江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题.docx

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1、 2023-2024学年度第二学期高一年级阶段检测（一）数学一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（ ）A.5 B. C.10 D.2.在中，若点满足，以作为基底，则等于（ ）A. B.C. D.3.已知，与同向的单位向量为的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）A. B. C. D.4.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形的边长为是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ）A. B.0 C. D.5.若

2、，则（ ）A.1 B. C. D.6.已知，则（ ）A. B. C. D.7.如图，三点在半径为1的圆上运动，且是圆外一点，则的最大值是（ ）A.5 B.8 C.10 D.128.已知：，则（ ）A. B. C. D.二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列说法中正确的是（ ）A.平面向量的一个基底中，一定都是非零向量B.在平面向量基本定理中，若，则C.若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是D.表示同一平面内所有向量的基底是唯一的10.已知，则（ ）A. B.C. D.11.中华人民共和

3、国国旗是五星红旗，国旗上每个五角星之所以看上去比较美观，是因其图形中隐藏着黄金分割数.连接正五边形的所有对角线能够形成一个标准的正五角星，正五角星中每个等腰三角形都是黄金三角形.黄金三角形分两种：一种是顶角为的等腰三角形，其底边与一腰的长度之比为黄金比；一种是顶角为的等腰三角形，其一腰与底边的长度之比为黄金比.如图，正五角星中，记，则（ ）A.B.C.在上的投影向量为D.三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则_.13.向量满足，则的最大值为_.14.记的内角，已知，求的取值范围为_.四解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分

4、）已知.（1）求；（2）求.16.（15分）已知向量满足，设与的夹角为，（1）若对任意实数，不等式恒成立，求的值；（2）根据（1）中与的夹角值，求与夹角的余弦.17.（15分）如图，已知直线分别在直线上，是之间的定点，点到的距离分别为1，.设.（1）用表示边的长度；（2）若为等腰三角形，求的面积；（3）设，问：是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.18.（17分）如图，是单位圆上的相异两定点（为圆心），且（为锐角）.点为单位圆上的动点，线段交线段于点.（1）求（结果用表示）；（2）若求的取值范围；设，求的取值范围.19.（17分）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的

5、“相伴向量”（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.（1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由.（2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围.2023-2024学年度第二学期高一年级阶段检测（一）数学一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【详解】因为，所以.2.【答案】A【详解】如图，因，则，即，解得：.3.【答案】D【详解】向量在向量方向上的投影向量为.4.【答案】C【详解】设，当与重合时，；当在线段（除）线段线段，线段，线段（除

6、）点上运动时，所以，当与重合时，所以，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，根据正八边形的性质可知，则，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，当在线段（除）上运动时，设，所以，当在线段上运动时，设，所以，当在线段（除）上运动时，设，所以.综上所述，的最小值为.5.【答案】A【详解】由，可得，解得，又由.6.【答案】D【详解】由两边平方得：，而，则，因此，所以.7.【答案】C【详解】连接，如下图所示：因为，则为圆的一条直径，故为的中点，所以，所以.当且仅当共线且同向时，等号成立，因此，的最大值为10.8.【答案】D【详解】由，则.二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选

7、项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.【答案】ABC【详解】选项，作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此一定都是非零向量，故A正确；选项B，由在同一基底下向量分解的唯一性，得，故B正确；选项C，在方向上的投影向量为，故C正确；选项，只要不共线的两个向量都可以作为基底，所以表示同一平面内所有向量的基底是不唯一的，故错误；10.【答案】ACD【详解】，则，选项正确；选项错误；，C选项正确；由，有，选项正确.11.【答案】ABD【详解】因为，三角形为黄金三角形，所以，可得，由对称性可知，所以，可知，所以，所以，即可得，所以，故选项A正确；

8、在三角形中，有余弦定理可得，故选项B正确；在上的投影向量为，故选项错误；，具有周期性，所以，故选项D正确.三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【详解】，.13.【答案】【详解】因为，所以，则，则，所以，又因为，所以，则可设，则，又因为，所以，故又可设的坐标为，所以，因此，所以最大值为.14.【答案】【详解】因为，所以，所以，又因为，解得，所以，而单调递减，所以的取值范围为.四解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.【答案】（1）（2）【详解】（1）解：因为，则，所以.（2）解：由（1）可得，因为，则，可得，所以.16.【答案】（1

9、）（2）.【详解】（1）将不等式两边同时平方，得，即因为，设与的夹角为，则恒成立，所以，即，解得.（2）由（1）知，则，则，则，故与夹角的余弦值为.17.【答案】（1）；（2）；（3）不存在使得【详解】（1）由题意得，因为，所以，故；（2）由（1）得，故，即，又，所以，即，所以；（3）由（1）得，故，当且仅当，即时，等号成立，又，当且仅当时，等号成立，显然与不会同时成立，故，不存在使得.18.【答案】（1）（2）；【详解】（1）.（2）.设.由题意得，则所以.因为，则所以，所以最小值是0，最大值是3，则；设，则，所以，由得，即，整理得，所以，所以.令.令，令，则，即在上单调递增，则所以的取值范围是.19.【答案】（1）存在，或【详解】（1）因为，所以，函数存在相伴向量，所以，与共线的单位向量为或.（2）的“相伴函数”，因为在处取得最大值，所以，当，即时，有最大值，所以，所以，因为，所以，所以，令，则，因为均为上的单调递减函数，所以在上单调递减，所以，所以，所以，的取值范围为.学科网（北京）股份有限公司