几何法。极坐标极坐标：xrcosyr sindxdyrdrdf x y dxdyD(,)f rrrdrdD(cos,sin)极坐标系中的二重积分,同样可以化归为二次积分来计算。【情形一情形一】积分区域D可表示成下述形式 12()()r其中函数 1(),2()在,上连续。则 f rrrdrddf rrrdrD(cos,sin)(cos,sin)()()12【情形二情形二】积分区域D为下述形式显然,这只是情形一的特殊形式 10()(即极点在积分区域的边界上)。故 f rrrdrddf rrrdrD(cos,sin)(co

19、s,sin)()0QQ374289236【情形三】积分区域D为下述形式 显然,这类区域又是情形二的一种变形(极点包围在积分区域D的内部),D可剖分成D1与D2,而DrDr120020:,():,()故 Dr:,()020 则 f rrrdrddf rrrdrD(cos,sin)(cos,sin)()020由上面的讨论不难发现,将二重积分化为极坐标形式进行计算,其关键之处在于:将积分区域D用极坐标变量r,表示成如下形式,()()12r三重积分：Vdxdydzzyxf,直角坐标：若平面区域可以用不等式表示，则xyD xyyxybxa21,dVzyxf,yxzyxzxyxybadzzyxfdydx,2121,这个公式也将三重积分化为了三次积分柱坐标VVdzrdrdzrrfdVzyxf,sin,cos,球坐标；0200rcossinsincossinrzryrxVVddrdrrrrfdVzyxfsincos,sinsin,cossin,2QQ374289236重积分的应用：曲面面积；AzxzydxdyDxy122 QQ374289236