大学概率论习题详解.pdf

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1、1领红包：支付宝首页搜索“512371172”即可领取支付宝红包哟领下面余额宝红包才是大红包，一般都是 5-10 元 支付的时候把支付方式转为余额宝就行呢 没钱往里冲点 每天都可以领取哟！概率论习题五详解概率论习题五详解1 1、设为离散型的随机变量，且期望、方差均存在，证明对任意,都有XEXDX02DXEXXP证明 设 则iipxXP,.2,1iEXxiixXPEXXPiEXxipEXxi22=iiipEXx222DX2 2、设随机变量和的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，请利用切XY比雪夫不等式证明：。1216 YXP证 0YXE1,covDXDYYX325,cov2YX

2、DYDXYXD1216662YXDYXEYXPYXP3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04的概率不超过0.01？解设为 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得nXn01.004.05.05.004.05.02nnXPn从而有 1562504.001.025.02n即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.01。4、每名学生的数学考试成绩是随机变量，已知，（1）试用切比X80EX25DX雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在7

3、5分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试？解 (1)由切比雪夫不等式 21DXEXXP0又 101090709070EXXPEXEXXEXPXP=75.01002511080XP即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75%QQ3742892362(2)设有个学生参加考试(独立进行)，记第 个学生的成绩为，则平均成niiXnii.2,绩为，又,niiXnX118011niiEXnXEnDXnXD251则由切比雪夫不等式可得：nnnXPXP15251158085752要使上述要求不低于90%，只需，解得，即有10个以上的学生参加考试，就9.01nn10n可以达到要

4、求。5 5、设800台设备独立的工作，它们在同时发生故障的次数，现由2名维01.0,800 BX修工看管，求发生故障不能及时维修的概率。解 iiiiCXPXP8008002099.001.01212在二项分布表（附表1）中不能查出。，使用正态分布近似计算：8np若使用正态分布近似计算：,X近似92.7,8N9834.0132.2132.292.781212XPXPXP6 6、对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长来、有1名家长来、有2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设每个学生参加会议的家长数相互独立且服从同一分布

5、，求：(1)参加会议的家长数超过X450的概率；(2)每个学生有一名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。解 (1)以 表示第 个学生来参加会议的家长数，则的分布律为:iX400.2,1iiiXiX012ip0.050.80.15所以，1.1iEX19.0iDX400.2,1i而4001iiXX由中心极限定理知：76,440 NX近似1257.0147.11450XP(2)以表示每个学生有一名家长来参加会议的个数，则Y8.0,400 BY由中心极限定理知：64,320 NY近似则9938.05.2340YP7、射手打靶得10分的概率为0.5，得9分的概率为0.3，得8分、7分和6分的概率分

6、别0.1、0.05和0.05，若此射手进行100次射击，至少可得950分的概率是多少？解 设为射手第 次射击的得分，则有iXiiX109876ip0.50.30.10.050.05QQ3742892363且 ，1001iiXX15.9iEX95.842EX2275.1DX由中心极限定理得：0008.0159.312275.110091595019501001iiXP8、某产品的不合格率为0.005，任取10000件中不合格品不多于70件的概率为多少？解 依题意，10000件产品中不合格品数，由，005.0,10000 BX50np，故可用二项分布的正态近似，所求概率为51 pn9977.083

7、55.2005.0150507070XP9、某厂生产的螺丝钉的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有100只合格品的概率不小于0.95？解 设 为一盒装有的螺钉数，其中合格品数记为，则有，该题要nX99.0,nBX求，使得下述概率不等式成立。n或95.0100 XP05.0100 XP利用二项分布的正态近似，可得：645.105.00099.099.0100nn因此，nn0099.0645.199.0100解得，19.103n这意味着，每盒应装104只螺钉，才能使每盒含有100只合格品的概率不小于0.95。（B B）1、为确定一批产品的次品率要从中抽取多少个产品进行检查，

8、使其次品出现的频率与实际次品率相差小于0.1的概率不小于0.95。解：依题意，可建立如下概率不等式 95.01.0PPP其中是这实际的次品率，如抽取个产品则次品的频率，由中心极PnnxxxPn.21限定理，近似服从正态分布：PnnPPPN/P1P,0NPP/1,或从而有 975.0295.0111.0PPn查表可得：或96.111.0 PPnPPn16.19由于未知，只得放大抽检量，用1/2代替 ，可得：PPP18.9n，可见，需抽查96个产品才能使其次品率与实际次品率相差0.1小于的概率不小于96n0.95。2、假设批量生产的某产品的优质品率为 60%，求在随机抽取的 200 件产品中有 1

9、20 到150 件优质品的概率解解 记随机抽取的 200 件产品中优质品的的件数，则服从二项分布，参数为nnQQ3742892364n=200，p=0.60；由于 n=200 充分大，故根据棣莫佛-拉普拉斯中心极48)1(120pnpnp，限定理，近似地；5.0)0()33.4(33.40 48120150481200150120)1 ,0(48120)1(nnnnnnUNpnpnpUPPP3、设随机变量服从参数为的泊松分布，是独立与同分布随机变量，XnXXX,21X证明：对任意，都有00)(1lim212nkinXnP证明证明 由于独立同泊松分布，可见也独立同分布，而且数学nXXX,2122221,nXXX期望存在：222)(iiiXXXEDE因此，根据辛钦大数定律，有0)(1lim212nkinXnPQQ374289236