2023-2024学年福州市高三年级4月末质量检测数学参考答案.pdf

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1、 参考答案 第 1 页 共 9 页 20232024 学年福州市高三年级 4 月份质量检测 参考答案与评分细则 一、一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 40 分.1D 2C 3A 4C 5D 6B 7B 8A 二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 6 分，满分 18 分全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9ABC 10BC 11ACD 三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 15 分 122 138 146，22 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【考查意

2、图】本小题主要考查递推数列与数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等；考查分类与整合、化归与转化等思想方法；考查数学运算、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性.满分 13 分.解：（1）因为12,2nnaan n=+?，所以12nnaan=，1 分 当2n?时，112211()()()nnnnnaaaaaaaa=+L，所以22242nann=+L，3 分 所以(22),22nnnan+=?，所以2,2nann n=+?，4 分 又因为12a=，5 分 所以2*,nann n=+N.6 分（2）由（1）可知2*(1),nannn nn=+=+N，7 分 所以()111111nan

3、nnn=+，9 分 所以11111 22 3(1)(1)nSnnn n=+L 1111111122311nnnn=+L，11 分 所以111nSn=+，12 分 又因为1n?，所以1nS.13 分 参考答案 第 2 页 共 9 页 16.【考查意图】本小题主要考查正态分布、全概率公式、条件概率等基础知识，考查数学建模能力、逻辑思维能力和运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和应用性满分 15 分.解：（1）依题意得，0,0.2=，1 分 所以零件为合格品的概率为(0.60.6)(33)0.9973PXPX=+=，2

4、分 零件为优等品的概率为(0.20.2)()0.6827PXPX=+=，3 分 所以零件为合格品但非优等品的概率为0.99730.68270.3146P=，5 分 所以从该生产线上随机抽取 100 个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数为100 0.314631.6 分（2）设从这批零件中任取 2 个作检测，2 个零件中有 2 个优等品为事件 A，恰有 1 个优等品，1 个为合格品但非优等品为事件B，从这批零件中任取 1 个检测是优等品为事件C，这批产品通过检测为事件D，8 分 则 DABC=+，且A与BC互斥，9 分 所以()()()P DP AP BC=+10 分()()(|)P AP B

5、 P C B=+11 分 221220.68270.68270.31460.6827CC=+21.6292 0.6827=，12 分 所以这批零件通过检测时，检测了 2 个零件的概率为()(|)()P ADP A DP D=13 分 220.68271.62920.6827=11.6292=0.61.15 分 答：这批零件通过检测时，检测了 2 个零件的概率约为0.61.17.【考查意图】本小题主要考查直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质定理、平面与平面的夹角、空间向量、三角函数的概念等基础知识，考査直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等,考查数形结合思想、化归与转化思想等

6、，考査直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分 15 分.解法一：（1）在正方形 ABEF 中，连接 AH 并延长，交BE 的延长线于点K，连接 PK.2 分 参考答案 第 3 页 共 9 页 因为,G H分别为线段,AP EF中点，所以HFHE=，所以RtAFHRtKEH，所以 AHKH=，4 分 所以GHPK.5 分 又因为,GHBCE PKBCE面面，所以GHBCE面.7 分（2）依题意得，ABBCE 面，又因为BPBCE 面，所以 ABBP.又因为BPAE,ABAEA=I,AB AEABEF 面，所以BPABEF 面，8 分 又BEABEF 面，所以BPBE，9

7、 分 所以,BP BE BA两两垂直.以 B 为原点，,BP BE BA所在直线分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，如图所示.10 分 不妨设1AB=,则31(1,0,0),(,1)22PD，()31=1,0,0,122BPBD=uuu ruuu r，11 分 设平面BPD 的法向量为(),x y z=m，则0,0,BPBD=uuu ruuu rmm 即0,310,22xxyz=+=取2y=，得0,1xz=，所以平面BPD 的一个法向量是()0,2,1=m，13 分 又平面BPA的一个法向量为()0,1,0=n.14 分 设平面BPD 与平面BPA的夹角为，则22 5coscos,55 1

8、=m nm nm n.KFEPCDHAGBzyxBGAHDCPEF 参考答案 第 4 页 共 9 页 所以平面DBP 与平面BPA夹角的余弦值为2 55.15 分 解法二：（1）证明：取BP的中点Q，连接,GQ EQ.1 分 因为,G H分别为线段,AP EF的中点，所以GQAB，12GQAB=，2 分 又因为,ABEF ABEF=，所以,GQHE GQHE=，3 分 所以四边形GQEH是平行四边形，4 分 所以GHQE，5 分 又因为,GHBCE QEBCE面面，所以GHBCE面.7 分（2）同解法一.15 分 解法三：（1）证明：取 AB 的中点 I，连接,GI HI.1 分 因为,G H

9、分别为线段,AP EF的中点，所以,GIBP HIEB，又因为,GIBCE BPBCE面面，所以GIBCE面.3 分 因为,HIBCE BEBCE面面，所以HIBCE面.5 分 又因为,GIHII GIGIH HIGIH=I面面，所以GIHBCE面面，6 分 又因为GHGIH 面，所以GHBCE面.7 分（2）同解法一.15 分 18.【考查意图】本小题主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考査直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考査直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性

10、.满分 17 分.解法一：（1）依题意，222bca+=1 分 IFEPCDHAGBQFEPCDHAGB 参考答案 第 5 页 共 9 页 COyxPF2F1IG设00(,)P xy，则2200221xyab+=，0axa，所以0caxa，20axc，所以20|cPFaxa=，20adxc=所以0220|caxPFcaadaxc=，即2|PFd为定值，且这个定值为ca 4 分（2）（）依题意，00(,)33xyG，设直线 IG 与 x 轴交于点 C，因为 IGx 轴，所以0(,0)3xC，5 分 所以001202|()()333xxFCF Cccx=+=，6 分 因为PF1F2的内切圆与 x

11、轴切于点 C，所以121202|3PFPFFCF Cx=，7 分 又因为12|2PFPFa+=，解得02|3xPFa=，8 分 由（1）得20|cPFaxa=，所以003xcaxaa=，所以椭圆 E 的离心率13cea=10 分（）由26a=，得3a=，又13ca=，所以1c=，2228bac=，所以椭圆 E 的方程为22198xy+=11 分 根据椭圆对称性，不妨设点 P 在第一象限或 y 轴正半轴上，即003x?，002 2y?，又1(1,0)F，2(1,0)F，所以直线 PF1的方程为00(1)1yyxx=+，设直线 IG 与 PF1交于点 D，因为03Dxx=，所以000(3)3(1)

12、Dy xyx+=+，F1CD 的面积1S 与PF1F2的面积S 之比为 000200100(3)1(1)2 33(1)(3)118(1)22xyxxxSSxy+=+，13 分 令2(3)()18(1)xf xx+=+（03x?），则2(3)(1)(1)(18xxxfx+=，参考答案 第 6 页 共 9 页 当0,1)x，()0fx，所以函数()f x 在0,1)单调递减，在(1,3)单调递增.又因为1(0)2f=，4(1)9f=，1(3)2f=，所以()f x 的值域是4 1,9 2，所以14192SS?，15 分 所以11415SSS?，16 分 根据对称性，PF1F2被直线 IG 分成两个

13、部分的图形面积之比的取值范围是4 5,5 417 分 解法二：（1）同解法一 4 分（2）（）依题意，00(,)33xyG，设直线 IG 与 x 轴交于点 C，因为 IGx 轴，所以0(,0)3xC，5 分 所以001202|()()333xxFCF Cccx=+=，6 分 因为PF1F2的内切圆与 x 轴切于点 C，所以121202|3PFPFFCF Cx=，7 分 又因为12|2PFPFa+=，得0102|,3|.3xPFaxPFa=+=8 分 所以2200022000(),3(),3xxcyaxxcya+=+=两式平方后取差，得00443cxax=对任意0 x 成立，所以椭圆 E 的离心

14、率13cea=10 分（）同解法一17 分 解法三：（1）同解法一 4 分（2）（）依题意，00(,)33xyG，因为 IGx 轴，设点I 坐标为0(,)3xt.5 分 可求直线1PF 方程为00()yyxcxc=+，则点I 到直线1PF 的距离0002200()()3|()xyct xctyxc+=+，6 分 即()222200000()()()3xyct xctyxc+=+，化简得 22000002()()()033xxy ttc xcyc+=，同理，由点I 到直线2PF 的距离等于|t，可得 参考答案 第 7 页 共 9 页 22000002()()()033xxy ttc xcyc+=

15、，7 分 将式式，得00084233tcxycx=，则04yt=.8 分 将04yt=代入式，得 2200001()()()0162 33yxxc xcc+=，化简得220022198xycc+=，得229ca=，所以椭圆 E 的离心率13cea=10 分（）同解法一17 分 19.【考查意图】本小题主要考查集合、导数、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分 17 分.解：（1）依题意，因为0(),()f

16、 x xlxLR，所以2,1xxxkx+R?，且0 xR，20001xxkx+=+，1 分 令2()(1)1xxk x=+，()214k=，则()0 x?，且0()0 x=，所以0,0,?所以0=，3 分 即()2140k=，解得3k=或 1.4 分 （2）（）先证必要性.若直线()yl x=是曲线()yg x=的切线，设切点为()00,e1xx+，因为()exg x=，所以切线方程为()000e1e()xxyxx+=，即()000e(1)e1xxl xxx=+（*）.5 分 一方面，()()00g xl x=，所以000,()()xg xl x=R，6 分 参考答案 第 8 页 共 9 页

17、另一方面，令()()()000ee(1)exxxG xg xl xxx=，则()00G x=，因为()0eexxGx=，所以当0 xx时，()0Gx时，()0Gx，()G x 在()0,x+单调递增，所以()()00G xG x=?，所以()()g xl x?.7 分 即,()()xg xl x R?，所以()(),g x xl xTR，即()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”.8 分 再证充分性.若()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”，不妨设()l xkxb=+，由“最佳下界线”的定义，()(),xg xl x R?，且()()000,xg xl x=R，9

18、 分 令()()()e1xH xg xl xkxb=+，则()0H x?且()00H x=，所以()min0H x=.10 分 因为()exHxk=，若0k?，则()0Hx?，所以()H x 在R 上单调递增，所以10 xx，使得()()100H xH x，令()0Hx=，得lnxk=，当(),lnxk 时，()0Hx，得()H x 在()ln,k+单调递增，所以，当且仅当lnxk=时，()H x 取得最小值()lnHk.12 分 又由()H x 在0 x 处取得最小值，()min0H x=，所以0ln,(ln)0,xkHk=13 分 即000e,e10,xxkkxb=+=解得0exk=，()001e1xbx=+，14 分 所以()000e(1)e1xxl xxx=+，参考答案 第 9 页 共 9 页 由（*）式知直线()yl x=是曲线()yg x=在点()00,e1xx+处的切线.15 分 综上所述，直线()yl x=是曲线()yg x=的一条切线的充要条件是直线()yl x=是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”.（）集合(),(1,)(),h x xg x xLTRI+元素个数为 2 个.17 分