同构式下的函数体系.pdf

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1、 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 1 专题专题 6 同构式下的函数体系同构式下的函数体系 秒杀秘籍：第一讲 同构式的三问三答 又到了最后一个章节，自从秒群在 2018 年跟大家交流同构式开始，全国各地的老师和学生似乎都很迷这个“神招”，同构式并不神秘，和很多之前的专题一样，我们需要细化它，透彻理解它，所以我们需要一个同构式的“说明书”问题一：同构式到底是什么？同构式源于指对跨阶的问题，xex与xxln属于跨阶函数，而xexln属于跳阶函数，所以指对跳阶的函数问题，在中学阶段没有解决它的巧妙方法，只能构造隐零点代换来简化，但通过指对跨阶函数进行同构，即1lnlnln)(ln1)(xx

2、xxxxxhxeexxexhxxx我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问题通过跨阶函数的同构，变成了两阶问题，类似于二阶递推数列通过一次递推后变成了一阶数列，所以，通过构造跨阶函数的同构式，大大简化了分析和计算 问题二：同构式能解决什么问题？同构式是属于跨阶的复合函数，所以复合函数能解决的一切问题，同构式均能解决在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数以及复合函数的最值保值性来快速解题 问题三：同构式怎么构造？如何选取函数？同构式需要一个构造一个母函数，即外函数，用)(xh表示，这个母函数需要满足：指对跨阶；单调性和最值易求；通常，1)(xeexxe

3、xhxxx，基本上搞定这三个母函数，就看内函数，即子函数的构造了 下面，我们分别利用同构式的单调性、保值性和零点个数问题来对同构式进行系统分析 秒杀秘籍：考点 1 利用同构式单调性秒杀【例 1】（2020武邑期中）设实数0，若对任意的(0,)x，不等式0 xlnxe恒成立，则的取值范围是 【解析】0 xxlnxeelnx，由于指数和对数的“跳阶”问题，故需要构造连续的“跨阶”函数来化简，故不等式两边同乘以x，构成xxexlnx，乘法的式子构造xxexh)(，故不等式满足)(ln)(xhxh，易知)(xh在区间),0(为增函数，即xxln恒成立，exx1)ln(max，故答案为),1e.学习数学

4、 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 2 注意：1)(xeexxexhxxx在区间),0(为增函数，当构造)()(xqhxph恒成立的时候，只需要)()(xqxp恒成立即可.由于()xh xxe在1,，这个在秒 1 中已经详细介绍，这里不再详述.xxxpln)(在区间(0,)e，在(,)e，易知eepxp1)()(max.【例 2】设0k，若存在正实数x，使得不等式2log20kxxk成立，则k的最大值为（）A21log ee B12lne C2logee D122ln 注意：我们会介绍几个重要的“亲戚函数”，xxe、xxln、xex、xxln利用它们之间的同构式原理来快速求出最值【例 3】（2

5、019长郡中学月考）已知函数 ln133f xmxx，若不等式 3xf xmxe在0,x 上恒成立，则实数m的取值范围是 【解析】法一：ln1333ln13(1)3xxf xmxxmxemxxmxe，令()3xh xmxe即(ln(1)()hxh x恒成立，由于ln(1)xx，故函数()h x 对0,x 上恒成立，即()30 xh xme，解得min33xme，故答案为3m.法二：ln133333(1)ln1xxf xmxxmxeexmxmx，构造函数()1xh xex，则3()(ln(1)h xmhx，这里要用到我们接下来讲的同构式“保值性”，由于ln(1)xx恒成立，取等条件为0 x，不在

6、定义域内，故ln(1)xx恒成立，所以当3m 时，3()(ln(1)h xmhx恒成立，故答案为3m.【例 4】（2019衡水金卷）已知0a，不等式1ln0axxeax对任意的实数1x 恒成立，则实数a的最小值是（）Ae21 Be2 Ce1 De【解析】由题意得：1ln1ln1111ln0lnlnlnaaxxxaaaaaaxxeaxxeexxxxxx对1x 恒成立，此时maxlnxax，即ae，故选 D.注意：这一类均是属于外函数xxexh)(的同构式模型，那么在xexxh)(或者1)(xexhx的模型会是什么情况呢？秒杀秘籍秒杀秘籍：考点 2 同构式问题构造恒等式：x+ex ex+lnex

7、构造函数xexxh)(，易知)(xh在区间),0(，根据01)(xexpx恒成立，则01ln)(lnxxxp恒成立，当仅当0lnx，即1x时等号成立.由此能得到恒等式：exxxln1ln，所以再利用同构式)(ln)(exhxh，即exexexxln恒成立，当仅当1x时等号成立.学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 3 【例 5】（2019榆林一模）已知不等式1xekxlnx，对于任意的(0,)x恒成立，则k的最大值 注意：若)()(xqhxph恒成立，且)()()(xxqhxph，则一定要满足0)(x，此方法属于同构式的单调性和同构式的“保值性”综合题，有一定难度，原理其实很简单，同构式

8、一旦搞定，剩下的就是基本的函数方程不等式的简单思想.以此题为背景的考题非常多，从选填题压轴到解答题压轴，无处不在，常规方法我们不在这里讲述了，大家可以去看一下常规的解答方案.【例 6】（2019武汉调研）已知函数 ln0 xfxeaaxaa a，若关于x的不等式 0fx 恒成立，则实数a的取值范围为（）A,0(e B2,0 e C,1 2e D),1(2e【解析】由题意可知：lnlnln(1)xeaaxaaaaaxa，由于xe和)1ln(x明显存在“差一”的错位，无法构造出乘法同构式，思考加法的同构，由于不等式的右边可以提出公因式a，故将其除去，得到式子lnln+ln11lnln11xxaea

9、xeaxa，式子右边没有参数a，但左边存在，根据同构式的形式相似原理，我们需要将aln移至不等式左边，即lnlnln11xaeax，显然不等式的两边都加上x即可同构成功，ln1lnlnln1xxaexaex，构造函数xexxh)(，)1(ln()ln(xhaxh，易知)(xh在区间),0(，只需lnln1ln1lnxaxxxa，两边取指数得：axex1，这里求最值也可以利用同构式来解决，令xexgx)(，易知exg)(，aexegexexexx21)1(11，2ae，故选 B.注意：指数和对数的变量中出现xe和1lnx，或者1xe和xln，或者xe和)1ln(x，这些有着明显的指对不等式恒成立

10、的式子，通常是加法同构式xexxh)(的常客，在内函数的解不等式中，经常需要几个“亲戚函数”来帮忙，所以我们接下来介绍一下同构式的保值性.秒杀秘籍：考点 3 利用同构式的保值性秒杀 同构式保值性：若)(xh，)(xph，)(xqh中，Dx，Dxp)(，Dxq)(，故)(xh，)(xph，)(xqh的最值相等.概括起来就是构造了同构式，可以根据外函数的性质直接求出函数的最值 同构式倍值性：在)(xh和)()(xphmxg满足Dx，Dxp)(，则)()(xphmxg的最值是)(xh的m倍我们将这个性质概括为同构式的倍值性 下面我们仅以“亲戚函数”的图像和性质来验证这个理论 关于 xexxf的亲戚函

11、数 一、通过平移和拉伸得到的同构函数 如图 1：根据求导后可知：xexxf在区间1,，在区间,1，efxf11min 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 4 图 1 图 2 图 3 图 4 如图 2：1111xefexeexxx，即将 xf向右平移 1 个单位，再将纵坐标扩大为原来的e倍，故可得xexy1在区间0,，在区间,0，当0 x时，1miny 如图 3：222222xfeexeexxx，即将 xf向右平移 2 个单位，再将纵坐标扩大为原来的2e倍，故可得xexy2在区间1,，在区间,1，当1x时，eymin 如图 4：111111xfeexeexxx，即将 xf向左平移 1 个

12、单位，再将纵坐标缩小为原来的e1倍，故可得xexy1在区间2,，在区间,2，当2x时，2min1ey 二、通过乘除和取倒数导致凹凸反转同构函数 如图 5：xfexexyxx，即将 xf关于原点对称后得到xexy，故可得xexy 在区间1,，在区间,1，当1x时，ey1max 图 5 图 6 图 7 图 8 如图 6：11111)1(xfeexeexyxx，即将 xf关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐标缩小e1倍，得到xexy1，故可得xexy1在区间2,，在区间,2，当2x时，2max1ey 如图 7：110 xxeyxxx efx ，属于分式函数，将 xf1关于原点对称后得到，故可得x

13、eyx在区间1,0，在区间,1，当1x时，eymin 如图 8：111110111xxeyxxexee fx ，属于分式函数，将 xf1关于原点对称后，左移一个单位，再将纵坐标缩小e1倍，故可得1xeyx在区间 0,1，在区间,0，当0 x时，1miny 三、通过取反函数构成的同构函数 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 5 图 9 图 10 图 11 图 12 如图 9：xfxexxxlnlnlnln，当1,lnx，即ex1,0，当,1ln x，即,1ex，ey1min 如图 10：xfxxxxlnlnln11，实现了凹凸反转，原来最小值反转后变成了最大值，当1,lnx，即,ex，当

14、,1ln x，即ex,0，ey1max 如图 11：exefexexexxlnln1ln，当1,lnex，即,1x，当,1lnex，即1,0 x，1maxy 如图 12：2222ln21ln21lnxfxxxx，当1,ln2x，即,ex，当,1ln2x，即ex,0，ey21max 注意：xxyln可以成为模型函数，也可以作为模板来进行同构，本专题之所以这样设计是让读者思考这一系列函数的同构原理，达到举一反三的目的例题中我们会以xxyln为模板进行求最值讨论.【例 7】（2019凌源市一模）若函数2()xf xeax在区间(0,)上有两个极值点1x，212(0)xxx，则实数a的取值范围是（）A

15、2ea Bae Ca e D2ea 【例 8】（2019广州一模）已知函数|2()xf xeax，对任意10 x，20 x，都有2121()()()0 xxf xf x，则实数a的取值范围是（）A2,(e B(,2e C0,2e D,02e【例 9】（2019荆州期末）函数1()lnxf xxx的单调增区间为（）A(,1)B(0,1)C(0,)e D(1,)【例 10】（2019广州期末）函数2()f xxlnxmx有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A1(0,)2 B(,0)C(0,1)D(0,)学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 6【例 11】（2019深圳月考）已知函数()ln

16、xf xkxx在区间14e，e上有两个不同的零点，则实数k的取值范围为（）A14 e，1)2e B1(4 e，1)2e C21e，14 e D21e，1e【解析】222ln21ln0lnxxxxkkxxxxf，当,41eex时，,2221eex，由于函数xxln在区间),0(e，),(e，则当,212eex 时，1,21ln22eexx，当,22eex 时，1,2ln222eexx，由于2221ee，故当)21,41ln2122eexxk时，()lnxf xkxx有两个不同零点，故选 A 秒杀秘籍秒杀秘籍：第二讲 同构式保值性定理 保值性定理 1：若)()(xqhxph恒成立，且满足)()()

17、(xxqhxph，则一定要满足0)(x；保值性定理 2：若)()(xqhxph恒成立，且满足)()(xqhmxph（0)(xh），则一定要满足1m；若要满足)()(xqmhxph有实根，则一定要满足1m；保值性定理 3：若0)(0)(xqhxph，且满足当mx 时，0)()(xqhxph，则一定满足不等式0)()(xqhxph；若0)(xph时和0)(xqh时的x取的值不相等，则0)()(xqhxph【例 12】（2019保山一模）若函数 lnxf xeaxx有两个极值点，则a的取值范围是（）A(,)e B(,2)e C(,)e D(2,)e 【解析】由()0 xfxealnxa，得exexe

18、axeexaexxlnln构造xxexh)(，则 由于)(xh在),0(，且exxln，故)(ln)(exhxh恒成立，若)(ln)(exheaxh有两不等实根，则一定需要1ea，解得ae，故选：A 注意：相比此题的传统方法，同构式确实可以一步秒杀，还有什么理由不学习研究同构式呢？下面我们来讲解一下高考题中的同构式保值定理的应用【例 13】（2018新课标）已知函数()1xf xaelnx（1）设2x 是()f x的极值点，求a，并求()f x的单调区间；（2）证明：当1ae时，()0f x 【解析】（1）略；（2）当1ae时，11lnxxaelnxeexe，故只需证exeexln1，故只需证

19、exexexeexln1，即证明exexxexln恒成立，由于exxxgln)(中，xxg11)(，易知0)1()(min gxg，故exxln恒成立，构 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 7 造函数xxexh)(，易知)(xh在区间),0(为增函数，故不等式满足)(ln)(exhxh，即()0f x 恒成立 注意:此题也可以采用反证法，当()0f x，只需exaexln，只需exexxeaexln恒，只需)(ln)(exhxhae恒成立，故只需1ae，即1ae.【例 14】.（2014全国卷 I）设函数 xbexaexfxx1ln，曲线 xfy 在点 1,1 f处的切线方程为21

20、xey.（1）求,a b；（2）证明：1xf.注意：保值性不仅仅是保大于零或者恒成立，也可以保最大值或者最小值，知道指对跨阶的同构式，基本上就是一步到位，怎么样？有点感觉了吧，再看看下一道高考题.【例 15】（2015新课标）设函数2()xf xealnx（1）讨论()f x的导函数()fx零点的个数；（2）证明：当0a 时，2()2f xaalna 注意：看不到乘法同构就用加法，xexxh)(的同构式通常用于单调性，因为无最值，所以无法采用保值性来使用，而1)(xexhx既能实现单调性，又能实现保值性，堪称同构式的桥头堡，下面关于同构式1)(xexhx，在涉及保值性问题上，有一个特殊的名词，

21、叫做改头换面 秒杀秘籍秒杀秘籍：第三讲 改头换面ln2xexmm类型 构造1)(xexhx，则1)ln()()(ln(mxmxmxh，故mmxhxhmmxmxxemxexx2)(ln()(21)ln()(1)ln(，由于0)(ln()(mxhxh，故mmxex2)ln(，当仅当0 x，且0)ln(mx时等号成立，这里就提出了一个问题就是，当仅当1m时可以取等，其余均是大于 此题也可以表示为mmxexfmx22)ln()(，当仅当21m时，1)(minxf【例 16】（2013新课标）已知函数()()xf xeln xm（1）设0 x 是()f x的极值点，求m，并讨论()f x的单调性；（2）

22、当2m 时，证明()0f x 【解析】（1）1()xfxexm，0 x 是()f x的极值点，1(0)10fm，解得1m 所以函数()(1)xf xeln x，其定义域为(1,)1(1)1()11xxexfxexx设()(1)1xg xex，则()(1)0 xxg xexe，所以()g x在(1,)上为增函数，又(0)0g，所以当0 x 时，()0g x，学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 8 即()0fx；当10 x 时，()0g x，()0fx所以()f x在(1,0)上为减函数；在(0,)上为增函数；（2）（常规方法）证明：当2m，(,)xm 时，()(2)ln xmln x，故

23、只需证明当2m 时()0f x 当2m 时，函数1()2xfxex在(2,)上为增函数，且(1)0f，(0)0f故()0fx在(2,)上有唯一实数根0 x，且0(1,0)x 当0(2,)xx 时，()0fx，当0(xx，)时，()0fx，从而当0 xx时，()f x取得最小值 由0()0fx，得0012xex，00(2)ln xx 故200000(1)1()()022xf xf xxxx 综上，当2m 时，()0f x （2）秒杀解法：构造()1xh xex，则()10 xh xe 时，故当0 x，min()0h x；ln=1()ln()1 2=()(ln()+22xxexmexxmxmm h

24、 xhxmmm ，2m，()0f x，由于取等号时，0m，而此时00)(xxh，10)(ln)(ln(xxhmxh，两式取得等号的条件不一致，故()0f x 注意：mxe和)ln(nx 在同构式里面仅仅在1 mn的时候获得取等条件，最常见就是构造)1(ln()(xhxh或者构造)(ln)1(xhxh，诸如此类的改头换面，我们也可以称为差一同构式.针对xxe和xln，没有了差一同构式，却多了个不对称构造，一个有xxe，一个却不是xxln，此类也是可以改头换面的，就是将指数部分进行改头换面，构成1)(xexhx的同构式应用.秒杀秘籍秒杀秘籍：第四讲 xxexex、与与ln x改头换面 利用()10

25、 xh xex，则有lnln1xxxxeexx；22ln2ln1xxxx eexx 这一系列放缩的取等条件就是ln00.6xxx，或者2ln00.7xxx；利用()0 xh xeex（取等条件1x），则有lnlnxxxxeee xx；lnlnxxxeee xxx；22ln2lnxxxx eee xx；这一系列放缩的取等条件就是ln11xxx，ln11xxx或者2ln11xxx；【例 17】（2018江苏期末）函数 lnxfxxexx的最小值为 【解析】构造1)(xexhx，ln()lnln1 1(ln)1xxxf xxexxexxh xx ，当仅当00ln0 xx时，0)ln(00 xxh，此

26、时min0()()1f xf x故答案为 1.【例 18】（2018长沙模拟）已知 ln1xfxxeaxx对于任意的0,x恒成立，则a的取值范围是 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 9【例 19】（2019深圳月考）已知2()ln1xx eax对于任意的0,x恒成立，则a的最大值为（）A1 B2 C1e De【解析】构造()1xh xex，22lnln12ln1 2(2ln)(2)0 xxxxeaxxexxxaxhxxa x 恒成立，可知2a，取等条件为2ln0 xx，此时a取得最大值 2 秒杀秘籍：第五讲 利用同构式的内外函数单调性秒杀零点极值点问题 极值存在问题：若函数()(g(

27、)f xhx，则令()tg x，根据复合函数求导(g()()hxh tt原理，若存在一个极值，则()0()0g xh t或者()0()0g xh t，若不存在极值，则()0()0g xh t，若存在多个极值，则()0()0g xh t，此方法叫做同构式内外函数分离法，通常可以简化求导计算，达到事半功倍效果.零点个数问题：若函数()(g()f xhx，则令()tg x，先确定内值外定，即内函数的值域是外函数的定义域，再确定内外函数在相应区间的单调性，利用乘法原理来确定相应区间根的个数.【例 20】（2019陕西一模）已知函数()()xef xk lnxxx，若1x 是函数()f x的唯一极值点，

28、则实数k的取值范围是（）A,(e B(,)e C(,)e D),e 注意：复合函数求导分离，此题就是ln1()()(ln)()(1)xxtfxekxxekx，看明白函数的复合性质，()th tekt为外函数，求导为()0th tek，lntxx，1,)t为内函数，求导为11tx ，复合函数求导是将内外函数相乘，故内函数取得零点时外函数一定无零点或者和内函数在同一位置取得非变号零点采用分别求零点策略，能大大简化求导过程，所以关于极值点存在的问题，此招无处不在，很多学生会因为求导出错而丢分，此来源于复合函数本质，高观点低运算【例 21】（2019襄阳模拟）已知 22lnxfxx ea xx有两个零

29、点，则a的取值范围是 【解析】由于22lnxxxx ee，故可以换元，令2lnxxt，易知t是关于x的单调增函数，且tR，令()xh xeax故根据复合函数零点原理可得：22ln()xtfxx ea xxeath t在tR上有两个零点，参变分离加指数找基友得：1ttg tae，1ttgte，如图，易知当1t 时，g t，当1t 时，g t，max11g tge，当0t 时，显然 0g t，0t 时，由于0t 和t 时()0g t，故当11(0,)ae，即(,)ae时，2()(2ln)xf xx ea xx有两个零点 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 10 注意：求出内函数的值域后，内

30、函数由于单调递增，所有一切交给了外函数，此法又能大大简化求导和分析计算，一个导数题，确实分析主要矛盾是最重要的，同构式将内外函数分别分析，达到事半功倍效果.【例 22】（2019保山一模）若函数 lnxf xeaxx有两个极值点，则a的取值范围是（）A(,)e B(,2)e C(,)e D(2,)e 【例 23】（2019广东四校）已知函数 ln0 xf xxea xxx.（1）当ae时，求函数 f x的单调区间；（2）讨论函数 f x的零点个数.注意：这里给到了一个思维过程，具体写解答题需要证明xtxe单调，且在区间(0,)的一一对应性，故只考虑外函数lnt0ta的零点个数.【例 24】（2

31、019全国模拟）已知函数 2axf xx e.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）已知函数 2lng xf xxax，且函数 g x的最小值恰好为 1，求a的最小值.【解析】（1）)2()ln2()(ln2ln2xaexaxexfxaxxax，由于0ln2xaxe，故只要讨论xa2的零点问题，当0a时，02xa恒成立，此时 0fx，f x在区间),0(为增函数；当0a时，=0fx则ax2，且当ax20时，0fx，当ax2时，0fx，故 f x在区间)2,0(a为增函数，在区间),2(a为减函数.（2）22ln()()2ln2ln(2ln)(2ln)axx axg xf xxaxx exaxe

32、xaxhxax，令2lntxax tR，()th tet，根据复合函数求导原理可得2ln2ln2()(2ln)(1)(2ln)(1)()x axx axg xhxaxexaxeax易得min()(0)1h th，即0000ln02ln02xatxaxx 方程有解，即2ay 与ln xyx图像有交点，即2ae.注意：此题只需要外函数求导有解，对于内函数求导后的式子并无太大要求，内函数求导后可以有零点，也可以无零点，如果内函数求导后出现零点了，那么就是多了几个极值点，在这些极值点当中，只要有一个极小值点是恰好是 1 即可满足题意同构式一般都在同一位置取到极值，如果同构以后发现不是极值点，会怎样呢？

33、同构式也会出现一种极值偏移的情况，下面我们来看一下是什么状况.秒杀秘籍秒杀秘籍：第六讲 同构式的极值偏移 同构式最常见模型1)(xexhx，以)1(ln()(xhxh或者)1(ln()(xhxh均在0 x时取得最小值，我 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 11 们称之为同构式的单调性和保值性在这类型同构式当中，一定满足外函数单调性和内函数单调性统一，且取得极值的位置也统一 例（1）01)1ln(mxxex恒成立，（2）01)1ln(mxxex对),0 恒成立，则根据一定有：（1）00)1(ln()()1ln(11)1ln(mmxxhxhmxxxxemxxexx（2）20)2()1(l

34、n()()2()1ln(11)1ln(mxmxhxhxmxxxemxxexx 原理就来自于0 x时，0)(minxh，0)1(ln(minxh，)1(ln()(xhxh在区间),0 单调递增，（1）式是同时取最小，（2）式是单调性问题，在同构式的题目设计中，加法同构和减法同构都共同指向它们的共同最值部分.当同构式取得的极值不是整个函数的极值时，那就是同构式的“极值偏移”，我们只需要分析同构式的极值和整个函数的极值大小关系，即可得出结论，题根和本质还是同构式极值问题.【例 25】（2019衡水金卷）已知 lnf xxaxa（1）若 212F xf xx，求 F x的单调区间；（2）若 1xg x

35、ef x的最小值为M，求证1M 【例 26】（2019佛山二模）已知函数 ln1cosxf xexaxx，其中aR.（1）若1a，证明：f x是定义域上的增函数；（2）是否存在a，使得 f x在0 x 处取得极小值？说明理由.MST 秒系列秒系列负责人负责人何正杰何正杰老师老师，扫描扫描获取获取更多资料更多资料！目前目前购买购买秒系列秒系列图书图书，可获赠可获赠本系列本系列图书图书全套全套 word 版版可编辑可编辑电子档电子档！学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 12 达标训练达标训练 1对于下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数（1）02log2kxkx （2）0ln1

36、2xex（3）0ln2xmmexx （4）xxxeaaxln)1(2)1(（5）xeaxxxa2)1(2)1ln(（6）)1(lnxxexaxax（7）0ln2xxex （8）0ln2xexx 2若对任意0 x，恒有xxxeaaxln)1(2)1(，则实数a的最小值为 3对任意0 x，不等式0lnln22axaex恒成立，则实数a的最小值为 4已知0 x是方程222ln0 xx ex的实根，则关于实数0 x的判断正确的是 A0ln2x B01xe C002ln0 xx D002ln0 xex 5已知0 x是函数2ln)(22xexxfx的零点，则02ln0 xex 6若关于x的方程33klnx

37、x只有一个实数解，则k的取值范围是 7设实数0，若对任意的(0,)x，不等式202xlnxe恒成立，则的最小值为 8设实数0m，若对任意的xe，若不等式2ln0mxxxme恒成立，则m的最大为 9（2019武汉期末）已知函数 lnxf xxxa e（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A1(0,)e B1(,e)e C1(,)e D(,)e 10（2018荆州期末）函数1()lnxf xxx的单调增区间为（）A(,1)B(0,1)C(0,)e D(1,)11（2018沈阳期末）函数2()xef xx在(,)m上单调递减，则实数m的最大值为（）A12 B0 C12 D1 1

38、2.（2019沈阳一模）已知函数()2f xalnxx，若不等式(1)2xf xaxe在(0,)x上恒成立，则实数a的取值范围是（）A2a B2a C0a D02a 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 13 13（2019眉山模拟）已知函数()21xf xaex有两个零点，则a的取值范围是 14.（2019江西模拟）已知函数 121lnaxf xxexax ae ，函数 f x的最小值M，则实数M的最小值是（）A1 B1e C0 D31e 15.（2019安徽模拟）设函数 lnxf xxea xx，若 0f x 恒成立，则实数a的取值范国是（）A0，e B0，1 C（，e De，）16

39、（2019株洲一模）已知函数 lnxef xk xxkRx，若 f x只有一个极值点，则实数k的取值范围是（）Ae，Be，Ce，D1e，17（2019湖南模拟）已知函数 22 lnxef xkxkxx，若2x 是函数 f x的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A24e，B2e，C02，D2+，18已知函数axxxexfaxln)(1若0)(xf对任意0 x恒成立，则实数a的最小值是 19已知0a，函数)0(1)ln()(xaxexfax的最小值为0，则实数a的取值范围是 20已知函数()ln1(1)bxf xx eaxxx，其中0b，若0)(xf恒成立，则实数a与b的大小关系 21已知ln0

40、mbamem，且0ab恒成立，则实数m的取值范围为（）A1+e，B12+e，C1e，D1ee，22（2019甘肃模拟）已知函数()ln1f xxx，xaxexgx4)(，其中0a 求证：)2ln(ln2)(2)(axfxg 23已知函数)()(2aexxfx，若xxxfln1)(，求a的取值范围 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 14 24求证：01121)ln(2xxxxexx 25（2019济南期末）已知2)(axxexfx，aexxxxg1ln)(2，当0a时，若0)()()(xagxfxh恒成立，求实数a的取值范围 26已知函数)(ln)(xxaxexfx，求证：20ea 时

41、，0)(2exf.27（2019山西模拟）已知函数 lnf xxaxx aR.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）若函数 lnf xxaxx存在极大值，且极大值点为 1，证明：2xf xex.28.（2019长沙月考）已知mR，函数1()(mxlnxf xeex为自然对数的底数）（1）若1m，求函数()f x的单调区间；（2）若()f x的最小值为m，求m的最小值 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 15 29.（2019广州越秀）已知函数 ln1f xxx，1xg xex（1）求函数 f x的单调区间；（2）若 g xkf x对0,x 恒成立，求实数k的取值范围 30.（2019宜

42、春月考）已知函数 1xf xemx，其中e是自然对数的底数.（1）若me，求函数 f x的极值；（2）若关于x的不等式 ln10f xx在0+，上恒成立，求实数m的取值范围.31.（2019东莞一模）已知函数()()xf xxea lnxx（1）若ae，求()f x的单调区间；（2）当0a 时，记()f x的最小值为m，求证：1m 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 16 32（2019雅安期末）已知函数2()f xlnxax（1）若函数()f x有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（2）若2()22xf xaxaxeea在(1,)x上恒成立，求实数a的取值范围 33.（2019邢台

43、期末）已知函数2()2f xlnxxax（1）若32a，求()f x的零点个数；（2）若1a，212()21xg xxxeex，证明：(0,)x，()()0f xg x 34.（2019会宁期中）已知函数()f xlnxmx，mR（1）求()f x的极值；（2）证明：0m 时，(2)xef x 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 17 35.（2019城关月考）已知函数()(1)f xxalnx，aR（1）当1a 时，求曲线()yf x在点(1，f（1）)处的切线方程；（2）令()()ag xf xx，讨论()g x的单调性；（3）当2ae时，()0 xxemf x恒成立，求实数m的取

44、值范围(e为自然对数的底数，2.71828)e 36.（2019桃城月考）已知函数2()1axf xx e（1）讨论函数()f x的单调性；（2）当13ae时，求证：()f xlnx 37.（2019蚌埠三模）已知函数()()xf xae aR，()1lnxg xx（1）求函数()g x的极值；（2）当1ae时，求证：()()f xg x MST 秒系列秒系列负责人负责人何正杰何正杰老师老师，扫描扫描获取获取更多资料更多资料！目前目前购买购买秒系列秒系列图书图书，可获赠可获赠本系列本系列图书图书全套全套 word 版版可编辑可编辑电子档电子档！学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 18

45、38（2019江岸模拟）设函数()(1)xf xeblnx（1）证明()f x的图象过一个定点A，并求()f x在点A处的切线方程；（2）已知0b，讨论()f x的零点个数 39.（2019南通模拟）设函数()()xf xealnx aR，其中e为自然对数的底数（1）当0a 时，判断函数()f x的单调性；（2）若直线ye是函数()f x的切线，求实数a的值；（3）当0a 时，证明：()2f xaalna 40（2019南昌二模）已知函数()()xf xx ea lnxx，()(1)g xmx(a，mR且为常数，e为自然对数的底）（1）讨论函数()f x的极值点个数；（2）当1a 时，()()

46、f xg x对任意的(0,)x恒成立，求实数m的取值范围 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数 19 41.（2019江岸月考）已知函数1()(0)xf xealnaxa a（1）当1a 时，求曲线()yf x在点(1，f（1）)处的切线方程；（2）若关于x的不等式()0f x 恒成立，求实数a的取值范围 42.（2019如皋模拟）已知()xf xe lnx，2()xeg xex（1）求函数()yg x的极小值；（2）求函数()yf x的单调区间；（3）证明：()()1f xg x MST 秒系列秒系列负责人负责人何正杰何正杰老师老师，扫描扫描获取获取更多资料更多资料！目前目前购买购买秒系列秒系列图书图书，可获赠可获赠本系列本系列图书图书全套全套 word 版版可编辑可编辑电子档电子档！