线性代数课件2-2矩阵的运算.pptx

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1、线性代数课件2-2矩阵的运算contents目录矩阵的加法矩阵的数乘矩阵的乘法矩阵的转置矩阵的逆矩阵的加法01定义与性质定义矩阵的加法是将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。性质矩阵的加法满足交换律和结合律，即$A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。假设有两个矩阵$A=beginbmatrix1&2 3&4 endbmatrix$和$B=beginbmatrix5&6 7&8 endbmatrix$，则它们的和为$A+B=beginbmatrix6&8 10&12 endbmatrix$。注意：矩阵的加法仅适用于同阶矩阵，即行数和列数相同时才能进行加法运算。矩阵加法的例子

2、在二维空间中，两个矩阵$A$和$B$可以看作是两个线性变换，它们的和$A+B$表示这两个线性变换的叠加。例如，考虑一个平面上的点集，矩阵$A$将该点集沿x轴方向拉伸2倍，而矩阵$B$将该点集沿y轴方向旋转45度。则它们的和$A+B$表示将点集先沿x轴拉伸2倍，再沿y轴旋转45度。矩阵加法的几何解释矩阵的数乘02数乘矩阵是将一个标量与矩阵中的每一个元素相乘。定义数乘满足结合律、交换律和分配律，即对于任意标量$k$、$l$和矩阵$A$，有$(k times l)times A=k times(l times A)=k times A times l$，并且$k times(A+B)=k times

3、 A+k times B$。性质定义与性质假设有一个矩阵$beginbmatrix 1&2 3&4 endbmatrix$，如果用数$-2$与其相乘，结果为$beginbmatrix-2&-4 -6&-8 endbmatrix$。如果用数$3$与其相乘，结果为$beginbmatrix 3&6 9&12 endbmatrix$。矩阵数乘的例子数乘矩阵可以理解为将原矩阵中的每一个元素都进行缩放。在二维空间中，如果一个矩阵表示一个平面上的向量，那么数乘这个矩阵相当于将该向量进行缩放。在三维空间中，数乘一个表示旋转或平移的矩阵，相当于将整个空间进行缩放或平移。矩阵数乘的几何解释矩阵的乘法03定义矩阵

4、的乘法仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能进行。设$A$是一个$m times n$矩阵，$B$是一个$n times p$矩阵，则$AB$是一个$m times p$矩阵。性质矩阵乘法满足结合律，即$(AB)C=A(BC)$；不满足交换律，即一般情况下$AB neq BA$。定义与性质设矩阵$A=beginbmatrix 1&2 3&4 endbmatrix$，矩阵$B=beginbmatrix 5&6 7&8 endbmatrix$，则$AB=beginbmatrix 19&22 43&50 endbmatrix$。设矩阵$A=beginbmatrix 1&2 3&4 endbm

5、atrix$，矩阵$B=beginbmatrix 5&6 endbmatrix$，由于矩阵$B$的列数不等于矩阵$A$的行数，因此不能进行矩阵乘法。矩阵乘法的例子矩阵乘法的几何解释在二维空间中，设两个向量$veca=(a_1,a_2)$和$vecb=(b_1,b_2)$，它们的点积为$a_1b_1+a_2b_2$。通过矩阵表示，有$veca=beginbmatrix a_1 a_2 endbmatrix$，$vecb=beginbmatrix b_1 b_2 endbmatrix$，则它们的点积可以表示为矩阵乘法$veca cdot vecb=beginbmatrix a_1&a_2 endb

6、matrix beginbmatrix b_1 b_2 endbmatrix=a_1b_1+a_2b_2$。矩阵的转置0403转置矩阵的记号若原矩阵为$A$，则其转置矩阵记为$AT$。01矩阵转置的定义将矩阵的行列进行互换，得到一个新的矩阵。02矩阵转置的性质转置矩阵的行变为列，列变为行，且转置矩阵的元素满足原矩阵元素的位置关系。定义与性质矩阵转置的例子假设有一个矩阵$A=beginbmatrix 1&2 3&4 endbmatrix$，则其转置矩阵$AT=beginbmatrix 1&3 2&4 endbmatrix$。若$B=beginbmatrix 5&6 7&8 endbmatrix$

7、，则$BT=beginbmatrix 5&7 6&8 endbmatrix$。VS在几何上，矩阵可以看作是线性变换的一种表示，而矩阵的转置则对应于线性变换的逆过程。若原矩阵表示一个将点或向量从某一坐标系变换到另一坐标系的过程，那么其转置矩阵表示将点或向量从另一坐标系变换回原坐标系的过程。矩阵转置的几何解释矩阵的逆05如果存在一个矩阵A的逆矩阵A(-1)，满足$AA(-1)=I$，其中I为单位矩阵，则称A为可逆矩阵。定义逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵，即$AA(-1)=I$。性质逆矩阵具有唯一性，即如果A是可逆矩阵，则A(-1)也是唯一存在的。性质逆矩阵与原矩阵的行列式值互为倒数，即$det(A

8、)cdot det(A(-1)=1$。性质01030204定义与性质对于矩阵$A=beginbmatrix 2&3 1&2 endbmatrix$，其逆矩阵$A(-1)=beginbmatrix-frac25&frac35 frac15&-frac25 endbmatrix$。对于矩阵$B=beginbmatrix 4&-3 -1&2 endbmatrix$，其逆矩阵$B(-1)=beginbmatrix frac17&frac37 -frac17&frac47 endbmatrix$。例子例子矩阵逆的例子几何解释矩阵的逆可以理解为在二维空间或更高维度空间中的一种“反转”或“倒置”操作。如果一个矩阵表示一种线性变换，那么它的逆矩阵将表示该变换的逆变换。几何解释在二维空间中，一个矩阵可以看作一个拉伸、旋转或剪切变换。其逆矩阵则可以看作是该变换的逆操作，即将图形恢复到原始状态。几何解释在三维空间中，矩阵的逆变换可以理解为对物体进行旋转、平移或缩放等操作后的恢复操作，使物体回到原始位置和方向。矩阵逆的几何解释THANKS感谢观看