3、数学答案详解：2024届高中毕业班第一次质检参考PT(1).pdf

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1、高三数学参考答案及评分标准第 1 页 共 17 页绝密启用前试卷类型：A福建省部分地市福建省部分地市 20242024 届高中毕业班第一次质量检测届高中毕业班第一次质量检测数学试题数学试题答案及答案及详解详解2024.1一、单项选择题：题号12345678答案BACBDDCA1.已知i1zz（i为虚数单位），则|z A12B22C1D2解析：i1zz，11i1i22z ，2|2z，应选 B2设集合|22Mxx，|21xNy y，则MN A 2)，B(12，C12，D(1)，解析：|1Ny y，|2MNx x，应选 A3已知直线l与曲线3yxx在原点处相切，则l的倾斜角为A6B4C34D56解析

2、：3yxx，231yx，曲线3yxx在原点处的切线l的斜率为(0)1y，l的倾斜角为34，应选 C4已知a，b为单位向量，若|abab，则ab与ab的夹角为A3B2C23D34解析：|abab，22()()abab，0a b，即ab，又a，b为单位向量，a，b可视为边长为1的正方形相邻两条边作为有向线段所对应的向量，显然ab与ab为该正方形的两条对角线作为有向线段所对应的向量，易知正方形的对角线相互垂直，即ab与ab的夹角为2，应选 B5已知()f x为定义在R上的奇函数，当0 x 时，2()21f xxx，则(2)(0)ffA2B1C8D9高三数学参考答案及评分标准第 2 页 共 17 页解

3、析：当0 x 时，2()21f xxx，(2)9f，()f x为定义在R上的奇函数，(2)9f，且(0)0f，(2)(0)9ff，应选 D6已知1axx，eexxb，sin3coscxx，则下列结论错误的为A 1,1x ，acB 1,1x ，bcC 1,1x ，acD 1,1x ，bc解析：（方法一）sin3cos2sin()3cxxx，2c，e0 x，e0 x，由基本不等式可知ee2ee2xxxxb，bc，故选项 D 中的结论错误，应选 D（方法二）易知当0.1x 时，ac；当0 x 时，bc；当0.1x 时，ac，故 A，B，C 中结论正确，由排除法可知应选 D7传说古希腊毕达哥拉斯学派的

4、数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为A51B70C92D117解析：不妨设五边形数从小到大依次为1a，2a，3a，.na，观察图形，将第一个图形视为一层小石子，第二个图形视为两层小石子，第三个图形视为三层小石子（从左下角的小石子开始作为第1层，沿右上角方向依次为第2层，第3层，第n层），以此类推，从第二个图形起，每个图形中的第(2)k k 层小石子排成三条长度相等的线段（每条线段上的小石子数目恰为(2)k k，连接处有两个公用小石子），易知每层的小石子数目为32

5、(2)kk，第8个图形的小石子数目为1(322)(3 32)(3 82)92 （即等差数列32n 的前8项和），应选 C8已知函数()f x的定义域为R，,x yR，(1)(1)()()f xf yf xyf xy，若(0)0f，则(2024)fA2B4C2D4解析：（方法一）令0 xy，则2(1)(0)(0)0fff，(1)0f，(第 7 题图)高三数学参考答案及评分标准第 3 页 共 17 页令0 x，yx，则(1)(1)(0)(0)0ff xfxfx，()()f xfx，令yx，则(1)(1)(0)(2)f xfxffx，令yx，则(1)(1)(2)(0)f xf xfxf，(1)(1)

6、(1)(1)f xfxf xf x，若(1)0f x 恒成立，则与题设条件(0)0f矛盾，(1)(1)fxf x，又()()f xfx，()()(2)f xfxfx，()(4)f xf x，4为()f x的周期，(2024)(0)ff，令1xy，则(2)(2)(2)(0)ffff，又(2)(0)ff，(0)(0)2(0)fff，解得(0)2f，(2024)2f，应选 A.（方法二）cos()cos()2sin sinxyxyxy，2cos()cos()cos()cos()22xyxyxy，2cos()2cos()2cos()2cos()22xyxyxy ，由此联想去构造函数，(1)(1)()(

7、)f xf yf xyf xy，可令()2cos2xf x ，显然()2cos2xf x 符合,x yR，(1)(1)()()f xf yf xyf xy，且(0)0f，(2024)2cos(1012)2f ，应选 A二、多项选择题：题号9101112答案BCBDACACD9已知函数()2sin(2)3f xx，则A()f x的最小正周期为2B()f x的图象关于点2(,0)3成中心对称C()f x在区间0,3上单调递增D若()f x的图象关于直线0 xx对称，则01sin22x 解析：（选项 A）()f x的最小正周期为22，选项 A 错误；高三数学参考答案及评分标准第 4 页 共 17 页

8、（选项 B）当23x 时，23x，又sin=0，()f x的图象关于点2(,0)3成中心对称，选项 B 正确；（选项 C）当03x时，2333x，又函数sinyx在区间,3 3上单调递增，()f x在区间0,3上单调递增，选项 C 正确；（选项 D）()f x的图象关于直线0 xx对称，0232xk()kZ，0526xk()kZ，01sin22x ，选项 D 错误，综上所述，应选 BC10已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则A甲组数据的第70百分位数为23B甲、乙两组数据的极差相同C乙组数据

9、的中位数为24.5D甲、乙两组数据的方差相同解析：乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，注意到两组数据的特点（将a调到乙组数据的最后位置，则每个数值对应大3），易知28a，（选项 A）易知甲组数据的第70百分位数为第5个数24，选项 A 错误；（选项 B）252028235，甲、乙两组数据的极差均为5，选项 B 正确；（选项 C）乙组数据的中位数为252625.52，选项 C 错误；（选项 D）设甲组数据为ix，乙组数据为iy，则3iiyx，易知甲、乙两组数据的方差相同，选项 D 正确，综上所述，应选 BD11设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与

10、C交于A，B两点，若12|2FF，且2ABF的周长为8，则A2a BC的离心率为14C|AB可以为D2BAF可以为直角解析：（选项 A）由2ABF的周长为8，及椭圆定义可知48a，即2a，选项 A 正确；（选项 B）12|22FFc，2a，C的离心率为12ca，选项 B 错误；高三数学参考答案及评分标准第 5 页 共 17 页（选项 C）222213b，C的方程为22143xy，易知22|2bABaa，即3|4AB，34，|AB可以为，选项 C 正确；（选项 D）（方法一）不妨设1|AFm，2|AFn，则24mna，22216mmnn，若2BAF为直角，则22244mnc，4216mn，即6m

11、n，m，n为方程2460 xx的两个实数根，易知24460，方程2460 xx无实数根，2BAF不可能为直角，选项 D 错误，（方法二）不妨设直线AB的方程为1xmy，11(,)A x y，22(,)B x y，则2121(,)ABxx yy，211(1,)AFxy，若2BAF为直角，则2211211()(1)()0AB AFxxxyy y ，211211()(2)()0mymymyyy y，显然12yy，11(2)0mmyy，即122+1mym，联立221143xmyxy，得22(34)690mymy，122+1mym是方程的实数根，22222212(34)()90+1+1mmmmm，化简得

12、42122090mm，显然不可能成立，2BAF不可能为直角，选项 D 错误，综上所述，应选 AC12.如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，ABF和DCE均是等边三角形，且2 3AB，EFx(0)x，则A/EF平面ABCDB二面角AEFB随着x的减小而减小C当2BC 时，五面体ABCDEF的体积()V x最大值为272D当32BC 时，存在x使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF解析：（选项 A）显然A，D，E，F四点共面，且B，C，E，F四点共面，(第 12 题图)高三数学参考答案及评分标准第 6 页 共 17 页/BC AD，AD 平面ADEF，BC 平面ADEF，

13、/BC平面ADEF，平面BCEF 平面ADEFEF，/BC EF，BC 平面ABCD，EF 平面ABCD，/EF平面ABCD，故选项 A 正确；（选项 B）设二面角AEFB的大小为2，点F到平面ABCD的距离为h，则3tanh，点F到平面ABCD的距离当且仅当平面FAB 平面ABCD时取得最大值，当xBC时，3tanh取得最小值，即取得最小值，亦即二面角AEFB取得最小值，故选项 B 错误；（选项 C）当2BC 时，如图所示，把五面体ABCDEF补全成直三棱柱FGIEKJ，分别取AB，GI的中点M，H，易得FH 平面ABCD，3FM，设(0)2FMH，则3cosMH，3sinFH，()2ABC

14、DEFFGIEKJFABIGV xVVV三棱柱四棱锥五面体112 33sin(22 3cos)23sin2 33cos6 3sin6 3sin cos23 ，令()6 3sin6 3sin cosf，则()6 3cos6 3cos20f，解得3，易知3是函数()f的极大值点，则max27()()6 3sin6 3sincos33332ff，五面体ABCDEF的体积()V x最大值亦为272，故选项 C 正确；（选项 D）当32BC 时，若ABF和DCE所在平面均垂直于平面ABCD时，构成正三棱柱ABFDCE，易知此时正三棱柱内最大的球半径3342r，此时半径为32的球不能内含于五面体ABCDE

15、F，对于一般情形，如下图所示，左图为左视图，右图为正视图，由 C 的结果可以想到，当五面体ABCDEF体积最大时，其可内含的球的半径较大，易知当3FMH时，3 32FH，3IH，且392IF，EFNMFIGHEDABCGIHMJK高三数学参考答案及评分标准第 7 页 共 17 页设FIG的内切圆半径为1r，则113 31392 3(2 3)2222r，解得123 31332r；另一方面，设等腰梯形EFMN中的圆的半径为2r，则233 3tan434r 13 3132r，半径为3 3132的球能内含于五面体ABCDEF，半径为32的球亦能内含于五面体ABCDEF，故选项 D 正确，综上所述，应选

16、 ACD三、填空题：1335；1424；152；1626；4 5(,2)513若3sin()45，则cos()4_解析：cos()cos()sin()4424，3cos()45，应填3514 九章算术、数书九章、周髀算经是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_种解析：显然甲、乙、丙三名同学每人均有三种选法，由分步乘法原理可知有3327种选法，若三人选择的书全部相同，则有3种选法，若三人选择的书不全相同，则有27324种不同选法，应填2415已知平面的一个法向量为(1,0,1)n，且点(1,2,3)A在内，则点(1,1,1)B到的

17、距离为解析：易知(0,1,2)AB ，点(1,1,1)B到的距离为|222ABnn，应填216设ABC是面积为1的等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点P在ABC所在的平面内，记PCD与PAB面积分别为1S，2S，且121SS当|10PB，且|PAPB时，|PA _；记|PAPBa，则实数a的取值范围为_（注：第一空 2 分，第二空 3 分）解析：以D为原点，DB 为x轴正方向建立直角坐标系xDy，(1,0)B，(0,1)C，(1,0)A，设00(,)P xy，则101|2Sx，20|Sy，001|12xy，高三数学参考答案及评分标准第 8 页 共 17 页当10PB，且PAPB时，00 x，

18、22200|(1)10PBxy，联立，解得04x，0|1y，22200|(1)26PAxy，|26PA，故应填26；（或者由220|4PAPBx亦可得2|26PA，从而|26PA）若|PAPBa，则由双曲线的定义知点P在以A，B为焦点的双曲线上，但不包含双曲线的两个顶点，且该双曲线的方程为22221()1()22xyaa，即22224414xyaa，该双曲线的顶点的横坐标的绝对值小于半焦距 1，双曲线和曲线1|12xy有交点即双曲线的渐近线和曲线1|12xy有交点，双曲线渐近线斜率的绝对值小于12，即224102aa，224104aa，解得4 5(,2)5a，故应填4 5(,2)5三、解答题：

19、本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2coscos2aBabAc(1)求a；(2)若23A，且ABC的周长为25，求ABC的面积解：(1)2coscos2aBabAc，(coscos)2a aBbAc，1 分由正弦定理，得sincossincos2sinaABBAC，2 分即sin()2sinaABC，3 分ABC，sin()sinABC，4 分sin2sinaCC，0C，sin0C，2a 5 分(2)由(1)知2a，

20、在ABC中，由余弦定理，得222224cos22bcabcAbcbc，6 分高三数学参考答案及评分标准第 9 页 共 17 页224122bcbc，整理得：224bcbc，7 分52abc，5bc，8 分由，得222()4bcbcbcbc，1bc，9 分记ABC的面积为S，1123sinsin2234SbcA10 分18.（12 分）如图，在四棱锥EABCD中，/AD BC，22ADBC，2AB，ABAD，EA 平面ABCD，过点B作平面BD(1)证明：平面/平面EAC；(2)已知点F为棱EC的中点，若2EA，求直线AD与平面FBD所成角的正弦值.证明：(1)设AC与BD的交点为O，/AD B

21、C，且ABAD，ABBC，=1AD，2AB，ABAD，且2AB，2BC，ABBC，ABD BCA，2 分ABDBCA，BACABDBACBCA，ABBC，90BACBCA，90BACABD，(第 18 题图)EFBOCDA高三数学参考答案及评分标准第 10 页 共 17 页即 90BAOABO，0 9AOB，AOBO，即ACBD，4 分EA 平面ABCD，BD 平面ABCD，EABD，EAACA，,EA AC 平面EAC，BD 平面EAC，又BD，且B平面EAC，平面/平面EAC 5 分(2)（方法一）ABAD，EA 平面ABCD，AB，AD，AE两两垂直如图，以A为原点，AB，AD，AE分别

22、为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(0,1,0)D，(2,0,0)B，(0,0,2)E，(2,2,0)C，(0,1,0)AD，(2,1,0)BD ，(0,2,0)BC ，(2,0,2)BE ，8 分点F为棱EC的中点，12()(,1,1)22BFBCBE ，9 分设平面FBD的一个法向量为(,)x y zn，则00BDBFnn ，20202xyxyz，取2x，得2 2y ，2z，平面FBD的一个法向量为(2,2 2,2)n，10 分记直线AD与平面FBD所成角为，则|2 2|2 7sin|cos,|7|1482ADADADnnn，直线AD与平面FBD所成角的正

23、弦值为2 77 12 分（方法二）如图，取AC中点M，连接FM，F为棱EC的中点，高三数学参考答案及评分标准第 11 页 共 17 页12EAFM，且/FM EA，EA 平面ABCD，FM 平面ABCD，6 分OM 平面ABCD，FMOM，ABAD，ABBC，223BDABAD，226ACABBC，7 分易知OBC ODA，12OADAOCBC，622OCOA，即633ACOA，又622ACAM，66OMAMOA,1FM，且FMOM，17166OF，8 分BD 平面EAC，OF 平面EAC，BDOF，1171432264FBDSBDOF，9 分1AD，2AB，且ABAD，22ABDS；10 分

24、设h为A到平面BFD的距离，A BFDFABDVV，1133BFDABDShSFN，即142142h，解得2 77h，11 分记直线AD与平面FBD所成角为，则2 7sin7hAD，直线AD与平面FBD所成角的正弦值为2 77 12 分19（12 分）已知数列na的前n项和为nS，2124aa，当*nN，且2n 时，1132nnnSSS(1)证明：na为等比数列；(2)设1(1)(1)nnnnabaa，记数列 nb的前n项和为nT，若21172mmT，求正整EFBOCDAM高三数学参考答案及评分标准第 12 页 共 17 页数m的最小值解：(1)当*nN，且2n 时，1132nnnSSS，当2

25、n 时，112()nnnnSSSS，12nnaa(2)n，3 分2124aa，12nnaa*()nN，且12a，na是以首项为2，且公比也为2的等比数列5 分(2)由(1)易知na的通项公式为2nna*()nN，6 分111211(1)(1)(21)(21)2121nnnnnnnnnabaa，8 分-111111111111)+()()+()13372121212121(nnnnnnT，9 分21172mmT，1211112172mm，122172mm，即2282172mm，10 分221m，20m，2m，3m，即正整数m的最小值为3.12 分20（12 分）已知甲、乙两支登山队均有n名队员，

26、现有新增的4名登山爱好者a，b，c，d将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队(1)求a，b，c三人均被分至同一队的概率；(2)记甲、乙两队的最终人数分别为1n，2n，设随机变量12|Xnn，求()E X解：(1)a，b，c三人均被分至同

27、一队当且仅当三人同分至甲队或同分至乙队设事件A“a被分至甲队”，B“b被分至甲队”，C“c被分至甲队”，当a即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a被分至甲队即a摸出红球的概率为21()222P A，1 分当a被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b被分至甲队即b摸出红球的概率为高三数学参考答案及评分标准第 13 页 共 17 页22(|)235P B A，2 分当a，b均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c被分至甲队即c摸出红球的概率为21(|)243P C AB，3 分121()()(|)255P ABP A P B A，111()()(|)5315P ABCP AB P C

28、 AB，4 分同理可知，新增登山爱好者a，b，c均被分至乙队的概率也为115，a，b，c三人均被分至同一队的概率为112151515 5 分(2)由题设可知，X的可能取值为4，2，0，6 分4X 表明新增的4名登山爱好者均被分至甲队或乙队，22224(4)24 5 67105P X ；7 分2X 表明新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名则被分至另一队，设新增的第k(1,2,3,4)k 名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则12 3 3 39(1)24 5 6770PP k ，22 3 3 39(2)24 5 6770PP k ，3224 34(3)24 5 6735PP k ，4

29、222 52(4)24 5 6721PP k ，9 分12347(2)15P XPPPP；10 分0X 表明新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，52(0)1(2)(4)105P XP XP X；11 分X的数学期望475238()4201051510535E X 12 分21（12 分）已知函数1()ln1xf xaxx有两个极值点1x，2x(1)求实数a的取值范围；(2)证明：21212()()21f xf xaaxxa解：(1)易知2222(1)()(0)(1)(1)aaxaxafxxxxx x，1 分高三数学参考答案及评分标准第 14 页 共 17 页若0a，则()0fx在(

30、0,)上恒成立，()f x在(0,)上单调递减，不可能有两个极值点，与题设矛盾，0a，2 分()f x有两个极值点1x，2x，关于x的方程22(1)0axaxa(0)a 有两个相异的正实数根1x，2x，3 分224(1)44(12)0,10,0,aaaaaa 4 分解得102a，实数a的取值范围为1(0,)25 分(2)由(1)知，102a，且122(1)axxa，121x x，6 分不妨设1201xx，化简可得12112121212212121212112()lnlnln()()11(1)(1)xxxxxaxaxaf xf xxxxxxxxxxxx12121212ln21xaxxxx xxx

31、，7 分121212121212()()(lnln)(lnln)22(1)2f xf xaxxaxxaaxxxxxxa，8 分欲证21212()()21f xf xaaxxa，只需证1212lnln1211xxaaxx，只需证1212lnln1xxaaxx，只需证121212lnln2xxxxxx，只需证11212211ln21xxxxxx，令12(01)xttx，则需证11ln21ttt，10 分由(1)知，当12a 时，2212(1)(1)02axaxax，即()0fx，高三数学参考答案及评分标准第 15 页 共 17 页11()ln21xf xxx在(0,)上单调递增，11 分01t，(

32、)(1)0f tf，即11ln021ttt，即11ln21ttt，21212()()21f xf xaaxxa 12 分22（12 分）在平面直角坐标系xOy中，点(1,0)P，点A为动点，以线段AP为直径的圆与y轴相切，记A的轨迹为，直线AP交于另一点B(1)求的方程；(2)OAB的外接圆交于点C（不与O，A，B重合），依次连接O，A，C，B构成凸四边形OACB，记其面积为S(i)证明：ABC的重心在定直线上；(ii)求S的取值范围解：(1)设(,)A x y，则线段AP的中点坐标为1(,)22xy，1 分以线段AP为直径的圆与y轴相切，22111(1)222xAPxy，2 分化简，得24y

33、x3 分(2)(i)如图，设11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)C x y，（方法一）O，A，C，B四点共圆，OABOCB，4 分由对称性可知直线OA，AB，OC，BC的斜率存在，不妨设其分别为1k，2k，3k，4k，且OA，AB，OC，BC的倾斜角为1，2，3，4，21OAB，43OCB，OABOCB，tantanOABOCB，4321123411kkkkk kk k，5 分1112111414yykxyy，同理可得2124kyy，334ky，4234kyy，高三数学参考答案及评分标准第 16 页 共 17 页代入并化简，得22112323()16()16yyy yyyyy，

34、6 分即112323()()y yyyyy，即13123()()0yyyyy，13yy，1230yyy，即1231()03yyy，ABC的重心的纵坐标为1231()3yyy，ABC的重心在定直线0y 上7 分（方法二）O，A，C，B四点共圆，设该圆方程为220 xydxey，联立22204xydxeyyx，消去x，得42(416)160ydyey，4 分即3(416)16)0y ydye，1y，2y，3y即为关于y的方程3(416)160ydye的3个根，5 分则3123(416)16()()()ydyeyyyyyy，32123123122313123()()()()()yyyyyyyyyyy

35、y yy yy yyy y y由2y的系数对应相等得，1230yyy，即1231()03yyy，ABC的重心的纵坐标为1231()3yyy，6 分ABC的重心在定直线0y 上7 分(ii)记OAB和ABC的面积分别为1S和2S，设直线:1AB xmy，联立214xmyyx，消去x，得2440ymy，124yym，124y y ，2211211|16162122SOPyymm，8 分由(i)得，312()4yyym ，2233144xym，即2(4,4)Cmm，9 分21212|2()444ABxxm yym，C到直线AB的距离22|81|1mdm，22222211|81|(44)21|81|2

36、21mSAB dmmmm，221221(1|81|)SSSmm，10 分高三数学参考答案及评分标准第 17 页 共 17 页不妨设0m，且A在第一象限，即10y，20y，340ym，依次连接O，A，C，B构成凸四边形OACB，3122()yyyy，即122yy，又124y y ，2242yy，即222y，即220y，12224422 22myyyy，即24m，即218m，11 分222221(1|81|)161Smmmm，设21tm，则3 24t，令2()16(1)f tt t，则2()16(31)f tt，3 24t，2()16(31)0f tt，()f t在区间3 2(,)4上单调递增，3 23 2()()42f tf，S的取值范围为3 2(,)2 12 分