扬州大学高等代数课件北大三版-第九章欧几里得空间.pptx
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1、扬州大学高等代数课件北大三版-第九章欧几里得空间欧几里得空间的定义与性质欧几里得空间的线性变换欧几里得空间的子空间欧几里得空间的同构欧几里得空间的正交变换目录01欧几里得空间的定义与性质欧几里得空间的定义欧几里得空间是指满足向量加法、标量乘法和数量积封闭的向量空间。它由实数域上的有限维向量空间构成,具有加法、标量乘法和数量积等运算性质。欧几里得空间的性质欧几里得空间是完备的,即其上任意柯西序列都收敛。它具有正定性,即对于任意的向量x,都有xx0,且只有在x=0时等号成立。VS二维平面上的点集构成一个二维欧几里得空间,其中向量是平面向量,标量是实数。三维空间中的点集构成一个三维欧几里得空间,其中
2、向量是三维向量,标量是实数。欧几里得空间的例子02欧几里得空间的线性变换线性变换如果对于欧几里得空间中的向量$mathbfx$,存在一个向量$mathbfy$,使得$mathbfy=T(mathbfx)$,其中$T$是一个线性变换。线性变换的性质线性变换具有加法性质和数乘性质,即对于任意的向量$mathbfx$和常数$k$,有$T(kmathbfx)=kT(mathbfx)$。线性变换的定义与性质对于线性变换$T$,存在一个矩阵$A$,使得对于任意的向量$mathbfx$,有$T(mathbfx)=Amathbfx$。矩阵表示线性变换的矩阵表示具有加法性质和数乘性质,即对于任意的矩阵$A$和常
3、数$k$,有$(kA)(mathbfx)=k(Amathbfx)$。矩阵的运算性质线性变换的矩阵表示如果存在一个常数$lambda$,使得对于任意的向量$mathbfx$,有$T(mathbfx)=lambdamathbfx$,则称$lambda$为线性变换$T$的特征值。特征值如果存在一个非零向量$mathbfx$,使得$T(mathbfx)=lambdamathbfx$,则称$mathbfx$为线性变换$T$的特征向量。特征向量特征值与特征向量对角化与相似变换如果存在一个可逆矩阵$P$,使得$P-1AP=Lambda$,其中$Lambda$是对角矩阵,则称线性变换$T$可对角化。对角化如果
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