复变函数课件6-1共形映射的概念.pptx

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1、复变函数课件6-1共形映射的概念目录contents引言共形映射的性质共形映射的应用共形映射的分类共形映射的构造方法共形映射的例子CHAPTER引言010102课程背景共形映射是复变函数中的一个重要概念，它研究的是复平面上的区域到另一个区域之间的保角变换。复变函数是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、工程和科学领域。共形映射是指保持角度不变的映射，即如果一个点A在复平面上向另一个点B映射，并且与某一直线的夹角保持不变，则这个映射称为共形映射。共形映射可以用解析函数表示，即如果存在一个解析函数f(z)，使得f(z)的导数在定义域内不为零，并且f(z)将一个区域映射到另一个区域，则这个映射称为共形

2、映射。共形映射的定义CHAPTER共形映射的性质02总结词共形不变性是指共形映射保持角度不变的性质。详细描述在共形映射下，复平面上的角度保持不变。这意味着如果两个向量在原平面上的角度为，那么在映射后的平面上的角度也保持为。因此，共形映射能够保持形状和方向不变。共形不变性局部共形性是指共形映射在每个局部区域都是共形的性质。总结词共形映射在每个有限的、连通的局部区域上都是有效的，并且保持了角度的不变性。这意味着在每个局部区域上，映射都是保持形状和方向不变的。详细描述局部共形性共形映射的连续性是指映射函数在复平面上是连续的性质。总结词由于共形映射是从一个复平面到另一个复平面的映射，因此这个映射必须是

3、连续的。如果映射不是连续的，那么在映射过程中可能会出现不连续的跳跃或断裂，这会破坏角度的不变性。因此，共形映射必须是连续的。详细描述共形映射的连续性CHAPTER共形映射的应用03共形映射可以用于研究平面几何中的一些问题，例如将复杂的几何图形映射到简单的几何图形上，以便于分析和计算。平面几何在曲面几何中，共形映射可以用于研究曲面上的几何性质，例如将复杂的曲面映射到简单的球面或平面，以便于分析和计算。曲面几何在几何学中的应用在电磁学中，共形映射可以用于研究电磁场的变化和分布，例如将复杂的电磁场映射到简单的几何形状上，以便于分析和计算。在流体动力学中，共形映射可以用于研究流体的流动和变形，例如将复

4、杂的流体流动映射到简单的几何形状上，以便于分析和计算。在物理学中的应用流体动力学电磁学在工程学中的应用计算机图形学在计算机图形学中，共形映射可以用于图像处理和计算机视觉，例如将复杂的图像映射到简单的几何形状上，以便于分析和处理。机械工程在机械工程中，共形映射可以用于研究机构的运动和变形，例如将复杂的机构运动映射到简单的几何形状上，以便于分析和计算。CHAPTER共形映射的分类04在单连通区域上，如果存在一个复函数$f(z)$，满足$f(z)neq 0$，并且$f(z)$与$z$在边界上对应，则称$f(z)$为该区域上的共形映射。定义单连通区域上的共形映射是唯一的，即如果存在两个不同的共形映射$

5、f_1(z)$和$f_2(z)$，则它们之间的关系是$f_2(z)=f_1(z)+c$，其中$c$是一个常数。性质在几何、物理和工程等领域中，单连通区域上的共形映射被广泛用于研究各种问题，如流体动力学、电磁学和光学等。应用单连通区域上的共形映射定义01在多连通区域上，如果存在一个复函数$f(z)$，满足$f(z)neq 0$，并且$f(z)$与$z$在每个边界上对应，则称$f(z)$为该区域上的共形映射。性质02多连通区域上的共形映射不一定是唯一的，但它们之间的关系仍然是$f_2(z)=f_1(z)+c$，其中$c$是一个常数。应用03多连通区域上的共形映射在几何、物理和工程等领域中也有广泛的

6、应用，如研究多孔介质中的流体流动、电磁波的传播和光学现象等。多连通区域上的共形映射无穷区域上的共形映射是指满足一定条件的复函数，这些条件包括在无穷远处的行为和导数的性质等。定义无穷区域的共形映射具有一些特殊的性质，如可以存在奇点、无穷极点和无穷远处的边界等。性质无穷区域的共形映射在数学、物理和工程等领域中也有应用，如研究无穷大系统中的波动现象、无穷大分形结构等。应用无穷区域的共形映射CHAPTER共形映射的构造方法05利用幂函数构造共形映射总结词幂函数在复平面上的性质使得其在构造共形映射时非常有用。通过选择适当的幂函数，可以实现在不同区域之间的共形映射。详细描述考虑函数(f(z)=zn)（其中

7、(n)是正整数），它在复平面上的性质表明它可以将单位圆盘映射到其他区域，从而实现共形映射。举例幂函数法总结词详细描述举例分式线性变换法利用分式线性变换构造共形映射分式线性变换是复平面上的一种特殊映射，其形式为(w=fracaz+bcz+d)（其中(a,b,c,d)是常数，且(ad-bc neq 0)）。这种变换保持了角度和面积的比例关系，因此是共形的。考虑分式线性变换(w=fracz-1z+1)，它将圆盘(|z|1)，实现了共形映射。总结词通过求解微分方程构造共形映射详细描述通过设定适当的微分方程并求解，可以得到满足共形映射条件的解。这种方法通常用于更复杂的映射问题，特别是那些无法通过简单函数

8、直接解决的映射问题。举例考虑微分方程(f(z)=f(z)+z)和初始条件(f(0)=0)，通过求解该方程可以得到函数(f(z)=ln(z)，该函数满足共形映射的条件。微分方程法CHAPTER共形映射的例子06总结词单连通区域详细描述在复平面中，以圆为单位区域进行共形映射，可以通过解析函数表示为(z=f(w)，其中(z)和(w)是复数，函数(f)是解析的，并且在单位圆内部和外部都有定义。这种映射保持了角度和长度之间的比例关系，因此称为共形映射。以圆为单位区域的映射总结词双连通区域详细描述以椭圆为单位区域进行共形映射，可以通过双解析函数表示为(z=f(w)，其中(z)和(w)是复数，函数(f)是双解析的，并且在椭圆内部和外部都有定义。这种映射保持了角度和长度之间的比例关系，因此也称为共形映射。以椭圆为单位区域的映射总结词多边形区域的共形映射要点一要点二详细描述在复平面中，以多边形为单位区域进行共形映射，可以通过多解析函数表示为(z=f(w)，其中(z)和(w)是复数，函数(f)是多解析的，并且在多边形内部和外部都有定义。这种映射保持了角度和长度之间的比例关系，因此也称为共形映射。这种映射在实际应用中比较常见，例如在地图制作和电路设计等领域。以多边形为单位区域的映射THANKS感谢观看