浙大概率论与数理统计课件-第三章多维随机变量及其分布.pptx

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1、浙大概率论与数理统计课件-第三章多维随机变量及其分布目录多维随机变量的定义与性质多维随机变量的分布函数多维随机变量的独立性多维随机变量的函数及其分布多维随机变量的变换01多维随机变量的定义与性质在概率论和数理统计中，多维随机变量是一个重要的概念，它描述了一个样本空间中同时出现的多个随机事件的数学模型。多维随机变量多维随机变量的联合概率描述了多个随机事件同时发生的可能性。联合概率在多维随机变量中，边缘概率描述了某个随机事件发生的概率，而其他随机事件的发生与否不影响这个概率。边缘概率定义与性质定义联合概率密度函数是多维随机变量的概率分布函数，它描述了多维随机变量取值的联合概率。性质联合概率密度函数

2、具有非负性、规范性、对称性等性质。应用在统计学、机器学习等领域中，联合概率密度函数被广泛应用于模型构建和数据分析。联合概率密度函数123边缘概率密度函数是从多维随机变量中提取某一维度的信息，得到的单维随机变量的概率分布函数。定义边缘概率密度函数具有单峰性、对称性等性质。性质在统计学、信号处理等领域中，边缘概率密度函数被广泛应用于数据降维和特征提取。应用边缘概率密度函数02多维随机变量的分布函数定义性质应用联合分布函数联合分布函数是描述多维随机变量所有可能取值的概率的函数，表示多个随机变量同时取某个值或某个范围内的值的概率。联合分布函数具有非负性、归一化性质，即其值域在0,1之间，并且对于任意实

3、数，其积分等于1。联合分布函数是描述多维随机变量之间相关性的重要工具，可以用于计算多维随机变量的联合概率、条件概率等。边缘分布函数是指多维随机变量中某一维随机变量的分布函数，即在其它随机变量固定的情况下，该随机变量的概率分布。定义边缘分布函数具有独立性，即多维随机变量中各个随机变量是独立的，其边缘分布函数就是各个一维随机变量的分布函数。性质边缘分布函数在统计推断、假设检验等领域有广泛应用，特别是在多元统计分析中，可以通过边缘分布函数来分析各个随机变量的独立性、相关性等。应用边缘分布函数定义01条件分布函数是指在某个随机变量取某个值时，其余随机变量的条件概率分布。性质02条件分布函数具有依赖性，

4、即其概率分布依赖于已经观察到的随机变量的取值。应用03条件分布函数在贝叶斯推断、统计决策等领域有广泛应用，特别是在处理不完全信息、数据缺失等问题时，可以通过条件分布函数来更新先验概率、进行参数估计等。条件分布函数03多维随机变量的独立性独立性的定义定义如果对于每一个$t$，随机变量$X_t$和$X_t+1$相互独立，则称$X_t$和$X_t+1$是独立的。解释独立性意味着一个随机变量的状态不影响另一个随机变量的状态。03独立同分布如果两个独立的随机变量具有相同的分布函数，则它们是独立的。01独立性传递如果$X$和$Y$独立，且$Y$和$Z$独立，那么$X$和$Z$也独立。02独立与互斥独立不一

5、定互斥，互斥不一定独立。独立性的性质通过联合概率密度函数和边缘概率密度函数的关系进行判定。判定方法一通过随机变量的函数形式进行判定。判定方法二通过随机变量的相互影响程度进行判定。判定方法三独立性的判定04多维随机变量的函数及其分布一维随机变量的线性函数是指将一维随机变量进行线性变换得到的新的随机变量。线性函数的分布可以通过原随机变量的概率密度函数进行计算。一维随机变量的线性函数及其分布幂函数是指将一维随机变量进行幂运算得到的新的随机变量。幂函数的分布可以通过原随机变量的概率密度函数进行计算。一维随机变量的幂函数及其分布一维随机变量的函数及其分布二维随机变量的线性函数及其分布二维随机变量的线性函

6、数是指将二维随机变量进行线性变换得到的新的随机变量。线性函数的分布可以通过原二维随机变量的联合概率密度函数进行计算。二维随机变量的多元函数及其分布多元函数是指将多个二维随机变量进行运算得到的新的随机变量。多元函数的分布可以通过原二维随机变量的联合概率密度函数进行计算。二维随机变量的函数及其分布n维随机变量的线性函数及其分布n维随机变量的线性函数是指将n维随机变量进行线性变换得到的新的随机变量。线性函数的分布可以通过原n维随机变量的联合概率密度函数进行计算。n维随机变量的多元函数及其分布多元函数是指将多个n维随机变量进行运算得到的新的随机变量。多元函数的分布可以通过原n维随机变量的联合概率密度函

7、数进行计算。n维随机变量的函数及其分布05多维随机变量的变换线性变换是保持向量加法和标量乘法的运算规则，即对于任意向量x和标量k，有T(k*x)=k*T(x)和T(x+y)=T(x)+T(y)。线性变换的定义线性变换具有一些重要的性质，如齐次性、加法性质和数乘性质。这些性质使得线性变换在许多领域中都有广泛的应用。线性变换的性质线性变换可以用矩阵表示，通过矩阵乘法可以方便地实现线性变换。矩阵表示也使得线性变换的计算更加简便和高效。线性变换的矩阵表示线性变换010203仿射变换的定义仿射变换是保持向量加法和标量乘法的运算规则，同时保持向量共线的性质不变。即对于任意向量x和标量k，有T(k*x)=k

8、*T(x)和T(x+y)=T(x)+T(y)，并且如果存在一个非零向量v使得T(v)=0，那么对于任意向量u和v共线，有T(u)和T(v)也共线。仿射变换的性质仿射变换具有一些重要的性质，如齐次性、加法性质和数乘性质。这些性质使得仿射变换在许多领域中都有广泛的应用。仿射变换的矩阵表示仿射变换可以用矩阵表示，通过矩阵乘法可以方便地实现仿射变换。矩阵表示也使得仿射变换的计算更加简便和高效。仿射变换投影变换投影变换可以用矩阵表示，通过矩阵乘法可以方便地实现投影变换。矩阵表示也使得投影变换的计算更加简便和高效。投影变换的矩阵表示投影变换是从一个高维空间投影到一个低维空间的映射。具体来说，对于任意向量x，投影变换T将x投影到一个子空间W上，得到T(x)=P*x，其中P是子空间W的正交投影矩阵。投影变换的定义投影变换具有一些重要的性质，如正交性、保距性和保角性质。这些性质使得投影变换在许多领域中都有广泛的应用。投影变换的性质感谢您的观看THANKS