江苏省南京市中华中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题（原卷版） (1).pdf

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1、第 1页/共 5页学科网（北京）股份有限公司江苏省南京市中华中学江苏省南京市中华中学 2022-2023 学年高一上学期月考数学试卷（学年高一上学期月考数学试卷（12 月份）月份）一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.与468角的终边相同的角的集合是A.360456,kkZ B.360252,kkZ C.36096,kkZ D.360252,kkZ 2.已知扇形的弧长为 6，圆心角弧度数为 3，则其面积为A.3B.6

2、C.9D.123.已知2.10.32.1log0.3,0.3,2.1abc，则 a，b，c 的大小关系是（）A.bcaB.cabC.bacD.cba4.函数 122xxf xxR的图像可能为（）A.B.C.D.5.若lg2,lg3ab，则12log 5（）A.12aabB.2ababC.12aabD.2abab6.已知4sincos3，,4 2，则sincos（）第 2页/共 5页学科网（北京）股份有限公司A.23B.23C.13D.137.已知函数 log4(0af xaxa且1a)在0,2上单调递减,则a的取值范围是（）A.0,1B.1,2C.0,2D.2,8.函数2logyx的图像为 M

3、，直线12:,:8210lym lymm，21,l l分别与 M 相交于,C A B D（从左到右），曲线段,CA BD在 x 轴上投影的长度为 a，b，当 m 变化时2logba的最小值为（）A.72B.52C.92D.1二二、多项选择题多项选择题（本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多有多项符合题目要求，全部选对的得项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.已知1sincos5，且为锐角，则下列选项中正确的是（）A.12sin

4、cos25B.7sincos5C.0,4D.4tan310.下面选项中正确的有（）A.命题“所有能被 3 整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被 3 整除的整数不是奇数”B.命题“xR，x2+x+10”C.“=k+，kZ”是“tan=tan”成立的充要条件D.设 a，bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件11.222sincos1 cos1 sinxxxx的值可能为（）A.0B.1C.2D.312.给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（）A.若函数2xf的定义域为1,2，则函数 f x的定义域是2,4；B.函数 1log211xaf xax（其中0a，且1a）的图象过定点1,0

5、；C.当0时，幂函数yx的图象是一条直线；D.若1log12a，则a的取值范围是1,12.第 3页/共 5页学科网（北京）股份有限公司三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.已知3cos63，则cos6_.14.若不等式2(2)2(2)40axax对一切xR成立，则a的取值范围是 _.15.若2,3ab且满足3250abab，则223bab的最小值是_16.已知1x是方程lg6xx的一个根，2x是106xx的一个根，则12xx_四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证

6、明过程或演算步骤）分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知3sin5，且是第_象限角从一，二，三，四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：（1）求 cos，tan的值；（2）化简求值：3sin()cos()sin2cos(2022)tan(2022)18.（1）计算：1234232516log 3log 44；（2）化简：212sin40 cos40cos401cos 14019.已知函数3()lg1xf xx定义域为 A，集22|240Bx xmxm.（1）求集合 A，B；（2）若xB是xA成立的充分不必要条件，求实数 m 的取

7、值范围.20.我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从 2021 年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本 1350 万元，每生产x（千台）电脑需要另投成本()T x万元，且2+100+1000,0 caB.cabC.bacD.cba【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，选取中间量即可比较大小.【详解】2.12.1log0.3log10a，2.100.3.3100b，0.302.21.11c，则cba.故选：D.【点睛】比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.4.函数 12

8、2xxf xxR的图像可能为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意，得函数 f（x）为偶函数，利用排除法可得答案【详解】函数 12R2xxfxx满足 f（-x）=f（x），f（x）为偶函数，其图像关于 y 轴对称，可排除 ACD，故选：B5.若lg2,lg3ab，则12log 5（）第 3页/共 16页学科网（北京）股份有限公司A.12aabB.2ababC.12aabD.2abab【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算法则求出lg51lg122aab，结合对数的换底公式即可得出结果.【详解】由题意知，lg2lg3ab，所以210lg5lg1lg21lg12lg(23)2lg2

9、lg322aab ，所以12lg51log5lg122aab.故选：C6.已知4sincos3，,4 2，则sincos（）A.23B.23C.13D.13【答案】A【解析】【分析】将题设条件等式两边平方，可得72sincos9，再将目标式平方并结合角的范围即可求sincos.【详解】216(sincos)12sincos9，则72sincos9，而22(sincos)12sincos9，又,4 2，sincos，则2sincos3.故选：A7.已知函数 log4(0af xaxa且1a)在0,2上单调递减,则a的取值范围是（）A.0,1B.1,2C.0,2D.2,【答案】B【解析】第 4页/

10、共 16页学科网（北京）股份有限公司【分析】直接根据复合函数的单调性结合函数的定义域得到答案.【详解】0a，故函数4yax在0,2上单调递减；函数 log4(0af xaxa且1a)在0,2上单调递减,故logayx在0,上单调递增，故1a，考虑定义域：420a，解得2a.综上所述：12a.故选：B.8.函数2logyx的图像为 M，直线12:,:8210lym lymm，21,l l分别与 M 相交于,C A B D（从左到右），曲线段,CA BD在 x 轴上投影的长度为 a，b，当 m 变化时2logba的最小值为（）A.72B.52C.92D.1【答案】A【解析】【分析】由2logyx，

11、821,ym ym的图象，分析知821|22|mma，821|22|mmb，可得28log21bmam，应用基本不等式求最小值即可.【详解】由题意，可得如下示意图：即,C A在2logyx 且01x的分支上，令8218(2,)21mCm，(2,)mAm；第 5页/共 16页学科网（北京）股份有限公司,B D在2logyx且1x 的分支上，令(2,)mBm，8218(2,)21mDm；821|22|mma，821|22|mmb，0m，即82122821228loglog|2122mmmmbmam2181218172221222122mmmm当且仅当32m 时等号成立.故选：A【点睛】本题考查了对

12、数函数，应用数形结合、基本不等式求目标式的最值，并考察了指对数的运算，属于中档题.二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.已知1sincos5，且为锐角，则下列选项中正确的是（）A.12sincos25B.7sincos5C.0,4D.4tan3【答案】ABD【解析】【分析】根据2sincos1 2sincos，并结合为锐

13、角求解即可.【详解】解：因为1sincos5，所以242sincos25，即12sincos25所以249sincos12sincos25，因为为锐角，所以7sincos5，所以43sin,cos55，所以4tan13，所以,4 2 故选：ABD第 6页/共 16页学科网（北京）股份有限公司10.下面选项中正确的有（）A.命题“所有能被 3 整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被 3 整除的整数不是奇数”B.命题“xR，x2+x+10”C.“=k+，kZ”是“tan=tan”成立的充要条件D.设 a，bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件【答案】AD【解析】【分析】选项 A，求出原命

14、题的否命题后再进行判断；选项 B，将全称命题变为其否定形式的特称命题即可判断；选项 C，可以看条件和结论之间是否存在推演关系，即可做出判断；选项 D，可以看条件和结论之间是否存在推演关系，即可做出判断.【详解】对于 A：命题“所有能被 3 整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被 3 整除的整数不是奇数”，故 A 正确；对于 B：命题“xR，x2+x+1=，12a，112aD 正确故选：ABD【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查函数的定义域，掌握指数函数与对数函数的图象与性质是解题关键三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 2

15、0 分）分）13.已知3cos63，则cos6_.【答案】33【解析】【分析】本题可根据诱导公式得出结果.【详解】53coscoscos6663 ，第 8页/共 16页学科网（北京）股份有限公司故答案为：3314.若不等式2(2)2(2)40axax对一切xR成立，则a的取值范围是 _.【答案】2,2【解析】【详解】当20a，2a 时不等式即为40，对一切xR恒成立 当2a 时，则须220421620aaa，22a 由得实数a的取值范围是2,2，故答案为2,2.15.若2,3ab且满足3250abab，则223bab的最小值是_【答案】2 61#2 61【解析】【分析】由3250abab变形为

16、231ab；化22312323babab应用基本不等式可求最小值【详解】因为2,3ab满足3250abab所以23326561ababab ，则123ab所以223323231212 6123232323bbabababab 当且仅当2233ab，即2322aa时取“”，解得623a,632b 所以223bab的最小值为2 61；故答案为：2 6116.已知1x是方程lg6xx的一个根，2x是106xx的一个根，则12xx_第 9页/共 16页学科网（北京）股份有限公司【答案】6【解析】【分析】将已知得方程变形得lg6,106,xxxx令()lg,()10,()6,xf xx g xh xx画

17、出图象，根据函数的对称性求解即可【详解】将已知得方程变形得lg6,106,xxxx，令()lg,()10,()6,xf xx g xh xx画出它们的图象，如图所示：设()f x与()h x的交点为11(,),()A x yg x与()h x的交点为22(,)B xy，根据函数的性质可知,A B两点关于yx对称，则1221,xyxy将A点坐标代入直线方程()6h xx得116yx，12111166.xxxyxx故答案为:6.四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知

18、3sin5，且是第_象限角从一，二，三，四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：（1）求 cos，tan的值；（2）化简求值：3sin()cos()sin2cos(2022)tan(2022)【答案】（1）答案见解析；第 10页/共 16页学科网（北京）股份有限公司（2）1625.【解析】【分析】（1）由已知可得为第三象限或第四象限角，分类讨论，利用同角三角函数基本关系式即可求解（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可计算得解【小问 1 详解】解：因为3sin5，所以为第三象限或第四象限角；若选，24sin3cos1 sin,tan5c

19、os4 ；若选，24sin3cos1 sin,tan5cos4.【小问 2 详解】解：原式22sincos(cos)316cos1costan()525 18.（1）计算：1234232516log 3log 44；（2）化简：212sin40 cos40cos401cos 140【答案】（1）152；（2）1.【解析】【分析】（1）由幂运算及对数运算性质化简34168，1225542，log23log34=log24=2，整理即可；（2）由同角三角函数关系式及诱导公式化简即可【详解】（1）1234232516log 3log 44255158log 410222；（2）212sin40 co

20、s40cos401cos 140222sin 40cos 402sin40 cos40cos40sin 140sin40cos40cos40sin140第 11页/共 16页学科网（北京）股份有限公司cos40sin40cos40sin40119.已知函数3()lg1xf xx定义域为 A，集22|240Bx xmxm.（1）求集合 A，B；（2）若xB是xA成立的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围.【答案】（1）(,13,)A，2,2Bmm；（2）(,1)(5,).【解析】【分析】（1）利用对数函数的定义域和一元二次不等式的解法化简求解集合A B、即可.（2）根据xB是xA成立的充分不必

21、要条件，得集合 B 是 A 的真子集，求解得实数 m 的取值范围.【详解】解：（1）由题意知：30(3)(1)01xxxx，解得3x 或1x.集合(,13,)A.对于集合 B 满足：2224(2)(2)0 xmxmxmxm.又22mm，2,2Bmm.（2）若xB是xA的充分不必要条件，则集合 B 是 A 的真子集，由（1）知，只需满足21m 或23m即可，解得1m 或5m.综述，满足题意的 m 的取值范围是(,1)(5,)【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数的范围，相关结论为：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应

22、集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含20.我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从 2021 年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本 1350 万元，每生产x（千台）电脑需要另投成本()T x万元，且第 12页/共 16页学科网（北京）股份有限公司2+100+1000,0 40,()=10000601+-7450,40,axxxT xxxx另外每台平板电脑售价为 0.6 万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知 2021 年共售出 10000

23、台平板电脑，企业获得年利润为 1650 万元.（1）求该企业获得年利润()W x（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式;（2）当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【答案】（1）210+500-2350,0 40,()=10000+6100,40.xxxW xxxx（2）100 千台，最大年利润为 5 900 万元.【解析】【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可（2）由（1）知当040 x时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当40 x 时，利用基本不等式性质求最大值.【小问 1 详解】解：10 00

24、0 台=10 千台,则(10)1002000Ta，根据题意得：0.6 10000 1002000 13501650a，解得=10a，当040 x时，22()0.6 10001350 101001000105002350W xxxxxx，当40 x 时，1000010000()0.6 1000135060174506100W xxxxxx ，综上所述210+5002350,0 40()=10000+6100,40 xxxW xxxx.【小问 2 详解】当040 x时，22()10500235010(25)3900W xxxx 当25x 时，()W x取得最大值max()3900W x；当40 x

25、 时，1000010000()610026100900W xxxxx ，第 13页/共 16页学科网（北京）股份有限公司当且仅当=100 x时，max()5900W x因为59003900，故当年产量为 100 千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为 5 900 万元.21.已知函数3()3f xxx（1）判断并证明函数()f x的奇偶性；（2）用定义证明函数()f x在0,1上为减函数；（3）已知0,2x，且(sin)(cos)fxfx，求x的值【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）证明见解析（3）4x或54【解析】【分析】(1）根据函数奇偶性的定义进行证明（2）利用函数单调性的定义进行

26、证明（3）根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可【小问 1 详解】根据题意,函数3()3f xxx是奇函数,证明：函数3()3f xxx,其定义域为R,有3()3()fxxxf x ,则函数()f x为奇函数;【小问 2 详解】（2）证明：设1201xx,则 3322121122121122333f xf xxxxxxxxx xx,又由1201xx,则120 xx,同时:2211221,1,1xx xx,则有22112230 xx xx,故 120f xf x,故函数()f x在0,1上为减函数；【小问 3 详解】第 14页/共 16页学科网（北京）股份有限公司()f x在R上为奇函数且

27、()f x在0,1上为减函数,则有()f x在 1,1也是减函数,若0,2 x,则1sin1,1cos1xx ,若(sin)(cos)fxfx,必有sincosxx,解可得4x或54;故4x或54.22.已知函数 2226fxxmxm，2xg x.（1）求gfm的值；（2）若方程 128gfx在区间1,2上有唯一的实数解，求实数m的取值范围；（3）对任意mR，若关于x的不等式 f g xf gxt g xgx在R上恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）64（2）2,01,3（3）,2 5【解析】【分析】（1）根据题意得 f m的值，代入求解即可；（2）根据题意得222762=2xmx m，

28、所以110 xmxm，根据零点位置和区间端点位置判断即可求解；（3）根据题意得()()()()22222 222+212220 xxxxxxmmt-+-+，化简得22(2)(2)22222xxxxt，构造 22(2)(2)2222xxxxx求解即可.【小问 1 详解】因为()222266f mmmm=-+=，所以 66264gfmg【小问 2 详解】由 128gfx，得222762=2xmx m，即22267xmxm，第 15页/共 16页学科网（北京）股份有限公司即22210 xmxm，因式分解得110 xmxm，解得1xm或1xm，因为方程 128gfx在区间1,2上有唯一的实数解，注意到

29、11mm，所以11212mm 或11112mm 解得13m，或20m.所以m的取值范围是2,01,3.【小问 3 详解】由 f g xf gxt g xgx，所以()()()2222222+6+222+622xxxxxxmmmmt-+-+，整理得()()()()22222 222+212220 xxxxxxmmt-+-+因为式对任意mR恒成立，所以()()()()2222 22422+212220 xxxxxxt-轾轾D=-+-创+-+犏犏臌臌恒成立，所以2222222+212220 xxxxxxt，整理得()()()222 222+222xxxxt-+，即22(2)(2)22222xxxxt记 22(2)(2)2222xxxxx，因为式在xR上恒成立，所以 2mintx恒成立，令22xxu，因为112222 2222xxxxxx，当且仅当0 x 时，等号成立，所以2u 则 22020+4 5uxh uuuu，当且仅当2 52,u 时，等号成立，所以 4 5minx.所以24 5t，即2 5t，所以实数t的取值范围是,2 5.